江苏省泰州中学2026届高三上学期11月测试数学试题

2025—2026学年江苏省泰州中学高三上学期11月测试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设复数，并写出其共轭复数，通过复数相等条件来求解和的值，即可求解. 【详解】设，则，因为， 所以， 所以，解得，故， 所以的虚部为． 故选：A 2. 已知椭圆的一个焦点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点坐标可直接构造方程组求得结果. 【详解】由题意知：，解得：. 故选：D. 3. 变量关于变量的经验回归方程为.若时，的实际观测值为8，则此时的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据回归方程求出估计值，然后由残差定义即可得解. 【详解】当时，， 又时，的实际观测值为8，所以此时的残差为. 故选：C 4. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 5. 已知的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知可推得.又，结合正弦函数的图象可知，解出不等式即可得出答案. 【详解】因为函数的值域为，所以. 又，所以， 根据正弦函数的图象可知，解得， 又，所以，所以的取值范围是. 6. 晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”．现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中为矩形，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为5m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ） A. m2 B. m2 C. m2 D. m2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可先分析出区域和全等，再将区域还原到如图所示圆柱中，由扇形的弧长公式先求出弧长，再根据圆柱的侧面积公式求出，即可得解. 【详解】 由题意可知区域和全等， 且都是底面半径为5m，高为的圆柱的侧面的一部分. 将区域还原到如图所示圆柱中， 可知，，. 由扇形的弧长公式可知，， 由圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域和的总面积为. 故选：D 7. 随机变量，随机变量，正实数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分步曲线的对称性，结合基本不等式进行求解即可 【详解】由随机变量，可知正态分步曲线关于直线对称， 由随机变量，可知正态分步曲线关于直线对称， 因正实数满足，而且， 所以有， 根据正态分布曲线的对称性可知， 因为是正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 因此当时，的最小值为， 故选：C 8. 已知函数的定义域为，，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，依题意，结合等比数列的求和公式，利用放缩法求解范围即可． 【详解】设，， 又，所以， 由得， 则有， 因此数列从第二项起，后一项不小于前一项的2倍，故， 所以； . 由得， 则有， 因此数列从第二项起，后一项不大于前一项的3倍，故， 所以 ，即，故D正确． 故选：D 2、 选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分．) 9. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ABD ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 10.．双曲线的左右焦点分别为为坐标原点，点在双曲线上，且的内切圆圆心为，则（ACD    ） A．点在直线上 B． C．外接圆的面积为 D．连结交轴于点，则 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合图像，利用双曲线焦点三角形的内切圆的特征，可求出，得到双曲线方程及焦点坐标，根据内切圆的性质可推理出是直角三角形，并求得点坐标为，再根据选项要求分别判断即可. 【详解】根据题意，设的内切圆半径为，则，设内切圆与边的切点为， 则有，，结合双曲线定义和内切圆的性质可得，即. 所以双曲线的方程为，焦点. 对于A，点在直线上，故A正确； 由题意，点在第一象限，设内切圆与边的切点为，连接， 易知且， 则四边形是正方形，即有，易得点坐标为. 对于B，在中，,根据勾股定理，，，所以，故B错误； 对于C，由已知条件可知，三角形外接圆半径，所以圆面积为，故C正确； 对于D，在中，因为，所以，则，故D正确. 故答案为：ACD. 11. 已知正三棱柱的外接球球心为，半径为，且（为常数），点满足.则下列结论正确的是（ACD ） A. B. 当时，的最小值为 C. 当时，存在点，使得平面 D. 当时，点到直线的最小距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.计算:__ ___. 答案：1 13. 已知,= . 答案：24/7 14.已知函数 ，若 ，对于任意的都有 ，且在区间 上单调，则的最大值为 . 答案：18 4、 解答题：(本题共5小题，共77分) 15. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为4的正三角形，分别为棱和的中点. （1）证明：平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，根据三角形中位线的性质构造线线平行，进而得到四边形是平行四边形，得到，再根据线面平行的判定定理得到结论. （2）先证明两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面夹角的正弦值. 【小问1详解】 如图： 取中点，连接，， 因为为中点，所以且. 又底面为平行四边形，且为中点，所以，且. 所以且，所以四边形为平行四边形. 所以. 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为是边长为4的等边三角形，为中点，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 连接，在中，，，， 由余弦定理可得：， 所以,所以，所以是等腰直角三角形，. 所以两两垂直. 以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，. ，，. 设平面的法向量为， 则，令得. 所以. 即为直线与平面所成角的正弦值. 16．在中，已知. (1)求；(2)若为的平分线，面积为14，求. 17.已知数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,数列{bn}的首项为2,且满足nbn+1=(n+1)bn. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)记集合M=n≤bnbn+1(bn+1),n∈N*,若集合M的元素个数为2,求实数λ的取值范围 解析 (1)由a1+3a2+32a3+…+3n-1an=, 得当n≥2时,a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=, 两式相减可得3n-1an=-=,故an=, 当n=1时,a1=也符合上式,所以an=,n∈N*. 又由nbn+1=(n+1)bn,可得-=0, 所以数列是公差为0的等差数列,且首项为2, 所以=2,则bn=2n,n∈N*. (2)由bn=2n,n∈N*和M=n≤bnbn+1(bn+1),n∈N*, 可得M=nλ≤,n∈N*. 记Pn=,则Pn+1=, 所以Pn+1-Pn=, 当n=1时,P2-P1>0,当n≥2时,P2>P3>P4>…,此时{Pn}是递减数列, 而P(1)=2,P(2)=,P(3)=,P(4)=, 因为集合M的元素个数为2,所以M={2,3},所以<λ≤, 18.已知椭圆的离心率，且过点. (1)求曲线的标准方程； (2)若曲线的左右顶点分别为，过点且斜率为负数的直线与交于两点（点在点上方），直线与的交点为. （i）求证：点在定直线上； （ii）若直线与轴交于点，求的取值范围. 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的定直线、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）根据离心率及点在椭圆上列方程计算求解得出椭圆标准方程； （2）（i）设，列出直线，的方程，它们的交点即可证明定点；（ii）根据化简计算得出范围. 【详解】（1）由题意知，解得， 双曲线的标准方程为. （2）（i）设直线的方程为，联立，则，，解得. 设，其中. 直线的方程为，直线的方程为. 联立，解得，从而， 即点在定直线上.    （ii）定直线与轴交于点，从而. 记，其中，则， 即，解得，从而.    19. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）已知是函数的两个零点． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）是的导函数．证明：． 【答案】（1）答案见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，对进行分类讨论的单调性； （2）利用方程组，得到，问题转化为恒成立，换元后构造函数求出函数单调性及最值，从而得到证明. 【小问1详解】 ． ①当时，在上单调递增． ②当时，令得，即在上单调递增； 同理，令得，即在上单调递减． 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可知当时，在上单调递增，不可能有两个零点． 当时，上单调递增，在上单调递减， 若使有两个零点，则，即，解得， 且， ，则有， 所以的取值范围为． （ⅱ）是函数的两个零点，则有①，②， ①-②得，即， ， 因为有两个零点，所以不单调， 因为，得， 所以． 若要证明成立， 只需证， 即证，令，则， 则不等式只需证， 即证， 令， ，令， 令，因为，得在上单调递减， 得，得，即在上单调递减， 得，得，即在上单调递减， 所以有， 故有，不等式得证． 【点睛】关键点点睛：对于双变量问题，要转化为单变量问题，通常情况下利用对数的运算性质进行转化，转化后利用构造新函数及最值进行求解证明. 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年江苏省泰州中学高三上学期11月测试 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知椭圆的一个焦点为，则（ ） A. B. C. D. 3. 变量关于变量的经验回归方程为.若时，的实际观测值为8，则此时的残差为（    ） A． B． C．1 D．2 4. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”．现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中为矩形，，为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为5m，圆心角为．已知区域和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ） A. m2 B. m2 C. m2 D. m2 7. 随机变量，随机变量，正实数满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数的定义域为，，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2、 选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分．) 9. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 10.．双曲线的左右焦点分别为为坐标原点，点在双曲线上，且的内切圆圆心为，则（ACD    ） A．点在直线上 B． C．外接圆的面积为 D．连结交轴于点，则 11. 已知正三棱柱的外接球球心为，半径为，且（为常数），点满足.则下列结论正确的是（ACD ） A. B. 当时，的最小值为 C. 当时，存在点，使得平面 D. 当时，点到直线的最小距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.计算: _____. 13. 已知,= . 14.已知函数 ，若 ，对于任意的都有 ，且在区间 上单调，则的最大值为 . 4、 解答题：(本题共5小题，共77分) 15. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为4的正三角形，分别为棱和的中点. （1）证明：平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 16．在中，已知. (1)求； (2)若为的平分线，面积为14，求. 17.已知数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=,数列{bn}的首项为2,且满足nbn+1=(n+1)bn. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)记集合M=n≤bnbn+1(bn+1),n∈N*,若集合M的元素个数为2,求实数λ的取值范围 18.已知椭圆的离心率，且过点. (1)求曲线的标准方程； (2)若曲线的左右顶点分别为，过点且斜率为负数的直线与交于两点（点在点上方），直线与的交点为. （i）求证：点在定直线上； 19. 已知函数． （1）讨论的单调性． （2）已知是函数的两个零点． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）是的导函数．证明：． 4 学科网（北京）股份有限公司 $