精品解析：广西河池市部分学校2026-2027学年高三上学期9月自主检测数学试题

高三自主检测练习 数学 注意事项 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，只需要提交答题卡. 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 样本数据2，16，14，8，20的中位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 14 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】先将数据按照从小到大顺序排列，再根据中位数定义计算即得. 【详解】将这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，8，14，16，20， 故其中位数为排序后第个数据：14. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的交集运算可得选项. 【详解】因为指数函数在上单调递增，且，， 所以由可得，即集合， 又， 因此. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】将不等式移项通分：， 两边同乘，不等号方向改变：，等价于，且， 解得或. 所以原不等式的解集为或. 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用正弦定理求角的正弦值，结合为钝角确定角的大小，再由三角形内角和定理求出角. 【详解】在中，根据正弦定理：， 将，，代入得： ， 得： ， 因为为钝角， 因此， 由三角形内角和定理得：. 6. 已知抛物线的焦点为F，P是C上一点，过点P作C的准线l的垂线，垂足为Q．若为等腰直角三角形，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由抛物线的定义，可知，所以必然是以P为顶点的等腰直角三角形． 由题可知，则，所以． 设l与x轴的交点为E．因为轴，所以， 则四边形PQEF为正方形，所以． 7. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 2729 B. 2730 C. 2731 D. 2732 【答案】B 【解析】 【详解】由等差数列的性质：仍成等差数列； 计算得：， 由等差中项性质：， 代入数值：，即， 解得：. 8. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 所以， 则， 因为，所以， 所以， 又因为，所以. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等比数列的前项和，公比为，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用等比数列的通项公式和前项和公式，结合已知条件求出首项和公比，再逐项验证各选项即可 【详解】选项A：由等比数列通项得，即， 前3项和，整理得，解得或， 因为，所以，，A选项正确； 对于B，，故B选项错误； 对于C，，故C选项错误； 对于D，，， 所以，故D选项正确. 10. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极小值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据代入求解判定；对于B，根据偶函数性质求解即可；对于C，先解时，，再结合偶函数对称性求解的部分即可判定；对于D，先求得是时的极小值点，再结合对称性判断求解即可. 【详解】选项A：因为是定义在上的偶函数，故， 代入的解析式得，因此，A正确； 选项B：当时，，代入得， 由偶函数性质得，B正确； 选项C：当时，等价于， 因为恒成立，故即； 由偶函数对称性，时等价于， 因此时，或，C错误； 选项D：时求导得， 故，当时，单调递减，时，单调递增， 故是时的极小值点；由偶函数图象关于轴对称，可得是的极小值点，D正确 11. 函数定义域为，若存在，使曲线在，处有相同切线，则称具有性质．下列结论正确的是（ ） A. “在定义域上不单调”是“具有性质”的充分条件 B. 具有性质 C. 具有性质 D. ，不具有性质 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数来求切线斜率，利用点斜式来写函数在某点处的切线方程，再由不同的两点处切线相同，则斜率相等和截距相等，从而得到等式关系，再来分析解的情况，即可得到选项的判断． 【详解】对于A，设，求导得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 任给满足的， 曲线在点和处的切线方程分别是 ，， 而，所以两斜率相等的切线不重合， 所以“在定义域上不单调”不是“具有性质”的充分条件，故A错误； 对于B，，当和时，均有， 又当和时，均有， 所以曲线在点与处的切线方程均为， 则具有性质，故B正确； 对于C，，若具有性质，则存在， 使得，即， 解得（，且）， 曲线在点和处的切线方程分别是 ，， 由两切线重合可知①， 当（，且）时，①式即， 所以不妨取，即可，此时切线方程为，即具有性质，故C正确； 对于D，，设的图象在点处的切线重合， 则， 由前两个式子可得， 所以，即②， 同理③， ，并化简得④， ，得， 结合④，得⑤， 下面证明对数平均不等式， 只需证，即， 令，，即证， 令，，则， 可知函数在上单调递减，则， 所以，即成立， 因此由对数平均不等式可得， 同理，两式相乘，可得， 与⑤式矛盾，故不具有性质，故D正确． 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，若，则_________. 【答案】 【解析】 【详解】，， 因为， 所以， 得， 整理得，解得. 13. 若是函数的极值点，则_________ 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为，. ∵ 是的极值点, ∴ , 即 ,解得 . 验证: 当时, , . 当时, , 单调递增; 当时, , 单调递减; 当时, , 单调递增, 故是的极小值点, 符合题意. 14. 透明塑料制成的长方体容器，固定棱在水平地面上，将容器绕倾斜，容器内水量恒定，水的体积.随着倾斜度的不同，下列命题正确的是： （1）有水部分始终为棱柱； （2）无水部分存在倾斜状态不是棱柱； （3）水面所在四边形的面积为定值； （4）始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，的最小值为8. 正确序号：_________. 【答案】（1）（4）（5） 【解析】 【分析】（1）绕BC旋转，水的体积，BC=6，垂直于BC的截面面积恒等于8，有水部分截面沿BC平移，永远是棱柱；（2）容器被水面平面切成两部分，无水部分侧棱也平行于BC，一定是棱柱，故命题 (2) 错误；（3）水面是平行四边形，一边长固定为6，邻边长度随倾斜角度改变，面积不是定值，命题 (3) 错；（4），水面内，推出，得到线面平行，命题 (4) 成立；（5）图 3 截面为直角三角形，面积 ，用基本不等式求得最小值为8，等号可取. 【详解】已知长方体中，，，，水的体积，由于容器绕 倾斜，沿 方向（长度为 6）的截面处处相同，水的体积可表示为 垂直于的截面面积 × 长度，因此截面面积. （1）棱柱的定义是：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且相邻四边形的公共边互相平行.容器绕 倾斜时，垂直于 的所有截面（如平面 、 内的有水图形）形状大小完全一致，且侧棱均平行于，符合棱柱的定义（截面为三角形时是三棱柱，为梯形时是四棱柱），因此（1）正确； （2）整个容器本身是四棱柱，被水面（平面）截为两部分，两部分的侧棱均平行于，截面均为全等的多边形，因此无水部分也始终是棱柱（五棱柱或四棱柱），因此（2）错误; （3）水面四边形中， 且 ，但另一边 的长度随倾斜角度变化： 正放时（无倾斜），，水面面积为 ； 倾斜后，截面为直角三角形时，，水面面积为 ，随角度 变化，因此水面面积不是定值，（3）错误； （4）长方体中 ，而水面内的边 ，故 ，又 水面平面， 水面平面，由线面平行判定定理可知， 始终与水面平面平行，因此（4）正确； （5）图 3 中，有水部分的截面为直角三角形 （，因 ），其面积为 8，故 ，由基本不等式 ，当且仅当 时取等号，此时 （即 与 重合），（ 在棱 上），满足几何约束，因此最小值可取到 8，故（5）正确. 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，且. （1）求； （2）设函数，求的值域和单调区间. 【答案】（1） （2） 的值域为；单调递增区间为，单调递减区间为. 【解析】 【小问1详解】 ∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ . 【小问2详解】 由（1）得， ∴ . ∵ ，∴ ，即的值域为. 令，解得， 即的单调递增区间为. 令，解得， 即的单调递减区间为. 16. 已知椭圆，且焦点在轴上，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长. 【答案】（1）. （2）直线的方程为，弦长. 【解析】 【分析】（1）由题意根据椭圆离心率求得，进而计算可求椭圆的方程； （2）由题意结合弦长公式、点到直线的距离公式可得三角形面积，进而建立等式计算求解即可. 【小问1详解】 已知椭圆焦点在轴上，故，即. 由离心率，得，， 因此椭圆方程为； 【小问2详解】 设过的直线方程为，设，. 联立直线与椭圆方程得：， 消去整理得， 由判别式 ，得. 由韦达定理得，. 原点到直线的距离， 弦长. 三角形面积， 令，，则 ， 代入化简可得，整理得 ， 解得，即，得，即，满足， 当，即时，直线的方程为，. 当直线斜率不存在时，直线过，此时三点共线，不符合题意，舍去. 17. 如图1，是半径为2的圆的直径，点在圆上，且.如图2将圆沿翻折，为线段上的一点，连接. （1）若为中点，证明：； （2）若平面平面，求直线与面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明：取BC的中点F，连接EF,OF. ∵E,O分别为DB,AC的中点， ∴EF∥DC，OF∥AB. 又∵AC是圆O的直径，∴AB⊥BC,∴OF⊥BC. EF∥DC, 又平面, 平面. 平面, . （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面平面，平面平面， ，故， 又为的中点，所以， 又平面，所以平面， 故以为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. . 则， . 设平面的法向量为， 则 令，则，. 设直线与平面所成的角为， 则. 18. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，函数与关于直线对称，证明：当时，. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，，由对称性得， 令， ， 函数在上为减函数，故当时， 当时，，所以， 所以在上单调递增，， 所以当时，，即. 【解析】 【分析】（1）使用导数的几何意义求解切线方程； （2）求出函数的导函数，对进行分类讨论，利用导函数的正负判断函数的单调性； （3）利用对称性求出函数的解析式，令，使用导数分析函数的单调性即可证明. 【小问1详解】 ，，， 所以函数在处的切线方程为：. 【小问2详解】 ， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得，令，得， 在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 略. 19. 北海是一座沿海城市，拥有银滩、涠洲岛等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩．为了合理配置旅游资源，文旅部门对来银滩游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览银滩，另外的人选择既游览银滩又到涠洲岛游玩．每位游客若选择只游览银滩，则记1分；若选择既游览银滩又到涠洲岛游玩，则记2分．假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，频率视为概率． （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由． 【答案】（1） 2 3 4 （2） （3）是，常数为 【解析】 【分析】（1）根据题意得到变量的可能取值为，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望； （2）由这人的合计得分为分，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）要得到总分为，有前面总分是，再来1个得1分的游客和前面总分是，再来1个得2分的游客两种情况，因此可得，再结合数列的递推关系求得数列的通项公式即可得到答案． 【小问1详解】 依题意，随机变量的可能取值为， 则，， 所以的分布列如下表所示： 2 3 4 数学期望为． 【小问2详解】 由这人的合计得分为分，得其中只有1人既游览银滩又到涠洲岛游玩， 于是，令数列的前项和为， 则， 于是， 两式相减得 ， 因此， 所以． 【小问3详解】 要得到总分为，有两种情况： 前面总分是，再来1个得1分的游客，概率为， 前面总分是，再来1个得2分的游客，概率为， 因此，即， 又，， 故，即， 因此可得， 由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列， 故，因此， 随着的无限增大，无限趋近于0，无限趋近于， 所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三自主检测练习 数学 注意事项 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，只需要提交答题卡. 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 样本数据2，16，14，8，20的中位数为（ ） A. 8 B. 9 C. 14 D. 18 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为F，P是C上一点，过点P作C的准线l的垂线，垂足为Q．若为等腰直角三角形，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 记为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 2729 B. 2730 C. 2731 D. 2732 8. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等比数列的前项和，公比为，且，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极小值点 11. 函数定义域为，若存在，使曲线在，处有相同切线，则称具有性质．下列结论正确的是（ ） A. “在定义域上不单调”是“具有性质”的充分条件 B. 具有性质 C. 具有性质 D. ，不具有性质 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知平面向量，若，则_________. 13. 若是函数的极值点，则_________ 14. 透明塑料制成的长方体容器，固定棱在水平地面上，将容器绕倾斜，容器内水量恒定，水的体积.随着倾斜度的不同，下列命题正确的是： （1）有水部分始终为棱柱； （2）无水部分存在倾斜状态不是棱柱； （3）水面所在四边形的面积为定值； （4）始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，的最小值为8. 正确序号：_________. 四、解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数，且. （1）求； （2）设函数，求的值域和单调区间. 16. 已知椭圆，且焦点在轴上，离心率. （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求直线的方程及弦长. 17. 如图1，是半径为2的圆的直径，点在圆上，且.如图2将圆沿翻折，为线段上的一点，连接. （1）若为中点，证明：； （2）若平面平面，求直线与面所成的角的正弦值. 18. 已知函数. （1）求函数在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，函数与关于直线对称，证明：当时，. 19. 北海是一座沿海城市，拥有银滩、涠洲岛等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩．为了合理配置旅游资源，文旅部门对来银滩游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人选择只游览银滩，另外的人选择既游览银滩又到涠洲岛游玩．每位游客若选择只游览银滩，则记1分；若选择既游览银滩又到涠洲岛游玩，则记2分．假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，频率视为概率． （1）从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为，求的分布列和数学期望； （2）从游客中随机抽取个人，记这个人的合计得分恰为分的概率为，求； （3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为分概率为，随着抽取人数的无限增加，是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $