精品解析：甘肃天水市清水县第三中学2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

2026-2027学年度第一学期第一次质量检测 九年级数学（150分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，计算错误． B选项，，计算错误， C选项，，计算正确， D选项，，计算错误． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3. 下列根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：把B、C、D选项化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义判断可知：选项A、B、C与不是同类二次根式. 故选D. 考点：同类二次根式． 4. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断． 【详解】A.含有，不是一元二次方程，不合题意； B.整理得，-x+1=0，不是一元二次方程，不合题意； C．x2=0是一元二次方程，故此选项符合题意； D.当a=0时，ax2+bx+c=0，不是一元二次方程，不合题意． 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）． 5. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把先移项，再因式分解后，解出即可得答案． 【详解】解： 移项得：， 因式分解得：， ∴或， ∴，． 6. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式即可．解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 【详解】解： ． 故选：C． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】利用根的判别式判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 8. 若是整数，则正整数的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先将中能开方的因数开方，然后再判断n的最小正整数值． 【详解】解：∵ 若是整数， 则是整数， ∴正整数的最小值是3， 故选：B． 【点睛】考查了二次根式定义，解题的关键是能够正确的对进行开方化简． 9. 二次根式化成最简结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 10. 已知是方程的根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握若是一元二次方程 ，则 是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 12. 化简：=________；________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】化简二次根式时，先分解被开方数得到完全平方因数，带分数先化为假分数，再利用二次根式的性质化简． 【详解】解：∵ ， ∴ ； 先将带分数化为假分数，得， ∵ ， ∴ ． 13. 若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 _____． 【答案】 且 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0有两个不相等的实数根， ∴且 ， 解得： 且 ． 故答案为： 且 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数 ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根是解题的关键． 14. 方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为 _____，积为 _____． 【答案】 ①. 3 ②. 2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：解题． 【详解】解：方程x2﹣3x+2＝0 故答案为：3，2． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系—韦达定理，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 15. 若，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数的性质得，则根据绝对值的意义得到x-3≥0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴x-3≥0， 即x≥3． 故答案为：x≥3． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简：解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 16. 观察下列数据：，，，，，…，寻找规律，第个数据应是________． 【答案】 【解析】 【分析】将所有数据统一改写为二次根式，观察被开方数与数据序号的关系，归纳得到一般规律． 【详解】解：将所有数据改写为二次根式形式：第1个数： 第2个数： ； 第3个数： ； 第4个数： ； 第5个数： ... 由此可归纳出规律，第个数据为． 三、解答题（共46分） 17. 计算 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ． 19. 已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示． （1）判断正负，用“”“”填空：______0，______0． （2）化简：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据数轴得到且，结合有理数运算法则直接计算即可得到答案． （2）根据数轴得到且，根据根式的性质及绝对值的性质直接化简求值即可得到答案． 【小问1详解】 解：由数轴得： ，且， ，， 故答案为：；． 【小问2详解】 由数轴得： ，且， 原式 ． 【点睛】本题考查算术平方根及根据数轴判断式子的值、绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握根式的性质及根据数轴得到且． 20. 阅读以下材料：观察下列等式，找找规律 ① ②； ③ （1）化简： （2）计算： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）仿照材料中的分母有理化方法，分子分母同乘，利用平方差公式化简； （2）先将每一项进行分母有理化，再通过抵消中间项计算结果． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 已知关于的方程． （1）求证：不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一个根． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵无论取何实数，， ∴，即， ∴不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根． （2）的值为，方程的另一个根为 【解析】 【分析】（1）运用根的判别式“，有两个不相等的实数根；，有两个相等的实数根；，无实数根；”即可求解； （2）将代入方程，得到，再代入方程，运用因式分解法即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入方程，得 ， 解得， 将代入方程，得 ， 解得， ∴的值为，方程的另一个根为． 四、解答题（共50分） 22. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】将进行因式分解，然后把代入即可求解； 将变形为，然后把，代入即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 23. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式大于0建立不等式，解不等式即可得； （2）先利用一元二次方程的根与系数的关系可得，再结合（1）的结论即可得． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式， 解得． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得或， 由（1）已得：， 则的值为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题关键． 24. 观察下列各式及其验证过程： ．验证：． ．验证： （1）按照上述规律，直接写出的结果是___________ （2）针对上述各式反映的规律，写出用为自然数，且表示的等式，并给出证明． 【答案】（1） （2）（n为自然数，且）， 证明： 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、规律型问题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． （1）根据规律，可得到答案． （2）根据观察等式，可发现规律，根据规律，可得到答案． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 25. 阅读下面的材料，回答问题． 解方程：． 这是一个一元四次方程，它的解法通常是： 设，那么，∴原方程可变为．解得：． 当时，，∴． 当时，，∴． ∴原方程有4个根：． 请参照例题解方程． 【答案】；． 【解析】 【分析】仿照例题，设，则，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设，则， ∴原方程可变为，即， 解得，． 当时，，即， ， ∴此方程无解； 当时，，即， ∴， ∴；； ∴原方程有两个根：；． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法及理解题意是解题的关键． 26. 阅读：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方 请根据阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出的一种形式的配方； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1） （答案不唯一） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将二次项与一次项组合，利用完全平方公式配成完全平方式，调整常数项即可得到配方形式； （2）将等式中含x、y的项分别分组配方，根据平方的非负性求出x、y的值，代入代数式计算； （3）将等式左边拆项后分组配方，根据平方的非负性求出a、b、c的值，代入代数式计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， 解得，，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期第一次质量检测 九年级数学（150分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列根式中，与是同类二次根式的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 若是整数，则正整数的最小值是（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 12 9. 二次根式化成最简结果为（ ） A. B. C. D. 10. 已知是方程的根，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 0 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 12. 化简：=________；________． 13. 若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 _____． 14. 方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为 _____，积为 _____． 15. 若，则的取值范围是_____________． 16. 观察下列数据：，，，，，…，寻找规律，第个数据应是________． 三、解答题（共46分） 17. 计算 （1） （2）． 18. 解方程 （1） （2） （3） 19. 已知实数a，b的对应点在数轴上的位置如图所示． （1）判断正负，用“”“”填空：______0，______0． （2）化简：． 20. 阅读以下材料：观察下列等式，找找规律 ① ②； ③ （1）化简： （2）计算： 21. 已知关于的方程． （1）求证：不论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一个根． 四、解答题（共50分） 22. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 23. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 24. 观察下列各式及其验证过程： ．验证：． ．验证： （1）按照上述规律，直接写出的结果是___________ （2）针对上述各式反映的规律，写出用为自然数，且表示的等式，并给出证明． 25. 阅读下面的材料，回答问题． 解方程：． 这是一个一元四次方程，它的解法通常是： 设，那么，∴原方程可变为．解得：． 当时，，∴． 当时，，∴． ∴原方程有4个根：． 请参照例题解方程． 26. 阅读：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．例如：是的一种形式的配方，是的另一种形式的配方 请根据阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出的一种形式的配方； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $