精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市土默特左旗2026-2027学年八年级上学期开学调研数学试题

2026-2027学年度第一学期八年级数学开学调研测试 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，满分24分） 1. 分别用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ） A. 4，5，10 B. 5，8，5 C. 13，8，5 D. 13，5，7 【答案】B 【解析】 【分析】根据构成三角形的三边满足的条件，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、由于，三边长不能构成三角形，不符合题意； B、由于三边长满足任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，三边长能构成三角形，符合题意； C、由于，三边长不能构成三角形，不符合题意； D、由于，三边长不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查构成三角形的条件，熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角相等，两直线平行 C. 9的平方根是 D. 是不等式的一个解 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了真假命题的判断，对顶角相等，平行线的判定，平方根的定义，不等式的解，根据相关知识点逐个判断即可． 【详解】解：A. 相等的角不一定是对顶角，是假命题； B. 同旁内角互补，两直线平行，原命题是假命题； C. 9的平方根是，原命题是假命题； D. 将代入，得，故是该不等式的一个解，是真命题． 3. 如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（ ） A. 等边三角形，等腰直角三角形 B. 等腰直角三角形，钝角三角形 C. 等边三角形，钝角三角形 D. 锐角三角形，等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的分类，掌握按边的相等关系和角的大小分类是解题的关键．根据三角形的分类进行分析即可． 【详解】将三角形按边的相等关系， 可以分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形中包含等边三角形， 将三角形按角的大小可以分为， 锐角三角形、直角三角形和钝角三角形， 两处“？”分别为等边三角形，钝角三角形， 故选：C． 4. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全国中学生使用学习辅助工具的频率 B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品 C. 调查一批新能源汽车电池的使用寿命 D. 调查某市中学生生态环境保护知识的掌握程度 【答案】B 【解析】 【分析】根据普查和抽样调查的适用场景判断，普查适用于事关安全要求精准、调查无破坏性且需要逐个检查的情况，范围过大或调查具有破坏性时适合抽样调查． 【详解】解：选项A，调查对象为全国中学生，调查范围过大，适合抽样调查； 选项B，调查乘坐飞机旅客是否携带违禁物品，事关飞行安全，必须对所有旅客逐一检查，最适合采用全面调查； 选项C，调查新能源汽车电池的使用寿命，调查过程会破坏电池，具有破坏性，适合抽样调查； 选项D，调查对象为某市中学生，调查范围较大，适合抽样调查； 5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 6. 如图，在中，是上一点，，平分，，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，，求出，的角度，根据，则，求出的角度；在根据平分，得，根据，求出，根据，即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查平行线，三角形的内角和，平角的定义等知识，解题的关键是掌握平行线的性质，三角形内角和，平角的定义． 7. 在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A. 7 B. 11 C. 7或11 D. 7或10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．故解决本题最好先画出图形再作答． 题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案． 【详解】解：设等腰三角形的底边长为，腰长为，则根据题意， 得①或②， 解方程组①得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形； 解方程组②得：，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形， 即等腰三角形的底边长是11或7； 故选：C． 8. 如图，把三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是（　　）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 根据折叠的性质可得，根据平角等于用表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用与表示出，然后利用三角形的内角和等于列式整理即可解答． 【详解】解：如图： ∵是沿折叠得到， ∴， 又∵， ∴，即，整理得:． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 9. 如图，在中，，垂足为D，是钝角，E是上一点，且是锐角，，垂足为F．图中有_____个直角三角形，有_____个钝角三角形． 【答案】 ①. 5 ②. 2 【解析】 【分析】本题考查了三角形及其分类．根据三角形按角分类的定义判断． 【详解】解：直角三角形：，，，，，共5个； 钝角三角形：，，共2个． 故答案为：5；2． 10. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性，钉在墙上的方法是构造三角形支架，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 11. 等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，则它的周长为______． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 因为边为5和11，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论． 【详解】解：当5为底时，其它两边都为11，而11、5、11可以构成三角形，周长为27；当5为腰时，其它两边为11和5．因为，所以不能构成三角形，故舍去， ∴答案只有27． 故答案为：27． 12. 如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为6，则的面积为________． 【答案】20 【解析】 【分析】连接，根据中点求出，根据，得到，设，求出，得到，可得，从而求出x值，根据可得结果． 【详解】解：如图，连接， ∵D是中点，， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共7小题，共64分） 13. 计算或解方程组： （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：得 得 解得 把代入得 解得 ∴原方程组的解为． 14. 如图，已知． （1）画边上的中线； （2）画的高； （3）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，连接，即为边上的中线； （2）以为圆心，为半径画弧交的延长线于点，则为等腰三角形，作的垂直平分线，此时为的高； （3）先求出面积，再根据为边上的中线即可得到面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是的高， ， ∵，， ． 是边上中线， ， 等底同高的三角形面积相等，． ． 15. 已知a，b，c是的三边长，且，若三角形的周长是小于18的偶数． （1）求c的值； （2）判断的形状． 【答案】（1）4或6；（2）等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边关系和周长的最小值列式计算即可； （2）根据（1）可得c，根据已知条件得到a=c，即可得到结果； 【详解】（1）∵的周长为，且周长小于18，即，． 又∵三角形的周长是小于18的偶数，即为偶数， ∴c为小于8的偶数，则c可以是2，4，6． ∵当时，，不能构成三角形，故舍去， ∴c的值为4或6． （2）由（1）得当时，有；当时，有， 为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系及三角形形状判断的知识点，准确理解是解题的关键． 16. 如图，在中，是的高，是的平分线，是的平分线，相交于点． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形角平分线和高的定义，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）由三角形高的定义可得，即可得，由角平分线的定义得到，再根据角的和差关系即可求解； （）利用三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，，最后由三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 17. 如图，A，D，E三点在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，？并说明理由 【答案】（1） 证明：， ，， ， 即； （2） 解：当时，，理由如下： ∵， ∴， ， ，， 则， ∴， ∴， 则， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力，题型较好． （1）根据全等三角形的性质求出，，代入求出即可； （2）结合，则，根据全等三角形的性质求出，推出，根据平行线的判定求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 18. 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，， ∴． 又∵在中，， ∴， ∴， ∴． 即． （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ； 方法二：如图③，连结并延长至F． ∵与分别为和的外角， 19. 方法二：如图③，连结并延长至F． ∵与分别为和的外角， … （2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 20. （3）如图④， ； 21. （4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． 【答案】（1）三角形的内角和等于 ； （2）推理过程：∵， ∴， ∵， ∴； （3）； （4）减少，10 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键． （1）根据三角形内角和定理，即可得出结论； （2）根据三角形的外角的性质，即可得出结论； （3）根据三角形的外角性质，可以得到∠A+∠B=∠2，∠D+∠E=∠1，再结合三角形的内角和定理，可以得到∠1+∠2+∠C=180°，即可得到答案； （4）延长，交于点G，依据三角形的内角和定理可求，根据对顶角相等可得，利用得到的度数，可得的度数，从而得出结论． 【详解】解：（1）三角形的内角和等于 ， 故答案为：三角形的内角和等于； （2）略 （3）如图，延长交于点F， ∵， ∴， 故答案为：； （4）延长，交于点G，如图： ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 而图中， ∴应减少． 故答案为：减少，10． 22. 我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“和谐三角形”．如图①，，点A在边上，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合） （1）的度数为_______， _________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”． （2）若，试说明：是“和谐三角形”． （3）如图②，点D在的边上，连结，作的平分线交于点E，在上取点F，使，∠．若是“和谐三角形”，直接写出的度数． 【答案】（1），不是 （2）是的一个外角， ， 又， ， ∵， ， 是“和谐三角形”； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”； （2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”； （3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴的三个内角度数为 不满足任意一个角的度数是另一个角的度数的4倍， 不是“和谐三角形”； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ， ， ， 而， ， ， ， 平分， ， ， 是“和谐三角形”， 或， ∴或 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期八年级数学开学调研测试 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，满分24分） 1. 分别用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ） A. 4，5，10 B. 5，8，5 C. 13，8，5 D. 13，5，7 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角相等，两直线平行 C. 9的平方根是 D. 是不等式的一个解 3. 如图，将三角形分别按边的相等关系和角的大小分类，则两处“？”分别为（ ） A. 等边三角形，等腰直角三角形 B. 等腰直角三角形，钝角三角形 C. 等边三角形，钝角三角形 D. 锐角三角形，等边三角形 4. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全国中学生使用学习辅助工具的频率 B. 调查乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品 C. 调查一批新能源汽车电池的使用寿命 D. 调查某市中学生生态环境保护知识的掌握程度 5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 如图，在中，是上一点，，平分，，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在等腰中，，中线将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（　　） A. 7 B. 11 C. 7或11 D. 7或10 8. 如图，把三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是（　　）. A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 9. 如图，在中，，垂足为D，是钝角，E是上一点，且是锐角，，垂足为F．图中有_____个直角三角形，有_____个钝角三角形． 10. 空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______． 11. 等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，则它的周长为______． 12. 如图，在中，是的中点，是上的一点，且，与相交于点，若的面积为6，则的面积为________． 三、解答题（本大题共7小题，共64分） 13. 计算或解方程组： （1）计算：； （2）解方程组：． 14. 如图，已知． （1）画边上的中线； （2）画的高； （3）若，，求的面积． 15. 已知a，b，c是的三边长，且，若三角形的周长是小于18的偶数． （1）求c的值； （2）判断的形状． 16. 如图，在中，是的高，是的平分线，是的平分线，相交于点． （1）求的度数； （2）求的度数． 17. 如图，A，D，E三点在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）当满足什么条件时，？并说明理由 【问题呈现】如图①，四边形形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即． 18. 【探究推理】方法一：如图②，连结． ∵在中，， ∴． 又∵在中，， ∴， ∴， ∴． 即． （1）“方法一”主要依据的数学定理是 ； 方法二：如图③，连结并延长至F． ∵与分别为和的外角， 19. 方法二：如图③，连结并延长至F． ∵与分别为和的外角， … （2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程． 20. （3）如图④， ； 21. （4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且的大小保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应 （填“增加”或“减少”）的大小为 度． 22. 我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为的三角形是“和谐三角形”．如图①，，点A在边上，过点A作交于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与O，B重合） （1）的度数为_______， _________（填“是”或“不是”）“和谐三角形”． （2）若，试说明：是“和谐三角形”． （3）如图②，点D在的边上，连结，作的平分线交于点E，在上取点F，使，∠．若是“和谐三角形”，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $