精品解析：福建省泉州市部分校2026-2027学年高三8月适应性考试数学试题

2026年8月高三适应性练习数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得， 所以. 2. 双曲线焦点在轴，离心率，且过点，则双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，，所以，所以， 所以双曲线方程为. 3. 已知复数满足，则复平面内与对应的向量坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为复数， 所以复平面内与对应的向量坐标为. 4. 已知向量，则（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【详解】方法1：由题意，，，， 且， 所以. 方法2：因为，所以， 所以. 5. 展开式中，项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】写出二项展开通项，令的指数等于解出，回代计算系数． 【详解】的通项公式为， 令，得， 所以． 6. 已知，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用三角恒等变换的公式，化简得到，结合余弦型函数的性质，即可求解. 【详解】由 ， 所以函数的最小正周期为. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 110 B. 120 C. 130 D. 135 【答案】A 【解析】 【详解】设公差为，则， 解得，所以. 8. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图， 以D为坐标原点， ，分别为x轴，y输、z轴正方向建立空间直角坐标系，则．从而. 设平面的法向量为，则，即，得， 令，则，所以点E到平面的距离为． 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分． 9. 对于两个相互独立的事件，已知均大于0．（ ） A. 若，则 B. 若，则的最大值是 C. 可能是对立事件 D. 不可能是互斥事件 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A，因为事件相互独立，所以，故A正确； 对B，因为事件相互独立，所以， 所以当时，取得最大值，为.故B正确； 因为事件独立，且均大于0，所以，即事件一定有同时发生的可能性，故不可能是互斥事件，更不可能是对立事件，故C错误，D正确. 10. 已知双曲线：的离心率，则（ ） A. 双曲线渐近线夹角大于 B. C. 通径长范围为 D. 焦点到渐近线距离大于 【答案】BC 【解析】 【分析】本题利用双曲线离心率公式得到的取值范围，再结合两直线夹角定义、通径公式、焦点到渐近线距离的二级结论，逐一对四个选项进行推理判断，完成多选． 【详解】对于A，根据两条相交直线夹角的范围为， 得双曲线渐近线夹角大于就是错误的，A错误； 对于B，， 由题意得，，， 解得，，B正确； 对于C，双曲线的通径长为， 由，得， 所以，C正确； 对于D，焦点到渐近线的距离， 由，得，D错误． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点（不包含端点），则（ ） A. 对于任意点，都有 B. 对于任意点，不存在∥平面 C. 过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为 D. 存在点，使得三棱锥体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据正方体的垂直关系建立空间直角坐标系，根据坐标关系判断选项即可． 【详解】在正方体中，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为棱长为2，可得，，；设， 则，； 则；故对于任意点，都有，A选项正确； 因为分别是的中点，故，，； 则，； 设为平面的法向量， 则，可得，解得； 令可得，； 令，解得，不合题意， 故对于任意点，不存在∥平面，B选项正确； 在平面中作，垂足为，过点在平面中作，交于点； 因为正方体中，平面平面，且交于； 因为平面，故平面，而平面，则； 因为平面，故平面； 平面截正方体的截面为矩形； 当与重合时，即为的中点时，截面最大， 面积为，故C正确； 由， 可得，因为是线段上的动点（不包含端点），故， 综上，不存在点，使得三棱锥体积为，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题可知圆的圆心为、半径为，且， 过点作圆的切线，设切点为A， 则切线长. 13. 在实验中学的足球班赛中，高一1班和高二2班进行到了点球大战，两队各派5名队员依次主罚，进球记1分，不进记0分．罚点球从1班开始先罚，两个班队员依次轮流主罚．在任一队员罚球结束后，若有一队进球数领先对方的分数大于对方剩余主罚人数，则比赛立即结束．每个点球只有“得分”和“不得分”两种可能，以{1班得分序列，2班得分序列}表示得分情况，如{11111，1101}表示1班五罚均得分，2班仅在第3罚罚失，则比赛恰好在1班的第5名队员罚球结束后结束的得分情况共___________种． 【答案】112 【解析】 【分析】将问题拆分为“前8次不提前结束”和“第9次刚好结束”两个阶段，先筛选出前8次分差为1的有效比分并计算对应组合路径数，再匹配第9次唯一的得分操作，最后求和得到总情况数. 【详解】由题意，罚球顺序：1班第1人→2班第1人→1班第2人→2班第2人→…→1班第5人（第9次罚球）， 结束规则：任一队员罚完后，若一队领先分数大于对方剩余未罚人数，比赛立即结束. “比赛恰好在1班第5人罚完后结束”需同时满足： 前8次罚球（双方各罚4人）结束后，比赛未提前结束； 第9次（1班第5人）罚球结束后，比赛立即触发结束条件. 前8次罚球的约束（未提前结束）： 设前8次结束后，1班进球个，2班进球个，此时双方各剩余1次罚球， 比赛未结束，因此： 若1班领先：领先分数≤2班剩余人数（1人），即； 若2班领先：领先分数≤1班剩余人数（1人），即. 综上，前8次比分满足. （1）有效比分筛选， 第9次罚球后要触发结束，因此平分（、、、、）需排除（第9次后分差仍，无法结束）， 最终前8次有效比分为：. （2）中间过程无提前结束的验证， 对于上述比分，所有对应路径在中间步骤均不会触发结束： 以上比分分差均为1，在之前每一轮罚球后，分差始终s1，而对方剩余人数始终≥1，因此不会提前触发结束条件，所有路径均有效， 因此每个比分对应的路径数可直接用组合数计算：1班4罚进个的组合数，乘以2班4罚进个的组合数. 各比分路径数计算： 前8次比分 路径数计算 路径数 第9次罚球的结束条件：第9次为1班第5人罚球，罚完后1班全部罚完（剩余0人），2班剩余1人未罚. 分两类讨论： （1）前8次1班领先（，如1:0、2:1、3:2、4:3）：1班进球后分差变为2， 此时2班剩余1人，，满足结束条件；不进球则分差仍为1，不结束. →仅“进球”1种操作可结束比赛； （2）前8次2班领先（，如、、、）：1班不进球则分差仍为1， 此时1班剩余0人，，满足结束条件；进球则比分打平，不结束. →仅“不进球”1种操作可结束比赛. 综上，每类前8次比分对应第9次恰好1种得分选择，可使比赛结束. 将所有有效情况相加：. 14. 已知以线段为直径的半圆上有两点为动点，为线段上靠近点的三等分点，点在线段上，满足，则___________，___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，在中由正弦定理可得，在中利用余弦定理得，再利用同角关系求出. 【详解】设，因为，所以， 因为，所以， 则，， 则， 因为为线段上靠近点的三等分点，所以，则， 在中由正弦定理得，即 则，则，则， 则， ， 则， 设，则，因为，所以， 因为，所以，则， 在中利用余弦定理得 则， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为提升青年球员的点球命中率，某足球青训营开展专项训练对比实验．教练从参训球员中随机选取200人，平均分为两组：甲组采用常规训练，乙组采用“预判+步伐”专项训练．训练周期结束后进行统一测试，甲组中有60人命中，乙组中有25人未命中． （1）请根据数据，画出列联表，通过分析列联表数据，能否有95%的把握认为“训练方式”与“点球命中”有关？请说明理由； （2）经大量训练，乙组球员的命中率（以比例表示）近似服从正态分布，其均值为0.75，标准差为0.05．现从乙组中随机抽取一名球员，求该球员命中率低于0.7的概率． 附：；，其中． 【答案】（1）2×2列联表如下： 命中 未命中 合计 常规训练 60 40 100 专项训练 75 25 100 合计 135 65 200 有的把握认为“训练方式”与“点球命中”有关； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到数据的列联表，利用公式求得，比较即可得到结论； （2）根据题意，得到乙组球员的命中率服从，转化为，进而求得其概率. 【小问1详解】 解：根据题意，甲乙两组中各有100人，甲组中有60人命中，乙组中有25人未命中， 可得甲组中有40人未命中，乙组中有75人命中， 所以列联表，如下表所示： 命中 未命中 合计 常规训练 60 40 100 专项训练 75 25 100 合计 135 65 200 可得， 因为，所以有的把握认为“训练方式”与“点球命中”有关. 【小问2详解】 解：因为乙组球员的命中率近似服从正态分布，其均值为0.75，标准差为0.05， 即乙组球员的命中率近似服从， 将转化为标准正态分布变量，可得， 可得. 16. 在三棱锥中，，该三棱锥的外接球球心在线段上，设为的中点． （1）证明：； （2）若此外接球半径为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）法1：因为是三棱锥的外接球球心，所以， 因为为的中点，所以； 法2：因为，为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质或利用线面垂直证明线线垂直； （2）求证平面与平面所成角为或其补角，再利用圆的定义计算各边长度，最后利用余弦定理计算. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 所以平面与平面所成角为或其补角， 因为，所以，则， 因为，所以， 因为，所以，， 在中利用余弦定理得， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数在区间上满足，数列满足：，． （1）若，且，求数列的通项公式及前项和； （2）若，存在实数满足题目条件，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：． 【答案】（1），； （2） （3）证明：由（2）得，，， 运用数学归纳法证明：. 当时，，命题成立； 假设当时，成立， 则当时，有，因函数在上单调递增， 则，， 由指数函数的图象性质可得当时，；当时， 故成立，证毕. 【解析】 【分析】（1）依题意先求出的递推式，构造出等比数列，利用等比数列的通项公式与前项和公式即可求得； （2）依题构造函数，求导判断其单调性，推得当时，根据题意即可求得的取值范围； （3）利用数学归纳法结合指数函数的单调性即可得证. 【小问1详解】 因，且，， 则，，则， 因，即数列是首项为，公比为的等比数列， 故，解得， 数列的前项和； 【小问2详解】 依题意，在区间上恒成立，且存在实数，使得有解. 设，求导得，由，解得， 因，可得， 且当时，，则，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 又因，故当时，当或时，， 要存在区间使得，即对应的区间，需使， 故的取值范围是. 【小问3详解】 略. 18. 设坐标原点为，抛物线，斜率为的直线与抛物线交于，线段的中点为，直线的斜率为，满足． （1）证明：直线过定点； （2）已知直线经过在（1）的条件下的定点． ①当与抛物线有且仅有一个交点时，求的方程； ②若直线与抛物线交于的中点为，记的面积为，求的取值范围． 【答案】（1）设直线​的方程为，与抛物线联立得 ，设， 由韦达定理得，，因此线段中点的横坐标为， 代入得纵坐标为， 因为直线的斜率，代入，，. 因此直线​的方程为，当时，故​恒过定点. （2）①或或；② 【解析】 【分析】（1）设直线​的方程为，再由根与系数关系可得点的坐标，结合条件可得，进而可得直线过定点； （2）①以直线的斜率存在和不存在两种情况讨论与抛物线仅有一个交点时斜率值，进而可得直线方程； ②设，由题意及可得，且或，或，再由根与系数关系可得，，进而可得直角三角形面积，再结合及的范围求得面积的范围. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 ①因为直线过定点，分两种情况讨论与抛物线仅有一个交点的情形： （1）直线斜率不存在：方程为，代入得唯一交点，符合条件； （2）直线斜率存在：设，联立得. 因为直线与抛物线仅有一个交点，所以，解得或， 当时，对应直线方程为；当时，对应直线方程为. 综上（1）（2）所述，的方程为或或. ②设，由（1）知​​，​，所以. 设​的斜率为，且直线过定点，设，联立得. 因为直线与抛物线有两个交点，所以，解得或，同理可得中点. 又由（1）知直线过定点且与抛物线有两个交点，同理得或. 由得，因为在直线上，所以，同理，因此. ， . 因为为直角三角形，面积， 因为或，或且，所以得或. 当时，， 求导得，因为，所以，， 所以，所以在上单调递增，所以. 当时，， 所以， 又因为，代入得， 因为，且，所以， 所以与的值域完全相同，即. 综上所述，的取值范围为. 19. 低温下的约瑟夫森结可作为超导量子计算电路的基本单元，超导量子器件是量子计算的核心硬件基础，其工作规律可抽象为如下函数模型：已知，电流函数与相位函数满足，其中为常数．当时，相位取值为（《》为常数）．当相位函数形式为三角函数时，电流函数的振幅可化为与贝塞尔函数有关的形式，（为整数）为第一类贝塞尔函数，满足如下性质： （1）若，电压，系数，求的单调递增区间； （2）若，其中，为常数，，调制参数． ①判断函数是否为周期函数，并说明理由； ②已知可展开为形如的形式，其中振幅与成正比，求． 【答案】（1）答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! （2）答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿! 【解析】 【小问1详解】 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698. 【小问2详解】 答案解析悬赏征集中,欢迎大牛老师们踊跃投稿!联系人QQ:2853279698 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年8月高三适应性练习数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线焦点在轴，离心率，且过点，则双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足，则复平面内与对应的向量坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则（ ） A. B. C. 4 D. 5 5. 展开式中，项的系数是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 110 B. 120 C. 130 D. 135 8. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分． 9. 对于两个相互独立的事件，已知均大于0．（ ） A. 若，则 B. 若，则的最大值是 C. 可能是对立事件 D. 不可能是互斥事件 10. 已知双曲线：的离心率，则（ ） A. 双曲线渐近线夹角大于 B. C. 通径长范围为 D. 焦点到渐近线距离大于 11. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，是线段上的动点（不包含端点），则（ ） A. 对于任意点，都有 B. 对于任意点，不存在∥平面 C. 过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积的最大值为 D. 存在点，使得三棱锥体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 13. 在实验中学的足球班赛中，高一1班和高二2班进行到了点球大战，两队各派5名队员依次主罚，进球记1分，不进记0分．罚点球从1班开始先罚，两个班队员依次轮流主罚．在任一队员罚球结束后，若有一队进球数领先对方的分数大于对方剩余主罚人数，则比赛立即结束．每个点球只有“得分”和“不得分”两种可能，以{1班得分序列，2班得分序列}表示得分情况，如{11111，1101}表示1班五罚均得分，2班仅在第3罚罚失，则比赛恰好在1班的第5名队员罚球结束后结束的得分情况共___________种． 14. 已知以线段为直径的半圆上有两点为动点，为线段上靠近点的三等分点，点在线段上，满足，则___________，___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为提升青年球员的点球命中率，某足球青训营开展专项训练对比实验．教练从参训球员中随机选取200人，平均分为两组：甲组采用常规训练，乙组采用“预判+步伐”专项训练．训练周期结束后进行统一测试，甲组中有60人命中，乙组中有25人未命中． （1）请根据数据，画出列联表，通过分析列联表数据，能否有95%的把握认为“训练方式”与“点球命中”有关？请说明理由； （2）经大量训练，乙组球员的命中率（以比例表示）近似服从正态分布，其均值为0.75，标准差为0.05．现从乙组中随机抽取一名球员，求该球员命中率低于0.7的概率． 附：；，其中． 16. 在三棱锥中，，该三棱锥的外接球球心在线段上，设为的中点． （1）证明：； （2）若此外接球半径为，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数在区间上满足，数列满足：，． （1）若，且，求数列的通项公式及前项和； （2）若，存在实数满足题目条件，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，证明：． 18. 设坐标原点为，抛物线，斜率为的直线与抛物线交于，线段的中点为，直线的斜率为，满足． （1）证明：直线过定点； （2）已知直线经过在（1）的条件下的定点． ①当与抛物线有且仅有一个交点时，求的方程； ②若直线与抛物线交于的中点为，记的面积为，求的取值范围． 19. 低温下的约瑟夫森结可作为超导量子计算电路的基本单元，超导量子器件是量子计算的核心硬件基础，其工作规律可抽象为如下函数模型：已知，电流函数与相位函数满足，其中为常数．当时，相位取值为（《》为常数）．当相位函数形式为三角函数时，电流函数的振幅可化为与贝塞尔函数有关的形式，（为整数）为第一类贝塞尔函数，满足如下性质： （1）若，电压，系数，求的单调递增区间； （2）若，其中，为常数，，调制参数． ①判断函数是否为周期函数，并说明理由； ②已知可展开为形如的形式，其中振幅与成正比，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $