福建福州高级中学2026-2027学年高三上学期8月适应性考试数学试题

福州高级中学2026-2027学年高三8月适应性考试 数学学科试卷 命卷教师：欧敏秀 审卷教师：汤钧 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 第I卷 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的， 1.己已知集合A={xx2-2x-3<0,B={xx<2},则AUB=() A.{xx<2} B.{xx<3} C.{x-1≤x<2} D.{x-1<x<3} 2.已知复数z满足：1+)=2-i,则复数z在复平面中对应的点z位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知圆C:(x-1)+(y-1)=4与直线1：x+y+1=0相切，则实数a=() B.0 D.0政 4.若sim8+cos日 =2,则sin0.cos0=() sine-cos 0 3 A.- B. 10 C.t3 D.3 10 10 4 5.己知{a,}为正项等比数列，满足a+4= 5 1 ,444=,则=() S 17 1 B. 16 C. D.5 4 6.如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2,AC=1,D是边BC上一点，DC=2BD,则 AD.BC=() B B.8 3 3 D.- 8 7.将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度 之和)，则该正三棱柱的体积最大为() A.3 B. 3 c.3 D. 3 36 72 108 324 高三8月适应性考试数学学科试卷 第1页（共4页) 8.已知函数f=血x,若方程2fx+m+)f)+m-1=0有三个不等实根，则实数m的取值范 围为() B. 21 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符 合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知函数f(x)=cox+4 则() A.f(x)的最小正周期为2π 2 2 5π C x+ 4 为偶函数 D.f()的图象关于直线x=7匹对称 4 10.在长方体ABCD-AB,CD中，底面ABCD是边长为4的正方形，P在棱AD上，且 PA=V10,PD=√2，则() A.AA=1 B.过点AP、C的平面截该长方体，所得截面周长为5√2+2√10 C.以点P为球心，√2为半径作一个球，则球面与底面ABCD的交线长为2π D.三棱锥P-ABD外接球的体积是36π 11.已知O为坐标原点，F是抛物线E:y=x的焦点，点A(x,y),B(x2,y)在E上且位于x轴 的两侧，OAOB=2,则() A.y=-2 B.直线AB经过点(2,0) c.a4oB≥10 D.△ABO与△AFO面积之和的最小值是3 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.小张、小李参加满分为50分（只取整数）的岗上技能测试，小张的六次成绩从小到大分别为 27,32,39,m,46,47:小李的六次成绩从小到大分别为30,31,34,41,42,45，只知小张的六次成绩的第 50百分位数等于小李的六次成绩的第80百分位数，则m= 高三8月适应性考试数学学科试卷第2页（共4页） 13.己知函数f(x)=1nx+m,若f(x)为偶函数，则f(x)在x=1处的切线方程为 4.数列a,=21≤ns2026,neN)共2026项，现剔除前两项4,4并将4%+4+4作为最后于 项，组成一个新的数列{b},显然数列{b}共2025项循环此操作剔除前两项b,b,并将 b,b+b+b作为最后一项，组成一个新的数列{Cn},显然{cn}共2024项依此操作共重复2025次，则 最后还剩下一项，此项为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sinC =v3sinBsinA-3cosBcos4. (1)求C: (2②若边4B上的高为3I,4=2,求b,c. 7 16.(本小题满分15分)已知四棱柱ABCD-AB,CD中，底面ABCD为梯形，AB//CD,AA⊥平 面ABCD,AD⊥AB,其中AB=AA=2,AD=DC=1.N是B,C1的中点，M是DD的中点. I)求证DN/平面CBM: (2)求点B到平面CBM的距离. A D B1 1.(本小题满分15分)已知M普若-1a>力>0的离心率为5，焦E为2V万，斜率为：的 3 直线！与椭圆M有两个不同的交点A、B. (1)求椭圆M的方程： (2)若k=1,求AB的最大值. 高三8月适应性考试数学学科试卷第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独 立.已知单局比赛中，甲获胜的概率为p(0<p<1) ()双方进行比赛，先赢得3局比赛的一方获胜.若刀= (1)求乙3：2获胜的概率： ()求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率. (2)设P:双方进行满2n+1局比赛（不提前结束），甲赢得至少n+1局的概率；4：双方进行比赛，采 用至少赢局且至少多赢2局的规则（例如甲至少赢n局，且净胜乙至少2局时，甲获胜），甲获胜的 概率.比较Pn与qn的大小. 19.(本小题满分17分)三个互不相同的函数f(x),g(x)和h(x)在区间D上恒有f(x)≥h(x)≥8(x)或 恒有f(x)≤h(x)≤g(x),则称h(x)为f(x)与g(x)在区间D上的“分割函数”. (1)设h(x)=4x,h(x)=x+1,试分别判断h(x)、h(x)是否是y=2x2+2与y=-x+4x在区间 （-0,+∞)上的“分割函数”，请说明理由； (2)若二次函数h(x)是y=2x2+2与y=4x在区间(-n,+∞)上的“分割函数”，求h(x): (3)设[，n]∈[-2,2]，若存在函数h(x)=x+b(k,b∈R),使得h(x)为y=x4-4x2与y=4x2-16在区 间[，n]上的“分割函数”，求n-m的最大值. 高三8月适应性考试数学学科试卷第4页（共4页)福州高级中学2026-2027学年高三8月适应性考试 数学参考答案 1 2 3 4 5 6 > 8 9 10 11 12 13 14 B D D B A C C B AD ABD ABD 45 y=x-1 4052 1. 【答案】B【详解】由x2-2x-3<0,可得(x-3)(x+1)<0,解得-1<x<3,即A={x-1<x<3},因 B=xx<2),UB=<3). 2.【答案】D【详解】对z1+i)=2-i两边同时除以1+)，得z=2, 1+i,化简得 z=2-i00-i0_2-2i-i+-1-3113到 1 (1+i)1-i)1-2 222而)之0，-。<0，可知点z位于第四象限，故D正 2 3.【答案】D【详解】由圆C:(x-1+(y-1=4,可得圆心坐标为1,1)，半径r=2.因为直线1与圆C相切，所以 圆心到直线1的距离等于半径，根据点到直线的距离公式，圆心(1,1)到直线：x+y+1=0的距离为 d1a+=a2,令d=2,即d-a2-2a:29=4a+d)户30-4a=0,解得a=0或a- V1+a2V1+a2 V1+a2 31 4.【答案】B 1 5.【答案】A【详解】因为a,a4= ,所以a=,又{a,}为正项等比数列，所以4=或 (舍) 16 16 4 5 因为a+4=4,所以a=1.设数列{a,}的公比为9，由4=ag可得g=4 4(1-4) 所以鸟1g S 41-q) -1+g=1哈号 -1-g4 1-9 6.【答案】C【详解】由DC=2BD可得，BD-号BC,所以 AD-G+BD=A+Bc=B+ac-A例-6+4c.因为C=4C-AB,所以 31 ,.【答案】C【详解】设正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则6x+3y=3,即y=1-2x,0<x<2 卡枚的r=5y-9+0-2动-（e-20)r-0:-62)20-30 4 兰x》r0,当唱<0.v-9（-2(o写)上.在 3'2 上单调递减， 所以当x=3时，P取得最大值，最大值为兰 得 故选：C 8.【答案】B【详解】由2Lf(x)+(+1)f(x)+m-1=0,得[2f(x)+m-1][f(x)+1]=0,解得f(x)=-1或 四-，由的=”求导得f国=，所以当0<e时/>0，医数r四=在Oe)单 调递增，当x>e时，了)<0，函数)=在(em)上单调递减，所以了三f回-。又→0， yfx) )0,四0,0网作超高藏-衡图系： 所由图 知，f网-1有唯一根，又因为方程+0m++m-1=0有三个不等实根，所以了)="有两个不 等正实根，由图知，0<1，”<，解得©2<m<1,所以实数m的取值范围为 e 9.【答案】AD【详解】A.余弦函数y=Acos(0x+p)的最小正周期公式为T= 2π ’0=1,所以 cfr+买eo++到=eox+年)om+)=sm,y=si是态隔数，不是偶函数，故 C错误.D.余弦函数的对称轴是使函数取到最值的位置，即x+三缸，k∈乙，解得xk饥一入人E乙，当 4 k=2时，x=2π- T二4=，是函数的一条对称轴，故D正确。一 10.【答案】ABD【详解】设AA=h,AP=x,在直角△A4P中，根据勾股定理得V0=h+x2, 在直角△DD,P中，根据勾股定理得(V2=+(4-x,解得x=3,h=1,故4=1，故A正确， 延长AP,DD相交于点9，连接QC交CD于点R,则截面周长为AP+PR+RC+AC, 在△MDQ中，利用三角形相似可得QD=手，在4CDQ中，利用三角形相似可得RD,=1, .PR=V√2，RC=V10,又底面ABCD是边长为4的正方形，则AC=4√2， 故截面周长为AP+PR+RC+AC=V10+√2+V10+4W2=2W10+5√2，故B正确， 2 9 B 点P到底面ABCD的距离为1，球的半径为√2，设球面与底面ABCD(正方形)的交线为半圆， 圆心在线段AD上且与D距离为1，圆的半径r=、2-P=1,可得交线长为)×2πx1=元，故C错误， 在△PAD中，∠PDA=∠DPD=45°，则△PAD的外接圆半径r= LxPA=5,显然AB⊥平面PAD: 2sin45° 因此三棱锥P-ABD的外接球的球心O在线段AB的中垂线上，球心O到平面PAD的距离为d=) AB=2, 2 4 则球半径R=V尸+=V5+4=3,故三棱锥P-ABD的外接球体积为子×x×(3)=36r,故D正确 11.【答案】ABD【详解】对于A,显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB方程为x=y+n, xm四w+”,消去x得y-m-n=0,得到△=m+4n>0,X%=-n,得=片=n, 由 y=x 而OA=(,),OB=x,y),可得OAOB=xx+yy,=n2-n, 由OAOB=2,得n2-n=2,解得n=2或-1， 而y3<0,即n>0,因此n=2,y=-2,故A正确： 对于B,此时直线AB:x=y+2恒过点C(2,0),故B正确： 对于C,由模长公式得OA=Vx+=V+=y√+1， 同理可得OB=√+号=√好+=√+1， 则OA.0E=y√+1xyV+1=yyV号++号+1 201=4+安13. 由基本不等式得听++522× +5=9, 当且仅当片=4 时，此时-5，得到职+牙+5>6，有op6,数e设 3 对于D,不妨设y>0,而r0), 4 则S+Swo-小+o州H内 1 9 9 9 =为-+8%=8+()22 分23×2)3，当且仅当8少时取等号，放D正确 2 12.【答案】45 13.【答案】y=x-1【详解】由题得x+m≠0，解得x≠-m,可得f(x)的定义域为(-oo,-m)U(-m,+o) 又因为f(x)为偶函数，其定义域关于原点对称，所以m=0,则f(x)=nx,此时 f(-)=血叶=n=f(,满足f(x)为偶函数当x>0时，f(x)-1x,则f()=1,所以 f(1)=1,f(1)=0,则f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1. 14.【答案】4052【详解】第一次变换是：删除两项4，a2,添加4+a+4a,(1+4)1+4)=1+4+4+44, 正好是1+新添加的项，也就是说，数列{4}中每一项加1的积，等于数列b}中每一项加1的积，也等于数列 化}中每一项加1的积…原数列是2,22,2。，2共2026项，每项加1后，初始乘积为： 3540494051 20262k+13.5.7、4053 =4053,每一次变换会让数列的项数减少1，初始有2026项，经 过2025次变换后，数列只剩1项，设为x,根据不变量，有1+x=4053,解得x=4052. 15.【答案】（①）C=匹（②b=3,c=万或b=6,c=2万 【详解】(1)在△ABC中，A+B+C=π，故cosC=-cos(A+B),将已知等式变形： sinC=-V3(cosAcosB-sinAsinB),又-V3(cosAcosB-sinAsinB)=-V3cos(A+B),代入得：sinC=√V3cosC,因 为C∈(0，D),cosC≠0， 故tanc=V3,得c-亚： (2》自三角形面积相等得C么，代入a=2,mC=,h=3 2 7 化简得：b=3万。 7 ,又oc} 再代入余弦定理c2=d+B-2 bcosC,得c2=4+9c_Vc 77 整理利c7c14=0,解得c=万或c=27,对应代入b=35,得6=3成6-6， 故b=3,c=√7或b=6,c=27. 4 16.【详解】①)证明：取CB,中点P,连接NP,MP, 由N是C的中点，故P1CC,且P=CC, 由M是DA的中点，放DAs-Dp-cc,且AaM1CG 则有DM/INP、DM=P, 故四边形DMPN是平行四边形，故DN/MP, 又MPc平面CB,M,D,N4平面CBM, 故DN/平面CBM: (2)解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， A 有A(0,0,0)、B(2,0,0)、B(2,0,2)、M(0,1,1)、C(1,1,0)、C(1,12), 则有CB=(L,-1,2)、CM=(-1,0,1)、BB=(0,0,2), P 设平面CBM的法向量为m=(:1,片，) D A m.CB=x1-y+23=0 B1.. 则有 m.CM==0 取x1=1,，则有=3、=1，即m=(1,3,1), 由弧=(002，则有B?2面，即点B到平面CM的距离为2 |mV1+9+111 11 1【若案】0写+-1：m)6 【详解】(I)由题意得2c=2√2，所以c=√2， 又e=S=6,所以a=5,所以B=d-c2=1,所以椭圆M的标准方程为 7+y2=1: (I)设直线AB的方程为y=X+L, y=x+m 由x2 儿3+2=1将去可7得4x+6+3一3二0， 则4=36m2-4×43m2-3)=48-12m2>0,即m2<4, 设A(,),B(5,),则+为=-3 ,-3 4 则=+-=+F店+-4，=6x4-厘 2 易得当2=0时，|4B=6,故AB到的最大值为V6 5 2 1 18.【详解】(1)()因为甲每局获胜的概率为3，所以乙每局获胜的概率为3 若乙以3：2获胜，则第5局乙赢，前4局乙赢2局输2局. 所以23监*为c心目)付付品 (i)设事件A为甲获胜，事件B为乙至少获胜一局， 若甲获胜，则甲获胜，则甲对乙可以以3：0、3：1、3：2获胜， 若甲以3：0获胜，则前3局全是甲赢： 若甲以3：1获胜，则第4局甲赢，前3局甲赢2局输1局； 若甲以3：2获胜，则第5局甲赢，前4局甲赢2局输2局 所以P(4=p+C0-p)p+C1-pp-3+336332- 事件AB(甲获胜且乙至少获胜一局)等价于“甲以3：1或3：2获胜，P(4AB)=C(1-p)p+C(1-p)}'p 3996咱白架 40 所以在甲获胜的条件下，乙至少获脏一局的概率为P(B4)=PL4B)_程=405 P(A)64 6481 81 (2)设y,m表示前m局中同学甲赢得的局数，记q=1-p, 则pn=P(m+1≥n+1)=P(gn≥n+1)+P(Ym=n)p. 对于g,设双方n:n平之后甲获脏的概率为：，则k=D+2k,所以k=1-2pg P 则g=P化，≥n+山+P.=m2pg 因此n.-4.=P(.=P1-2pg 因为Ym~B(,p),可得P(Ym=n)=Cnp”q”>0, 2=p-,p-p2p-1p-1) 又p1-2pgp-2p2-2p+1,P+0 所以A-,=CSpg2p-1(p- p2+g2 当<p<1时，可得q,-卫.>0，即P.<g.: 当0<p<时，n,>4:当p=3时，A=4 2 19.【答案】(1)h(x)是y=2x2+2与y=-x+4x在区间(-0，+0)上的“分割函数”；h(r)不是y=2x2+2与 y=-x2+4x在区间(-n,+0)上的“分割函数”(2)(x)=2+(4-2a)x+a(0<a<2)(3)2√5 6 【详解】(1)因为2x2+2-4x=2(x-1)2≥0恒成立，且4x-(←x2+4x)=x2≥0恒成立， 所以当x∈(-0，+0)时，2x2+2≥4x≥-x2+4x恒成立， 故h(x)是y=2x2+2与y=-x2+4x在区间(-0，+0)上的“分割函数”： 又因为x+1-(-x2+4x)=x2-3x+1,当x=0与1时，其值分别为1和-1， 所以h2(x)≥-x2+4x与h2(x)≤-x2+4x在（-D,+0）上都不恒成立， 故h(x)不是y=2x2+2与y=-x2+4x在区间(-0，+0)上的“分割函数” (2)设h(x)=2+cx+d(a≠0)是y=2x2+2与y=4x在区间(-n,+0)上的“分割函数”，则 2x2+2≥ax2+cx+d≥4x对一切实数x恒成立， 因为(2x2+2列=4x,当x=1时，它的值为4，可知y=2x2+2的图象在x=1处的切线为直线y=4x, 它也是h(x)=2+cx+d的图象在x=1处的切线，如图： y=2x2+24 1,4)所以 2a+c=4 [c=4-2a a+c+d=4'可得 所以2x2+2≥ax2+(4-2a)x+a≥4x对一切实数x恒成 d=a y=ax2+cx+d八 =4x 立，可得2-a≥0且a>0,即0<a≤2，又因为a=2时，%(x)=2+(4-2a)x+a与y=2x2+2为相同函数，不 合题意，故所求的函数为h(x)=ax2+(4-2ax+a(0<a<2). (3)关于函数y=x4-4x2,令y=4x3-8x=0,可得x=0,±V2, 当x∈(-0，-②)与x∈(0，V②)时，y<0,当x∈(-V2,0)与xe(W2,+m)时，y>0, 可知±√2是函数y=x4-4x2的极小值点，0是极大值点，该函数与y=4x2-16的图象如图所示： 若函数h(x)=+b是y=x4-4x2与y=4x2-16在区间[，n上的“分割函数”， √2 故存在b使得b≤b且直线h(x)=kx+b与y=x4-4x2的图象相切， .20 并且切点横坐标t∈[-2，-V2U「V2,2], 此时切线方程为y=(4t3-8)x+4t2-3t4,即k=4-8t,=42-3t4, 设直线h(x)=x+b与y=4x2-16的图象交于点(x,),(x2,y2), 6 7 [y=kx+b 则由 y=4x2-16’可得42--16-b=0, k 所以-FVG+)-46=Vi616+b≤ 16 16+b=V-2)2+16+4t2-314 =Vf6-7t4+8t2+16=V53-7s2+8+16(s=t∈[2,4]) 令k(S)=s3-7s2+8s+16(s∈[2,4])，K'(s)=3s2-14s+8=(3s-2)-4)≤0，（当且仅当s=4时，k'(s)=0), 所以k()严格减，故()的最大值为(2)=12， 可知，-x2的最大值为V12=2√3，所以n-m的最大值为2√3 8