福建福州高级中学2026-2027学年高三上学期8月适应性考试数学试题

福州高级中学2026―2027学年高三8月适应性考试 数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 B D D B A C C B AD ABD ABD 45 4052 15．【答案】（1）；（2），或， 【详解】（1）在中，，故，将已知等式变形： ，又，代入得：，因为，， 故，得； （2）由三角形面积相等得，代入，，， 化简得：，又 再代入余弦定理，得， 整理得，解得或，对应代入，得或， 故，或，． 16．【详解】（1）证明：取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2）解：以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面的法向量为 则有， 取，则有、，即， 由，则有，即点到平面的距离为． 17．【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由题意得，所以， 又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为； （2）设直线的方程为， 由消去可得， 则，即， 设，，则，， 则， 易得当时，，故的最大值为 18．【详解】（1）（i）因为甲每局获胜的概率为，所以乙每局获胜的概率为， 若乙以获胜，则第5局乙赢，前4局乙赢2局输2局． 所以乙获胜的概率为 （ii）设事件为甲获胜，事件为乙至少获胜一局， 若甲获胜，则甲获胜，则甲对乙可以以、、获胜， 若甲以获胜，则前3局全是甲赢； 若甲以获胜，则第4局甲赢，前3局甲赢2局输1局； 若甲以获胜，则第5局甲赢，前4局甲赢2局输2局． 所以． 事件（甲获胜且乙至少获胜一局）等价于“甲以或获胜”，=， 所以在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率为． （2）设表示前局中同学甲赢得的局数，记， 则． 对于，设双方平之后甲获胜的概率为，则，所以， 则． 因此． 因为，可得， 又， 所以． 当时，可得，即； 当时，；当时，． 19．【答案】（1）是与在区间上的“分割函数”；不是与在区间上的“分割函数”（2）（3） 【详解】（1）因为恒成立，且恒成立， 所以当时，恒成立， 故是与在区间上的“分割函数”； 又因为，当与1时，其值分别为1和， 所以与在上都不恒成立， 故不是与在区间上的“分割函数”． （2）设是与在区间上的“分割函数”，则对一切实数恒成立， 因为，当时，它的值为4，可知的图象在处的切线为直线， 它也是的图象在处的切线，如图： 所以，可得所以对一切实数恒成立，可得且，即，又因为时，与为相同函数，不合题意，故所求的函数为． （3）关于函数，令，可得，， 当与时，，当与时，， 可知是函数的极小值点，0是极大值点，该函数与的图象如图所示： 若函数是与在区间上的“分割函数”， 故存在使得且直线与的图象相切， 并且切点横坐标， 此时切线方程为，即，， 设直线与的图象交于点，， 则由，可得， 所以 令，，（当且仅当时，）， 所以严格减，故的最大值为， 可知的最大值为，所以的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州高级中学2026―2027学年高三8月适应性考试 数学学科试卷 试卷总分：150分　　完卷时间：120分钟 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足：，则复数在复平面中对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知圆与直线相切，则实数（ ） A． B． C． D．或 4．若，则（ ） A． B． C． D． 5．已知为正项等比数列，满足，，则（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，是边上一点，，则（ ） A． B． C． D． 7．将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若方程有三个不等实根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B． C．为偶函数 D．的图象关于直线对称 10．在长方体中，底面是边长为4的正方形，在棱上，且，，则（ ） A． B．过点、、的平面截该长方体，所得截面周长为 C．以点为球心，为半径作一个球，则球面与底面的交线长为 D．三棱锥外接球的体积是 11．已知为坐标原点，是抛物线的焦点，点，在上且位于轴的两侧，，则（ ） A． B．直线经过点 C． D．与面积之和的最小值是3 第II卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．小张、小李参加满分为50分（只取整数）的岗上技能测试，小张的六次成绩从小到大分别为，，，，，；小李的六次成绩从小到大分别为，，，，，，只知小张的六次成绩的第百分位数等于小李的六次成绩的第百分位数，则________． 13．已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为________． 14．数列共2026项，现剔除前两项，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然数列共2025项．循环此操作剔除前两项，，并将作为最后一项，组成一个新的数列，显然共2024项．依此操作共重复2025次，则最后还剩下一项，此项为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若边上的高为，，求，． 16．（本小题满分15分）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，．是的中点，是的中点． （1）求证平面； （2）求点到平面的距离． 17．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点、． （1）求椭圆的方程； （2）若，求的最大值． 18．（本小题满分17分）甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，每局比赛无平局，且各局比赛结果相互独立．已知单局比赛中，甲获胜的概率为． （1）双方进行比赛，先赢得3局比赛的一方获胜．若， （i）求乙获胜的概率； （ii）求在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率． （2）设：双方进行满局比赛（不提前结束），甲赢得至少局的概率；：双方进行比赛，采用至少赢局且至少多赢2局的规则（例如甲至少赢局，且净胜乙至少2局时，甲获胜），甲获胜的概率．比较与的大小． 19．（本小题满分17分）三个互不相同的函数，和在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”． （1）设，，试分别判断、是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由； （2）若二次函数是与在区间上的“分割函数”，求； （3）设，若存在函数，使得为与在区间上的“分割函数”，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $