精品解析：甘肃兰州市第八十一中学2025-2026学年九年级上学期学情自测数学试题

2025-2026学年九年级上学期学情自测数学试题（2月） 一．选择题（每题3分，满分33分） 1. 在，，，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 计算的结果是（ ） A. B. 4 C. 3 D. 3. 已知，是从的顶点引出的一条射线，若，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴正半轴上，点坐标为，矩形与矩形关于原点位似，且相似比为，那么点的坐标为（　　） A. B. 或 C. D. 或 5. 小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 7. 反比例函数的图象经过、两点，则的值为（　　） A. B. C. D. 8. 在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中有这样一道题：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？其大意是：今有5只雀、6只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少？假设雀每只重x斤，燕每只重y斤，根据题意可列出方程组（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系 C. 二次函数关系，一次函数关系 D. 正比例函数关系，一次函数关系 二．填空题（每题3分，满分12分） 12. 把因式分解的结果是_________． 13. 射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如下表，请根据表中信息估计新手是__________．（填写“甲”或“乙”） 甲 乙 平均成绩（单位：环） 6.58 7.67 方差 6.91 0.72 14. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝_____． 15. 如图，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），分别与交于点F，G（底边与腰的比为的等腰三角形）．若，则的长为 _________ ． 三．解答题（共11小题，满分75分） 16. 化简：． 17. 解方程：． 18. 解不等式组： 19. 如图，反比例函数的图像经过点，一次函数的图像经过点且与反比例函数图像的另一个交点为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式，并在图中画出该一次函数的图像； （2）结合图像，直接写出不等式组的解集_________． （3）把的图像向下平移4个单位长度，若平移后的直线与反比例函数的图像在第三象限交于点，求的面积． 20. 已知：如图，北方某地夏季中午，太阳正高，光线与地面成角，房屋朝南的窗子高，要在窗子外面上方安装水平挡光板，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度至少应是多少厘米（结果精确到）？如果冬天正午时，光线与地面成角，窗台的高为，按照上面要求设计挡光板的宽度，理论上太阳光最远能照进室内多少厘米（结果精确到）？ 21. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长16米）的空地上修建一个矩形花园．如图所示，花园一面靠墙，另外三面由栅栏围成．花园分成了面积相等的区域①、区域②、区域③三块矩形区域，也用栅栏分隔.已知共用了80m的栅栏，设的长度为x米，矩形的面积为y平方米. （1）用含x的代数式表示、的长； （2）求出y关于x的函数表达式； （3）x为何值时，y有最大值？最大值为多少？ 22. 如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点 （1）在图①中，A、B、C三点是格点，请你画出经过A、B、C三点的圆的圆心O，在上作点D，使； （2）在图②中，经过格点A、格点B和格点C，圆心O也在格点上，连接，，请在上作点E，使平分，并在上作点F，使得． 23. 某校为了解学生每周课外阅读情况，从七、八年级学生中各随机抽取了10名学生，记录下他们每周课外阅读时长（小时），并对数据进行了整理、描述和分析（阅读时长记为，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生每周课外阅读时长是：． 抽取的八年级学生每周课外阅读时长属于优等的数据是：． 抽取的七八年级学生每周课外阅读时长统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 8 方差 “优等”所占百分比 抽取的八年级学生每周课外阅读时长扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级学生每周课外阅读情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级有800人，八年级有720人，估计两个年级学生每周课外阅读时间为优等的共有多少人？ 24. 如图，内接于为直径，过点作的切线，过点作的垂线交于点平分交于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 25. 问题情境 一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考 （1）请解答老师提出的问题． 探索发现 （2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为 ． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 26. 正方形的四个顶点都在上，E是上的一点． （1）如图1，若点E在弧上，连接，．求证：； （2）在（1）的条件下，请你判断线段、、之间的等量关系 （3）如图2，若点E在弧上，且，，求正方形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期学情自测数学试题（2月） 一．选择题（每题3分，满分33分） 1. 在，，，这四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数比较大小，根据正数都大于0，大于负数，两个负数，其绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数为； 故选B． 2. 计算的结果是（ ） A. B. 4 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的除法法则，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 3. 已知，是从的顶点引出的一条射线，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分在内部和在外部两种情况，分别作出图形，然后结合题意求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： （1）如图1所示，在内部， 图1 ∵，， ∴是的平分线， ∴； （2）如图2所示，在外部， 图2 ∵，， ∴， ∴． 综上所述，若，则或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线有关的计算以及几何图形中角的计算，解题关键是根据题意作出图形，运用分类讨论的思想分析问题． 4. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在坐标原点，边在轴正半轴上，点坐标为，矩形与矩形关于原点位似，且相似比为，那么点的坐标为（　　） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题的解题思路是根据位似图形的性质，结合相似比，分两种情况计算点的坐标． 【详解】解：∵ 矩形与矩形关于原点位似，相似比为， ∴ 点的坐标为点的坐标分别乘以或． ∴的坐标为或的坐标为． 即点的坐标为或． 5. 小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题的解题思路是先求出正五边形的内角度数，再结合平面镶嵌（密铺）的条件，通过周角为计算出正边形的内角度数，最后利用多边形内角和公式求出的值． 【详解】解：正五边形的内角和为：， ∵正五边形的每个内角相等， ∴正五边形的每个内角度数为：． ∵拼接处无空隙、不重叠，三个角在拼接点处构成周角， ∴正边形的一个内角度数为：． 设正边形的边数为，根据多边形内角和公式可得：， 解得． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 通过计算判别式的值来判断根的情况即可． 【分析】解：∵一元二次方程为 ， ∴， ， ， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7. 反比例函数的图象经过、两点，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的特征列出方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过、两点， ∴， 解得， 故选：B． 【点睛】此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 8. 在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查运用画树状图法求随机事件的概率，掌握其运用是解题的关键． 运用画树状图法将所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解． 【详解】解：两名男生表示为男，男，两名女生表示为女，女，抽取过程如图所示， 共有种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有种， ∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是． 故选：D． 9. 《九章算术》中有这样一道题：今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？其大意是：今有5只雀、6只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少？假设雀每只重x斤，燕每只重y斤，根据题意可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系式解题关键．根据“5只雀、6只燕，分别聚集面且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放重量相等”，可得一个方程；根据“5只雀，6只燕重量为1斤”，可得另一个方程，即可选出答案． 【详解】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤 依题意得： 故答案选：C 10. 如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，点E，F分别在边上，连接交对角线于点P．若P为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角．根据矩形的性质求得，利用斜边中线的性质求得，求得，利用三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵，P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 11. 如图，矩形绿地的长、宽分别为,,现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为,面积为，当x在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与,与满足的函数关系分别是（　　） A. 一次函数关系，二次函数关系 B. 正比例函数关系，二次函数关系 C. 二次函数关系，一次函数关系 D. 正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【解析】 【分析】从图形中提取边长信息，用含的式子表示目标量，再对照函数定义判断类型． 【详解】解：由图可知：周长：，符合一次函数的形式，故与是一次函数关系； 大矩形的长为，宽为，因此面积：符合二次函数的形式，故与是二次函数关系． 综上，与是一次函数关系，与是二次函数关系． 二．填空题（每题3分，满分12分） 12. 把因式分解的结果是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再根据完全平方公式分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了综合利用提公因式法和公式法分解因式，正确掌握因式分解的方法是解题的关键． 13. 射箭运动项目中，新手成绩通常不太稳定．甲和乙同时进行12次射箭练习后，成绩的统计数据如下表，请根据表中信息估计新手是__________．（填写“甲”或“乙”） 甲 乙 平均成绩（单位：环） 6.58 7.67 方差 6.91 0.72 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差越大，成绩越不稳定．根据图形可知，甲的射击不稳定，可判断新手是甲． 【详解】解：根据表中信息可以看出，甲平均成绩较差，且方差更大， 方差越大，成绩越不稳定， 新手是甲． 故答案为：甲． 14. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分得出OA=4、OB=3，再利用勾股定理列式求出AB=5，然后根据△AOB的面积列式求解即可得． 【详解】解：∵菱形ABCD， ∴OA=，OB==3， ∴AB=， ∴， 解得OH=． 故答案为. 【点睛】此题主要考查了菱形的性质及勾股定理解三角形，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 15. 如图，正五边形的对角线恰围成“正五角星”（即阴影部分），分别与交于点F，G（底边与腰的比为的等腰三角形）．若，则的长为 _________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】设．由正多边形性质和题意可知，由，可得，列出方程即可解决问题． 【详解】解：在正五边形中，，， ， ，， ∴， 同理可得：， 设，则，， ∴， ， ， ， ， 或不合题意舍去， ． 故答案为：． 三．解答题（共11小题，满分75分） 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】先分别计算单项式乘以多项式、平方差公式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】去分母化成整式方程，解方程后检验即可． 【详解】解： 方程两边都乘得， 解得：， 检验：当时，， ∴分式方程的解是． 【点睛】此题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为：． 19. 如图，反比例函数的图像经过点，一次函数的图像经过点且与反比例函数图像的另一个交点为． （1）求一次函数与反比例函数的解析式，并在图中画出该一次函数的图像； （2）结合图像，直接写出不等式组的解集_________． （3）把的图像向下平移4个单位长度，若平移后的直线与反比例函数的图像在第三象限交于点，求的面积． 【答案】（1）反比例函数的关系式为，一次函数的关系式为， 作图如下： （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可得到答案，然后作出图像即可； （2）不等式组的解集，数形结合，是指直线图像在反比例函数图像上方的部分对应的自变量的取值范围； （3）根据函数图像平移，得到直线解析式，求出，再由平面直角坐标系中三角形面积求法求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为， 当时，，即点， ∵一次函数的图像经过点，点， ∴，解得， ∴一次函数的关系式为； 【小问2详解】 解：如图所示： 不等式组的解集：或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：如图所示： 把的图像向下平移4个单位长度，得到， 直线与反比例函数的图像在第三象限交于点， ， ． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、利用函数图像解不等式、平面直角坐标系中求三角形面积等，熟练掌握一次函数与反比例函数图像与性质是解决问题的关键． 20. 已知：如图，北方某地夏季中午，太阳正高，光线与地面成角，房屋朝南的窗子高，要在窗子外面上方安装水平挡光板，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度至少应是多少厘米（结果精确到）？如果冬天正午时，光线与地面成角，窗台的高为，按照上面要求设计挡光板的宽度，理论上太阳光最远能照进室内多少厘米（结果精确到）？ 【答案】47厘米；453厘米 【解析】 【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键． 连接，根据正切函数求解即可确定，设由C进入的太阳光照在室内的D处，交于点F，得出，确定结合图形求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意得，， ∴， ∴挡光板的宽度至少应是厘米； 由C进入的太阳光照进室内最远， 如图，设由C进入的太阳光照在室内的D处，交于点F， 由题意知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴按照上面要求设计挡光板的宽度，理论上太阳光最远能照进室内厘米． 21. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长16米）的空地上修建一个矩形花园．如图所示，花园一面靠墙，另外三面由栅栏围成．花园分成了面积相等的区域①、区域②、区域③三块矩形区域，也用栅栏分隔.已知共用了80m的栅栏，设的长度为x米，矩形的面积为y平方米. （1）用含x的代数式表示、的长； （2）求出y关于x的函数表达式； （3）x为何值时，y有最大值？最大值为多少？ 【答案】（1）的长为m，的长为m； （2） （3）当时，y有最大值，最大值为. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，矩形、矩形、矩形的面积相等，即可得到，,由，即可得到，进一步即可得到、的长； （2）由（1）中的结论，即可得到y关于x的函数表达式； （3）求出x的取值范围，把（2）中的二次函数表达式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得到答案. 【小问1详解】 解：由题意可得，矩形、矩形、矩形的面积相等， ∴，, ∵矩形、矩形的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为m，的长为m； 【小问2详解】 矩形的面积为， 即y关于x的函数表达式是； 【小问3详解】 由题意得， ∴， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，开口向下，当时，y随着x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 即当时，y有最大值，最大值为. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，正确列出函数关系式、不等式组、代数式是解题的关键. 22. 如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点 （1）在图①中，A、B、C三点是格点，请你画出经过A、B、C三点的圆的圆心O，在上作点D，使； （2）在图②中，经过格点A、格点B和格点C，圆心O也在格点上，连接，，请在上作点E，使平分，并在上作点F，使得． 【答案】（1）如图， （2）如图， 【解析】 【分析】（1）运用矩形的对称性，通过取格点N，确定圆心O，再运用全等三角形的性质与判定，取格点M，从而得到，连接，有圆的对称性，得到； （2）运用垂径定理确定点Q，从而得到平分，再构造三角形的中位线，得到． 【小问1详解】 解：连接，交于点O，则O即为圆心，取格点M，连接，则，连接，则； 【小问2详解】 解：根据网格的特点取的中点P，连接并延长交于点Q，连接交于点E，根据垂径定理可得，则； 连接，并延长交网格线于点H，则，连接交网格线于点G，则，则； 23. 某校为了解学生每周课外阅读情况，从七、八年级学生中各随机抽取了10名学生，记录下他们每周课外阅读时长（小时），并对数据进行了整理、描述和分析（阅读时长记为，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生每周课外阅读时长是：． 抽取的八年级学生每周课外阅读时长属于优等的数据是：． 抽取的七八年级学生每周课外阅读时长统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 8 方差 “优等”所占百分比 抽取的八年级学生每周课外阅读时长扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为哪个年级学生每周课外阅读情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校七年级有800人，八年级有720人，估计两个年级学生每周课外阅读时间为优等的共有多少人？ 【答案】（1）8；；30 （2） 八年级的更好些，理由是：平均数相同，但八年级的优等率高． （3）680人 【解析】 【分析】(1)根据众数的定义（众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据）和中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）即可得，利用山顶统计图的意义，得到，确定m值即可． (2)根据统计特征量比较，说明即可． (3)利用人，人，求和即可．本题考查了扇形统计图，圆心角的计算，中位数，众数的计算，样本估计总体，熟练掌握相应知识是解题的关键． 【小问1详解】 ∵抽取的七年级学生每周课外阅读时长是：． ∴中位数是， 故； ∵ ∴中等的人数为：(人), 合格的人数为：(人), ，． 故8出现的次数最多，4次， 故， 故答案为：8；；30． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据题意，得人，人， 故(人), 答：两个年级学生每周课外阅读时间为优等的共有680人． 24. 如图，内接于为直径，过点作的切线，过点作的垂线交于点平分交于点． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图所示： 为的直径， ， ， ∵过点作的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，再由切线的性质得到，求得，得到，根据角平分线的定义即可证得结论； （2）连接，过作于，由的性质得，根据圆周角定理得到，则由正切函数值定义得到，根据勾股定理求出，进而得到，再用勾股定理求出，判断是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过作于，如图所示： 平分， 即，，， ， ，， ， ， 又由（1）中， ， ， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， 则， 为的直径， ， 是等腰直角三角形， ． 25. 问题情境 一节几何探究课上，老师提出如下问题：如图1，在菱形中，，点M在对角线上，点N在射线上，且，请猜想与的数量关系，并加以证明． 观察思考 （1）请解答老师提出的问题． 探索发现 （2）如图2，在图1的基础上连接，取的中点E，连接，． ①试猜想当点M与点A重合时，与之间的数量关系为 ． ②当点M与点A不重合时，试探究①中结论是否仍成立，若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】 （1）， 证明：四边形是菱形， ， ， 和为等边三角形， ， ， ， 又， ， ， ； （2）①； ②①中的结论仍成立． 证明：延长至H，使，连接，NH， E为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， 又， ， ，， ， ， 为等边三角形， ， ， ． 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查菱形的性质、全等三角形的性质与判定、直角三角形性质、等边三角形的性质与判定，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题是解题的关键． （1）根据菱形的性质证明和为等边三角形，证明，即可得到结论； （2）①E为BM的中点，是等边三角形，根据直角三角形性质即可得到结论； ②延长至H，使，连接，NH，证明，根据全等三角形的性质得到为等边三角形，根据直角三角形性质即可得到结论． 【详解】解：（1）略 （2）①如图， E为BM的中点，是等边三角形， ， ， 故答案为：； ②略 26. 正方形的四个顶点都在上，E是上的一点． （1）如图1，若点E在弧上，连接，．求证：； （2）在（1）的条件下，请你判断线段、、之间的等量关系 （3）如图2，若点E在弧上，且，，求正方形的面积． 【答案】（1） 证明：如图1，在正方形中，， 和都对应弧， ， 在和中， ， ； （2） （3）正方形的面积为13 【解析】 【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，证明； （2）证是等腰直角三角形，得出，由来证明； （3）构造全等三角形，根据勾股定理得到，根据圆周角定理得到，根据勾股定理得到，根据正方形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 理由：由（1）知， ，， 在正方形中，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 即， ， 【小问3详解】 解：在上取点，使，连接，， ，， ， ，，， 在正方形中，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是的直径， ， ，又， ， 即正方形的面积为13． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $