2026-2027学年人教版九年级数学上学期第一次月考自编练习卷（广东省广州市适用）

**基本信息** 立足九年级上册一元二次方程与二次函数核心内容，以庭院石板路、世界杯足球轨迹等现实情境及“友好方程”创新定义设计问题，实现基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题40分|一元二次方程定义、二次函数图象与性质、方程根的判别式|第10题以“友好方程”新定义考查根与系数关系，培养创新意识| |填空题|6题24分|方程根的应用、二次函数最值、增长率问题|第15题结合广东荔枝产量考查增长率，体现数学与生活联系| |解答题|9题86分|方程解法、函数建模、动态几何探究|第23题以世界杯足球轨迹为情境，用数据表格构建二次函数模型，考查运算能力与模型观念|

2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考自编练习卷 广东省广州市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．下列二次函数的图象中，开口向下，且开口较大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数开口向下，则a＜0，|a|越小开口越大，判断即可. 【详解】根据二次函数开口向下，则a＜0，故A、C错误； 根据|a|越小开口越大，，则开口较大，故选B. 【点睛】本题是对二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）开口方向和大小的考查，a决定函数的开口方向，a＞0时，开口方向向上，a＜0时，开口方向向下，|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小，|a|越小开口就越大． 3．关于函数的图象与性质说法正确的是（   ） A．顶点坐标在第二象限 B．图象关于轴对称 C．当时，随的增大而增大 D．函数值的最小值为2 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键．利用抛物线的顶点式的性质直接判断每个选项即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，在第一象限，对称轴直线为，故选项A、B错误； ∵， ∴抛物线的开口向下，有最大值为，且当时，y随x增大而增大，故选项C正确，选项D错误． 故选：C． 4．抛物线过，，三点，，，大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及二次函数的性质，牢记“当时，抛物线开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大；当时，抛物线开口向下，离对称轴越远的点，函数值越小”是解题的关键．利用二次函数的性质，结合各点到对称轴的距离，即可得出结论． 【详解】解：，， 抛物线的对称轴为直线，开口向下， 离对称轴越远的点，函数值越小． 又， ， ． 故选：C． 5．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据配方法计算即可． 【详解】 故选A． 【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 6．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（  ） A． B．，且 C．，且 D． 【答案】C 【分析】讨论m与0的关系，当m≠0时，得到判别式与系数的关系． 【详解】①m=0时，方程为x=0，不符合已知条件； ②m≠0时,方程有两个不相等的实根等价于△>0， 即, 解得，且； 故选C. 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握判别式与系数的关系． 7．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（   ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移法则是解此题的关键；根据平移法则：左加右减，上加下减，即可出答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线， 故选：． 8．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 9．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，随增大而减小；③；④若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据函数与x轴的交点的个数，以及对称轴，函数的增减性进行判断． 【详解】解：①由图象知，抛物线与x轴有两个交点，则， 故①错误； ②函数的对称轴是，开口向下，所以当时，y随x的增大而减小， 故②正确； ③当时有一根和之间，抛物线对称轴为，在对称轴右侧y随x的增大而减小，另一个根在0与1之间，当时，函数值小于0，则， 故③错误； ④抛物线的顶点为， ∴方程没有实数根时， ∴抛物线顶点在x轴下方 ， 故④正确， 所以正确的选项有②④， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一元二次方程根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 10．定义：已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求．对于这两个结论判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】A 【分析】本题考查了新定义方程，解一元二次方程，根的判别式，把代入方程，求出方程的根，再根据“友好方程”的定义即可判断①；利用因式分解法解方程得或，再分两种情况，根据“友好方程”的定义求出的取值范围，进而可判断②，综上即可求解，理解新定义方程是解题的关键． 【详解】解：①当时，方程为， 解得， ∴， ∵符合，且， ∴该方程是“友好方程”，故①正确； ②， ∴， 解得或， ∵该方程是“友好方程”， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴， 当时，，且， ，且， ∵为整数， 此时的值不存在； 当时，，且， ，且， ∴， 是整数， ∴或，故②正确； 综上，①②都正确， 故选：． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．一元二次方程的一个根为 1，则 ________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入一元二次方程得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程 的一个根为 1， ∴， 解得． 故答案为：． 12．若m、n是方程的两根，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由一元二次方程根与系数的关系即可得出答案． 【详解】解：∵m、n是方程的两根， ∴， 故答案为：． 13．如果抛物线有最低点，那么的取值范围为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，函数在取得最小值；当时，函数在取得最大值． 根据抛物线有最低点计算即可． 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，已知铅球落地时的水平距离为．则铅球出手时离地面的高度是______________________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据铅球落地时的水平距离为，可得点的坐标是，把点的坐标代入，求出，可得抛物线的解析式是，当时，对应的函数值就是高度． 【详解】解：铅球落地时的水平距离为， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式是， 当时，可得：， 铅球出手时离地面的高度是． 故答案为：． 15．广东茂名是中国荔枝主产区，占全国产量的35%．根据果农记录，2023年荔枝树平均每株产量为16千克，2025年平均每株产量达到25千克，每年的增长率基本相同．若设年平均增长率为x，依题意列方程得______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题，熟练掌握是解题的关键，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率，n为增长次数． 根据增长率为x，2023年荔枝树平均每株产量，写出2024年荔枝树平均每株产量表达式，2025年荔枝树平均每株产量表达式，由2025年平均每株产量达到25千克，列出方程即可． 【详解】解：2023年荔枝树平均每株产量为16千克，每年的增长率基本相同． 设年平均增长率为x， 则2024年平均每株产量． 2025年平均每株产量． ∵2025年平均每株产量达到25千克， ∴列方程． 故答案为：． 16．如图，抛物线y＝x2＋x＋3的顶点为P，与y轴交于点A，若向右平移4个单位，向下平移4个单位，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________． 【答案】12 【分析】根据题意求得A，P的坐标，再根据平移的性质得到四边形A PP′A′为平行四边形，以及A′，P的坐标，然后求得AD，PP′的长，再求出面积即可. 【详解】如图，连接AP，AP′，过点A作AD⊥PP′于D点， 由题意可得，四边形APP′A′为平行四边形， 将x=0代入函数得y=3， ∴点A的坐标为（0，3）， 又∵抛物线y＝x2＋x＋3=(x2+4x+4)+2=(x+2)2+2， ∴顶点P的坐标为（﹣2，2）， ∵将抛物线向右平移4个单位，向下平移4个单位， ∴点A′(4，﹣1)，点P′（2，﹣2）， ∴PP′==4，A0=3，∠AOP＝45°， ∴△AOD为等腰直角三角形， ∴AD=OD， 在Rt△AOD中，AD2+OD2=9，即2AD2=9， ∴AD=， 则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为4×=12. 故答案为12. 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无实数根 (2) 【详解】（1）解： ， ， 故原方程无实数根； （2）解： ， ， ， 或， 解得． 18．（6分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，若m取最大正整数值，设是该方程的两根，求的值． 【答案】(1)的取值范围是且； (2)所求代数式的值为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可求解； （2）根据（1）中m的取值范围确定m的值，代入一元二次方程，利用根与系数的关系得到、的值，对算式变形后代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 解得：， 又∵， ∴， ∴m的取值范围为：且； （2）解：∵， ∴m的最大正整数值为2， 当时，一元二次方程为， ∴，， ∴原式 ． 19．（8分）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： x … 0 1 4 … y … 5 0 5 … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象： (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是______（填序号）； ①；②；③当时，y有最小值为；④当时，y的值随x值的增大而增大． (3)若将该二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，求平移后的函数表达式． 【答案】(1)图像如下图所示． (2)①②③ (3)（或） 【分析】（1）将表中各点在给定的平面直角坐标系中描出后连接即可． （2）根据函数图象分析即可． （3）先求出原抛物线的顶点式，然后按照二次函数顶点式的平移法则“左加右减，上加下减”，求出平移后的抛物线表达式即可． 【详解】（1）略 （2）解：由函数图象可知，抛物线开口向上，，故①正确； 函数抛物线与轴有两个交点，，故②正确； 由函数图象可知，当时，有最小值为，③正确； 由函数图象可知，当时，的值随的值增大而增大，④错误， 正确的有①②③． （3）解：由函数图像可知，二次函数顶点坐标为， 将代入二次函数顶点式， 其中，， 得二次函数顶点式为； 将代入，得， 解得， 二次函数顶点式为， 二次函数向左平移3个单位长度后的顶点式为， ； 再向下平移6个单位长度后的顶点式为， 即； 整理后得， 故平移后的函数表达式为（或）． 20．（8分）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)9元 (3)该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元 【分析】（1）利用待定系数法，根据图象上的两点坐标和列出方程组求解； （2）根据“总利润单件利润销售量”建立一元二次方程，解方程后根据“让顾客得到更大的实惠”这一条件筛选合适的解； （3）建立总利润关于降价x的二次函数关系式，利用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标，从而得出最大值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 所以与之间的函数关系式为； （2）根据题意得：， 解得或， 为了让顾客得到更大的实惠，所以， 因此，这种干果每千克应降价9元； （3）设利润为元， 根据题意得， 配方得， 抛物线开口向下，当时，w取得最大值2250． 故该干果每千克降价5元时，商贸公司获利最大，最大利润是2250元． 21．（8分）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)，，， (2)，， 【分析】（1）仿照材料的方法，设，则原方程可化为，进而解方程即可求解； （2）仿照材料的方法，设，则原方程可化为，进而解方程即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 原方程的解为，，，； （2）解：原方程为， 即， 设，则原方程化为， ， 或， 或， 或， 对于，即， ， ， 对于，即， ， ， 原方程的解为，，． 22．（10分）如图，抛物线y=x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴； （3）若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标． 【答案】（1）（2）顶点为（1，－1）；对称轴为：直线x=1（3）（3，3）或（－1，3） 【分析】（1）直接把（0，0），（2，0）代入y=x2＋bx＋c中，列方程组求b、c的值即可． （2）将二次函数解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴． （3）设点B的坐标为（a，b），根据三角形的面积公式 求b的值，再将纵坐标b代入抛物线解析式求a的值，确定B点坐标． 【详解】解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2＋bx＋c得 ，解得 ． ∴此抛物线的解析式为． （2）∵ ∴顶点为（1，－1）；对称轴为：直线x=1． （3）设点B的坐标为（a，b），则 由解得b=3或b=－3． ∵顶点纵坐标为－1，－3＜－1， ∴b=－3舍去． ∴由x2－2x=3解得x1=3，x2=－1 ∴点B的坐标为（3，3）或（－1，3）． 23．（12分）美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 通过系统监测，足球飞行的水平速度为．离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如表．守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … … … … (1)求与的函数表达式； (2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由； (3)若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 【答案】(1) (2)不成功，理由如下： 已知，， 则， 对于，当， 解得， 守门员的最大防守高度为，， 故守门员不能防守成功． (3) 【分析】（1）利用表格中的对称点找到抛物线顶点，然后设顶点式求二次函数； （2）算出守门员在原地对应的水平距离，代入函数求值，和守门员的最大防守高度对比进行判断； （3）算出球的高度等于最大防守高度时的水平距离，求出足球的飞行时间，再根据守门员后退的最小距离算出守门员后退的最小速度． 【详解】（1）解：据图表可知，当和时，， 则抛物线的对称轴为，抛物线顶点为， 则抛物线的解析式为， 将代入，可得， 故抛物线的解析式为； （2）略； （3）解：根据题意可知，当守门员刚好接到球时，球的离地高度为， 对于，当， 解得或， 由（1）知抛物线对称轴为，则舍去，此时，即足球的飞行距离为， 已知足球飞行的水平速度为， 则足球的飞行时间为， 守门员最少需要后退， 故守门员的最小后退速度为． 24．（14分）已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的面积最大值为，此时点M的坐标为 (3)存在，符合条件的点P的坐标为：，，，， 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）作轴于点H，交线段于点D，先求直线的解析式，设点M的坐标为，用含q的式子表示出，进而用含q的式子表示出，利用二次函数的最值求解； （3）以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况：当以为对角线时，则；当以为对角线时，则；当以为对角线时，则，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图，作轴于点H，交线段于点D， 将代入，得， ， 设直线的解析式为，将，代入， 得：， 解得， 直线的解析式为； 设点M的坐标为，则点D的坐标为， ， ， 二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时， 综上可知，的面积最大值为，此时点M的坐标为； （3）解：抛物线的对称轴为：直线， 设，，，， ，，， 以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形时，分三种情况： 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ，； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ； 当以为对角线时，则，如图： ， 解得， ， ， 综上可得，符合条件的点P的坐标为：，，，， ． 25．（14分）如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，，直线经过，两点． (1)求该二次函数的解析式； (2)已知为线段上一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点．当时，求点的横坐标； (3)如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，直接写出当直线与这个新图象分别有2个或3个公共点时，的取值范围或的值． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)点P的横坐标为或 (3)当直线与这个新图象有2个公共点时：或；有3个公共点时：或 【分析】（1）由、得，再用待定系数法可得二次函数的解析式； （2）根据题意得直线l的表达式，进而表示出，，根据两点之间距离公式得到，再求出，由，列绝对值方程求解即可得到答案； （3）根据题意，得到翻折变换后的函数表达式，由题意作出图象，得到当直线经过点A或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点；当直线经过点B时，直线与新图象恰好有一个交点，分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 将，代入， 得：， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：设直线l：，直线经过，两点， 将，代入， 得：，解得， 直线l的表达式为， 如图所示， 点P为线段上一点，设其横坐标为t，则， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 或， 则或， 解得或或或， ， 点P的横坐标为或； （3）解：在中， 令得， 解得或， ，， ， 抛物线的顶点为， 将抛物线的图象在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方， 则翻折上来的部分抛物线顶点为， 翻折上来的部分抛物线解析式为， 直线向上平移n个单位长度得到直线：， 如图所示， 当直线经过点A或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点； 当直线经过点B时，直线与新图象恰好有一个交点， ①当直线经过点时，把代入： 得：，解得， 即当时，直线与这个新图象有3个公共点； ②当直线：与相切时， 只有一组公共解，即方程的判别式为0， ，解得， 即当时，直线与这个新图象有3个公共点； ③当直线经过点时，把代入： 得：，解得， 即当时，直线与这个新图象有1个公共点； ④如图所示，当时，直线与这个新图象有4个公共点； ⑤如图所示，当时，直线与这个新图象有2个公共点； ⑥如图所示，当时，直线与这个新图象有2个公共点； ⑦如图所示，当时，直线与这个新图象没有公共点； 综上所述，当直线与这个新图象有2个公共点时：或；有3个公共点时：或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期第一次月考自编练习卷 广东省广州市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次函数的图象中，开口向下，且开口较大的是（    ） A． B． C． D． 3．关于函数的图象与性质说法正确的是（   ） A．顶点坐标在第二象限 B．图象关于轴对称 C．当时，随的增大而增大 D．函数值的最小值为2 4．抛物线过，，三点，，，大小关系是（ ） A． B． C． D． 5．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（  ） A． B．，且 C．，且 D． 7．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（   ） A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 8．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 9．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，随增大而减小；③；④若方程没有实数根，则．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．定义：已知是关于的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“友好方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“友好方程”．关于的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“友好方程”；②若该方程是“友好方程”，则有且仅有个整数满足要求．对于这两个结论判断正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．一元二次方程的一个根为 1，则 ________． 12．若m、n是方程的两根，则__________． 13．如果抛物线有最低点，那么的取值范围为_____． 14．如图，一名同学推铅球，铅球出手后行进过程中离地面的高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系，已知铅球落地时的水平距离为．则铅球出手时离地面的高度是______________________． 15．广东茂名是中国荔枝主产区，占全国产量的35%．根据果农记录，2023年荔枝树平均每株产量为16千克，2025年平均每株产量达到25千克，每年的增长率基本相同．若设年平均增长率为x，依题意列方程得______． 16．如图，抛物线y＝x2＋x＋3的顶点为P，与y轴交于点A，若向右平移4个单位，向下平移4个单位，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为__________． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 18．（6分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求m的取值范围； (2)在（1）的条件下，若m取最大正整数值，设是该方程的两根，求的值． 19．（8分）已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： x … 0 1 4 … y … 5 0 5 … (1)在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象： (2)下列关于该二次函数的说法中，正确的是______（填序号）； ①；②；③当时，y有最小值为；④当时，y的值随x值的增大而增大． (3)若将该二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，求平移后的函数表达式． 20．（8分）某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)商贸公司要想获利2090元，同时让顾客得到更大的实惠，则这种干果每千克应降价多少元？ (3)该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？ 21．（8分）阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程化为， 解得，． 或． ，． 以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解下列方程： (1) (2)． 22．（10分）如图，抛物线y=x2＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）写出顶点坐标及对称轴； （3）若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标． 23．（12分）美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 通过系统监测，足球飞行的水平速度为．离地高度与水平距离（水平距离水平速度时间）的数据如表．守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … … … … (1)求与的函数表达式； (2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由； (3)若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 24．（14分）已知，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点M是直线上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），连接，，求的面积最大值以及此时点M的坐标． (3)如图2，若动点P在抛物线的对称轴上，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（14分）如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，，直线经过，两点． (1)求该二次函数的解析式； (2)已知为线段上一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点．当时，求点的横坐标； (3)如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，直接写出当直线与这个新图象分别有2个或3个公共点时，的取值范围或的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $