2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考自编练习卷（广东省深圳市适用）

2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考自编练习卷 广东省深圳市适用 （本试卷共三大题20小题，满分100分，考试时间90分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，解决本题的关键是知道一元二次方程的概念． 根据一元二次方程的概念：只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）进行判断即可． 【详解】解：A．最高次数是1，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．是分式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的配方法，把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 3．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 4．若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况进行讨论，即当腰长为，当底边长为，进而求解即可． 【详解】解：当腰长为时，将代入，得， 解得， 此时，原方程为，即， 解得，， 则三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 当底边长为时，方程有两个相等的根， ∴， 解得， 此时，原方程为，即， 解得， 则三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 综上，的值为或，故只有B符合． 5．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（   ） A．对角线相等 B．对角线垂直 C．邻边垂直 D．邻角互补 【答案】B 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质判断即可． 【详解】解：∵菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直， ∴菱形具有而矩形不一定具有的是对角线垂直， 故选：B． 【点睛】本题考查的是菱形的性质、矩形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直、矩形的对角线相等但不一定垂直是解题的关键． 6．如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5， 故选：B． 7．如图，某小区有一块长，宽的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为．求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为，则根据题意所列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小路宽为米，根据矩形的面积公式结合剩余的面积为，即可得出关于的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：设小路的入口宽度为， 由题意可得：， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．如图，菱形的顶点A，的坐标分别为，，轴，将菱形平移，使点A与原点重合，则平移后点的对应点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质、坐标与图形、勾股定理、平移等知识点，确定的坐标是解题的关键． 先利用勾股定理求出，然后利用菱形的性质求出点的坐标，最后利用平移的性质求解即可． 【详解】解∶∵A，的坐标分别为，， ∴， ∵菱形， ∴， 又∵轴， ∴点的坐标为， ∵将菱形平移，使点A与原点重合， ∴菱形向左平移1个单位，向下平移2个单位， ∴平移后点的对应点的坐标为，即． 故选∶A． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】 【分析】根据“式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个相等的实数根”，据此列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴的值是． 10．如图，在中，点是斜边的中点，，则________． 【答案】 【分析】根据直角三角形的斜边中线定理可得，，推出，即可求解． 【详解】解：在中，点是斜边的中点， ，， ， ． 11．已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为______． 【答案】12 【分析】根据韦达定理： ， ，用含的式子表示出一元二次方程两根之和、两根之积，再代入中，即可求出的值．注意：求出值后，需要代回到一元二次方程中检验是否大于，只有当时值才满足条件． 【详解】解：∵，分别是关于的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴一元二次方程为： ， 检验判别式： ， ∴方程有两个实根， 值符合题意． 12．如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使得点落在线段的点处，则线段的长为_________． 【答案】3 【分析】由矩形与折叠可得，，再利用勾股定理求解． 【详解】解：矩形，，， ，， 折叠， ， 在中，． 13．如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的倍．连接，分别与对角线交于点，，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则，其中正确结论的序号为 __________． 【答案】①②③ 【分析】对于①，由题干条件容易得出，相加即可；对于②，延长至点，使得，利用“半角”模型与正方形的性质容易证明与，则，，由三角形外角的性质可得；对于③，作于点，连接，，容易证明与，则，，同理，，因此是直角三角形，使用勾股定理计算出即可；对于④，取的中点，连接，利用直角三角形的性质与比例容易判断是等边三角形，通过导角可得，由直角三角形的性质和勾股定理可计算出． 【详解】解：对于①：∵正方形的周长是周长的倍， ∴， ∴， ∵，， ∴，故①正确； 对于②：如图，延长至点，使得， 由①可得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， 又∵，， ∴， ∴，故②正确； 对于③：如图，作于点，连接，， 由②可得，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理，， ∴，， ∴， 在中，，故③正确； 对于④：如图，取的中点，连接， 由③可得，，， ∵， ∴， 在中，点是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴， 解得，故④错误； 综上，正确的结论为：①②③． 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（本题满分5分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法，解答即可； （2）利用因式分解法，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，． （2）解：， ， ， ， 解得， ． 15．（本题满分7分）如图，在矩形中，点O为对角线的中点，过点O作交边于点E，交边于点F，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)证明：在矩形中，点O为对角线的中点， ∴，， ∴， ∵交边于点E，交边于点F， ∴是对角线的垂直平分线， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）依题意得是对角线的垂直平分线，则，，，进而可证明得，由此得，据此可得出结论； （2）由得，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，然后由矩形的性质得． 【详解】（1）略 （2）解：如图连接，则为的中点， ∵， ∴， 在矩形中，，，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 16．（本题满分8分）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 【答案】(1)1600； (2)每个A商品的售价为37元 (3)解：月获利不能达到9600元，理由： 设每个A商品的售价为x元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【分析】（1）根据售价每下降1元，其月销售量就增加200个，分别计算即可； （2）设每个A商品的售价为x元，根据每个A商品的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答； （3）根据题意列出方程，求出根的判别式，可得方程无实数根，即月获利不能达到9600元． 【详解】（1）解：∵售价每下降1元，其月销售量就增加200个， ∴若售价下降5元，每月能售出（个）A商品， 若售价下降x元()，每月能售出个A商品； （2）解：设每个A商品的售价为x元，由题意，得 ， 解得， 当时，（舍去）， 当时，（符合题意）， 答：每个A商品的售价为37元； （3）略 17．（本题满分8分）已知点是菱形边上的一点．请仅用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图，在上求作点，使； (2)如图，连接，求作，使，且点在边上． 【答案】(1)如图所示，点为所求： (2)如图所示，即为所求： 【分析】（1）连接菱形的两条对角线交于点，连接并延长交于点，通过证明，得到． （2）连接和交于点，根据菱形是轴对称图形，连接并延长交于点，通过先后证明，，得到，继而通过证明，得到． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ； （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， 又，， ， ， ， ，即， ，，， ， ． 18．（本题满分9分）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_______，________（用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据点Q速度为和点P速度为即可求解，再由点Q到点C停止，可确定时间t范围为； （2）矩形中，在中，由勾股定理得，代入对应线段表达式与，得到一元二次方程，求解即可； （3）分别在、、中用勾股定理表示、、，分、、三类列方程求解，结合舍去不合理解，即可得解． 【详解】（1）解：∵点Q的速度为，运动时间为， ∴， ∵点P的速度为， ∴， 又∵， ∴， ∵点Q运动到点C时两点同时停止， ∴ 解得， 又∵， ∴t的取值范围为； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 将，，代入其中， 得 解得（舍去），， ∴当时，的长度等于； （3）解：连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中， ， ①当时，则， 解得（舍去）或； ②当时，则， 解得（舍去）或（舍去）， ∴此情况无符合条件的t； ③当时，则， 解得（舍去）或； 综上所述，符合条件的t的值为或． 19．（本题满分12分）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 【答案】(1)；1 (2) (3)3 【分析】（1）根据根与系数关系，，结合一元二次方程直接求解即可得到答案； （2）当时，m、n是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （3）将a、b看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到c的最大值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两根，， ∴，． （2）解：∵，且实数m、n满足，， ∴m、n可看作方程的两根， ∴，， ∴原式； ∴原式的值为． （3）解：∵，， ∴将a、b看作是方程的两实数根， ∵，且，即， 不等式两边同乘得：， ∴，即， ∴c的最大值为3． 20．（本题满分12分）按要求解题： (1)如图1，在正方形中，对角线与相交于点，在线段上任取一点（端点除外），连接，． ①求证：； ②在的延长线上取点，使得，当点运动时，的大小是否发生变化？请说明理由； (2)如图2，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) ①证明：∵四边形是正方形， ∴对角线垂直平分线段， 又∵点在对角线上， ∴． ②的大小不发生变化，始终为．理由如下： 连接， 由①得， ∵， ∴， ∴． ∵正方形中是对称轴， ∴， ∴， ∴ ， 因此点运动时恒为，大小不变． (2)数量关系：．理由如下： ∵菱形中，， ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 过点作于， ∴， ∵， ∴， ∴    ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）①因为正方形对角线互相垂直平分且平分内角，所以可得．②连接，由①得，结合已知，所以，可得；再结合，得，通过角度等量代换，结合正方形角、三角形内角和的性质，推导的度数即可判断是否变化． （2）利用菱形性质得，得，可得，过点作于，得，得，得    ，由，得，由，得，结合，将线段进行转化即可得到、、的数量关系． 【详解】（1）①略． ②略． （2）略． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考自编练习卷 广东省深圳市适用 （本试卷共三大题20小题，满分100分，考试时间90分钟，不能使用计算器.） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 3．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 4．若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 5．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（   ） A．对角线相等 B．对角线垂直 C．邻边垂直 D．邻角互补 6．如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（   ） A． B．5 C．4 D．8 7．如图，某小区有一块长，宽的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为．求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为，则根据题意所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，菱形的顶点A，的坐标分别为，，轴，将菱形平移，使点A与原点重合，则平移后点的对应点的坐标为（   ）． A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 10．如图，在中，点是斜边的中点，，则________． 11．已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为______． 12．如图，在矩形中，，，将矩形折叠，使得点落在线段的点处，则线段的长为_________． 13．如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的倍．连接，分别与对角线交于点，，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则，其中正确结论的序号为 __________． 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 14．（本题满分5分）解方程： (1)； (2)． 15．（本题满分7分）如图，在矩形中，点O为对角线的中点，过点O作交边于点E，交边于点F，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求线段的长． 16．（本题满分8分）某超市以每个30元的价格购进A种商品，销售数据表明：当每个A种商品售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个． (1)若售价下降5元，每月能售出 个A种商品，若售价下降元（），每月能售出 个A种商品； (2)若本月最多购进有1210个A种商品，经销商决定降价促销，预计月获利恰好为8400元，求每个A种商品的售价； (3)经销商月获利能否达到9600元？说明理由． 17．（本题满分8分）已知点是菱形边上的一点．请仅用无刻度直尺完成下列作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图，在上求作点，使； (2)如图，连接，求作，使，且点在边上． 18．（本题满分9分）如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． (1)填空：_______，________（用含t的代数式表示）． (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 19．（本题满分12分）有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作是方程的两实数根．根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，，则_______，_______； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，，求的值； (3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 20．（本题满分12分）按要求解题： (1)如图1，在正方形中，对角线与相交于点，在线段上任取一点（端点除外），连接，． ①求证：； ②在的延长线上取点，使得，当点运动时，的大小是否发生变化？请说明理由； (2)如图2，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究，，的数量关系，并说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $