29.2 圆的有关性质 课时作业 2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级上册 · 第二十九章 圆 · 课时作业 29.2 圆的有关性质 课时作业 （含：垂直于弦的直径 · 圆心角 · 圆周角） 班级：__________ 姓名：__________ 学号：________ 用时：______分钟 一、学习目标 1．理解圆的轴对称性和中心对称性，掌握垂径定理及其推论，会用“半径、弦心距、半弦”构造直角三角形进行计算． 2．掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理，能进行相关的证明和计算． 3．掌握圆周角定理及其推论，理解圆内接四边形的性质． 4．学会在圆中添加辅助线（连半径、作弦心距、构造直径所对的圆周角）解决问题． 二、知识点梳理 知识点1 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；圆也是中心对称图形，对称中心为圆心． 知识点2 垂直于弦的直径（垂径定理） 图1 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 如图1，若 是直径， 于 ，则 ，，． 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 常用计算模型 设圆的半径为 ，弦长为 ，弦心距为 ，弓形高为 ，则 （1）；　（2） 或 ． 已知 、、、 中的任意两个量，都可以求出其余两个量． 易错点 ①“平分弦的直径垂直于弦”中，被平分的弦不能是直径（任意两条直径都互相平分）． ②过圆心作弦的垂线，连接半径，构造直角三角形，是最常用的辅助线． 知识点3 弧、弦、圆心角的关系 图2 圆心角与弧、弦 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．（“知一推二”） 如图2，在 中，． 注意 定理的前提是“在同圆或等圆中”，不能省略． 弧的度数等于它所对圆心角的度数． 知识点4 圆周角 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 图3 圆周角与圆心角 图4 直径所对的圆周角 图5 圆内接四边形 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图3，． 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 的圆周角所对的弦是直径．如图4， 是直径 ． 知识点5 圆内接四边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 性质：圆内接四边形的对角互补．如图5，，；并且外角等于它的内对角，即 ． 方法点拨 ①一条弦所对的圆周角有两种：一个是锐角（或直角），另一个与它互补，求弦所对的圆周角时注意分类讨论． ②见直径，常作直径所对的圆周角，构造直角三角形． 三、典型例题精讲 例1 如图， 的半径为 ，弦 ， 于 ，求弦心距 的长． 例1图 解：连接 ．，．在 中，． 例2 的半径为 ，弦 ，，，求 与 之间的距离． 情况①：两弦在圆心同侧 情况②：两弦在圆心两侧 解：过 作 、 的垂线．由垂径定理得， 的弦心距 ， 的弦心距 ． 当两弦在圆心同侧时，距离为 ；当两弦在圆心两侧时，距离为 ． 所以 与 之间的距离为 或 ． 方法归纳：圆中两条平行弦的位置有两种情况，要注意分类讨论，避免漏解． 例3 如图， 是 的直径，、 是 上的两点，，求 的度数． 例3图 解： 是直径，，． 与 都是 所对的圆周角，． 例4 圆内接四边形 中，，求 的度数． 解：设 ，，．，，． ，． 例5 如图，在 中，，，求 的度数． 例5图 解：，（同圆中等弧所对的弦相等），， ． 四、课时作业 （一）基础巩固 一、选择题 1． 中，弦 ，圆心 到 的距离为 ，则 的半径为（　　） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（　　） A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等的圆心角所对的弦相等 C．直径所对的圆周角是直角 D．圆周角等于圆心角的一半 3．如图，点 、、 在 上，，则 的度数为（　　） 第3题图 A． B． C． D． 4．四边形 内接于 ，若 ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图， 是 的直径，弦 于点 ，，，则 的半径为（　　） 第5题图 A． B． C． D． 6．在 中，，则弦 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．不能确定 7．点 、、 在 上，若 （点 在优弧上），则 的度数为（　　） A． B． C． D． 8． 的半径为 ，弦 ，则弦 所对的圆周角的度数为（　　） A． B． C． 或 D． 或 二、填空题 9． 的直径为 ，弦 ， 是弦 上的动点，则 的取值范围是________． 10．在同圆中，弦 所对的圆心角为 ，则弦 所对的圆周角为________． 11． 是 的直径，点 在 上，且 ，则 ________． 12．四边形 内接于 ，延长 至 ，若 ，则 ________． 13． 的半径为 ，弦 ，，，则 与 之间的距离为________． 14．一座圆弧形拱桥，桥的跨度（弦长）为 ，拱高为 ，则拱桥所在圆的半径为________． 15． 内接于 ，，，则 的半径为________． 16． 是 的直径，点 在 上，，，则 的半径为________． （二）能力提升 三、解答题 17．如图， 是 的弦，半径 于点 ，，，求 的半径． 第17题图 18．如图，、、、 是 上的四个点，．求证：． 第18题图 19．如图， 是 的直径，点 在 上， 于点 ，，，求 和 的长． 第19题图 20．如图，四边形 内接于 ，，求 和 的度数． 第20题图 21．如图， 是 的直径，弦 于点 ，连接 、． （1）求证：； （2）若 ，，求 的直径和 的长． 第21题图 22．如图，在 中，，以 为直径的 交 于点 ，交 于点 ． （1）求证：； （2）若 ，求 的度数． 第22题图 （三）拓展探究 23． 的半径为 ，点 是 内一点，且 ． （1）过点 的最长弦和最短弦的长分别是多少？ （2）过点 的所有弦中，长度为整数的弦共有多少条？ 24．已知 的半径为 ，弦 ，点 是 上一点（不与 、 重合），求 面积的最大值． （四）课堂检测（限时10分钟） 1． 中，弦 的长为 ，圆心 到 的距离为 ，则 的直径为________． 2．、、、 是 上的四点，点 、 在 的同侧，，则 ________． 3．圆内接四边形 中，，则 ________． 4． 是 的直径，点 在 上，，则 ________． 5．某地下排水管道的截面是圆形，水面宽 ，水的最大深度为 ． （1）求管道截面圆的半径； （2）雨后水位上升，水面宽变为 ，求此时水的最大深度． 五、参考答案及解析 （一）基础巩固 1．C．由垂径定理，半弦长为 ，半径 ． 2．C．A 中被平分的弦不能是直径；B 缺少“在同圆或等圆中”；D 应为“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”；C 正确． 3．B．． 4．C．圆内接四边形对角互补，． 5．B．由垂径定理 ．设半径为 ，则 ，由 得 ． 6．C．取 的中点 ，则 ，所以 ．在 中，，即 ． 7．B．，，． 8．C．作 ，则 ，，所以 ，．弦所对的圆周角为 或 ． 9．．当 时 最小，为 ；当 与 或 重合时 最大，为 ． 10． 或 ．点在优弧上时圆周角为 ，在劣弧上时为 ． 11．．，又 ，所以 ． 12．．圆内接四边形的外角等于它的内对角． 13． 或 ．两弦的弦心距分别为 和 ，距离为 或 ． 14．．设半径为 ，则 ，即 ，解得 ． 15．．， 是等腰直角三角形，． 16．．，，半径为 ． （二）能力提升 17．解：连接 ．设半径为 ，则 ．，． 在 中，，即 ，解得 ．所以 的半径为 ． 18．证明：，，即 ， （在同圆中，相等的弧所对的弦相等）． 19．解：，半径为 ．连接 ，则 ，． 在 中，．在 中，． 20．解： 所对的弧是 ，它所对的圆心角为 ，． 四边形 内接于 ，． 21．（1）证明： 是直径，，（垂径定理），（等弧所对的圆周角相等）． （2）解：由垂径定理得 ．连接 ，设半径为 ，则 ．由 得 ，所以直径 ． ，在 中，． 22．（1）证明：连接 ． 是直径，，即 ．又 ，（等腰三角形三线合一）． （2）解：，，． 是直径，，，． （三）拓展探究 23．解：（1）过点 的最长弦是直径，长为 ；最短弦是与 垂直的弦，长为 ． （2）过点 的弦长范围是 ．长为 的弦只有 条，长为 的弦（直径）只有 条，长为 、、 的弦各有 条（关于直线 对称）． 所以长度为整数的弦共有 条． 24．解：作 于 ，则 ，． 长度固定，当点 到 的距离最大时面积最大． 点 在直线 与优弧的交点处时，距离最大，为 ． 所以 面积的最大值为 ． （四）课堂检测 1．．半径 ，直径为 ． 2．．同弧 所对的圆周角相等． 3．．，即 ，． 4．． 与 都对着 ，． 5．解：（1）设半径为 ，过 作 于 ，则 ，．由 得 ，．即半径为 ． （2）水面宽为 时，弦心距为 ． 若水面在圆心下方，最大深度为 ；若水面已超过圆心，最大深度为 ． 所以此时水的最大深度为 或 ． 课后反思 垂径定理的核心是构造“半径、弦心距、半弦”组成的直角三角形；圆周角问题常“化归为圆心角”或“找同弧所对的角”； 遇到弦所对的圆周角、平行弦的距离等问题，要注意分类讨论． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $