2026-2027学年八年级数学上学期第一次月考自编练习卷（广东省深圳市适用）

2026-2027学年八年级数学上学期第一次月考自编练习卷 广东省深圳市适用 （本试卷共三大题20小题，满分100分，考试时间90分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中，属于无理数的是（     ） A． B． C．1.414 D． 2．若a、b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．若一直角三角形的两边为5和12，则它第三边的长为（　　） A．13 B． C．13或 D．13或 5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B．b C． D． 6．五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（     ） A．12 B．14 C．15 D．17 7．如图，，过点A作直线，点B在直线l上，，以点O为圆心，以长为半径作弧，与的延长线交于点C，则点C表示的实数是（     ） A． B． C．7 D．29 8．如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，则爬行的最短路程为（     ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．如果和是一个正数的平方根，则这个正数是________． 10．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 11．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船沿南偏东___________度方向航行． 12．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 13．观察下列数据：，，，，，…，寻找规律，第个数据应是________． 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（本题满分5分）计算 (1) (2) 15．（本题满分7分）已知和是某正数m的两个平方根，的立方根为2． (1)求m的值； (2)求的平方根， 16．（本题满分8分）下图各正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点都称为格点． （1）在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段． （2）在图②中，以格点为顶点，画出三边长分别为3，，的三角形． 17．（本题满分8分）观察下列计算：，，，… (1)______；______． (2)用含n的代数式表示你所发现的规律； (3)利用这一规律计算：． 18．（本题满分9分）我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 19．（本题满分12分）阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）； （2） ① ； （3）； （4） ② ； 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为， 所以，即．又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1：若整数满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； (3)解决问题2：若整数满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． 20．（本题满分12分）【综合探究】“在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是______； (2)类比迁移：若的边长分别为，，(，且)运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积； (3)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得A、C、B三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期第一次月考自编练习卷 广东省深圳市适用 （本试卷共三大题20小题，满分100分，考试时间90分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中，属于无理数的是（     ） A． B． C．1.414 D． 【答案】B 【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A.是分数，属于有理数； B.开方开不尽，属于无理数； C.1.414是有限小数，属于有理数； D.，是整数，属于有理数. 2．若a、b，c为三角形的三边，则下列各组数据中，不能组成直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握若三角形的三边a、b、c满足，则三角形是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【详解】A：，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项不符合题意； B：，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项不符合题意； C：，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故此选项符合题意； D：，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故计算错误； B、，故计算错误； C、，故计算错误； D、，故计算正确． 4．若一直角三角形的两边为5和12，则它第三边的长为（　　） A．13 B． C．13或 D．13或 【答案】D 【分析】存在两种情况，第一种为：5和12为直角边，另一边为斜边；第二种为：5和另一边为直角边，12是斜边． 【详解】情况一：5和12为直角边 根据勾股定理，设另一边为x，则： 解得：x=13 情况二：5和另一边为直角边，12为斜边 根据勾股定理，设另一边为x，则： x= 故选：D 【点睛】本题考查勾股定理，多解是本题的关键，切不可遗漏． 5．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B．b C． D． 【答案】A 【分析】此题考查实数与数轴，二次根式的性质与化简．先根据数轴求得，，再根据二次根式的性质化简解答即可． 【详解】解：由图可知：，且， ∴， ∴， 故选：A． 6．五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（     ） A．12 B．14 C．15 D．17 【答案】D 【分析】如图，先根据正方形面积公式和勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 7．如图，，过点A作直线，点B在直线l上，，以点O为圆心，以长为半径作弧，与的延长线交于点C，则点C表示的实数是（     ） A． B． C．7 D．29 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出的长，则可得到的长，据此可得答案． 【详解】解：在中，， 根据勾股定理得， ∴ ，故点C表示的实数是． 8．如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，则爬行的最短路程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题意，分三种情况展开蚂蚁爬过的面成平面图形，再由勾股定理求解长度，比较各个情况大小即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分三种情况： 将右面向前面展开，如图所示： 在中，，，，则，由勾股定理可得； 将上面向前面展开，如图所示： 在中，，，，则，由勾股定理可得； 将右面向下展开，如图所示： 在中，，，，则，由勾股定理可得； ， ， 则爬行的最短路程为． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．如果和是一个正数的平方根，则这个正数是________． 【答案】或 【分析】根据正数平方根的性质，分两个平方根互为相反数和两个平方根相等两种情况，列方程求解，再计算得到这个正数． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：两个平方根互为相反数， ∵一个正数的两个不同平方根互为相反数， ∴，整理得， 解得，将代入得， ∴这个正数为； 情况2：两个平方根相等，若两个平方根是同一个，则，整理得， 解得，将代入得， ∴这个正数为， 综上，这个正数是或． 10．如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，若，，，则的周长为_________． 【答案】 7 【分析】利用勾股定理求出 的长，根据折叠的性质得到 ，从而将 的周长转化为 求解． 【详解】 解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知，， ∴的周长 ． 11．如图，在港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东的方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某方向以每小时15海里的速度前进，2小时后甲船到岛，乙船到岛，两岛相距34海里，则乙船沿南偏东___________度方向航行． 【答案】30 【分析】首先根据速度和时间计算、的路程，再根据勾股定理逆定理证明，进而可解答． 【详解】解：由题意得：甲船的路程：（海里）， 乙船的路程：（海里）， 海里， ∴， ∴是直角三角形，， ∵是北偏东方向， ∴是南偏东， 即乙船沿南偏东30度方向航行． 12．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理可得，从而利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和求解即可. 【详解】解：连接， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴. 13．观察下列数据：，，，，，…，寻找规律，第个数据应是________． 【答案】 【分析】将所有数据统一改写为二次根式，观察被开方数与数据序号的关系，归纳得到一般规律． 【详解】解：将所有数据改写为二次根式形式：第1个数： 第2个数： ； 第3个数： ； 第4个数： ； 第5个数： ... 由此可归纳出规律，第个数据为． 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（本题满分5分）计算 (1) (2) 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）先计算乘方、立方根与算术平方根，再计算加减法即可； （2）先去括号和化简绝对值，再计算实数的加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 15．（本题满分7分）已知和是某正数m的两个平方根，的立方根为2． (1)求m的值； (2)求的平方根， 【答案】(1)16 (2) 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据平方根的定义，得到和互为相反数，进而求出的值，进一步求出m的值即可； （2）根据立方根的定义，求出，再根据平方根的定义，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵和是某正数m的两个平方根， ∴， ∴， ∴； （2）由题意，得：， ∴； 由（1）知：， ∴的平方根为． 16．（本题满分8分）下图各正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点都称为格点． （1）在图①中，画出一条以格点为端点，长度为的线段． （2）在图②中，以格点为顶点，画出三边长分别为3，，的三角形． 【答案】（1）如图①线段即为所求线段； （2）如图②中的三角形即为所求． 【分析】（1）根据 实际上直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，即可解答； （2） 实际上是直角边长为2和2的直角三角形的斜边长，实际上是直角边长为2和1的直角三角形的斜边长，即可解答． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是确定直角三角形的直角边长后根据边长画出所求的线段和三角形． 17．（本题满分8分）观察下列计算：，，，… (1)______；______． (2)用含n的代数式表示你所发现的规律； (3)利用这一规律计算：． 【答案】(1) ； (2) 当为正整数时， (3) 【分析】（1）根据分母有理化的方法进行计算即可； （2）根据题干中提供的信息进行解答即可； （3）根据得出的规律，利用二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解：， ， ， … ． （3）解： ． 18．（本题满分9分）我国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明．最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了如图①所示的“勾股圆方图”，即“赵爽弦图”，在该图中，大正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，其中是直角三角形的斜边，a，b分别是直角三角形的两条直角边，并用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明． (1)请利用图①证明勾股定理； (2)图②是由赵爽弦图变化得到的，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为，若正方形的边长为4，求的值； (3)如图③，若正方形的边长为10，，连接，求的长． 【答案】(1)证明：由图可得，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ∴， ∴， ∴． (2)48 (3) 【分析】（1）根据大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形的面积的和，即可求解； （2）设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，，可得，，，即可求解； （3）延长交于点，证明，可得，可得，在中，，，，可得，再证明，可得，，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设八个全等的直角三角形的长直角边为，短直角边为，即，， ∴，，， ∴ ． （3）解：如图，延长交于点， ∵正方形的边长为10， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴在中，． 19．（本题满分12分）阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）； （2） ① ； （3）； （4） ② ； 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为， 所以，即．又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1：若整数满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； (3)解决问题2：若整数满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． 【答案】(1)①；②；③；④． (2)不是奇数，证明如下： ，， ，即． 又，且， ． 又， ， ， ． 故． 又，均为整数， 为偶数，故不是奇数． (3)当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数． 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）先求出，根据，且，得到，由可得，则，求出，即可判断； （3）由（1）知，，根据，得到，进而得到，推出，即可判定． 【详解】（1）解：， ①； ， ②； ， ， ，即③ ，即④； （2）略 （3）由（1）知，， ，其中为整数，且， ， ， ， ， 当为偶数，且时，为奇数， 为偶数， 为奇数，即为奇数； 当为奇数，且时，为偶数， 为偶数， 为偶数，即为偶数， 综上，当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数． 20．（本题满分12分）【综合探究】“在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．” 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是______； (2)类比迁移：若的边长分别为，，(，且)运用构图法在图2中画出相应的，并求出的面积； (3)问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求的斜边和的斜边的和的最小值，易得A、C、B三点共线时，取得最小值，即线段的长，进而求得的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）通过网格构图，用大长方形面积减去周围直角三角形面积计算的面积； （2）将含参数的边长转化为直角三角形斜边，构造大长方形后用面积差法求解的面积； （3）将代数式转化为直角三角形斜边之和，利用“两点之间线段最短”，构造直角三角形计算最短路径长度； （4）将代数式转化为平面直角坐标系中点的距离之和，通过对称点转化为两点间线段长度，用勾股定理求解最小值． 【详解】（1）解：网格中每个小正方形的边长为1，包围的大长方形长为3、宽为3，其面积为． 周围三个直角三角形的面积分别为：，，． ∴的面积； （2）解：将看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边，看作直角边为和的斜边， 包围的大长方形长为、宽为，其面积为． 周围三个直角三角形的面积分别为：，，． ∴的面积； （3）解：如图，，，，， 在中，， 在中，， ， 要使的值最小，则的值最小， ∴当A，C，B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作，交延长线于点O，得矩形， ，， ， ， ∴代数式的最小值为； （4）解：将代数式转化为平面直角坐标系中，点()到点的距离与到点的距离之和，即． 作点关于轴的对称点，连接，根据对称性质可知， ∴，根据“两点之间线段最短”，当为与轴的交点时，取得最小值，即的长度， ， ∴代数式的最小值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $