湖北黄石市大冶市第一中学还地桥学校2026-2027学年高二年级9月素养测评数学试题

大治一中还地桥学校高二年级9月素养测评 数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.如图，由斜二测画法得到的一个水平放置的△ABC的直观图是直角三角形，∠A'B'C'=30°，A'为直角顶点， AC'=2, 则△ABC的面积为() y B C A.4v3 B.2W6 C.2y3 D.4√6 2.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为√2，若K为棱AB1的中点，过A,C,K三点作正方体的截面，则截面的周 长为() D B A.3+V10 B.2+V5 C.2V2+3V5D.V5+2W2+3 3.古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三 角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥P-ABCD为阳马，PA⊥平面ABCD,AB=BC=4,PA=3,则此“阳马”外接球与 内切球的表面积之比为() p A要 B号 C.√41 D.41 4.若一组数据x1,x2,x3,,xm的平均数为2，方差为3，对于数据2x1-1,2x2-1,2x3-1,,2xn-1,下列说法正确的 是() A.平均数为3，方差为5 B.平均数为4，方差为11 C.平均数为4，方差为12 D.平均数为3，方差为12 第1页， 5.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容 量为n的样本，已知从女生中抽取80人，则n等于() A.80 B.100 C.192 D.200 6.设A,B,C,D是同一个半径为的球的球面上四点，△ABC为等腰直角三角形且面积为3，则三棱锥D一ABC体积的最大 值为() A.9 B.6 c号 D.3 7.如图，三棱锥O-ABC中，G为△ABC的重心，M是OC的中点，则MG= A0丽+号0丽+号0C B.o+号o元+0C c0i+0丽-0C D.0丽+0丽-oC 8.在空间直角坐标系中，直线经过点P(1,2,1),且其方向向量元=(1,2,1)，则点Q(1,0,一2)到直线1的距离为() A图 B 号 D 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.(多选)某学校为了解同学们某天上学的交通方式，在高一年级开展了随机调查，将学生某天上学的交通方式归为四类： A一家人接送，B一乘坐地铁，C一乘坐公交，D一其他方式，学校把收集到的数据整理绘制成条形图和扇形图，如图只给 出了其中部分信息，根据图中信息，下列说法正确的是() 学生上学交通方式柱形图 学生上学交通方式扇形图 人数环 0 40 D15% C25% 30 20 10 CD交通方式 A.若该校高一年级有学生1300人，则高一年级约有780人乘坐公共交通工具上学 B.估计该校高一年级有1的学生某天家人接送上学 3 C.扇形图中B的占比为40% D.估计该校学生上学交通方式为乘坐地铁或者其他方式的人数占全校学生的一半 10.已知复数z1=2+31,22=3-41,z1,22在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,则() A.1+2=+lz2l B.ZZ2=5v2 C.满足z=!22的复数z在复平面内对应的点Z的轨迹周长是10元 D.满足zl<☑<22的复数z在复平面内对应的点z的轨迹围成图形的面积是10π 共2页 11.如图，在底面为平行四边形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠D1A1B1=60°，AA1=A1B1=A1D1=2,M,N分别 为棱BB1,B1C1的中点，则() A.D1N⊥BC B.A1C与平面AA1B1B所成角的余弦值为3 4 C.三棱柱ABD-A1B1D1的外接球的表面积为 3 D.点A1到平面AMN的距离为√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编号为001,002，…，449,450，假设从第1 行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学的编号为一· 6484421755721754 55068331 047447672176335025839212 067663016378591695556719 13.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是正方形，∠A1AD=∠A1AB=60°，AB=AA1=2,则 AD.BD1=— D 14.已知a=（1,1,2),=(3,1,1),t=(4,2,m),若、、共面，则m= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 复数z的共轭复数为z,i为虚数单位. (1)若1+i是关于z的实系数一元二次方程az2+bz+1=0的一根，求实数a,b的值. (2)若3Z-|z|=79i,求复数z. 16.(本小题15分) 某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了200名客户进行满意度调查，并将评分（满分100分）按 [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5组，绘制成如图所示的频率分布直方图. 频率 个组距 a-------- 0.025 0.020 0.015 0.010 5060708090100分数 (1)求图中α的值，并估计这200名客户的满意度评分的平均数（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）： (2)已知样本中在[60,70)内的评分的平均数为64.5，方差为14，在[70,80)内的评分的平均数是74.5，方差是9，求落在 [60,80)内的评分的平均数与方差. 17.(本小题15分) 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点. (1)求证：EF⊥CF; (2)求E下与CG夹角的余弦值； (3)求CE的长. 18.(本小题17分) 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段BC的中点，AB=1,AD=2,AA1=VZ. (I)证明：DE⊥平面A1AE; (I)求点A到平面A1D的距离. 19.(本小题17分) 如图，在四棱锥P一ABCD中，AD //BC, AD LDC,.BC=CD=2AD=1,E为棱AD的中点，PA1平面ABCD. (1)求证：AB//平面PCE; (2)求证：平面PAB⊥平面PBD: (3)若二面角P-CD-A的大小为45°， 求直线PA与平面PBD所成角的正弦值. 大冶一中还地桥学校高二年级9月素养测评 数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。 1.如图，由斜二测画法得到的一个水平放置的的直观图是直角三角形，，为直角顶点，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 2.如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为(    ) A. B. C. D. 3.古代数学名著九章算术商功中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球与内切球的表面积之比为(    ) A.   B. C. D. 4.若一组数据的平均数为，方差为，对于数据，，，下列说法正确的是    A. 平均数为，方差为 B. 平均数为，方差为 C. 平均数为，方差为 D. 平均数为，方差为 5.某校有老师人，男学生人，女学生人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取人，则等于     A. B.                             C. D. 6.设是同一个半径为的球的球面上四点，为等腰直角三角形且面积为，则三棱锥体积的最大值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则 A. B. C. D. 8.在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为(    ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。 9.多选某学校为了解同学们某天上学的交通方式，在高一年级开展了随机调查，将学生某天上学的交通方式归为四类：一家人接送，一乘坐地铁，一乘坐公交，一其他方式，学校把收集到的数据整理绘制成条形图和扇形图，如图只给出了其中部分信息，根据图中信息，下列说法正确的是     A. 若该校高一年级有学生人，则高一年级约有人乘坐公共交通工具上学 B. 估计该校高一年级有的学生某天家人接送上学 C. 扇形图中的占比为 D. 估计该校学生上学交通方式为乘坐地铁或者其他方式的人数占全校学生的一半 10.已知复数，，，在复平面内对应的点分别为，，则  (    ) A. B. C. 满足的复数在复平面内对应的点的轨迹周长是 D. 满足的复数在复平面内对应的点的轨迹围成图形的面积是 11.如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，则(    ) A. B. 与平面所成角的余弦值为 C. 三棱柱的外接球的表面积为 D. 点到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某校从名同学中用随机数法抽取人参加这一项调查将这名同学编号为，假设从第行第列的数字开始，则第个被抽到的同学的编号为           ．          13.如图，平行六面体的底面是正方形，，，则           ． 14.已知，，，若、、共面，则           ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 复数的共轭复数为，为虚数单位． 若是关于的实系数一元二次方程的一根，求实数的值． 若，求复数． 16.本小题分 某公司为了解客户对其旗下某产品的满意程度，随机抽取了名客户进行满意度调查，并将评分满分分按，，，，分成组，绘制成如图所示的频率分布直方图． 求图中的值，并估计这名客户的满意度评分的平均数同一组的数据用该组区间的中点值作代表； 已知样本中在内的评分的平均数为，方差为，在内的评分的平均数是，方差是，求落在内的评分的平均数与方差． 17.本小题分 棱长为的正方体中，，，分别是，，的中点． 求证： 求与夹角的余弦值 求的长． 18.本小题分 如图，长方体中，为线段的中点，，，． Ⅰ证明：平面； Ⅱ求点到平面的距离． 19.本小题分 如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． 求证：平面； 求证：平面平面； 若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：直观图为直角三角形，为直角顶点，，， 故斜边，由勾股定理得， 因此直观图面积。 根据斜二测画法性质，故， 故选D。 2.【答案】  【解析】解：如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以， 则四边形即为过，，三点的截面， 因为正方体的棱长为， 所以，， ， 则其周长为． 故选A 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了四棱锥外接球与内切球的表面积求法，属于中档题． 先求得四棱锥外接球与内切球的半径，故可得答案 【解答】 解：由题意平面，，， 故可知此“阳马”外接球半径， 又因为， 故可得 设四棱锥的内切球半径为，四棱锥被内切球的球心分成个小棱锥体积之和等于大棱锥的体积， 即 即 解得， 故外接球与内切球的表面积之比为． 故选B． 4.【答案】  【解析】解：设原数据的平均数为，方差为， 由题意得，。 设新数据的平均数为，方差为， 则，代入得。 又，因此，代入得， 故新数据平均数为，方差为， 故选D。 5.【答案】  【解析】因为，所以，所以． 6.【答案】  【解析】解：因为为等腰直角三角形且面积为， 不妨设，设， 则， 所以， 设的外接圆的圆心为，半径为， 则， 则球心到平面的距离， 当、、共线且在线段上时，三棱锥的高最大为， 此时三棱锥的体积也最大，最大值为． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：为的重心，则， 是的中点，所以， 所以 ， 故选D． 8.【答案】  【解析】由题意，、，得． 从而到直线的距离： 9.【答案】  【解析】解：因为一乘坐公交的调查人数为，所占比例为， 所以调查的总人数为 ， 对于选项：，所以选项正确， 对于选项：，所以选项错误， 对于选项：，所以选项错误， 对于选项：，所以选项正确． 故选：． 根据一乘坐公交的人数和百分比计算总人数，再计算各个选项即可． 本题考查了统计图表获取信息的知识，属于基础题． 10.【答案】  【解析】对于，，则，又，，而，故 A错误；对于，因为，，所以，所以，故 B正确；对于，设，因为，所以由可得，所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，其周长为，故C正确；对于，因为，，所以由可得，所以复数在复平面内对应的点的轨迹围成的图形是以原点为圆心，半径为与的两个圆所夹圆环不包括边界，其面积为，故 D错误．故选BC． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查利用空间向量法求线面角余弦值以及求点面距离问题，考查棱柱的外接球表面积的求解，属于较难题。 由，，可判断，利用空间向量的知识可求，，利用棱柱的外接球半径的求解方法先求半径，再利用表面积公式求外接球表面积可判定． 【解答】 解：对于，连接，，因为，， 所以为等边三角形，则，所以，故A正确； 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 对于，平面的一个法向量为， ，设与平面所成角为， 则，所以与平面所成角的余弦值为， 故B错误； 对于，的外接圆半径，三棱柱的外接球半径， 所以三棱柱的外接球的表面积为，故C正确； 对于，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，则， 点到平面的距离， 故D正确． 12.【答案】  【解析】解：第行第列的数字开始，依次抽取，，，，，，这个数都小于，没有重复，故均符合条件 故第个被抽到的同学的编号为 13.【答案】  【解析】解：，，且，，， ， ， ， 因为在平行六面体中， ， 又因为， 所以 14.【答案】  【解析】解：若、、共面，则， 即， 则，解得． 故答案为： 15.【答案】解：法一：由已知有方程的两根为 由根与系数的关系得 ． 法二：由已知有， ， 由复数的相等得 ． 设， ， 由复数的相等有 解得．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 16.【答案】解：根据题意，， 解得． ， 估计这名客户的满意度评分的平均数为． 由频率分布直方图可知评分在，的频率比为， 则样本中在内的评分的平均数为， 样本中在内的评分的方差为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 17.【答案】解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 证明：，则，因此，所以． ，而， 则，， 所以与夹角的余弦值是． ，则，所以的长为．   【解析】略 18.【答案】证明：Ⅰ 在长方体中，平面，平面， ， 又为线段的中点，由题意可知：，， ，，又，A、平面， 平面； Ⅱ过作，交于， 由Ⅰ知，平面， 平面，平面平面， 又平面平面， 平面， 就是到平面的距离，在中，，， ． 点到平面的距离为．  【解析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，点到面的距离，属于中档题． Ⅰ欲证平面，根据线面垂直的判定定理可知只需证，，即可； Ⅱ利用第一问的结果，推出平面平面，作出垂线，求解即可． 19.【答案】解：证明： 因为且， 所以四边形为平行四边形， 则， 又平面，平面， 所以平面； 证明： 由平面，平面， 得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以平行四边形为正方形， 所以， 又，所以， 又平面， 所以平面， 由平面， 所以平面平面； 由平面，平面， 所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 故为二面角的平面角， 即， 在中，， 作，垂足为， 由知，平面平面， 平面平面， 平面， 所以平面， 则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中， ， 所以， 在中， ， 即直线与平面所成角的正弦值为．     【解析】本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定，二面角直线与平面所成的角，属于中档题． 由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； 易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； 根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $