精品解析：北京市陈经纶中学2026-2027学年九年级上学期数学9月学情自测试卷

九月月练习 一．选择题（共8小题，每题3分） 1. 一个三角形的两边长为2和6，若第三边长为偶数，则第三边长为（　　） A. 8 B. 4 C. 6 D. 2 2. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 4. 在数学课上，同学们在练习过点作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形．请你数一数，错误的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 下列命题中正确的有（ ）个 ①三个内角对应相等的两个三角形全等； ②三条边对应相等的两个三角形全等； ③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等； ④等底等高的两个三角形全等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面五个条件：①；②；③；④；⑤以其中的三个作为条件，可以证明另一个成立的是（ ） A. ①②⑤⇒④ B. ①②④⇒③ C. ①③⑤⇒② D. ②③⑤⇒① 8. 如图，和均是等边三角形，、分别与、交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：其中正确结论有（　　） ①；②；③；④平分；⑤平分， A. ①②③④⑤ B. ①②④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②⑤ 二．填空题（共8小题，每题3分） 9. 已知等腰三角形的一边长为2，一边长为5，则该等腰三角形的周长为 _______． 10. 如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 11. 如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则______．（用含有的式子表示） 12. 在中，，是中线，若周长与的周长相差，则__________． 13. 如图，是的外角的平分线，若，则的度数是___________ 14. 如图，，，，则的度数为______． 15. 如图，根据用直尺、圆规作一个角等于已知角的方法，画出了．则的理由是______． 16. 如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝ BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝50°，则∠DFE＝_________． 三．解答题（17，18，19每题4分，20，21，23，24，每题5分，22题6分，25，26每题7分） 17. 解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解． 18. 解二元一次方程组： 19. 已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 20. 如图，是的中点，，，连接，．求证：． 21. 如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 22. 已知如图，将一大、一小两个等腰直角三角尺ABC与DBE拼接（A、B、D三点共线，AB=CB，EB=DB，∠ABC =∠EBD=90°），连接AE、CD．问：AE与CD的位置关系和数量关系，并证明你的结论． 23. 如图，已知．利用直尺和圆规作，使，（点D与点C在的不同侧）． 24. 在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F． （1）求证：； （2）当时，求证：平分． 25. 【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是________． A． B． C． D． （2）求得的取值范围是________． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 26. 已知在四边形中，，， （1）如图1，，E、F分别是边、上的点，线段、、之间的关系是______； （2）如图2，，E、F分别是边、上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，E、F分别是边、延长线上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九月月练习 一．选择题（共8小题，每题3分） 1. 一个三角形的两边长为2和6，若第三边长为偶数，则第三边长为（　　） A. 8 B. 4 C. 6 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系． 已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围；又知道第三边长为偶数，就可以知道第三边的长度． 【详解】解：设第三边长为，根据三角形的三边关系，得 ， 即． 又∵第三边长是偶数， ∴， 故选：C． 2. 如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线、高线及角平分线的意义，三角形一边上的中线平分此三角形的面积等知识．根据上述知识逐项进行判断即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴，而与不一定相等，A说法错误，符合题意； 是高， ， ，B说法正确，不符合题意； 是角平分线， ，C说法正确，不符合题意； ， ，D说法正确，不符合题意； 故选： 3. 数学兴趣小组要利用所学知识，自己制作一个工具测量一个锥形瓶的内径．如图，用螺丝钉将两根木棒，的中点固定，利用全等三角形知识，测得的长就是锥形瓶内径的长．其中，判定和全等的方法是（ ） A. SSS B. ASA C. SAS D. AAS 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据题意确定全等三角形的判定条件即可求解． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴判定和全等的方法是是， 故选：C． 4. 在数学课上，同学们在练习过点作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形．请你数一数，错误的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】第一个图形，过点B作所在直线的垂线段，垂足为，符合定义，正确； 第二个图形，不垂直于所在直线，错误； 第三个图形，垂线过上一点，不过点B，错误； 第四个图形，直角顶点在B处，未垂直于所在直线，错误． 所以错误的个数为3个． 5. 如图，，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，再根据角的和差即可求出的度数． 【详解】解：， ， ∵， ． 故选：A． 6. 下列命题中正确的有（ ）个 ①三个内角对应相等的两个三角形全等； ②三条边对应相等的两个三角形全等； ③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等； ④等底等高的两个三角形全等． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理SSS，SAS，AS A，AAS，HL，可得出正确结论． 【详解】解：①三个内角对应相等的两个三角形全等不一定全等，错误，不符合题意； ②三条边对应相等的两个三角形全等，正确，符合题意； ③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等，正确，符合题意； ④等底等高的两个三角形不一定全等，错误，不符合题意． 故选B． 7. 如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面五个条件：①；②；③；④；⑤以其中的三个作为条件，可以证明另一个成立的是（ ） A. ①②⑤⇒④ B. ①②④⇒③ C. ①③⑤⇒② D. ②③⑤⇒① 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，逐项判断选项中的三个条件能否判定和全等即可． 【详解】解：A、由，可知，且，，由不能判定和全等，无法得到，所以无法证明，不符合题意； B、由，，可知，，又，由不能判定和全等，无法得到，不符合题意； C、由，，，可知，所以，可得，即，符合题意； D、由，可知，且，，由不能判定和全等，无法得到，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，和均是等边三角形，、分别与、交于点M、N，且A、C、B在同一直线上，有如下结论：其中正确结论有（　　） ①；②；③；④平分；⑤平分， A. ①②③④⑤ B. ①②④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】①利用等边三角形的性质，根据可以证； ②利用可以证可得结论； ③在中，可得，易知； ④过点C作于点Q，于点H，由①得，，则，得到，可证，则，但不一定等于，即可得到结论； ⑤由④得到，且，，即可得到结论. 【详解】解：①和均是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， 可得①正确； ②由①知， ， ∵, ∴， 在和中， ， ， 可得②正确； ③由②得，在，， ，可得③错误； ④过点C作于点Q，于点H， 由①得， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵不一定等于， ∴④不正确， ⑤由④得到，且，， 平分，可得⑤正确； 综上可知，①②⑤正确， 故选：D 【点睛】本题主要考查了等边三角形及全等三角形的应用，角平分线的判定，等边三角形的三条边相等，三个角相等都是，灵活利用等边三角形的性质是解题的关键. 二．填空题（共8小题，每题3分） 9. 已知等腰三角形的一边长为2，一边长为5，则该等腰三角形的周长为 _______． 【答案】12 【解析】 【分析】由等腰三角形有一边长为5，一边长为2，即可分别从若5为腰长，2为底边长与若2为腰长，5为底边长去分析求解即可求得答案． 【详解】解：①若5为腰长，2为底边长， ∵5，5，2能组成三角形， ∴此时周长为：； ②若2为腰长，5为底边长， ∵， ∴不能组成三角形，故舍去； ∴周长为12． 10. 如图所示，是的中线，的周长为24，则的周长为__________． 【答案】26 【解析】 【分析】先计算的长度，由中线的定义得，进而即可求解． 【详解】解：的周长为24， ， ， 是的中线， ， ， ， 即的周长为26． 11. 如图，在中，是高，是角平分线，．若，，则______．（用含有的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线和高，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 由根据三角形的高可得，得，，再根据三角形角平分线的定义可得，得，最后根据角的和差关系即可求解； 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 在中，，是中线，若周长与的周长相差，则__________． 【答案】 3或7 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的定义．熟记概念并分情况讨论是解题的关键． 由三角形的中线定义可得，分别表示出周长和的周长，再分两种情况求解即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴周长为；的周长为； 由于周长与的周长相差，故分两种情况求解； ①当时，解得，； ②当时，解得，； 综上所述，3或7； 故答案为：3或7． 13. 如图，是的外角的平分线，若，则的度数是___________ 【答案】##85度 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，根据三角形外角的性质计算即可得到答案． 【详解】解：是的外角的平分线，， ， ， 故答案为： ． 14. 如图，，，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，作射线，根据题意得出，代入数据，即可求解． 【详解】解：如图所示，作射线， ∵，， ∴ 即 故答案为：． 15. 如图，根据用直尺、圆规作一个角等于已知角的方法，画出了．则的理由是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定，由作图痕迹可知，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：从作图可知，， ， 的理由是， 故答案为：． 16. 如图，点C在线段AB上，DA⊥AB，EB⊥AB，FC⊥AB，且DA＝ BC，EB＝AC，FC＝AB，∠AFB＝50°，则∠DFE＝_________． 【答案】 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据三角形全等的判定定理与性质可得，再根据角的和差、直角三角形的性质可得，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得，同理可得出，最后根据角的和差即可得． 【详解】如图，连接BD、AE， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ，即， 是等腰直角三角形，， 即， 同理可得：， 即， ， 又， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 三．解答题（17，18，19每题4分，20，21，23，24，每题5分，22题6分，25，26每题7分） 17. 解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解． 【答案】解集为，整数解为 【解析】 【分析】本题考查解不等式组，解决本题的关键是先计算出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，然后在解集中确定所有整数解即可.． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为． 18. 解二元一次方程组： 【答案】 【解析】 【详解】解： 得， 将代入①得 解得， ∴方程组的解为． 19. 已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】略 20. 如图，是的中点，，，连接，．求证：． 【答案】 证明：是的中点， ， ∵， ． 在和中， ， ∴， ． 【解析】 【分析】该题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质及其应用等几何知识点问题；根据平行线的性质，中点的定义以及全等三角形的判定和性质解答即可，应牢固掌握全等三角形的判定定理． 【详解】略 21. 如图，，，，，垂足分别为，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，根据条件可以得出，利用得出，得出，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 22. 已知如图，将一大、一小两个等腰直角三角尺ABC与DBE拼接（A、B、D三点共线，AB=CB，EB=DB，∠ABC =∠EBD=90°），连接AE、CD．问：AE与CD的位置关系和数量关系，并证明你的结论． 【答案】AE⊥CD．AE=CD 【解析】 【详解】试题分析：根据题意可以证明△ABE≌△CBD，进而得出∠AEB=∠CDB，AE=CD，据此即可得解. 试题解析：AE= CD且AE⊥CD， 理由如下：延长AE交CD于F， 在△AEB和△CDB中，， ∴△AEB≌△CDB ， ∴AE= CD， ∠EAB=∠DCB ， ∵∠EBD=90°， ∴∠DCB+∠CDB=90° ∴∠AFD=90° ∴AE⊥CD． 23. 如图，已知．利用直尺和圆规作，使，（点D与点C在的不同侧）． 【答案】 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】此题考查了尺规作图，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 以点B为圆心，为半径画弧，以点A为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，则即为所求． 【详解】解：由作图得，， 又∵ ∴ ∴，． 24. 在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F． （1）求证：； （2）当时，求证：平分． 【答案】（1） 证明：∵，且， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2） 证明：由上一问得， ∴，， 由上一问得， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 记与相交于点H， 中，， 中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴平分． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解决本题的关键是证明． （1）根据直角三角形的判定定理证明即可； （2）先由，可得，，再根据等边对等角，可得，由此可得，再根据三角形内角和为，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是________． A． B． C． D． （2）求得的取值范围是________． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，，，，，且，求的长． 【答案】（1）B （2）C （3）6 【解析】 【分析】（1）由三角形中线的定义性质得到，然后利用证明； （2）由得到，，然后利用三角形三边关系求解； （3）延长，交于点F，证明，得到，，然后利用垂直平分线性质求解． 【小问1详解】 解：∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴由已知和作图能得到的理由是； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，延长，交于点F， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． 26. 已知在四边形中，，， （1）如图1，，E、F分别是边、上的点，线段、、之间的关系是______； （2）如图2，，E、F分别是边、上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明； （3）如图3，，E、F分别是边、延长线上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）； （2） 解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， 同（1）理可得，， ； （3） 解：（1）中的结论不成立，，证明如下： 如图，在上取点，使得， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）延长至点，使得，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到结论； （2）延长至点，使得，连接，证明，得到，，同（1）理可得，，即可证明结论； （3）在上取点，使得，证明，得到，，再证明，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图，延长至点，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $