2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考模拟拔尖卷（广东省广州市专用）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数，融合校园足球、商品销售等生活情境，创新设计“差根方程”新定义题型，梯度覆盖基础概念与综合应用，适配九年级月考拔尖训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|方程定义、抛物线顶点与平移、单循环赛制应用|第6题以校园足球赛为背景考查方程应用，体现模型意识| |填空题|6/18|根的判别式、韦达定理、矩形对角线计算|第13题结合矩形边长与方程根，考查几何直观与运算能力| |解答题|8/72|方程解法、函数表达式、利润问题、新定义“差根方程”|22题童装销售利润、24题“差根方程”创新应用，培养推理能力与应用意识|

2026年9月份第一次月考模拟拔尖卷人教版2026—2027学年九年级数学上册 （广东省广州市专用） 测试范围：第25章、第26章 (考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（　　） A． B． C． D．或 3．抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 4．将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 6．足球运动能锻炼学生的心肺功能、身体协调性、爆发力和耐力，促进骨骼与肌肉的发育，改善体态和运动能力．在某中学举办的“青春杯”校园足球赛中，采用单循环赛制（参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），共比赛28场，则参加比赛的球队数量是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．根据下列表格，判断一元二次方程（，、为常数）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 9．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 10．如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（    ） A． B． C D． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 12．已知 ，是一元二次方程的两个根，则______． 13．已知矩形的两条边长分别是一元二次方程的两个根，则该矩形的对角线长为__________． 14．抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 15．已知抛物线，当时，的最大值与最小值的差为3，则的值为___________． 16．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为______． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4)． 18．如图平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点O和点、点，，与抛物线交于点C．连接，． (1)直接写出的长度为________． (2)求的长度． (3)求这个二次函数的表达式． 19．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 20．二次函数的图象经过，两点． (1)求二次函数的表达式． (2)将二次函数的图象沿 轴方向平移，平移距离为个单位长度，当时，新函数的最大值是8，求n的值． 21．已知关于x的一元二次方程 ． (1)求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根为p和q，且满足，求m的值． 22．大鹏童装店销售某款童装每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖出10件，已知该款童装每件成本30元，设该款童装每件售价元每星期销售量为件． (1)求与之间的函数关系式； (2)若商店按每件售价不超过45元来销售，当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该童装多少件？ 23．石桥酥梨，又称皮薄酥、喉管梨、红珊瑚梨等，是河南水果的一大特色，并有多个品种对外销售，深受国内外消费者的喜爱．某大型超市购进该种品牌的酥梨若干，正常售价为每千克5.5元，若按照九折销售，仍能获得的利润． (1)求该品牌酥梨的进价． (2)若购进该品牌酥梨不超过200千克，则按原进价购进；若超过200千克，则超过部分购进价格减少0.5元/千克．写出购进该品牌酥梨的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式． (3)根据市场调查，超市一天购进酥梨的数量不超过300千克，且购进的酥梨当天能全部销售完．据统计，销售单价a（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为．在（2）的条件下，要使超市销售酥梨的利润w（元）最大，求一天购进酥梨的数量． 24．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，若满足，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，斜边的长为，若的两边、的长是一个二次项系数为1的“差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 25．如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A C A B B A C B 11． 12． 13． 14． 15．或 16． 17．【详解】（1）解：∵， 则， ∴， ∴， 故， ∴； （2）解：， ， ∴此方程无实数根． （3）解：， ， ∴， 则， 解得； （4）解：， ， ∴， 整理得， 解得． 18．【详解】（1）解：∵抛物线过， ∴抛物线的对称轴为直线， 又，且，点与点关于对称， ∴， ∴； 故答案为：3； （2） 过点向轴作垂线，垂足为， 因为，， 所以， 所以． （3）二次函数的图象经过原点O和点、点， 设二次函数的方程为， 因为过， 所以，解得， 所以． 19．【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 20．【详解】（1）解：代入，得： ， 解得：， 故表达式为． （2）解：∵， ∴原函数顶点为 ， 当向左平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， ∵， ∴， ∵新函数图象开口向上， ∴时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）； ∴； 当向右平移时，则新函数解析式为，此时对称轴为直线， 而， 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：，两个值均不符合题意，舍去； 当，即时，，且新函数图象开口向上， 即时新函数的函数值大于时新函数的函数值， ∴当时，函数取得最大值8， 即， 解得：（舍去）， 综上，满足题意的n的值为或． 21．(1)证明：∵， ∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由根与系数的关系，得， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴的值为：或． 22．【详解】（1）； （2）设每星期利润为元， ， 当时，随的增大而增大， 时，最大值， 当每件售价为45元时，每星期的销售利润最大，最大利润3750元； （3）①由题意：， 解得：或47， 当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润． ②由题意：， 解得：， ． ， 每星期至少要销售该款童装170件． 23．【详解】（1）解：设该品牌酥梨的进价为x元/千克． 由题意，得， 解得． 答：该品牌酥梨的进价为4.5元/千克． （2）解：当时，； 当时，． ∴． （3）解：当时， ． ∵， ∴当时，有最大值为100； 若时，． ∵． ∴当时，有最大值为125． ∵， ∴当一天购进酥梨的数量为300千克时，超市销售酥梨的利润最大． 答：要使超市销售酥梨的利润最大，一天购进酥梨的数量为300千克． 24．【详解】（1）解：① 解得：或， ， 是“差根方程”； ② 解得：，， ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得：， 解得：，， 方程是“差根方程”， ， ， 或， 解得：或； （3）解： 设、， 是直角三角形，斜边的长为， ， ， 、是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 所求差根方程为． 25．【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $