5.4 三角函数的图象与性质 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦三角函数的图象与性质核心知识，通过回顾弧度制与单位圆，以诱导公式为支架，引导学生从[0,2π]区间图象探究入手，经平移得到完整图象，衔接周期性规律与图象直观呈现。 此资料以数形结合与探究发现为特色，通过单位圆描点到五点法作图培养几何直观（数学眼光），从图象重复现象抽象周期函数定义发展逻辑推理（数学思维），例题求周期、比较大小提升应用意识（数学语言），助力学生直观理解性质，为教师提供清晰教学路径。

人教A版 5.4 三角函数的图象与性质 教学设计-2026-2027学年 必修第一册 高一 数学 教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 教材版本 人教A版 必修第一册 课题名 三角函数的图象与性质 章节 第五章 三角函数 5.4 三角函数的图象与性质 课型 新授课 课时 1课时 授课对象 高一学生 教学方法 启发引导与探究发现相结合 教学手段 多媒体与板书结合 教学重点 正弦、余弦、正切函数的图象及其性质 教学难点 周期函数与最小正周期概念的理解 学情分析 已学弧度制与单位圆，具备基本描点作图能力 前置基础 诱导公式与三角函数定义 教材分析 承接周期性规律，延伸至图象直观呈现 学习目标 掌握图象画法与核心性质 评价方式 课堂提问与作图演练 作业反馈 课后练习巩固 教学目标 （1）理解周期函数及最小正周期的概念，能运用五点法画出正弦函数与余弦函数的简图，掌握正弦、余弦、正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性与单调性等核心性质。 （2）经历从单位圆描点到五点法作图的探究过程，体会数形结合与化归思想，提升直观想象与逻辑推理素养，能够利用图象直观分析函数的变化规律并解决简单的综合问题。 教学内容 本节课的核心内容是正弦、余弦、正切三种三角函数的图象绘制方法与主要性质的系统梳理。在弧度制下，角的集合与实数集建立一一对应，为绘制三角函数图象奠定了基础。作图思路上，由诱导公式 sin(x±2π)=sin x 与 cos(x±2π)=cos x 可知，只需先画出 [0,2π] 上的图象，再向左右平移即可得到整个定义域内的图象。 对于正弦函数 y=sin x，采用单位圆十二等分描点法画出 [0,2π] 上的精确图象，进而平移得到正弦曲线；在精确度要求不高时，利用五个关键点 (0,0)、(,1)、(π,0)、(,−1)、(2π,0) 描点连线即可得到简图，即五点法。对于余弦函数 y=cos x，由 cos x=sin(x+) 可知，将正弦曲线向左平移 个单位长度即得余弦曲线。 性质方面，设函数 f(x) 的定义域为 D，若存在非零常数 T，使得对每一个 x∈D 都有 x+T∈D 且 f(x+T)=f(x)，则 f(x) 叫做周期函数，T 叫做这个函数的周期；所有周期中最小的正数叫做最小正周期。正弦与余弦函数的最小正周期均为 2π，函数 y=Asin(ωx+φ) 及 y=Acos(ωx+φ)（A≠0，ω>0）的周期 T=。正弦与余弦函数的定义域均为 R，值域均为 [−1,1]；正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数。正弦函数在 [+2kπ,+2kπ](k∈Z) 上单调递增，在 [+2kπ,+2kπ](k∈Z) 上单调递减；余弦函数在 [2kπ,2kπ+π](k∈Z) 上单调递减，在 [2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z) 上单调递增。 正切函数方面，由 tan(x+π)=tan x 知其为周期函数且周期为 π，由 tan(−x)=−tan x 知其为奇函数。借助单位圆中的正切线 AT 可知，当 x 趋向 时，AT 趋向无穷大，图象向右上方无限逼近直线 x=。正切曲线由被直线 x=+kπ(k∈Z) 隔开的无穷多支形状相同的曲线组成，正切函数在每一个区间 (+kπ,+kπ)(k∈Z) 上单调递增，值域为 R。 教学重点 教学重点是正弦、余弦、正切函数的图象及其性质（周期性、奇偶性、单调性、最值），以及五点法画图。教学难点在于周期函数与最小正周期概念的理解，利用周期性、奇偶性把局部图象与性质拓展到整个定义域，由 y=sin x 的图象经平移、伸缩认识 y=Asin(ωx+φ) 的周期 T=，以及正切函数的渐近行为与分段单调性的理解。 教学过程 （1）情境导入与图象探究。教师引导学生回顾弧度制下角的集合与实数集的一一对应关系，提出本节核心问题：既然三角函数是以实数为自变量的函数，能否像研究二次函数那样画出图象并研究性质？教师进一步追问：由诱导公式 sin(x±2π)=sin x 可知，正弦函数值每隔 2π 重复出现，那么要画出正弦函数的完整图象，应先画出哪个区间上的图象？预设学生回答：只需先画出 [0,2π] 上的图象。教师追问原因，引导学生说出由诱导公式可将 [0,2π] 上的图象不断向左、向右平移（每次移动 2π 个单位长度）即可得到 y=sin x，x∈R 的图象。 （2）正弦函数图象与五点法。教师演示单位圆描点法：将单位圆十二等分，把 [0,2π] 十二等分描点连线，画出正弦曲线。教师指出正弦曲线是波浪起伏的连续光滑曲线。随后教师提问：在精确度要求不高时，是否需要描出很多点？引导学生观察 [0,2π] 上图象的关键位置，师生共同确认五个关键点 (0,0)、(,1)、(π,0)、(,−1)、(2π,0)，它们确定了图象的形状与走向，描出这五个点并用光滑曲线连接即得简图，这就是五点法。 （3）余弦函数图象。教师提问：如何由正弦曲线得到余弦曲线？引导学生利用 cos x=sin(x+)，说明只需把正弦曲线向左平移 个单位长度即可得到余弦曲线。教师让学生用五点法在同一坐标系中画出 y=cos x 在 [0,2π] 上的简图，预设学生能找出五个关键点 (0,1)、(,0)、(π,−1)、(,0)、(2π,1)。 （4）周期函数概念与周期公式。教师引导学生从图象重复出现的现象中抽象出周期函数的定义：设函数 f(x) 的定义域为 D，如果存在一个非零常数 T，使得对每一个 x∈D 都有 x+T∈D，且 f(x+T)=f(x)，那么函数 f(x) 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期。教师追问：一个周期函数的周期是否唯一？预设学生发现 2kπ(k∈Z 且 k≠0) 都是正弦与余弦函数的周期。教师指出：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做最小正周期；正弦、余弦函数的最小正周期均为 2π。教师补充说明，本书不加特别说明时，周期一般指最小正周期。对于 y=Asin(ωx+φ) 及 y=Acos(ωx+φ)(A≠0，ω>0)，教师引导学生推导其周期 T=。 （5）正弦、余弦函数的性质。教师组织学生结合图象，从定义域、值域、奇偶性、单调性与最值五个方面梳理性质。定义域均为 R，值域均为 [−1,1]；由 sin(−x)=−sin x 知正弦函数是奇函数，由 cos(−x)=cos x 知余弦函数是偶函数。单调性方面，正弦函数在每一个闭区间 [+2kπ,+2kπ](k∈Z) 上都单调递增，在每一个闭区间 [+2kπ,+2kπ](k∈Z) 上都单调递减；余弦函数在每一个闭区间 [2kπ,2kπ+π](k∈Z) 上单调递减，在 [2kπ+π,2kπ+2π](k∈Z) 上单调递增。最值方面，正弦函数当且仅当 x=+2kπ(k∈Z) 时取得最大值 1，当且仅当 x=+2kπ(k∈Z) 时取得最小值 −1；余弦函数当且仅当 x=2kπ(k∈Z) 时取得最大值 1，当且仅当 x=π+2kπ(k∈Z) 时取得最小值 −1。 （6）正切函数的性质与图象。教师引导学生由 tan(x+π)=tan x 知正切函数是周期函数且周期为 π，由 tan(−x)=−tan x 知正切函数是奇函数。教师借助单位圆讲解正切线：在单位圆中，tan x 的值可用线段 AT 的长度表示，当 x∈[0,) 时随 x 增大 AT 增大，x 趋向 时 AT 趋向无穷大，图象向右上方无限逼近直线 x=。教师指出，根据奇偶性和周期性，把 y=tan x，x∈(,) 的图象向左、右平移（每次平移 π 个单位）即得正切曲线，它是由被与 y 轴平行的一系列直线 x=+kπ(k∈Z) 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的。正切函数在每一个区间 (+kπ,+kπ)(k∈Z) 上都单调递增，值域是 R。 （7）例题精讲。例1：用五点法画出函数 y=1+sin x，x∈[0,2π] 的简图。解析：五个关键点为 (0,1)、(,2)、(π,1)、(,0)、(2π,1)，在坐标系中描出这五个点，用光滑曲线顺次连接，即将 y=sin x 的图象向上平移 1 个单位得到。答案：图象为 y=sin x 图象向上平移 1 个单位，经过上述五个关键点。 例2：求函数 y=2sin(x−) 的周期与值域。解析：该函数符合 y=Asin(ωx+φ)（A≠0，ω>0）的形式，其中 A=2，ω=，周期 T===4π。由于 sin(x−) 的取值范围为 [−1,1]，故 2sin(x−) 的取值范围为 [−2,2]，值域为 [−2,2]。答案：周期为 4π，值域为 [−2,2]。 （8）巩固练习。练习1：用五点法画出函数 y=cos x−1，x∈[0,2π] 的简图。答案：五点为 (0,0)、(,−1)、(π,−2)、(,−1)、(2π,0)，图象由 y=cos x 向下平移 1 个单位得到。练习2：求函数 y=3cos(2x+) 的周期。答案：ω=2，T==π。练习3：比较 sin() 与 sin() 的大小。答案：正弦函数在 [,] 上单调递增，<，故 sin()<sin()。 （9）课堂小结。教师引导学生回顾本节核心知识：正弦曲线用单位圆描点法绘制，五点法是画简图的实用方法；余弦曲线由正弦曲线左移 得到；周期函数定义中非零常数 T 的存在是关键，y=Asin(ωx+φ) 的周期 T=；正弦、余弦函数的定义域、值域、奇偶性、单调性与最值需结合图象理解记忆；正切函数周期为 π，在每一个区间 (+kπ,+kπ)(k∈Z) 上单调递增，值域为 R，图象被直线 x=+kπ 隔开。 （10）作业布置。教材课后练习题第1题至第3题，要求用五点法规范作图并写出关键点坐标；完成性质表格的整理，将正弦、余弦、正切函数的周期、奇偶性、单调区间与值域列表对比。 学科网（北京）股份有限公司 $