27.3 实际问题与反比例函数（第3课时） 教案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

27.3 实际问题与反比例函数（第3课时）教案 一、教学目标 1. 会用数学的眼光观察现实世界（抽象能力、模型观念）：能从气体体积 V 与压强 p 的实验数据中，观察变量之间的对应关系，抽象概括出 p 与 V 成反比例的函数模型 。 2. 会用数学的思维思考现实世界（运算能力、推理能力）：能运用待定系数法求出函数解析式，正确计算比例系数 k（k≈1997），并能根据解析式进行代入推理与求值运算。 3. 会用数学的语言表达现实世界（模型观念、应用意识、创新意识）：能用反比例函数模型解释压强随体积变化的规律，并利用模型解决实际问题（已知体积求压强、已知压强求体积）；经历"数据—描点—猜想—验证—建模"的完整探究过程，发展应用意识与创新意识。 二、教学重点 利用实验数据建立反比例函数模型，并用模型进行估计与计算。 三、教学难点 理解由数据近似确定函数模型与以往直接给出解析式的不同，体会检验模型的必要性。 四、教学方法与教具 教学方法：启发引导、自主探究、小组合作交流。 教学教具：多媒体课件、几何画板（或 Excel）演示散点图与函数图象。 五、教学过程 （一）温故知新（约5分钟） 1. 反比例函数的图象与性质（学生口答，复习上一节内容）： (1) 反比例函数 （k≠0）的图象是双曲线：当 k＞0 时，两支分别位于第＿＿、＿＿象限；当 k＜0 时，两支分别位于第＿＿、＿＿象限。 【预设答案】一、三象限；二、四象限。 (2) 当 k＞0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而＿＿；当 k＜0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而＿＿。 【预设答案】减小；增大。 (3) 已知点 A(2, m) 在双曲线 上，则 m＝＿＿；若点 B(n, 3) 也在该双曲线上，则 n＝＿＿。 【预设答案】m＝3；n＝2。 （二）情境导入（约3分钟） 函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型。面对不同的实际问题，我们需要根据数据和图象特征选择合适的函数模型，确定函数解析式，利用函数解决问题。 某物理实验小组研究气体的压强 p（单位：kPa）与体积 V（单位：mL）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了 6 组数据（表27.3-1）。 表27.3-1 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 （三）新课探究（约20分钟） 问题：气体的压强 p 与体积 V 是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为 132 kPa 时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位）。 分析与探究（师生共同完成，分四步进行）： (1) 画散点图，猜想函数类型： 为直观分析这组数据的变化规律，先以 V 为横轴、p 为纵轴画出散点图。观察点的分布状况，用一条光滑曲线尽量靠近所有点，发现曲线形似双曲线的一支（图27.3-4）。由此猜想 p 与 V 之间可能是反比例关系。 图27.3-4 (2) 建立模型： 设函数解析式为 （V＞0）。把表27.3-1中的每一组 V 与 p 的对应值分别代入，求出对应的 k 值： 依次求得 k＝2000，2016，1968，2030，1956，2010。计算所有 k 值的平均值： 我们把这个平均值 1997 作为 k 的值，就得到一个函数模型： ．　　① (3) 检验模型： 将已知数据代入①（或画出函数①的图象），可以发现这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强 p 与体积 V 的关系。 【预设答案】检验的目的是确认所选模型是否合适；由数据求得的模型通常只是近似刻画实际关系。 (4) 求解问题： 将 p＝132 代入①，得 解得 （mL）． 因此，当压强为 132 kPa 时，气体的体积约为 15.13 mL。 归纳：建立函数模型解决实际问题的一般步骤：收集数据→画散点图→选择函数模型→求出模型→检验模型→求解作答。 （四）课堂练习（约10分钟） 1. 回顾"探究"，表27.3-1中的有些数对只能近似满足解析式①，即图27.3-4(2)中的点并没有完全落在函数图象上。这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同？ 【预设答案】以往学习的函数解析式大多是直接给出的（或由无条件限制的关系直接推出）；现在是先由实验数据猜想函数类型，再用数据确定模型中的常数，所建立的模型只是近似地刻画实际关系，这是处理实际问题更常用的方式。 2. 结合"探究"和问题1所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤。 【预设答案】收集数据→画散点图→选择函数模型→求出模型→检验模型→求解作答。 3.（选择）下列函数关系中，是反比例函数关系的是（　　） A. 温度不变时，一定质量气体的压强 p 与体积 V　　B. 周长为 20 的长方形中，长 x 与宽 y C. 圆的面积 S 与半径 r　　　　　　　　　　　　D. 正方形的周长 C 与边长 a 【预设答案】A。 4.（选择）在温度不变的条件下，一定质量的气体满足 （V＞0），当 V 从 10 mL 增大到 20 mL 时，压强 p（　　） A. 增大到原来的 2 倍　　B. 减小到原来的一半　　C. 保持不变　　D. 无法确定 【预设答案】B。 5.（填空）一定质量的气体在温度不变时满足 pV＝2000，则 p 关于 V 的函数解析式是＿＿＿。 【预设答案】（V＞0）。 6.（填空）已知 （V＞0），当 p＝250 kPa 时，V＝＿＿＿mL。 【预设答案】V＝4。 （五）课堂小结（约3分钟） 1. 引导学生回顾：面对一组实际数据，如何判断两个变量之间是否具有反比例关系？（画散点图，看曲线形状） 2. 强调：由数据建立的模型需要检验；建模的一般步骤是"收集数据→画散点图→选择函数模型→求出模型→检验模型→求解作答"。 3. 请学生谈谈本节课的收获与疑惑。 （六）作业布置（约1分钟） 课本本章习题中与"建立反比例函数模型解决实际问题"相关的题目。 六、板书设计 27.3 实际问题与反比例函数（第3课时） 一、探究：气体压强 p 与体积 V 收集数据 → 画散点图 → 猜想：反比例关系 设 （V＞0）→ 求平均值 k≈1997 → 　① 检验 → 求解：p＝132 → V≈15.13（mL） 二、建模一般步骤：收集数据→画散点图→选择模型→求出模型→检验→求解作答 七、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $