5.4.2.3三角函数的图象与性质说课稿-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

《5.4 三角函数的图象与性质（第三课时：正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用）》说课稿 尊敬的各位评委老师： 大家好！我是06号考生。 今天我说课的题目是人教A版高中数学必修第一册第五章《三角函数》第5.4节《三角函数的图象与性质》第三课时《正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用》。 下面我将从说教材、说学情、说教法学法、说教学过程、说板书设计五个方面展开我的说课。 一、说教材 1. 教材的地位与作用 正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用是人教A版必修第一册第五章《三角函数》5.4《三角函数的图象与性质》的第三课时，是前两课时“正弦函数、余弦函数的图象”“正弦函数、余弦函数的性质”的综合应用课。前两课时学生已经经历了从三角函数定义出发、通过几何描点作出正弦函数图象，再借助图象与诱导公式获得余弦函数图象以及正弦、余弦函数性质的过程，本课时则要把这些图象与性质的知识转化为“求周期、求最值、比较大小、求单调区间”等几类典型问题的求解能力。 从知识网络看，本课时既是图象与性质知识的巩固与深化，也是后续学习正切函数的性质与图象、函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质以及解三角形等内容的重要基础；从思想方法看，本课时集中体现了“回归定义”“换元转化”“类比迁移”“数形结合”等数学思想，是学生体会“化归转化、以旧引新”解题策略的绝佳载体。本课时所培育的核心素养主要包括逻辑推理、数学运算与直观想象，在高考中常以周期、最值、单调区间等问题的形式综合考查，工具性强、应用面广。 2. 教学目标 根据新课标要求和教材特点，结合本课教学设计，我制定了以下教学目标： 1. 会求y=Asin(ωx+φ)（ω>0）型函数的周期，理解周期与自变量系数ω的关系，掌握“换元转化”求周期的基本步骤，达到逻辑推理核心素养学业质量水平一的层次。 2. 会求函数的最大值与最小值，并能写出取最大值、最小值时自变量x的集合，达到数学运算核心素养学业质量水平一的层次。 3. 会利用正弦函数、余弦函数的单调性比较三角函数值的大小，会求给定区间上函数的单调区间（含自变量系数为负的情形），达到逻辑推理、数学运算核心素养学业质量水平二的层次。 4. 经历“回归定义找依据、换元转化、类比获得思路、数形结合理解结论”的解题过程，体会研究函数问题的一般思路，发展直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。 以上四个维度相互融合、相互渗透，共同指向“会用正弦函数、余弦函数的图象与性质解决简单问题”这一核心目标。 3. 教学重难点 重点：正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用，即用周期、最值、单调性解决求周期、求最值、比较大小、求单调区间等四类问题。 难点：构建求函数周期、单调区间的思路及对所得结论的理解，尤其是换元法的规范表达，以及自变量系数为负时单调区间的求解。 二、说学情 1. 知识基础 对本课而言，学生在前两课时已经能够默写正弦函数、余弦函数的定义域、值域、图象、周期、奇偶性、对称轴、对称中心、单调区间、最大值点、最小值点等性质，理解了周期函数、奇偶性等概念的定义；同时具备用“换元”进行代数变形的初步经验，也积累了此前学习幂函数、指数函数、对数函数时利用单调性比较大小的基本经验。这些都为本节课的应用奠定了坚实的知识基础。 2. 认知特点 高一学生已经具备一定的观察、类比和运算能力，对“用已有知识解决新问题”的方式抱有期待，但认知上仍存在以下困难：一是面对形如等复合函数时，想不到或不会规范地用换元法将其化归为熟悉的三角函数，且对“周期的变化与自变量系数有关”缺乏几何直观；二是求最值时容易忽略“取最值时自变量x的集合”的完整表达；三是利用单调性比较大小时，不善于先将角化简转化到同一个单调区间；四是求单调区间时极易忽略自变量系数为负的情形。教师需引导学生经历“梳理总结→例题应用→小结结构”的认知过程，完成从“记忆性质”到“应用性质”的思维跨越。 三、说教法学法 基于学情分析，我采用以下教法与学法： 教法方面： 第一，问题驱动法。以“如何求周期？如何求最值？如何比较大小？如何求单调区间？”的问题串层层推进，在每道例题中通过追问“如何转化为熟悉的函数求解”，制造认知冲突，引导学生自主发现化归的思路。 第二，启发式与多媒体结合法。借助GeoGebra等信息技术动态展示等函数在同一坐标系中的图象，让学生直观看到周期随系数ω的变化，突破“对所得结论的理解”这一难点；在变式教学中也借助图象直观揭示负系数对单调性的影响，给学生“看得见”的数学。 第三，分层教学法。贯彻启发性原则，体现教师主导、学生主体，做到提问分层、评价分层、练习分层，既关注全体学生的基础落实，又为学有余力的学生提供拓展空间。 学法方面： 引导学生采用自主探究与合作交流相结合的方式。在例题应用环节，让学生先独立思考、尝试求解，再小组交流展示解题思路，通过板演暴露思维过程，教师适时点评纠错；在方法提炼环节，引导学生自主梳理“换元转化”的程序步骤与易错点，主动建构应用图象与性质解决问题的知识体系。 四、说教学过程 这是本节课的核心。下面我将重点阐述教学过程，本节课我设计了5个教学环节： 环节一：梳理总结，提出问题 首先，我将请学生独立默写正弦函数、余弦函数图象与性质的表格（表5.4-3，包括定义域、值域、图象、周期、奇偶性、对称轴、对称中心、单调区间、最大值点、最小值点等），之后互相批改、修改完善，为本节课的应用扫清障碍。 接着提出两个追问：如何理解点(π,0)也是正弦函数y=sinx的对称中心？如何理解直线是正弦函数y=sinx的对称轴？引导学生仿照函数奇偶性的研究，先直观感知图象特征，再进行代数论证——由 说明图象关于点(π,0)中心对称；由说明图象关于直线轴对称。 设计意图：复习巩固正弦函数、余弦函数的图象和性质，为本节课的应用扫清拦路虎；通过追问对拓展的性质进行研究，渗透数形结合思想。 环节二：例题练习，巩固理解 这是本节课的核心环节，我将通过四个典型例题，带领学生逐一掌握求周期、求最值、比较大小、求单调区间的思路与方法。 例2求周期：依次求的周期。我先追问：周期性的定义是什么？依据定义要得到怎样的关系式才能确定周期？ 引导学生回忆并默写f(x+T)=f(x)，进而思考如何将复合函数化归为熟悉的三角函数。学生在追问引导下想到换元，但往往说不清规范的表达、不理解周期的几何意义，这是本例的难点所在。我将基于学生课堂上的生成，示范“换元转化”的完整程序：第一步，令z=ωx+φ，将函数化归为y=sinz；第二步，利用y=sinz的周期2π找关系；第三步，按定义变形，写出f(x+T)=f(x)；第四步，确定结论。同时利用信息技术在同一坐标系中画出三个函数的图象，让学生直观看到周期变化与自变量系数ω的关系，顺势归纳出函数y=Asin(ωx+φ)（ω>0）的周期为。 例3求最值：求y=cosx+1、y=−3sin2x的最大值与最小值，并写出取最值时自变量x的集合。追问“如何转化为熟悉的函数求解”，学生类比例2用换元法求解，教师强调先确定标准函数（如sinz、cosz），再回代x，完整书写“取最大值的x的集合”与“取最小值的x的集合”。 例4比较大小：不通过求值，比较与与的大小。 追问：在幂函数、指数函数和对数函数中比较大小的依据是什么？步骤是什么？学生类比得出“化到同一单调区间、再借助单调性比较”的思路——对于(1)，可直接利用正弦函数在上的单调性；对于(2)，要先用诱导公式将角化简，使两个角落在余弦函数的同一个单调区间内。之后鼓励学生借助单位圆直观验证，实现数与形的互证。 例5求单调区间：求的单调递增区间。追问：如何转化为熟悉的函数求解？可以类比之前的哪个例题获得思路？学生想到类比例2，令，先求z的范围，再找y=sinz的单调递增区间，回代解不等式即可。 变式：求的单调递增区间。 追问：变式与例5的差异是什么？这种差异对函数单调性有怎样的影响？会有部分学生直接套用换元而出错，此时我回到追问分析出错原因，借助图象直观感知负系数对单调性的影响，再引导学生得到两种解法——解法一是换元后找y=sinz的单调递减区间；解法二是先用诱导公式将函数化简为正系数形式再求解，从而真正理解此类函数单调性受哪些因素影响。 设计意图：通过四类典型问题的应用，巩固对周期、最值、单调性概念的理解，构建“回归定义、换元转化、类比迁移、数形结合”的解题思路，提升学生的逻辑推理与数学运算素养。 环节三：小结提升，形成结构 我将提出两个问题：一是回顾本课解决问题的过程，主要用到了哪些思想方法？要注意什么问题？二是能否用结构图反映前三节课的研究内容和过程？ 学生先自主总结、小组讨论，师生共同完善：解决问题时用到的主要思想方法有回归定义找依据、通过换元将问题转化、类比获得思路、数形结合理解结论等；在求函数的周期和单调区间时要注意系数的作用，特别是自变量系数为负的情况。结构图方面，从三角函数定义出发，通过几何描点得到正弦函数图象，正弦函数图象与余弦函数图象相互联系，二者再通过数形结合得到正弦函数、余弦函数的性质，最终指向应用。 设计意图：通过小结复习巩固本单元所学的知识，加深对正弦函数、余弦函数的理解，体会研究函数性质的一般思路和方法，形成知识结构。 环节四：目标检测，检验效果 我设计五道检测题：①求与的周期，并借助信息技术作图检验；②判断、、、哪些是奇函数、哪些是偶函数；③求、取最大值、最小值时自变量的集合及最大值、最小值；④不通过求值，比较与、与的大小；⑤求，的单调递减区间。学生当堂完成、交流反馈，教师据此查漏补缺。 设计意图：前两题分别考查求函数周期与判断奇偶性的方法，后三题考查对函数最值、单调性的理解，全面检验学习效果。 环节五：布置作业，应用迁移 作业1：教科书第213～214页习题5.4第2、4、5、6、10、11、15、16、18、19题，巩固学生对正弦函数、余弦函数图象与性质的理解。 作业2：求函数（）及（）的周期，引导学生在具体问题的基础上探索一般规律。 设计意图：作业1通过训练提高学生分析问题、解决问题的能力，发展学生逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养；作业2引导学生从特殊到一般，发展学生的“四能”。 五、说板书设计 我的板书力求简洁清晰、重点突出，便于学生笔记和课后复习，按“条块式”呈现： 总之，我希望通过本节课的教学，学生收获的不仅是“求周期、求最值、比较大小、求单调区间”这四类问题的解题技能，更是对“回归定义、换元转化、类比迁移、数形结合”等数学思想方法的深刻体验，以及“图象直观、性质奠基、应用落地”的研究函数的一般路径。我的说课到此结束，感谢各位评委老师的聆听！ 学科网（北京）股份有限公司 $