精品解析：甘肃省天水市清水县第八中学2025-2026学年九年级上学期第二次月考数学试卷

清水八中2025-2026学年度第一学期第二次月考试卷 八年级数学 一、单选题（每小题3分） 1. 的平方根为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，平方根，关键是掌握算术平方根，平方根的定义． 先计算的值，再求其平方根． 【详解】解：的平方根为． 故选：B． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 2是的算术平方根 B. 是16的算术平方根 C. 的平方根是 D. 1的平方根是它本身 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：A、没有算术平方根，原说法错误，不符合题意； B、是16的算术平方根，不是16的算术平方根，原说法错误，不符合题意； C、的平方根是，原说法正确，符合题意； D、1的平方根是，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 3. 已知正数的两个平方根是和，那么的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根．利用一个正数的平方根互为相反数的性质，列方程求解x，再计算m的值，即可作答． 【详解】解：∵正数的两个平方根是和， ∴， 即， ∴， 把代入，得， ∴， 故选：C． 4. 在3.14，，，，，，，3.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2）中，无理数的个数是 （       ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，求算术平方根，根据无理数是无限不循环小数进行判断即可． 【详解】解：在3.14，，，，，，，3.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2）中， 无理数有，，，，3.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2）共5个． 故选：C． 5. 已知，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，通过令 ，将原方程化为关于 的完全平方形式，求解得到 ，再计算奇数次幂； 【详解】解：∵ ， 令 ，则 ， ∴ 原方程化为 ， 即 ， ∴ ，即 ， ∴ ； 故选：A 6. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和同底数幂相除，熟练掌握运算法则是解题关键； 直接利用运算法则逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，故 A错误； B、，故B正确； C、，故 C错误； D、，故 D错误； 故选：B． 7. 下列命题中，是真命题的是（） A. 有两个角相等的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 等边三角形有三条对称轴 D. 1的平方根等于它本身 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查命题的真假判断，涉及等腰三角形与等边三角形的区别、绝对值的性质、等边三角形的对称轴以及平方根的概念． 根据等腰三角形与等边三角形的区别、绝对值的性质、等边三角形的对称轴以及平方根的概念，逐项分析判断即可． 【分析】解：∵两个角相等的三角形是等腰三角形，但不一定是等边三角形， ∴A是假命题． ∵时，a与b可能相等也可能互为相反数， ∴B是假命题． ∵等边三角形有三条对称轴， ∴C是真命题． ∵1的平方根是，并不都等于1本身， ∴D是假命题． 故选C． 8. 如图，在中，，，于点，于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三线合一，直角三角形等相关内容，解题关键在于熟练掌握其知识点解题即可； 由题得，可知，即可求解. 【详解】解：∵中，，，于点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：B. 9. 如图，已知，从下列条件中补充一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，全等三角形的判定定理有，看看是否符合定理，即可判断选项． 【详解】解：A、在和中， ， ∴，故本选项不符合题意； B、∵， 在和中， ， ∴，故本选项不符合题意； C、在和中，与不是对应角， ∴不能推出，故本选项符合题意； D、在和中， ， ∴，故本选项不符合题意； 故选：C． 10. 如图，在中，与的平分线相交于点，过点作交于，交于．若，，，则的周长为（ ） A. 30 B. 33 C. 36 D. 39 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，从而得到，根据等角对等边的性质可得，同理可得，然后求出的周长，代入数据进行计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴的周长， ， ∴的周长． 故选：A． 二、填空题（每小题4分） 11. “等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是______． 【答案】三个内角都相等的三角形是等边三角形 【解析】 【分析】本题考查逆命题的概念，逆命题是通过交换原命题的条件和结论形成的． 【详解】解：原命题的条件是“三角形是等边三角形”，结论是“三个内角都等于60°”，交换条件和结论后，逆命题为“三个内角都等于60°的三角形是等边三角形”． 故答案为∶三个内角都等于60°的三角形是等边三角形． 12. 已知，则表示的式子为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多项式除单项式，熟练掌握多项式除以单项式的除法法则是解决本题的关键． 根据多项式除单项式的除法法则解决此题． 【详解】解：由已知等式 ，得， 将分子各项分别除以分母：，， 故， 故答案为：； 13. 因式分解___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行计算即可． 本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 如图，已知等边，在延长线上，在上，若，则_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，由是等边三角形，则，然后通过三角形外角性质和等腰三角形性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，是内一点，．若，则___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的计算和推理能力． 根据等腰三角形的性质得出，求得，得出，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：，， ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 16. 求下列各式中的x． （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解答的关键． （1）通过移项和开平方求解； （2）通过移项和开立方求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式 ． 18. （1）计算： （2）化简： （3）设， ①求，的值；②求的值． 【答案】（1） （2） （3）① ，；② 【解析】 【分析】（1）根据有理数乘方、绝对值、立方根和平方根的定义计算； （2）根据同底数幂的乘除和积的乘方法则化简； （3）①直接代入计算和与积；②利用完全平方公式求值． 本题考查了实数的混合运算，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，以及完全平方公式等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3）①， ； ② ． 19. 如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作一个，使得，．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作三角形，先作射线，再以点A为圆心，线段的长为半径画弧交射线于D，接着以点D为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于B，再接着作，最后以点A为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于C，连接，则即为所求． 【详解】略 20. 如图，，，垂足分别为，，且，．求证：． 【答案】 证明：，， ， ， ，即， 在与中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．由，可得，根据得到，证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 21. 如图，在同一直线上，，，． （1）求证：； （2）_________可以通过怎样的图形变换得到？ 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）沿方向． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平移的性质，全等三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，然后通过“”即可求证； （）根据平移性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：沿方向平移可以通过怎样的图形变换得到， 故答案为：沿方向． 22. 如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．求证： 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先证明，结合，，即可得到结论． 【小问1详解】 略 23. 如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2） 证明：， ， ， ． 是等边三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定； （1）由题意易得，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证． 【小问1详解】 解：， ． ， ． ． ， ． ． ； 【小问2详解】 略 24. 数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合是初中数学非常重要的思想方法之一，数形结合可以使数与形之间相互转化．如图，现有A、B、C三种卡片若干． （1）观察图1，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式； （2）现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值； （3）观察图2，分解因式： 【答案】（1） （2）21 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，解题的关键是： （1）最右边一幅图的面积等于边长为的大正方形的面积，又等于一个边长为a的小正方形面积加上两个长为，宽为b的长方形面积，再加上边长为的小正方形的面积，据此可得答案； （2）先计算出，则一共需要A卡片6张，B卡片11张，C卡片5张，据此可得答案； （3）观察图形可知，3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片的面积之和等于长为，宽为的长方形面积，据此可得答案． 【小问1详解】 解∶最右边图的面积等于边长为的大正方形的面积，即为，也等于边长为a的小正方形面积加上两个长为，宽为b的长方形面积，再加上边长为的小正方形的面积，即， ∴； 【小问2详解】 解： ， ∴一共需要A卡片6张，B卡片11张，C卡片4张， ∴，，， ∴； 【小问3详解】 解：观察图形可知，图2中一共用了3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片，组成的是一个长为，宽为的长方形， ∵3张A卡片，5张B卡片，2张C卡片的面积之和等于长为，宽为的长方形面积 ∴． 25. 如图1，在四边形中，，点在边上上，且． （1）求证：． （2）如图2，若，．点从点出发，沿折线以速度为每秒2个单位长度向终点运动；点从点出发，沿折线以速度为每秒1个单位长度向终点运动；，向作垂线，垂足分别为，．设点的运动时间为．当与，，三点构成的三角形全等时，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， （2）长为或或 【解析】 【分析】（1）根据题意，，可以得到、互余，、互余，因此得到． （2）根据题意分析，要使，需要满足，经分析、运动情况可以分为三种：当在段，在段时，列出等量关系，求出的长；当在段，在段时，列出等量关系，求出的长；当在段，在段时，列出等量关系，求出的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）知：， 在和中， ，， 现在只需要即可满足， 经分析，若要，、运动情况可以分为三种： 当在段，在段时， ，解得， 此时， 当在段，在段时， ，解得， 此时， 当在段，在段时， ， 此时， 故答案为长为或或 【点睛】本题考查了三角形全等，直角三角形两锐角互余，路程、速度、时间的知识点，在分析中，利用已知速度的关系，合理分析满足时，，的三种运动情况是解答本题的关键． 26. （1）【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在中，，点在上，在的延长线上，交于，且，求证：，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过点作交于，进而解决了该问题，请继续完成证明． （2）【探究】如图③，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点．试探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论． （3）【应用】如图④，在正方形中，为边的中点，分别为，边上的点，若，则的长为____________． 【答案】【感知】 续写证明：， ，， ， ， ． ， ， ， ， 又， ． 【探究】 解：． 如图1， 分别延长，交于点， ， ， ∵为边的中点， ， ， ， 又， ， 而， ， ， ． 【应用】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质和等腰三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质等知识点，关键在于熟练掌握其判定与性质，难点在于正确作出辅助线． 【感知】由可得，进一步可证明，可得，再倒角即可得出结论． 【探究】分别延长，交于点，根据已知条件可以得到，由此得到，又，，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理可以证明，即可得出结论． 【应用】延长交的延长线于．只要证明，推出，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题． 【详解】【感知】略 【探究】略 【应用】解：如图2， 延长交的延长线于， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清水八中2025-2026学年度第一学期第二次月考试卷 八年级数学 一、单选题（每小题3分） 1. 的平方根为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 2是的算术平方根 B. 是16的算术平方根 C. 的平方根是 D. 1的平方根是它本身 3. 已知正数的两个平方根是和，那么的值是（ ） A. 2 B. C. D. 4. 在3.14，，，，，，，3.212212221…（相邻两个1之间依次增加一个2）中，无理数的个数是 （       ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 5. 已知，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2025 6. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列命题中，是真命题的是（） A. 有两个角相等的三角形是等边三角形 B. 若，则 C. 等边三角形有三条对称轴 D. 1的平方根等于它本身 8. 如图，在中，，，于点，于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知，从下列条件中补充一个条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，与的平分线相交于点，过点作交于，交于．若，，，则的周长为（ ） A. 30 B. 33 C. 36 D. 39 二、填空题（每小题4分） 11. “等边三角形的三个内角都等于”的逆命题是______． 12. 已知，则表示的式子为_______ 13. 因式分解___________． 14. 如图，已知等边，在延长线上，在上，若，则_____． 15. 如图，是内一点，．若，则___________． 三、解答题 16. 求下列各式中的x． （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. （1）计算： （2）化简： （3）设， ①求，的值；②求的值． 19. 如图，已知线段a，b和，用直尺和圆规作一个，使得，．（保留作图痕迹，不写作法） 20. 如图，，，垂足分别为，，且，．求证：． 21. 如图，在同一直线上，，，． （1）求证：； （2）_________可以通过怎样的图形变换得到？ 22. 如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，．求证： 23. 如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． （1）求的度数； （2）求证：是等边三角形． 24. 数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合是初中数学非常重要的思想方法之一，数形结合可以使数与形之间相互转化．如图，现有A、B、C三种卡片若干． （1）观察图1，请用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式； （2）现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值； （3）观察图2，分解因式： 25. 如图1，在四边形中，，点在边上上，且． （1）求证：． （2）如图2，若，．点从点出发，沿折线以速度为每秒2个单位长度向终点运动；点从点出发，沿折线以速度为每秒1个单位长度向终点运动；，向作垂线，垂足分别为，．设点的运动时间为．当与，，三点构成的三角形全等时，求的长． 26. （1）【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在中，，点在上，在的延长线上，交于，且，求证：，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过点作交于，进而解决了该问题，请继续完成证明． （2）【探究】如图③，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点．试探究线段与之间的数量关系，并证明你的结论． （3）【应用】如图④，在正方形中，为边的中点，分别为，边上的点，若，则的长为____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $