精品解析：山东省2025年夏季普通高中学业水平考试数学试题

山东省2025年夏季普通高中学业水平合格考试 数学试题 本试卷共4页.满分100分.考试用时90分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名､考籍号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后又写上新的答案；不能使用涂改液､胶带纸､修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.参考公式：锥体的体积公式：，其中为锥体的底面积，为锥体的高. 一､选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1. 已知全集，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 是虚数单位，，则复数的实部是（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数图象如图所示，则该函数解析式可能是（ ） A. B. C. D. 6. （ ） A. B. C. D. 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下面结论正确的是（ ） A. 抛掷1次硬币，事件发生的概率为1 B. 抛掷10次硬币，事件发生的次数一定是5 C. 重复抛掷硬币，事件发生的频率等于事件发生的概率 D. 重复抛掷硬币，随着抛掷次数的增大，事件发生的频率稳定于0.5 8. 已知函数，且，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 10. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 或 11. 在中，角的对边分别为.若，则（ ） A. 1 B. C. D. 7 12. 下列样本数据中，方差最大的一组是（ ） A. 5，5，5，5，5 B. 4，4，5，6，6 C. 3，3，5，7，7 D. 2，2，5，8，8 13. 下列命题中为假命题的是（ ） A. B. C. D. 14. 某企业三个分厂生产同一种电子产品，产量分布如图所示.若第一，第二，第三分厂生产每件电子产品的成本（单位：元）分别为，则该企业每件电子产品的平均成本约为（ ） A. 9.02 B. 9.06 C. 9.94 D. 9.96 15. 设则（ ） A. B. C. D. 16. 声强（单位：）是指声音的强度，声强级（单位：）与声强的关系为.若两人交谈时的声强为，则声强级为（ ） A. 6 B. 30 C. 60 D. 120 17. 是等式成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 18. 已知，则（ ） A. B. C. D. 19. 已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(10) A. -10 B. 2 C. 0 D. 10 20. 如图是一个正方体的展开图，将其还原为正方体后，则（ ） A. B. 四点共面 C. 平面 D. 平面 二､填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 21. 某志愿服务小组有两名男生和两名女生，从中任选一人参加志愿服务，则女生被选中的概率是_________. 22. 若函数是增函数，则实数的取值范围是_________. 23. 已知向量不共线，若向量与的方向相同，则实数的值为_________. 24. 已知，若时，不等式恒成立，则的最小值是_________. 25. 如图，为山脚两侧共线的三点，在同一铅垂平面内，计划沿直线开通穿山隧道.若在山顶处测得三点的俯角分别为，，若，，则隧道的长度是_________. 三､解答题：本大题共3小题，共25分. 26. 已知函数，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求函数的最小正周期与值域. 27. 如图，在三棱锥中，，平面. （1）求证：平面； （2）是的中点，在上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置，并证明；若不存在，说明理由. 28. 已知函数． （1）若是偶函数，求实数的值； （2）若函数，，，使得，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省2025年夏季普通高中学业水平合格考试 数学试题 本试卷共4页.满分100分.考试用时90分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名､考籍号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后又写上新的答案；不能使用涂改液､胶带纸､修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤.参考公式：锥体的体积公式：，其中为锥体的底面积，为锥体的高. 一､选择题：本题共20小题，每小题3分，共60分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1. 已知全集，集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 2. 是虚数单位，，则复数的实部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 所以复数的实部是. 3. 若向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 4. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，由不等式的性质得，故选项A正确. 5. 已知函数图象如图所示，则该函数解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A：函数在和上单调递减，与图象不符合，故A错误； 选项B：由对勾函数性质，时，在上递减，在上递增； 时，在上递增，在上递减，故B正确； 选项C：在上单调递增，在和上单调递增， 故在和上单调递增，故C错误； 选项D：，则不是奇函数或偶函数，图象不关于原点对称，故D错误． 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币，设事件“正面向上”，则下面结论正确的是（ ） A. 抛掷1次硬币，事件发生的概率为1 B. 抛掷10次硬币，事件发生的次数一定是5 C. 重复抛掷硬币，事件发生的频率等于事件发生的概率 D. 重复抛掷硬币，随着抛掷次数的增大，事件发生的频率稳定于0.5 【答案】D 【解析】 【详解】A选项：抛掷一枚质地均匀的硬币，有正面向上和反面向上两种等可能的结果，所以抛掷1次硬币，事件发生的概率为，故选项A错误； B选项：抛掷10次硬币，事件发生的次数是随机的，不一定是5次，故选项B错误； C选项：频率是指在多次试验中，事件发生的次数与试验总次数的比值，概率是指事件发生的可能性的大小，是一个固定值，重复抛掷硬币，事件发生的频率会随着抛掷次数的变化而变化，它不一定等于事件发生的概率，故选项C错误； D选项：根据大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率的稳定性，重复抛掷硬币，随着抛掷次数的增大，事件发生的频率稳定于0.5，故选项D正确. 8. 已知函数，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A选项，， 由于不一定相等，故A不正确； B选项，， 故，故B正确； C选项，， 由于不一定相等，故C不正确； D选项，， 由于不一定相等，故D不正确. 9. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出圆锥的轴截面，根据已知求出圆锥的高，进而根据体积公式即可求解. 【详解】作出圆锥的轴截面如图， 由已知可得. 在中，. 所以圆锥的体积为. 10. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】函数有意义， 则需满足， 解得， 故函数的定义域为． 11. 在中，角的对边分别为.若，则（ ） A. 1 B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【详解】在中，根据余弦定理：  ， 代入已知条件，且， 得：  ， 故. 12. 下列样本数据中，方差最大的一组是（ ） A. 5，5，5，5，5 B. 4，4，5，6，6 C. 3，3，5，7，7 D. 2，2，5，8，8 【答案】D 【解析】 【详解】A：均值为，则方差为， B：均值为，则方差为， C：均值为，则方差为， D：均值为，则方差为， 所以方差最大的一组是D. 13. 下列命题中为假命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A：显然时，，故该命题为真命题， B：对任意，都有，则恒成立，故该命题为真命题， C：由的判别式，显然方程在上无解，故该命题为假命题， D：由，则，故该命题为真命题. 14. 某企业三个分厂生产同一种电子产品，产量分布如图所示.若第一，第二，第三分厂生产每件电子产品的成本（单位：元）分别为，则该企业每件电子产品的平均成本约为（ ） A. 9.02 B. 9.06 C. 9.94 D. 9.96 【答案】D 【解析】 【详解】该企业每件电子产品的平均成本约为（元）. 15. 设则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合二倍角的余弦公式即可求出结果. 【详解】因此， 故选：D. 16. 声强（单位：）是指声音的强度，声强级（单位：）与声强的关系为.若两人交谈时的声强为，则声强级为（ ） A. 6 B. 30 C. 60 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】将已知声强代入声强级计算公式，结合对数运算性质求解即可. 【详解】由声强级公式， 将代入公式，得； 即. 17. 是等式成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】当时，成立. 当时，或 所以由不能得出成立 所以是等式成立的充分不必要条件 故选：A 18. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于，底数，函数为增函数， 因为，故，即； 对于，底数，函数为减函数， 因为，故，即， 对于，底数，函数为减函数， 因为，故，即， 故 19. 已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(10) A. -10 B. 2 C. 0 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由是定义域为的奇函数，可得,结合可得为周期为4的函数,分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和. 【详解】是定义域为的奇函数， 所以 可得， 即有， 即， 进而得到， 为周期为4的函数， 若，可得， ， 则， 可得，故选B. 【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； 20. 如图是一个正方体的展开图，将其还原为正方体后，则（ ） A. B. 四点共面 C. 平面 D. 平面 【答案】D 【解析】 【详解】由正方体的展开图，将其还原为正方体后如图所示： 对于A项，因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为，所以，故A错误； 对于B项，由图可知四点不共面，故B错误； 对于C项，因为平面,平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，故C错误； 对于D项，因为平面,平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，故D正确. 二､填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分. 21. 某志愿服务小组有两名男生和两名女生，从中任选一人参加志愿服务，则女生被选中的概率是_________. 【答案】 ## 【解析】 【详解】该试验属于古典概型，所有等可能的基本事件总数为4，对应4名不同的成员. 记“女生被选中”为事件，事件包含的基本事件数为2，对应2名女生. 根据古典概型概率公式  22. 若函数是增函数，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【详解】因为函数是增函数， 所以函数在范围内是单调递增， 范围内也要保持单调递增，则， 还需要在处保持单增，即，可得， 所以的取值范围是. 23. 已知向量不共线，若向量与的方向相同，则实数的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用共线且方向相同的向量性质，设正实数比例系数使得，结合平面向量基本定理列方程求解，舍去反向解即可. 【详解】因为向量与方向相同，故存在正实数，使得， 因为，，所以 ， 由于不共线，所以 且 ，将代入第二个方程，整理得，解得或， 当时，，此时与方向相反，不符合题意，舍去； 当时，，满足与方向相同， 故的值为. 24. 已知，若时，不等式恒成立，则的最小值是_________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式可得的最小值，从而得到，求出答案 【详解】，， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 因为不等式恒成立，则，即， 解得，所以， 则的最小值是. 25. 如图，为山脚两侧共线的三点，在同一铅垂平面内，计划沿直线开通穿山隧道.若在山顶处测得三点的俯角分别为，，若，，则隧道的长度是_________. 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用平行线的性质求出 和 的内角，结合正弦定理求出 的长，最后根据线段的和差关系求得 的长度. 【详解】由题意可知 ， 所以 ，， 又因为 ，所以 ， 在 中，，， 由正弦定理 ， 得 ， 在 中，， 由正弦定理 ， 得 ， 因为 四点共线，且顺序如图所示， 所以 ， 故隧道 的长度是 . 三､解答题：本大题共3小题，共25分. 26. 已知函数，将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求函数的最小正周期与值域. 【答案】 最小正周期为，值域为. 【解析】 【分析】根据平移规则求得的表达式，再由周期公式和余弦函数值域求解即可. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍， 得到 ，所以最小正周期 ； 又因，故. 27. 如图，在三棱锥中，，平面. （1）求证：平面； （2）是的中点，在上是否存在点，使得平面？若存在，确定点的位置，并证明；若不存在，说明理由. 【答案】（1）因为平面，平面，所以， ，即， 又平面，平面，， 所以平面. （2）存在，点是的中点. 取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【解析】 【分析】（1）由平面得出，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）取的中点，利用是的中位线得，再用线面平行的判定定理即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 已知函数． （1）若是偶函数，求实数的值； （2）若函数，，，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义结合的解析式列出等式，即可求出的值； （2）分别求出在上的值域，在上的值域，根据两者值域的关系列出不等式，从而求出的取值范围． 【小问1详解】 因为是偶函数，所以． 已知，则． 由，可得，化简得． 因为上式对于任意都成立，所以． 【小问2详解】 已知，，则． 根据正弦函数的性质，可得， 故． 函数的图象开口向下，对称轴为． ①当，即时，在上单调递减， 则，， 所以的值域为； ②当，即时，在上单调递增，则，， 所以的值域为； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则，，． 比较和的大小：． 当时，，， 所以的值域为； 当时，，， 所以的值域为 ． 因为，，使得， 所以的值域是的值域的子集． （1）当时，，解得； （2）当时，，此时无解； （3）当时，，此时无解； （4）当时，，此时无解． 综上，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $