2026-2027学年人教版数学九年级上册第一轮月考模拟卷（1）

**基本信息** 聚焦一元二次方程与二次函数，通过庭院石板路、玩具厂利润等真实情境，融合基础运算、动态探究与创新定义（如倍根方程），实现知识巩固与思维提升的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|一元二次方程定义、二次函数图像与性质|结合庭院平面图（第4题）考查方程应用，体现几何直观| |填空题|6/18|根与系数关系、新定义“倍根方程”|以“倍根方程”（第15题）创设创新情境，培养抽象能力| |解答题|9/72|方程解法、二次函数综合、对称多项式探究|通过玩具厂利润（第20题）构建模型，以“对称多项式”（第24题）发展推理意识与创新意识|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2026-2027学年人教版初中数学 九年级 (上) 第一轮月考模拟卷（1） （考试范围第25-26章） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）   1.若方程是关于的一元二次方程，则的值为（        ） A. B. C. D. 2.在同一平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）和一次函数的图像大致是（     ） A. B. C. D.  3.把方程转化成的形式，则，的值是（       ） A.， B.， C.， D.，  4.如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（        ） A. B. C. D.  5.已知点，在抛物线上，且当时，，则不等式的解集是（        ） A. B.或 C.或 D.或  6.定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（       ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定  7.已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（        ） A. B. C. D.当或时，  8.如果关于x的一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0，则m的取值范围是（     ） A. B.且 C.且 D. 9.如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（   ） A. B. C. D.  10.二次函数的图象如图所示．下列结论： ① ② ③ ④ ⑤若，，，则． 其中正确结论的个数有（        ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）  11.请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是________．  12.二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是________．  13.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．  14.如图，关于 的二次函数的图像为抛物线 ，直线与抛物线 交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则________．  15.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若是倍根方程，则m的值为________； （2）若方程是倍根方程，且，则该方程较大的根为________．  16.如图，直线（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点、，抛物线与y轴交于点C，点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线上移动，的最小值是________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ） 17.(6分) 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） 18.(6分) 已知是方程的一个根． （1）求p的值； （2）求方程另一个根．  19.(6分) 如图，函数的图象经过点，，． （1）求，的值，并直接写出顶点坐标； （2）在图2中画出这个函数的图象；（不必列表） （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 20.(8分) 某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． （1）当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ （2）当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 21.(8分) 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． （1）求二次函数的表达式． （2）求的面积．   22.(8分) 已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若方程的一个根，求m的值及方程的另一个根； （3）若满足，求m的值． 23.(8分) 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． （1）求b的值，并用含a的式子表示c； （2）已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围．  24.(10分) 小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为；当，即或时，的值均为． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于_______对称；若关于的多项式关于对称，则_______； （2）关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为，求关于的方程：的根． （3）关于的多项式关于对称，且此多项式可取得最小值，且关于的方程：只有一根大于，求的取值范围． 25.(12分) 已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，过点作轴，交抛物线于另一点，求点到直线的距离． （3）如图2，是轴正半轴一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版初中数学 九年级 (上) 第一轮月考模拟卷（1） （考试范围第25-26章） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________   一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.若方程是关于的一元二次方程，则的值为（        ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 根据一元二次方程的定义可知，，且m-3≠0，可求出m的取值。 【解答】 解：方程是关于x的一元二次方程， ，且m-3≠0，即m≠3， 或m-1=-2， 解得m=-1或m=3（不符题意，舍去）， . 故选B. 2.在同一平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）和一次函数的图像大致是（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题主要考查二次函数及一次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数及一次函数的图像与性质是解题的关键；因此此题可分当k＞0和k＜0两种情况进行分类讨论，则问题可求解. 【解答】 解：当k＞0时，则二次函数y=kx2开口向上，一次函数y=kx-2图像经过第一、三、四象限，故排除B、D； 当k＜0时，则二次函数y=kx2开口向下，一次函数y=kx-2图像经过第二、三、四象限，故排除A；C选项符合题意； 故选C.  3.把方程转化成的形式，则，的值是（       ） A.， B.， C.， D.， 【答案】 D 【解析】 本题主要考查了用配方法解一元二次方程，通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，比较系数得出和的值． 【解答】 解： ， 移项得：， 配方：方程两边同时加 ， ， 即 ， 与 比较，得 , ． 故选：  4.如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（        ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可. 【解答】 解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， 水池的占地面积为， 故选D.  5.已知点，在抛物线上，且当时，，则不等式的解集是（        ） A. B.或 C.或 D.或 【答案】 C 【解析】 先根据抛物线的增减性判断a的符号，再对不等式因式分解，分情况讨论求出不等式解集. 【解答】 解： 抛物线 ， 对称轴为直线 ， 当 时， ， 当 时， 随x增大而减小， 抛物线开口向下， ， 或 解得 或 . 故选C. 6.定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（       ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 【答案】 A 【解析】 根据新定义将方程整理为标准一元二次方程，通过判别式即可判断根的情况. 【解答】 解：根据新定义可知x2=x2+x·2+1=x2+2x+1， ∴ 方程x2=0整理为x2+2x+1=0， ∴ Δ=2²-4×1×1=4-4=0， ∴ 方程有两个相等的实数根． 故选A. 7.已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（        ） A. B. C. D.当或时， 【答案】 D 【解析】 根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可. 【解答】 解： 抛物线的开口向上， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， 抛物线的对称轴 ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴 对称， 关于 的对称点为(1,0), 将(1,0)代入抛物线 ，得 ，即 ，选项C错误； 由图象可知，当 或 时， ，选项D正确. 故选D.  8.如果关于x的一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0，则m的取值范围是（     ） A. B.且 C.且 D. 【答案】 D 【解析】 本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，可得 且 ，再解出方程可得 ，然后分两种情况解答即可. 【解答】 解： 一元二次方程 的两根中恰有一个根大于 而小于0， 且 ， 且 ， ， 解得： 当 时， ，则 不满足一个根大于 而小于0，不符合题意； 当 时， ， 解得： ； 综上所述， 的取值范围是 . 故选：D 9.如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（   ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为 ，结合已知根在0.5与1之间，可推知另一根在 与 之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近 ． 【解答】 解：设方程 的两个根为 ，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知 ， 已知 在0.5与1之间， ， 当 在0.5和1之间时， 另一根 在 与 之间， 取 ， ， 当 时，， 在 与 之间， 到 的距离 ， 到 的距离 ， 到 的距离小于 到 的距离， 与另一根更接近的是 ． 故选B. 10.二次函数的图象如图所示．下列结论： ① ② ③ ④ ⑤若，，，则． 其中正确结论的个数有（        ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】 C 【解析】 根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴的交点可判断a，b，c的符号，即可判断①；根据抛物线与x轴交点的位置即可判断②，根据抛物线的对称轴即可判断③，根据①②④⑤$。 【解答】 解：抛物线的开口向下，对称轴为x=1，与y轴交于正半轴， ，故①正确. 抛物线与x轴的一个交点的横坐标小于3，又对称轴为直线x=1 抛物线与x轴的另一个交点的横坐标大于-1， 当x<1时，y随x的增大而增大， 当x=-1时，y<0，即a-b+c<0，故②正确. ，故③正确; 当x=1时，y=a+b+c>0， 又a-b+c<0， ，故④错误. 抛物线开口向下， 抛物线上离对称轴越近的点的纵坐标越大， ，故⑤正确. 综上所述，正确的结论是①②③⑤，共4个. 故选C. 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）  11.请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是___（答案不唯一)_____． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 根据一元二次方程根与系数的关系，计算得到方程的系数，即可写出符合要求的方程。 【解答】 解：两根分别为和， 两根之和为：， 两根之积为：， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系得：，， 代入得：，，即，， 这个方程可以是：. 故答案为：（答案不唯一).  12.二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是___且 _____． 【答案】 且 【解析】 先根据二次函数的定义确定二次项系数不为0，再由二次函数图象与横轴有交点，可知对应一元二次方程有实数根，利用根的判别式大于等于0列不等式求解，即可得到 的取值范围. 【解答】 解： 是二次函数， 二次函数的图象与坐标系横轴有交点， 一元二次方程 有实数根， 根的判别式 将 代入得， 解不等式得 综上， 的取值范围是 且 故答案为：且 .  13.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 根据题意得 ，求解即可。 【解答】 解： 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ， 整理，得 ， 解得 。 故答案为：.  14.如图，关于 的二次函数的图像为抛物线 ，直线与抛物线 交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则____5____． 【答案】 5 【解析】 先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出 ，然后代入抛物线的表达式解方程即可. 【解答】 解： 顶点为 四边形ABNM为正方形，过抛物线C的顶点作x轴的平行线l，过A，B分别作l的垂线，垂足为M，N， 关于抛物线的对称轴对称， 将点 代入 则 整理得， 解得 （舍），  15.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若是倍根方程，则m的值为________； （2）若方程是倍根方程，且，则该方程较大的根为________． 【答案】 【解析】 由因式分解法解方程可得 ，再根据倍根方程的定义求解即可； (2) 设方程 的两个根为 、 ，根据一元二次方程根和系数的关系，得到 ，即可得解。 【解答】 解： 或 ， 解得： , 是倍根方程， 或 ， 或 ， 解得： 或 ； (2) 方程 是倍根方程， 设方程 的两个根为 、 ， 即该方程较大的根为 故答案为：. 16.如图，直线（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点、，抛物线与y轴交于点C，点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线上移动，的最小值是________． 【答案】 【解析】 先利用待定系数法求出AB的解析式，根据二次函数解析式求出C的坐标及对称轴；再利用轴对称性质，找到C关于抛物线对称轴的对称点 C，将CE+EF转化为CE+EF；最后根据“垂线段最短”，当 C'E,F三点共线且 CF AB时，CE+EF取得最小值，即C到直线AB的距离. 【解答】 直线 y=kx+b，过点A(-4,0)，B(0,3), 解得 k b=3， 直线 AB的解析式为 又 抛物线 y=-x^{2}+2x+1与y轴交于点C， 令 x=0，解得 y=1， 点坐标为(0,1), 抛物线对称轴 抛物线对称轴为 点 C (0,1)关于对称轴 x=1的对称点 C'坐标为(2,1), 要使CE+EF最小，即求CE+EF的最小值； 又 点到直线之间，垂线段最短， 当 时， 最小. 连接AC，BC，过点C作CD x轴于点D，则DC 连接AC'，BC'，过点C作C 轴于点D，则D（2,0），如图所示： 在Rt 中，OA=4，OB=3， 又 又 （其中h=CF）， 的最小值为 在Rt 中， ， . 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） 【答案】 【解析】 此题暂无解析 【解答】 （1）解： 因式分解： （2）解： 配方法： 18.(6分) 已知是方程的一个根． （1）求p的值； （2）求方程另一个根． 【答案】 1 【解析】 （1）先将 代入方程，求出 的值即可； （2）将 的值代入方程，解方程即可. 【解答】 （1）解： 是方程 的一个根， ， 解得： ； （2）解：把 代入方程得： ， 解得 ， ， 另一个根为 ． 19.(6分) 如图，函数的图象经过点，，．   （1）求，的值，并直接写出顶点坐标； （2）在图2中画出这个函数的图象；（不必列表） （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】 b、c的值分别是：2，3，顶点坐标（1，4） 如图所示； 【解析】 （1）将 和 代入 即可求解； （2）描点、连线即可完成作图； （3）找到 时的函数图像即可求解. 【解答】 （1）解：由题得，将 和B(0，3)代入 得， 解得， 即b、c的值分别是：2，3， 顶点坐标（1，4）； （2）如图： （3）解：由（2）中的图象可知： 下图红色部分即为 时的函数图象， 此时： 故： 20.(8分) 某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． （1）当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ （2）当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】 当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润 当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元 【解析】 （1）根据题意列出方程，再解方程即可； （2）根据题意得出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质，进行解答即可. 【解答】 （1）解：由题意得，， 即， 整理得，， 解得，，， 即当月产量为25辆或35辆时，每月可获得1250元利润. （2）解：记利润为元， 则 . ，， 当时，， 即当月产量为30辆时，可获得最大利润，最大利润是1300元. 21.(8分) 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． （1）求二次函数的表达式． （2）求的面积． 【答案】 【解析】 （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线BC的解析式，过点M作y轴的平行线交BC于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【解答】 （1）解：设函数的表达式为 将点 代入得 ，解得 故二次函数的表达式为 即 （2）解： 当 x=0时， y=5, C(0,5). A点坐标为（-1，0），对称轴为直线 设直线BC的解析式为 把 代入，得 ，解得 直线BC函数表达式为 把 代入得 过点M作y轴的平行线交BC于点H，则点 22.(8分) 已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若方程的一个根，求m的值及方程的另一个根； （3）若满足，求m的值． 【答案】 且 , 【解析】 （1）结合根的判别式计算即可； （2）根据根与系数的关系解题； （3）根据根与系数的关系解题. 【解答】 （1）解：由题意知，且， 且; 即且, 解得且; （2）解：方程的一个根为, 则, 解得, 原方程为, , , ; （3）解：, , , , , , 解得：或, 且, . 23.(8分) 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． （1）求b的值，并用含a的式子表示c； （2）已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 【答案】 且 【解析】 （1）利用抛物线过 直接得 ，再套用对称轴公式 ，化简求出 ； （2）先写出顶点为 的平移后抛物线 ，代入原点 得到关于 的一元二次方程，方程无实数根则判别式 ，解不等式得到 范围. 【解答】 （1）解： 抛物线 经过点 ， . 抛物线 的对称轴为 , . ; （2）解：设点 ， 是抛物线 上的点， . 由题意，抛物线 ， 设抛物线 与 轴交于点 ，则 . 无论 为何值，抛物线 都不经过点 ， 无论 为何值，都有 ， 关于 的方程 没有实数根. ，即 . ， 化简得：， 解得：， 且 . 24.(10分) 小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为；当，即或时，的值均为． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于_______对称；若关于的多项式关于对称，则_______； （2）关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为，求关于的方程：的根． （3）关于的多项式关于对称，且此多项式可取得最小值，且关于的方程：只有一根大于，求的取值范围． 【答案】 ， ， 【解析】 （1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可； （2）对进行配方，根据新定义分别求出，的值，再把，的值代入，对方程进行求解即可； （3）对进行配方，根据新定义分别求出，的值，再把，的值代入中，并用因式分解法求解，再根据只有一根大于，列出不等式求解即可． 【解答】 （1）解：， 多项式关于对称； 关于的多项式关于对称， ； 故答案为：，． （2）解：关于的多项式关于对称，， ， 解得． 当时，多项式的值为， ， ． 方程为， ， ，， 即关于的方程：的根为， ． （3）解：关于的多项式关于对称，且此多项式可取得最小值， ， 解得，， 方程为， ， ，， 只有一根大于，， ， 解得． 25.(12分) 已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，过点作轴，交抛物线于另一点，求点到直线的距离． （3）如图2，是轴正半轴一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围． 【答案】 ; 或 ; 【解析】 （1）利用已知点A和点C坐标，直接代入抛物线的一般式，通过二元一次方程组求解未知系数b和c，得到完整解析式； （2）先通过抛物线与x轴交点条件求出点B坐标，再根据CD y轴性质得到点D纵坐标，代入抛物线求D点坐标；求出直线BC解析式之后，利用直线k得到45°夹角的几何特征，通过等腰直角三角形的边长关系计算点到直线的距离，避免复杂的点到直线公式运算； （3）①利用PE//y轴的性质，直接用横坐标m表示点E坐标，将 面积转化为以AP为底，PE为高的直角三角形面积；分两种情况讨论：点P在点B左侧（03）时E点在x轴下方，分别计算PE长度，得到分段面积函数； ②分别代入两段面积函数解不等式：01的不等式得到对应区间； m>3时，二次函数开口向上，同时解13的公共区间，最后合并两个区间得到最终结果. 【解答】 （1）解：已知抛物线 与x轴交于点A（-1，0），C(0,3) 将点A，C坐标代入抛物线解析式中，可得方程组 ，解得b=2，c=3, 抛物线解析式为 抛物线解析式为 （2）解： 抛物线 对称轴为直线 ，且CD y轴，点C坐标为（0,3），点D与点C关于直线 x=1对称， 令 即 解得， 设直线BC解析式为 代入点B（3，0） 解得k=-1, 直线BC解析式为 过点D作DH BC于点H， 图1 CD 为等腰直角三角形： 点D到直线BC距离为 （3）解： ①点P横坐标为m，且P在x轴正半轴， 因此P(m,0)，m>0且m≠3， 轴，交直线BC于点E，可得E(m,-m+3), 线段AP长度为 当0 当m>3时，点E在x轴下方，PE长度为m-3， 因此S关于m的函数解析式为： ②当1当0由 得 解得， ，结合0 由 解得，m为任意数， 两部分取公共部分：0当m>3时， 由 得， 解得， 或m>1+ 由 取两者公共部分： 综上，m的取值范围是0 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版初中数学 九年级 (上) 第一轮月考模拟卷（1） （考试范围第25-26章） 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________   一、 单选题（本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ） 1.若方程是关于的一元二次方程，则的值为（        ） A. B. C. D. 2.在同一平面直角坐标系中，二次函数（为常数，且）和一次函数的图像大致是（     ） A. B. C. D.  3.把方程转化成的形式，则，的值是（       ） A.， B.， C.， D.，  4.如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（        ） A. B. C. D.  5.已知点，在抛物线上，且当时，，则不等式的解集是（        ） A. B.或 C.或 D.或 6.定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（       ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 7.已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（        ） A. B. C. D.当或时，  8.如果关于x的一元二次方程的两根中恰有一个根大于而小于0，则m的取值范围是（     ） A. B.且 C.且 D. 9.如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（   ） A. B. C. D. 10.二次函数的图象如图所示．下列结论： ① ② ③ ④ ⑤若，，，则． 其中正确结论的个数有（        ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）  11.请写出一个一元二次方程，使得两个根分别是和，这个方程可以是________．  12.二次函数的图象与坐标系横轴有交点，那么的取值范围是________．  13.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．  14.如图，关于 的二次函数的图像为抛物线 ，直线与抛物线 交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则________．  15.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”． （1）若是倍根方程，则m的值为________； （2）若方程是倍根方程，且，则该方程较大的根为________． 16.如图，直线（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点、，抛物线与y轴交于点C，点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线上移动，的最小值是________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.(6分) 用适当的方法解一元二次方程： （1） （2） 18.(6分) 已知是方程的一个根． （1）求p的值； （2）求方程另一个根． 19.(6分) 如图，函数的图象经过点，，．   （1）求，的值，并直接写出顶点坐标； （2）在图2中画出这个函数的图象；（不必列表） （3）当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 20.(8分) 某玩具厂计划生产一种变形金刚汽车玩具，已知每月生产x辆玩具汽车的成本为g（元），售价每辆为p（元），且g，p与x之间的关系式分别为，． （1）当月产量为多少辆时，每月可获得1250元利润？ （2）当月产量为多少辆时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 21.(8分) 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． （1）求二次函数的表达式． （2）求的面积． 22.(8分) 已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根分别为，． （1）求m的取值范围； （2）若方程的一个根，求m的值及方程的另一个根； （3）若满足，求m的值． 23.(8分) 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴为． （1）求b的值，并用含a的式子表示c； （2）已知M是抛物线上的点，M的横坐标为t，抛物线的顶点为M，且可以由抛物线平移得到（特别地，当M是的顶点时，即为）．若无论t为何值，抛物线都不经过点O，求a的取值范围． 24.(10分) 小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的，例如，当，即或时，的值均为；当，即或时，的值均为． 于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于_______对称；若关于的多项式关于对称，则_______； （2）关于的多项式关于对称，且当时，多项式的值为，求关于的方程：的根． （3）关于的多项式关于对称，且此多项式可取得最小值，且关于的方程：只有一根大于，求的取值范围． 25.(12分) 已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，作直线． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，过点作轴，交抛物线于另一点，求点到直线的距离． （3）如图2，是轴正半轴一动点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，设点的横坐标为，的面积为． ①求关于的函数解析式； ②当时，请直接写出的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $