27.3 实际问题与反比例函数（第3课时）课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.3 实际问题与反比例函数 （第 3 课时 · 探究：气体压强与体积） 人教版 · 数学 · 九年级上册 授课教师：__________ 班级：__________ 课时：1 课时 学习目标 目标 1. 能通过画散点图，根据数据与图象特征判断两个变量之间的函数关系，选择反比例函数建立函数模型。 2. 能根据实验数据求出常数 k 的值，写出函数解析式，并用模型估计未知量的值。 3. 经历“收集数据—画散点图—选择模型—求出模型—检验—求解”的建模过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤。 一、温故知新（3分钟） 复习 1. 反比例函数 （k≠0）的图象是双曲线：当 k＞0 时，两支分别位于第＿＿、＿＿象限；当 k＜0 时，两支分别位于第＿＿、＿＿象限。 2. 当 k＞0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而＿＿；当 k＜0 时，y 随 x 的增大而＿＿。 3. 已知点 A(2, m) 在双曲线 上，则 m＝＿＿； 　　若点 B(n, 3) 也在该双曲线上，则 n＝＿＿。 1. 第一、三象限；第二、四象限。 2. 减小；增大。 3. m＝6÷2＝3；n＝6÷3＝2。 二、探究引入（2分钟） 情境 函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型。面对不同的实际问题，我们需要根据数据和图象特征选择合适的函数模型，确定函数解析式，利用函数解决问题。 问题：用注射器封闭一定质量的气体，推动活塞时体积 V 减小、压强 p 增大；松开活塞则体积变大、压强变小。p 与 V 之间存在怎样的函数关系？ 猜想：体积 V 变小、压强 p 变大，p 与 V 的乘积可能是一个定值， 即 p 与 V 可能成反比例关系。 三、新课探究 · 探究1（画散点图） 探究 某物理实验小组在温度不变的条件下，测得气体的压强 p（单位：kPa）与体积 V（单位：mL）的 6 组数据（表27.3-1）。 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 以 V 为横轴、p 为纵轴描点，用一条光滑曲线尽量靠近所有点，得到图27.3-4。 发现：散点分布在双曲线的一支上，由此猜想 p 与 V 成反比例关系。 三、新课探究 · 探究2（建立模型） 探究 设函数解析式为 （V＞0）。把表27.3-1 中每组 V 与 p 分别代入，求出相应的 k 值，填入表27.3-2。 V/mL 20 18 16 14 12 10 p/kPa 100 112 123 145 163 201 k＝Vp 取各次算得的 k 的平均值： 取 k≈1997，得函数模型：（V＞0）。　　① 说明：6 组数据算出的 k 值不完全相同，取它们的平均值可以使模型更接近实际数据。 三、新课探究 · 探究3（检验模型） 探究 检验模型：将已知数据代入所得解析式 （或画出所得函数的图象），判断这个函数模型与实际数据是否吻合。 1. 把 V＝20、18、16、14、12、10 分别代入 p＝1997/V，所得 p 与实验数据相差很小； 2. 各数据点与函数图象基本吻合，说明该模型能较好地反映 p 与 V 的关系； 3. 由数据建立的模型只是近似刻画实际关系，所以需要检验。 三、新课探究 · 探究4（求解问题） 探究 问题：当压强为 132 kPa 时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位）？ 解：将 p＝132 代入 ①，得 解得 （mL） 答：当压强为 132 kPa 时，气体的体积约为 15.13 mL。 三、新课探究 · 点拨 点拨 问：建立函数模型解决实际问题的一般步骤是什么？ 1. 收集数据，画散点图，观察点的分布判断函数类型； 2. 用待定系数法求出模型中的常数，写出解析式并确定自变量的取值范围； 3. 检验模型与实际数据的吻合程度，再用模型求解并作答。 收集数据 → 画散点图 → 选择模型 → 求出模型 → 检验模型 → 求解作答 四、课堂练习（P78～P79） 练习 1. 表27.3-1 中的有些数对只能近似满足 （V＞0），即图中的点并没有完全落在函数图象上。这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同？ 以往的函数解析式大多是直接给出的，或由确定的等量关系推出； 现在是先由实验数据猜想函数类型，再用数据确定模型中的常数， 所建立的模型只是近似刻画实际关系，这是解决实际问题更常用的方式。 2. 结合“探究”和上面问题1 所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤。 答：收集数据 → 画散点图 → 选择函数模型 → 求出模型 → 检验模型 → 求解作答。 其中“检验模型”是本节课新增的关键一步。 五、达标训练 · 练习3（选择） 练习 3.（选择）下列函数关系中，是反比例函数关系的是（　　） A. 温度不变时，一定质量气体的压强 p 与体积 V B. 周长为 20 的长方形中，长 x 与宽 y C. 圆的面积 S 与半径 r D. 正方形的周长 C 与边长 a 【答案】A 解析：温度不变时，一定质量气体的压强 p 与体积 V 满足 pV＝定值， 即 p 与 V 成反比例关系。 五、达标训练 · 练习4（选择） 练习 4.（选择）在温度不变的条件下，一定质量的气体满足 （V＞0），当 V 从 10 mL 增大到 20 mL 时，压强 p（　　） A. 增大到原来的 2 倍 B. 减小到原来的一半 C. 保持不变 D. 无法确定 【答案】B 解析：V 由 10 mL 增大到 20 mL（变为 2 倍）， 因 p 与 V 成反比例，故 p 减小为原来的一半。 五、达标训练 · 练习5、6（填空） 练习 5.（填空）一定质量的气体在温度不变时满足 pV＝2000， 则 p 关于 V 的函数解析式是＿＿＿＿。 解：（V＞0）。 6.（填空）已知 （V＞0），当 p＝250 kPa 时，V＝＿＿＿mL。 解：V＝1000÷250＝4（mL）。 六、课堂小结 总结 【填一填】本节课你学到了什么？ 1. 建立函数模型解决实际问题的一般步骤： 　　收集数据 → 画散点图 → 选择函数模型 → 求出模型 → ＿＿＿ → 求解作答。 2. 本节课你的收获与疑惑：＿＿＿。 1. 检验模型； 2. 略（同学自由表达，教师点评）。 七、作业布置 作业 课本本章习题中与“建立反比例函数模型解决实际问题”相关的题目。 要求：解答过程要写清“设—代—解—答”四步，注意自变量的实际取值范围。 提示：先分析数据特征选择函数类型，再用待定系数法求解析式， 最后检验模型并用它解决实际问题。 下课啦！ 谢谢观看 · 同学们再见 学而时习之，不亦说乎 —— 课后记得复习巩固哦 $