29.2.1 垂直于弦的直径 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练通过基础-中档-微专题三层设计，以概念辨析→综合应用→方法提炼的路径巩固“垂直于弦的直径”知识，渗透几何直观与推理能力，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题|圆的对称性、垂径定理及推论|以选择、填空辨析概念（如直径是否为对称轴），简单计算与证明夯实基础| |中档题|垂径定理综合应用|结合坐标、动点（如OM最值）、实际情境（月亮门），提升空间观念与应用意识| |微专题|辅助线作法|聚焦“知垂径连半径”等方法，通过残缺圆半径测量等问题强化解题技能|

29.2.1 垂直于弦的直径 基础题 知识点1 圆的对称性 1.下列说法中，不正确的是 ( ) A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合 C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D.圆的每一条直径都是它的对称轴 知识点2 垂径定理 2.如图,AB 是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为M，则下列结论不一定成立的是( ) A. CM=DM B. CB=DB D. OM=MB 3.如图,在⊙O中,弦AB 的长为8,圆心O到AB 的距离OE=4,则⊙O的半径长为( ) A.4 B.4 C.5 D.5 4.如图,AB为⊙O的弦,OC⊥AB于点C,连接OA,OB.若AB=OA,AC=3,则OA 的长为 。 5.如图,在⊙O中,AB,AC 是互相垂直的两条弦,OD⊥AB 于点 D,OE⊥AC于点E,且AB=8cm,AC=6cm,那么四边形OEAD的周长为 . 【拓展设问】 若AB=AC=8cm,则四边形OEAD 的形状为 ,⊙O 的半径为 cm. 6.如图，AB 是⊙O的弦,C,D 为直线AB 上的两点,OC=OD.求证:AC=BD. 知识点3 垂径定理的推论 7.如图,OA,OB,OC 都是⊙O的半径,AC,OB相交于点 D.若AD=CD=8,OD=6,则 BD的长为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 知识点4 垂径定理及其推论的应用 8.如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形.球的半径为5cm ，瓶内液体的最大深度 CD=3cm，则截面圆中弦AB 的长为 cm. 9.中式古典园林中大部分月亮门(如图1)可以看作圆的一部分，图2 是一个月亮门的示意图.已知 M 为CD 的中点；E为月亮门最高点，圆心 O 在线段 EM 上，CD=2m,EM=3m,则这个月亮门的最大宽度(⊙O的直径)为 m. 10.下列说法正确的是 ( ) A.过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧 B.弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心 C.过弦的中点的直径垂直于弦 D.平分弦所对的两条弧的直径平分弦 中档题 11.如图,⊙P 经过点O(0,0),交 y轴于点 B.若P(-5,-3),则点 B 的纵坐标是( ) A.-10 B.-8 C.-6 D.-4 12.如图,CD 是⊙O的弦,直径AB⊥CD,垂足为 E.若AB=12,BE=3,则四边形 ACBD的面积为( ) 13.如图,⊙O的半径为5,弦AB 的长为8,M是弦AB上的动点，则线段 OM长的最小值为 ，最大值为 . 14.已知 AB,CD 是⊙O的两条平行弦,AB=8,CD=6,⊙O的半径为5,则弦AB与CD 的距离为 . 15.如图1，将装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以 AB 为直径的半圆O.已知AB=52 cm,水面截线MN=48 cm,GH 为桌面截线,AB∥MN∥GH. (1)请在图1中画出线段CP，用其长度表示水面的最大高度(不要求尺规作图，不说理由)，并直接写出CP 的长. (2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了14 cm，求此时水面截线减少了多少. 微专题9 与垂径定理有关的辅助线作法 方法1 知垂径，连半径，用勾股 1.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 A，B，连接AB，作AB 的垂直平分线CD交AB 于点D,交 于点C,测出 AB=16 cm,CD=4 cm,则圆形工件的半径为 cm. 方法 2 求弦作垂，连半径，用勾股 2. 如图，在⊙O中，弦CD与直径AB 相交于点 E,∠AEC=60°,且AE= 5 cm,EB = 1 cm,则 CD 的长为 cm. 方法3 弦中点，连圆心，得垂直 3.中国的车轮制造，自古就有完备的标准体系.《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，某学习小组通过以下方式探究某个残缺车轮的半径：在车轮上取A，B两点，设AB所在圆的圆心为O.经测量，弦AB=120cm,过弦AB 的中点C 作CD⊥AB交圆弧于点 D,且 CD=30cm,则该车轮的半径为 cm. 29.2.1 垂直于弦的直径 1. D 2. D 3. B 4.6 5.14 cm【拓展设问】 正方形 4 6.证明:过点O作OH⊥AB于点H.由垂径定理,得AH=BH. ∵OC=OD,OH⊥AB,∴CH=DH. ∴CH-AH=DH-BH,即AC=BD. 7. B 8.2 9. 10. D 11. C 12. A 13.3 5 14.1 或7 15.解:(1)图1略. CP 的长为16 cm.(2)过点O作OD⊥EF 于点D,连接OE.由(1)可知,OC=10 cm,∴OD=10+14=24(cm).∴ED= ∴EF=2ED=20cm.∴48-20=28(cm).∴水面截线减少了 28 cm. 微专题9 1.10 2.2 3.75 学科网（北京）股份有限公司 $