2026-2027学年北京版九年级数学上册第一次月考测试卷

**基本信息** 本试卷聚焦相似形与函数模块，通过旗杆测量、经济利润等真实情境题，考查数学眼光与应用意识，适配九年级月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|比例线段、二次函数图像性质|基础概念辨析，如黄金分割计算| |填空题|6/18|位似图形面积比、函数图像平移|网格背景求比值，体现几何直观| |解答题|8/72|相似证明、二次函数综合、反比例函数应用|20题用相似测旗杆高度（应用意识），22题经济利润建模（模型观念），24题二次函数与圆综合（推理能力）|

2026-2027学年北京版九年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围：第十八章相似形~第十一章二次函数与反比例函数 一、单选题（每题3分，共30分） 1.下列各组中的四条线段成比例的是() A.a=2,b=3,c=4,d=1 B.a=2,b=5,c=4,d=10 C.a=4,b=6c=5d=10 D.a=V2.b=3c=2d=5 2.若△ABC∽△DEF,且对应中线比为4：7，则△ABC与△DEF的周长比为() A.7:4 B.4:7 C.16:49 D.49:16 3.函数y=(m-2列x2+m是二次西数，则它的图象(） A.开口向上，对称轴为y轴 B.开口向下，顶点在x轴上方 C.开口向上，与x轴无交点 D.开口向下，与x轴无交点 4.已知抛物线'=+x+1过(-122，-7) 过 则抛物线的解析式为(). A.y=x2+2x+1 B.y=x2-2x+1 C.y=-x2+2x+1 D.y=-x2-2x+1 5.已知二次函数y=-7x- 的图象和轴有交点，则的取值范围是() 7 B.k>-4且k+0 c.2-子 7 D.k2-4且k≠0 6.已知，线段AB=2,点M,N是线段AB的两个黄金分割点，则MN的长为() A B A.5-1 B.3-V5 c.25-2 D.25-4 试卷第1页（共3页） 7.如图，在边长为1的小正方形网格中，AB,CD相交于点O,点A,B,C,D都在这些小正方形网格 AC+0C+0A 的格点上，则DB+OB+OD的值为() D B A.2 c.3 D.g 0A 1 8.如图，AABC和ADEF是以点0为位似中心的位似图形.若AD-2,则AABC与ADEF的面积比是 () A.1:2 B.1:3 c.1:4 D.1:9 9.将二次函数”=(x-2+1的图象绕点2，)旋转180°得到的图象的解析式为《） A.y=(x-2)}2+1 B.y=(x+2)2+1 c.y=-(x-2}2+1 D.y=-(x+2)2-1 10.已知P,y）,Q+6)】 两点在二次函数'=2的图象上，下列判断错误的是() A.若3，则1为 B.若M=乃，则=-3 C.若>0则4<% D.若<片，则>0 二、填空题（每题3分，共18分） 试卷第2页（共3页） 2x-y_3 11.已知x+y5,则y 12.如图，已知4B/CD/EF,它们依次交直线、于点A、D,P和点B、C、B,如果 AD:DF=31,BE=12,那么CE等于— 13。物线=2(-广-7的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新图象的解新式为 1 BD 14.如图，在AABC中，DE∥BC,若AADE与四边形DBCE的面积之比是3，则AD 15.如图，二次函数少=-t-2x+3。 的图象交x轴于A、B两点，B在A的左边，交y轴于C点，现将抛物 线沿CB射线方向平移35个单位，则平移后的抛物线的解析武为。 B 16、如图所示，点A是反比例函数y x（x>0)图象上的任意一点，ABlx轴交反比例函数 试卷第3页（共3页） y=Cx<0)的图象于点g:以AB为边作ARCD:点C:D在x轴上，则。ABCD的面积为 x 三、解答题（每题9分，共72分) 17.如图，己知△ABC,DE∥BC,AD=2,BD=4,BC=12,AC=9.求线段DE和CE的长. 18.如图，△ABC与△4BC是位似图形，位似中心为M, B B (1)画出点M的位置： △4，B,C与△4BG是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，画出 (2) 4，B2C2 19.如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=x(k为常数，且k≠0)的图象交于点A,B(山， ,且一次函数与x轴，y轴分别交于点C,D. 试卷第4页（共3页） (1)求反比例函数的解析式： (2连结OB,在反比例函数图象上是香存在点P,使得氵 县Soc=4S0m,若存在，求点P的坐标，若不存 在，请说明理由. 20.某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆EF的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 E 示意图 、 BO D 位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一 根标杆CD,在B和D之间找到一个合适的位置O,并在O 测量过程 处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和 点卫重合（图中各点在同一平面）， DF=15m,BD=5.4m,CD=2m,点B处同学的眼睛离地 测量数据 面的高度AB=1.6m.AB,CD,EF均与水平地面垂直. 请你根据以上实践报告，求出旗杆EF的高度， 21,如图，抛物线”=-(x-旷+c(c为常数)经过坐标原点0和点A,点A在x轴上 试卷第5页（共3页） (1)求抛物线顶点B的坐标： ②连接4B,OB,若点C在轴下方的抛物线上，且 oe=8S0,求点C的坐标. 22.某门店销售某品牌车载智能充电器、第一次花费7000元购进一批车载智能充电器、全部售完后再次 补货：第二次进货时，每件的进价比第一次少5元，花费6000元购进车载智能充电器的数量与第一次相 同. (1)求第二次每件车载智能充电器的进价： 100-m) (2)第二次购进的车载智能充电器在某段时间内以m元出售（不小于第二次的进价）、可卖出 件，应如何定价才能使利润最大 23.如图，将等边三角形ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，（不与B、C重合）折痕为EF. E (I)求证：△BDE∽△CFD. (2)若BD=7,DC=2,求△BDE与△CFD的相似比. 24.如图，以D为顶点的抛物线 =+2x+3交*销于4、8两点，交'轴于点C 试卷第6页（共3页） (I)求点A,B,C,D的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点P,使PC+PA的值最小，求点P的坐标； (3)试判断点B、点C、点D这3个点在同一个圆上？若在同一个圆上，请写出圆的半径，并作简要说明： 若不在同一个圆上，请说明理由， 试卷第7页（共3页） 2026-2027学年北京版九年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围：第十八章相似形第十一章二次函数与反比例函数 一、单选题（每题3分，共30分） 1．下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】线段成比例强调的是线段之间的数量关系，即两条线段的长度之比是否相等，由此计算即可求解． 【详解】解：选项A、 ， ∴ 四条线段不成比例，A错误； 选项B 、，则， ∴ 四条线段成比例，B正确； 选项C 、， ∴ 四条线段不成比例，C错误； 选项D 、， ∴ 四条线段不成比例，D错误； 故选：B． 2．若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 3．函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 4．已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入已知点到解析式，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式． 【详解】解：将代入，得， 整理得， 解得， ∴抛物线解析式为． 5．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 6．已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据黄金分割比例求出的长，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵线段，点，是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴． 7．如图，在边长为1的小正方形网格中，，相交于点O，点A，B，C，D都在这些小正方形网格的格点上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由网格特点得，，，则，由相似三角形的性质得出，，，代入所求式子计算即可得出结果． 【详解】解：由网格特点得，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴． 8．如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据位似图形得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， ∴， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方， ∴与的面积比是 9．将二次函数的图象绕点旋转得到的图象的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以旋转中心与原抛物线顶点重合为突破口，结合旋转的性质推导解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为，开口向上，且旋转中心为点， ∴绕该点旋转后，抛物线顶点坐标不变，开口方向向下，开口大小不变， 即二次函数的图象绕点旋转后，得到的新的抛物线的顶点为，， ∴所得新抛物线的解析式为． 10．已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称性与单调性，需结合函数性质逐一分析选项判断正误． 【详解】解：∵二次函数开口向上，对称轴为（y轴），在时单调递减，时单调递增，且点到对称轴距离越远，函数值越大． 选项A：当时，，，两点关于y轴对称，∴，A正确． 选项B：若，则、关于y轴对称，∴，解得，B正确． 选项C：若，则，∵函数在时单调递增，∴，C正确． 选项D：若，则，两边平方得，化简得，即，并非（如时，，，但），D错误． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知，则__________． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质，通过交叉相乘将比例方程转化为线性方程，再求解x与y的比值． 【详解】解：由已知， 交叉相乘得， 展开得， 移项得， 即， 所以， 故答案为：． 12．如图，已知，它们依次交直线、于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么CE等于______． 【答案】3 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 即， 解得：， 故答案为：3． 13．抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的新图象的解析式为______． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据抛物线图象平移的性质，先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，应用“左加右减，上加下减”的规则求解． 【详解】解：原抛物线解析式为， 先向左平移3个单位，得：， 再向上平移4个单位，得：， 故答案为：或． 14．如图，在中，，若与四边形的面积之比是，则__________． 【答案】 【分析】根据与四边形的面积之比得出与的面积之比，根据相似三角形的判定和性质得出，即可求解． 【详解】∵与四边形的面积之比是， ∴与的面积之比是， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，B在A的左边，交y轴于C点，现将抛物线沿射线方向平移个单位，则平移后的抛物线的解析式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，勾股定理等，将沿射线方向平移转化为左右平移是解决问题的关键．先求出点B、C的坐标，利用勾股定理得到长度，进而确定平移方式，然后把解析式化为顶点式，再根据平移规律：自变量加减左右移，函数值加减上下移，即可解答． 【详解】解：对于，令，则， ∴， ∴； 令，则， 解得，， ∵二次函数的图象交x轴于A、B两点，B在A的左面， ∴， ∴， ∴， ∴点C沿射线方向平移个单位后与点B重合， ∴抛物线沿射线方向平移个单位，相当于先向下平移3个单位，再向左平移3个单位， ∵原抛物线解析式， ∴平移后抛物线解析式为， 故答案为：． 16．如图所示，点是反比例函数（）图象上的任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作，点，在轴上，则的面积为________． 【答案】 9 【分析】连接、，设交轴于点，利用反比例函数系数的几何意义分别求出和的面积，进而得到的面积，最后根据平行四边形面积与三角形面积的关系求解． 【详解】解：连接、，设交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．如图，已知，，，，，．求线段和的长． 【答案】， 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据得出，根据相似三角形的性质，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，． ∴． ∴，即． ∴． ∵， ∴，即． ∴． 18．如图，与是位似图形，位似中心为M． (1)画出点M的位置； (2)与是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶2，画出． 【答案】(1) 如图所示，点即为所求， (2) 如图所示，即为所求 【分析】本题主要考查利用位似作图，可以根据位似图形的定义，结合位似图形的作法进行解答． （1）连接交于点； （2）根据位似比为1∶2，分两种情况画出； 【详解】（1）略 （2）略 19．如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数，且）的图象交于点A，，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数的解析式； (2)连结，在反比例函数图象上是否存在点，使得，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，坐标为或 【分析】（1）首先将点代入一次函数中，得到点B坐标，然后将点B代入反比例函数中，求出k的值，即可得到反比例函数解析式． （2）首先求一次函数与坐标轴的交点，得到点C、D坐标，求出、的长，结合点B坐标即可求出的面积，从而根据面积倍数关系得到；以为底，高为点P纵坐标绝对值，根据面积公式即可反推出；再结合点P在反比例函数上得出点P横坐标即可． 【详解】（1）解：∵是一次函数的图象与反比例函数的图象交点， ∴将代入一次函数得，即， ∴将代入反比例函数得，解得， ∴反比例函数解析式为． （2）∵一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D， ∴令，得，即点，；令，得，即点，． ∵，即B到y轴距离为1， ∴， ∴． 设点在反比例函数图象上，以为底，则高为， ∴，即或． 当时，由得，此时；当时，由得，此时． 故存在满足条件的点P，坐标为或． 20．某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【分析】先证明，由此求得，进而求得；再证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为12米． 21．如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入求出的值，再写出顶点的坐标即可； （2）由可得，代入即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解： ∵，， 又∵， ∴， 解得， 将代入，得， 解得或， ∴点的坐标为或． 22．某门店销售某品牌车载智能充电器、第一次花费7000元购进一批车载智能充电器、全部售完后再次补货；第二次进货时，每件的进价比第一次少5元，花费6000元购进车载智能充电器的数量与第一次相同． (1)求第二次每件车载智能充电器的进价； (2)第二次购进的车载智能充电器在某段时间内以m元出售（m不小于第二次的进价）、可卖出件，应如何定价才能使利润最大． 【答案】(1) 第二次每件车载智能充电器的进价为30元 (2) 定价为65元时利润最大 【分析】（1）设第一次购进车载智能充电器的进价为x元，则第二次购进车载智能充电器的进价为元，结合数量关系列分式方程求解即可； （2）设利润为，每件的利润为元，由此列二次函数，根据二次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购进车载智能充电器的进价为x元，则第二次购进车载智能充电器的进价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义，且符合题意， ∴， ∴第一次购进车载智能充电器的进价为元，第二次购进车载智能充电器的进价为元； （2）解：设销售利润为，每件的利润为元， ∴， ∵， ∴当时，利润为的值最大，最大值为1225元， ∴定价为65元时利润最大． 23．如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． (1)求证：； (2)若，，求与的相似比． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∴， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）因为是等边三角形，所以三个内角均为；又因为折叠前后对应角相等，所以，利用平角定义和三角形内角和定理，推导，结合，用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似． （2）首先由和的长度计算出的长度，即等边三角形的边长；根据折叠的性质得到，由，，得，得的周长为16，的周长11．进而得出相似比． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∴，， ∴， ， ∴的周长为16，的周长为11． ∵， ∴． 24．如图，以为顶点的抛物线交轴于、两点，交轴于点． (1)求点，，，的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标； (3)试判断点、点、点这3个点在同一个圆上？若在同一个圆上，请写出圆的半径，并作简要说明；若不在同一个圆上，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，点坐标为，点的坐标为 (2) (3) 点、点、点这3个点在同一个圆上，圆的半径是，理由： ∵点的坐标为，点的坐标为，顶点的坐标为， ∴，，， ∵，∴， ∴是直角三角形，并且是直角三角形的斜边， ∴点、点、点这3个点在同一个圆上，圆的半径是． 【分析】（1）令，可得点，的坐标，令，可得点的坐标，将抛物线化为顶点式，可得点的坐标； （2）点A、点B关于对称轴对称，连接交对称轴直线于点，求出点坐标即可； （3）求出线段的长，利用勾股定理的逆定理即可判断的形状即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为， 令，则， ∴点的坐标为. ∵， ∴顶点的坐标为； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴其对称轴为直线， 连接，过作轴交于点，连接，如图所示， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 由抛物线的对称性质可知， ∴的最小值， ∴点即为所求作的点， 当时，， ∴； （3）略 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，用待定系数法求一次函数的解析式、轴对称求最短路线问题、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是要注意数形结合的应用． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $