第1讲 集合讲义-2027届高三数学一轮复习

第1讲 集合 目录 Part1考点突破 考点1：元素与集合的关系 考点2：集合间的关系 考点3：集合的运算 考点4：集合的运算性质 Part2 题型探究 题型1：集合的概念、集合中元素的性质 题型2：根据集合相等求参 题型3：根据集合间的包含关系求参 题型4：子集个数 题型5：集合的基本运算 题型6：Venn图 题型7：集合综合题 Part3 分层通关 Part4 真题实战 Part 1 考点突破 【考点1：元素与集合的关系】 1.集合的含义与表示 某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象． 2.集合元素的特征 （1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关． 3.元素与集合的关系 元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种． 4.集合的常用表示法 集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)． 知识点诠释： （1）列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来. （2）描述法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 5.常用数集的表示 R：实数集；Z：整数集；N：自然数集（含有0）；或N*：正整数集（没有0）；Q：有理数集． 【例1】下列关系中，正确的是（　　） A．﹣2∈N+ B． C．π∉Q D．5∉N 【答案】C 【分析】N+是正整数集，Z是整数集，Q是有理数集，N是自然数集，从而依次判断即可． 【解析】解：N+是正整数集，故﹣2∉N+， Z是整数集，故∉Z， Q是有理数集，故π∉Q， N是自然数集，故5∈N， 故选：C． 【考点2：集合间的关系】 1.子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. 2.真子集：对于两个集合与，若，且存在，但，则集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. 3.相等：对于两个集合与，如果，同时，那么集合与相等，记作． 4.空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 5.若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 【例2】已知{1，2}⫋A⫋{1，2，3，4}，则满足条件的集合A的个数为（　　） A．1 B．3 C．4 D．2 【答案】D 【分析】由集合间的包含关系确定所求集合即可． 【解析】解：由题意可知，集合A可以是{1，2，3}或{1，2，4}， 则满足条件的集合A的个数为2个． 故选：D． 【例3】已知集合A＝{x|x2＜4}，集合B⊆A，则B可以为（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，1） D．[2，+∞） 【答案】A 【分析】先求出集合A，再利用集合间的包含关系求解． 【解析】解：由题意可知，集合A＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，B⊆A， 观察四个选项，只有集合B＝（﹣1，2）时，满足B⊆A． 故选：A． 【考点3：集合的运算】 1.交集：由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即． 2.并集：由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即． 3.补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． 【例4】设全集U＝{x|0＜x＜6，x∈Z}，集合A＝{1，2，3}，则∁UA＝（　　） A．{4，5} B．{4，5，6} C．{1，2，3} D．{x|3＜x＜6} 【答案】A 【分析】写出集合U，利用补集的定义可得集合∁UA． 【解析】解：U＝{x|0＜x＜6，x∈Z}＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}， 根据集合补集运算可得，∁UA＝{4，5}． 故选：A． 【考点4：集合的运算性质】 1.，，，，． 2.，，，，． 3.，，． 4. 【例5】已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，4}，集合，则（∁UA）∩（∁UB）＝（　　） A．{2} B．{0，1} C．{3，5} D．{2，3，4，5} 【答案】C 【分析】结合集合基本运算即可求解． 【解析】解：全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，4}，集合{0，1，2}， 则A∪B＝{0，1，2，4}， 则（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）＝{3，5}． 故选：C． Part 2 题型探究 【题型1：集合的概念、集合中元素的性质】 【例1】下列元素的全体能构成集合的是（　　） A．某电视台著名节目主持人 B．高中学生中的游泳能手 C．中国古代四大发明 D．sin60°，tan45°，cos30° 【答案】C 【分析】根据集合中的元素满足确定性，互异性，无序性，即可判断选项． 【解析】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，某电视台著名节目主持人，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合； 对于B，高中学生中的游泳能手，不满足集合中元素的确定性，不能构成集合； 对于C，中国古代四大发明：指南针，火药，造纸术，印刷术，可以构成集合； 对于D，sin60°＝cos30°，不满足集合中元素的互异性，不能构成集合． 故选：C． 【变式1】集合M＝{﹣1，2，3}，N＝{3，﹣5，6，﹣4}，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据第二象限坐标特征分类结合分类加法原理计算求解． 【解析】解：由题意可知，第二象限内的点的横坐标是负数，纵坐标是正数， 若集合M中的元素作为横坐标，集合N中的元素作为纵坐标，则符合题意的点有（﹣1，3），（﹣1，6），共2个， 若集合M中的元素作为纵坐标，集合N中的元素作为横坐标，则符合题意的点有（﹣5，2），（﹣5，3），（﹣4，2），（﹣4，3），共4个， 综上所述，在第二象限内的点的个数为2+4＝6． 故选：D． 【变式2】下列命题中正确的（　　） A．∅与{0}表示同一个集合 B．方程{x|（x﹣2）2（x﹣3）＝0}的所有解的集合可表示为{2，2，3} C．{y|y＝x2}和{y|y≥0}是相等集合 D．很小的实数可以构成集合 【答案】C 【分析】由集合的概念逐项判断即可． 【解析】解：对于A，∅没有元素，{0}有一个元素，不是同一集合，故A错误； 对于B，由元素的互异性可知B错误； 对于C，由x2≥0可知：{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，故C正确； 对于D，由元素的确定性可知，很小的实数不可以构成集合，故D错误． 故选：C． 【题型2：根据集合相等求参】 【例2】已知集合A＝{2，a}，B＝{﹣2，b}，若A＝B，则a+b＝（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据集合相等的定义求解． 【解析】解：由题意可知，集合A＝{2，a}，B＝{﹣2，b}，且A＝B， 则a＝﹣2，b＝2， 故a+b＝0． 故选：B． 【变式1】若集合A＝{a2，b﹣1，0}，集合，且A＝B，则a+b＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】B 【分析】根据集合相等，对应元素相等，即可求解． 【解析】解：由题意可知，集合A＝{a2，b﹣1，0}，集合，且A＝B， 因为不能为0，所以b＝0， 此时， 因此， 解得a＝﹣1， 此时A＝{1，﹣1，0}＝B＝{0，﹣1，1}，符合题意， 所以a+b＝﹣1． 故选：B． 【题型3：根据集合间的包含关系求参】 【例3】已知集合A＝{x|x＝2k+1，k∈N}，B＝{x|x＝4m+1，m∈N}，则（　　） A．A⊆B B．A⊇B C．A＝B D．A∩B＝∅ 【答案】B 【分析】根据集合间包含关系的定义求解． 【解析】解：对于集合A＝{x|x＝2k+1，k∈N}， 当k＝2n（n∈Z）时，x＝4n+1， 当k＝2n+1（n∈Z）时，x＝4n+3， 所以B⊆A，且A≠B， 所以A∩B＝B． 故选：B． 【变式1】已知集合A＝{1，4，a+2}，B＝{1，a2}，且A∩B＝B，则a＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】D 【分析】由A∩B＝B，得B⊆A，进而得到关于a的方程，结合集合的性质求解即可． 【解析】解：由A∩B＝B，得B⊆A， 由元素的互异性可知，a2≠1，即a≠1且a≠﹣1， 所以a2＝4或a2＝a+2， 解得a＝2或a＝﹣2或a＝﹣1（舍去）， 当a＝2时，A＝{1，4，4}，B＝{1，4}，不符合集合元素的互异性，故舍去， 当a＝﹣2时，A＝{1，4，0}，B＝{1，4}，符合题意， 综上所述，a＝﹣2． 故选：D． 【变式2】已知集合A＝{x|0≤x＜2}，集合B＝{x|x＞m}．若集合A⊆B，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．[0，2） D．[2，+∞） 【答案】A 【分析】根据集合间的包含关系列出不等式，求出m的取值范围即可． 【解析】解：因为集合A＝{x|0≤x＜2}，集合B＝{x|x＞m}，且集合A⊆B， 所以m＜0， 即实数m的取值范围是（﹣∞，0）． 故选：A． 【题型4：子集个数】 【例4】已知集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣2≤0}，则A的子集个数为（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先求解集合A，根据元素的个数即可求解． 【解析】解：由x2﹣x﹣2≤0得﹣1≤x≤2， 所以A＝{x∈N|x2﹣x﹣2≤0}＝{0，1，2}， 显然集合A有三个元素， 所以集合A的子集个数为23＝8个． 故选：D． 【变式1】集合的子集个数是（　　） A．8 B．16 C．32 D．无数个 【答案】A 【分析】结合交集的定义，以及子集个数公式，即可求解． 【解析】解：集合{x∈N*|0＜x＜4}＝{1，2，3}，元素个数为3， 则集合A的子集个数为23＝8． 故选：A． 【题型5：集合的基本运算】 【例5】已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{﹣2，0，1}，则A∪B＝（　　） A．{1} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 【答案】B 【分析】根据集合并集进行运算即可． 【解析】解：由题可知，集合A＝{x|x2＝1}＝{﹣1，1}， 又因为B＝{﹣2，0，1}， 所以A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1}． 故选：B． 【变式1】已知集合A＝{x|x＜3，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2，3，4}，则A∩B＝（　　） A．{0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{x|0≤x＜3} 【答案】C 【分析】先求出集合A，再利用集合的交集运算求解． 【解析】解：由题意可知，A＝{x|x＜3，x∈N}＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3，4}， 所以A∩B＝{0，1，2}． 故选：C． 【变式2】已知集合A＝{0，1，2，3，4}，且B＝{x|x∈A，∉A}，则B＝（　　） A．{1，4} B．{2，3} C．{0，1，4} D．{0，2，3} 【答案】B 【分析】利用元素与集合的关系判断． 【解析】解：因为集合A＝{0，1，2，3，4}， 所以B＝{x|x∈A，∉A}＝{2，3}． 故选：B． 【题型6：Venn图】 【例6】A，B，C是U的三个子集，下图中的阴影部分能表示集合[（∁UA）∩B]∪（A∩C）的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据韦恩图结合集合的交并补运算求解． 【解析】解：A，B，C是U的三个子集， ∵在韦恩图中，∁UA表示长方形内圆A外的所有阴影， ∴（∁UA）∩B表示圆B内除去A∩B外的阴影部分，韦恩图如图， 观察题中的四个选项，排除C、D； ∵A∩C表示圆A和圆C相交的阴影部分，韦恩图表示为： ∴[（∁UA）∩B]∪（A∩C）表示上述两部分阴影的并集，韦恩图表示为： ∴选项B中的阴影部分能表示集合[（∁UA）∩B]∪（A∩C）． 故选：B． 【变式1】已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣1|≥2}，B＝{x|x2﹣4x＜0}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|3≤x＜4} C．{x|0＜x≤3} D．{x|x≥4} 【答案】B 【分析】结合集合的基本运算即可求解． 【解析】解：全集U＝R，集合A＝{x||x﹣1|≥2}＝{x|x≥3或x≤﹣1}，B＝{x|x2﹣4x＜0}＝{x|0＜x＜4}， 则图中阴影部分表示的集合为A∩B＝{x|3≤x＜4}． 故选：B． 【题型7：集合综合题】 【例7】已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，则C＝{x|x＝2a﹣b，a∈A，b∈B}中的元素个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据集合C中的元素构成，即可求得集合C中的元素． 【解析】解：由题意，x＝2a﹣b，a∈A，b∈B 当a＝1，b＝3时，x＝2a﹣b＝﹣1， 当a＝1，b＝5时，x＝2a﹣b＝﹣3， 当a＝2，b＝3时，x＝2a﹣b＝1， 当a＝2，b＝5时，x＝2a﹣b＝﹣1， 当a＝3，b＝3时，x＝2a﹣b＝3， 当a＝3，b＝5时，x＝2a﹣b＝1， 由集合中元素满足互异性，所以C＝{﹣3，﹣1，1，3}， 即集合C中有4个元素． 故选：B． 【变式1】定义集合A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣1，1，3}，则A*B中元素的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据集合的新定义求得A*B，从而得到A*B中元素的个数． 【解析】解：因为A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣1，1，3}， 所以A*B＝{﹣3，﹣1，0，1，3}， 故A*B中元素的个数为5． 故选：B． 【变式2】如果集合M＝{x|（m﹣1）x2﹣4x+2＝0}中只有一个元素，则实数m的所有可能值的和为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】B 【分析】分m＝1和m≠1两种情况讨论求解即得． 【解析】解：由题意可知，集合M＝{x|（m﹣1）x2﹣4x+2＝0}中只有一个元素， 当m﹣1＝0，即m＝1时，方程化为﹣4x+2＝0， 解得， 此时集合M＝{}，符合题意； 当m﹣1≠0，即m≠1时，则Δ＝16﹣8（m﹣1）＝0， 解得m＝3， 综上所述，实数m的所有可能值为1或3， 故实数m的所有可能值的和为4． 故选：B． Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．下列说法正确的是（　　） A．我校高个子的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4 【答案】B 【分析】根据集合概念逐一判断即可． 【解析】解：高个子的同学缺少判断的明确标准，不具有确定性，故不能构成集合，故A错误； 联合国安理会常任理事国指的是中、法、俄、英、美五国，能构成集合，故B正确； 因为，故数组成的集合中只有5个元素，故C错误； 由不大于4的自然数组成的集合的元素有0，1，2，3，4，故D错误． 故选：B． 2．给出下列6个关系：①，②，③0∉N*，④，⑤π∉Q，⑥|﹣2|∈Z．其中正确命题的个数为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系判断． 【解析】解：对于①，因为是实数，所以∈R，故①正确； 对于②，因为不是整数，所以，故②错误； 对于③，因为0不是正整数，所以0∉N*，故③正确； 对于④，因为2是正整数，所以，故④正确； 对于⑤，因为π是无理数，所以π∉Q，故⑤正确； 对于⑥，因为|﹣2|＝2，所以|﹣2|∈Z，故⑥正确． 所以其中正确命题的个数为5个． 故选：D． 3．下列四个命题： ①{0}是空集； ②若a∈N，则﹣a∉N； ③集合{x∈R|x2﹣2x+1＝0}中有2个元素； ④集合{x∈Q|∈N}是无限集． 其中正确命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【分析】对四个命题分别进行判断，即可得出结论． 【解析】解：①{0}中有元素0，不是空集，故①不正确； ②若a∈N，则﹣a∉N，不正确，例如a＝0，0∈N，而﹣0∈N； ③集合A＝{x∈R|x2﹣2x+1＝0}＝{1}有1个元素，故③不正确； ④当x为正整数的倒数时，∈N，故集合{x∈Q|∈N}是无限集，故④正确． 故选：A． 4．集合{x，x2﹣1，2}中的x不能取的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合的互异性，即可求解． 【解析】解：集合{x，x2﹣1，2}中，由互异性可知，x≠2，或x2﹣1≠2或x≠x2﹣1， 得x≠2或x或x． 故选：C． 5．下列说法正确的是（　　） A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合 B．由1，2，3和，1，组成的集合不相等 C．不超过20的非负数组成一个集合 D．方程（x﹣1）（x+1）2＝0的所有解构成的集合中有3个元素 【答案】C 【分析】根据集合的定义，结合元素性质，即可容易判断． 【解析】解：A项中元素不确定，故不能构成集合，故A错误； B项中两个集合元素相同，所以两个集合相等，故B错误； C项中不超过20的非负数组成一个集合，故C正确； D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝﹣1．由互异性知，构成的集合含2个元素，故D错误． 故选：C． 6．若x∈{1，x2}，则x的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．0或1 【答案】B 【分析】根据集合中元素与集合的关系求解x的值即可． 【解析】解：由题意可知，x∈{1，x2}， 则x＝1或x＝x2， 解得x＝1或x＝0， 当x＝1时，不满足元素的互异性，舍去， 当x＝0时，0∈{1，0}，符合题意， 或， 综上所述，x的值为0． 故选：B． 7．下列集合的表示法正确的是（　　） A．自然数集可表示为N B．由1、2、3、1、4构成的集合是{1，2，3，1，4} C．满足﹣2≤x＜1的x构成的集合是{﹣2≤x＜1} D．二次函数y＝﹣x2+1上的所有点的坐标构成的集合是{y|y＝﹣x2+1} 【答案】A 【分析】利用常用数集的表示可判断A选项；利用集合元素的互异性可判断B选项；利用集合的表示法可判断CD选项． 【解析】解：对于A，自然数集可表示为N，故A正确； 对于B，由元素的互异性可知，由1、2、3、1、4构成的集合是{1，2，3，4}，故B错误； 对于C，满足﹣2≤x＜1的x构成的集合是{x|﹣2≤x＜1}，故C错误； 对于D，二次函数y＝﹣x2+1上的所有点的坐标构成的集合是{（x，y）|y＝﹣x2+1}，故D错误． 故选：A． 8．已知集合A＝{﹣3，﹣2，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A，﹣x∉A}，则B＝（　　） A．{0，1，4} B．{1，4} C．{0，2，3} D．{0，1，2，3，4} 【答案】B 【分析】根据集合B中的元素特征可得出集合B． 【解析】解：由题意可知，A＝{﹣3，﹣2，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A，﹣x∉A}， 所以B＝{1，4}， 故选：B． 9．已知集合A＝{x||x|＝﹣x，x∈Z}，集合B＝∁ZA，则下列各选项中属于B的元素是（　　）． A．﹣2026 B．﹣1 C．0 D．2026 【答案】D 【分析】先求出集合A，进而求出集合B，再结合元素与集合的关系判断． 【解析】解：由题意可知，A＝{x||x|＝﹣x，x∈Z}＝{x∈Z|x≤0}， 所以， 则﹣2026∉B，﹣1∉B，0∉B，2026∈B． 故选：D． 10．若集合A＝{x|ax2+1＝0}是空集，则a的取值范围是（　　） A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0] 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程根的情况求得答案． 【解析】解：集合A＝{x|ax2+1＝0}是空集，则关于x的方程ax2+1＝0无实根， 当a≥0时，ax2+1≥1＞0，方程ax2+1＝0无实根， 所以a的取值范围是[0，+∞）． 当a＜0时，方程ax2+1＝0为有两个不等实根，不符合要求， 综上所述，a的取值范围是[0，+∞）． 故选：B． 11．若集合M＝{﹣1，0，1，2，3}，N＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，则M∩N＝（　　） A．{﹣1，0，1} B．{0，2} C．{1，3} D．{﹣1，1，3} 【答案】D 【分析】利用集合的交集运算求解． 【解析】解：由题意可知，集合N＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}为奇数集合， 又因为集合M＝{﹣1，0，1，2，3}， 所以M∩N＝{﹣1，1，3}． 故选：D． 12．（多选）下列集合不能用区间表示的有（　　） A．{x|0＜x＜4，x∈Q} B．∅ C．{x∈N|x≤10} D．{x|x≥0} 【答案】ABC 【分析】只有当一个集合是连续的数集时，才可以用区间表示． 【解析】解：只有当一个集合是连续的数集时，才可以用区间表示， Q是有理数集，无理数没有包括在集合{x|0＜x＜4，x∈Q}，不能用区间表示； ∅，集合中没有元素，不能用区间表示； {x∈N|x≤10}，集合中，x都是自然数，不能用区间表示； 则D项正确． 故选：ABC． 13．不等式|x﹣2|＜3的解集可用区间表示为　 　 ． 【答案】（﹣1，5）． 【分析】利用绝对值的性质去绝对值，解不等式即可． 【解析】解：由|x﹣2|＜3，得﹣3＜x﹣2＜3，即﹣1＜x＜5， 故解集为（﹣1，5）． 故答案为：（﹣1，5） 14．已知集合B＝{x|mx2+4x+1＝0，x∈R}的所有子集只有两个，则实数m的值为　 　 ． 【答案】0或4． 【分析】由题意可知，集合B中只有一个元素，分m＝0和m≠0两种情况求解即可． 【解析】解：因为集合B＝{x|mx2+4x+1＝0，x∈R}的所有子集只有两个， 所以集合B中只有一个元素， 当m＝0时，集合B＝{x|4x+1＝0}＝{}，符合题意， 当m≠0时，则Δ＝42﹣4m＝0， 解得m＝4， 综上所述，实数m的值为0或4． 故答案为：0或4． 15．已知集合A＝{x∈N|x＜2}，则集合A的子集有 　 　 ． 【答案】∅，{0}，{1}，{0，1} 【分析】先求出集合A，再列出它的子集即可． 【解析】解：∵A＝{x∈N|x＜2}＝{0，1}， ∴集合A的子集有：∅，{0}，{1}，{0，1}． 故答案为：∅，{0}，{1}，{0，1}． 16．若集合A＝{x|ax2+1＝0}是空集，则a的取值范围是 　 　 ．（用区间表示） 【答案】[0，+∞）． 【分析】分a＝0和a≠0讨论方程解的情况，可得答案． 【解析】解：集合A＝{x|ax2+1＝0}是空集， 若a≠0，由方程ax2+1＝0⇒无解，可得即a＞0，此时A＝∅； 若a＝0，则方程ax2+1＝0无解，所以A＝∅． 综上可知，实数a的取值范围为：a≥0． 故答案为：[0，+∞）． 【提升通关练】 17．若x1，x2，x3，x4为集合A的4个元素，则以x1，x2，x3，x4为边长的四边形可能是（　　） A．等腰梯形 B．直角梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】根据集合中元素的互异性，以及特殊四边形边长的性质进行判断即可． 【解析】解：由题意，x1，x2，x3，x4为集合A的4个元素， 根据集合中元素的互异性，以x1，x2，x3，x4为边长的四边形，四条边均不相等， 选项中只有直角梯形可能满足要求． 故选：B． 18．已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{y|y＝2x，x≤2}，则（　　） A．A∪B＝B B．A∪B＝A C．A∩B＝B D．A∩（∁RB）＝R 【答案】A 【分析】根据集合描述法的理解，转化为函数定义域与值域，再进行集合运算，依次判断各选项即可． 【解析】解：由log2x≤1解得0＜x≤2； 由x≤2，则0＜2x≤4； 所以A＝{x|0＜x≤2}，B＝{y|0＜y≤4}， 则A⊆B，且∁RB＝{y|y≤0，或y＞4}， 则A∪B＝B，A∩B＝A，A∩∁RB＝∅． 故选：A． 19．集合M＝{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R}表示平面直角坐标系中（　　） A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集 C．第一、三象限内的点集 D．第二、四象限内的点集 【答案】D 【分析】根据集合M的条件，确定x，y的正负，再得出象限范围． 【解析】解：xy＜0，可得x＜0，y＞0或者x＞0，y＜0， 所以是第二、四象限内的点集． 故选：D． 20．已知集合A＝{x|ax2+ax+2＝0}，若集合A为空集，则实数a的取值范围是（　　） A．{a|0＜a＜8} B．{a|0≤a＜8} C．{a|a＜0或a＞8} D．{a|a≤0或a＞8} 【答案】B 【分析】通过讨论a＝0和a≠0即可求解． 【解析】解：当a＝0时，易知A＝∅，符合题意， 当a≠0时，若集合A为空集，则 Δ＝a2﹣8a＜0，解得0＜a＜8，、 故实数a的取值范围是{a|0≤a＜8}． 故选：B． 21．设集合A＝{x|x＝4k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k+3，k∈Z}，U＝Z，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{x|x＝4k，k∈Z} B．{x|x＝4k+2，k∈Z} C．{x|x＝2k，k∈Z} D．∅ 【答案】C 【分析】由已知结合集合的基本运算即可求解． 【解析】解：因为A＝{x|x＝4k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k+3，k∈Z}，U＝Z， 所以A∪B＝{x|x＝2k+1，k∈Z}， 则∁U（A∪B）＝{x|x＝2k，k∈}． 故选：C． 22．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|y＝ln（4﹣x）}，则A∩B＝（　　） A．（﹣2，4） B．（﹣2，3） C．（3，4） D．（﹣∞，4） 【答案】B 【分析】结合交集的定义，即可求解． 【解析】解：知集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|y＝ln（4﹣x）}＝{x|x＜4}， 故A∩B＝（﹣2，3）． 故选：B． 23．已知全集U＝{2，3，4，5，6}，集合M＝{2，3}，N＝{4，5}，则∁U（M∪N）＝（　　） A．{6} B．{2，3} C．{4，5} D．{2，3，4，5} 【答案】A 【分析】根据集合的基本运算求解即可． 【解析】解：由题可得：M∪N＝{2，3}∪{4，5}＝{2，3，4，5}， 又U＝{2，3，4，5，6}， 故∁U（M∪N）＝{6}． 故选：A． 24．若[a，3a+1]为一确定区间，则a的取值范围是　 　 ． 【答案】． 【分析】因为[a，3a+1]为确定区间，所以右端点大于左端点，列出不等式求解a的取值范围． 【解析】解：由题意可知，3a+1＞a，解得， 所以a的取值范围是， 故答案为：． 25．已知集合A＝{1，3，m2}，B＝{1，m+2}，若A∪B＝A，则实数m的值为 　 　 ． 【答案】2． 【分析】由A∪B＝A，可得B⊆A，则m+2＝3或m+2＝m2，求出m的值，再利用元素的互异性检验即可． 【解析】解：由A∪B＝A，可得B⊆A， 所以m+2＝3或m+2＝m2， 解得m＝1或﹣1或2， 当m＝1时，不满足元素的互异性，舍去， 当m＝﹣1时，不满足元素的互异性，舍去， 当m＝2时，集合A＝{1，3，4}，B＝{1，4}，符合题意， 综上所述，实数m的值为2． 故答案为：2． 【培优通关练】 26．设全集U＝R，，若m∈∁UA，则实数m的取值范围是（　　） A．（1，2） B．[1，2） C．（1，2] D．（﹣∞，1）∪[2，+∞） 【答案】B 【分析】先解分式不等式求得集合A，再使用补集的运算，计算∁UA，结合集合与元素的关系可得实数m的取值范围． 【解析】解：由可得，解得x＜1或x≥2，则集合A＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）， 则∁UA＝[1，2），因为m∈∁UA，所以实数m的取值范围是[1，2）， 故选：B． 27．集合，则A∩（∁RB）＝（　　） A．{x|x＜﹣1} B．{x|x＞3} C．{x|﹣1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2} 【答案】D 【分析】分别求解集合A和B，再结合集合的基本运算求解即可． 【解析】解：由logx＞﹣1＝log2，可得0＜x＜2，故A＝{x|0＜x＜2}， 由|x﹣1|＞2，可得x＞3或x＜﹣1，故B＝{x|x＞3或x＜﹣1}， 故∁RB＝{x|﹣1≤x≤3}， 可得A∩（∁RB）＝{x|0＜x＜2}． 故选：D． 28．已知集合A＝{x|x＞1}，关于x的不等式a（x﹣1）＞x3﹣4x2+3x的解集为B，若A∩B中恰有三个正整数，则实数a的取值范围是（　　） A．[4，10） B．（4，10] C．[0，4） D．（0，4] 【答案】B 【分析】将a（x﹣1）＞x3﹣4x2+3x整理成（x﹣1）（x2﹣3x﹣a）＜0，设t＝x2﹣3x﹣a，由A∩B中恰有三个正整数得到t＝x2﹣3x﹣a＝0有两个不同的解，故Δ＞0解得a的范围，求出t＝x2﹣3x﹣a＝0的两个根为，由A＝{x|x＞1}得到x2﹣3x﹣a＜0，此不等式的解集为，由A∩B中恰有三个正整数得到，从而得到，经过计算得到实数a的取值范围是（4，10]． 【解析】解：集合A＝{x|x＞1}，关于x的不等式a（x﹣1）＞x3﹣4x2+3x的解集为B，A∩B中恰有三个正整数， ∵a（x﹣1）＞x3﹣4x2+3x， ∴a（x﹣1）＞x（x﹣1）（x﹣3）， ∴x（x﹣1）（x﹣3）﹣a（x﹣1）＜0， ∴（x﹣1）（x2﹣3x﹣a）＜0， 设t＝x2﹣3x﹣a， ∵A∩B中恰有三个正整数， ∴t＝x2﹣3x﹣a＝0有两个不同的解， ∴Δ＝9+4a＞0，∴， ∴t＝x2﹣3x﹣a＝0的两个根为， ∵A＝{x|x〉1}，∴x﹣1＞0， ∴（x﹣1）（x2﹣3x﹣a）＜0转化为x2﹣3x﹣a＜0， ∴x2﹣3x﹣a＜0的解集为， ∵A∩B中恰有三个正整数，∴， ∴， ∴， ∵ ∴，∴，∴25＜9+4a≤49， ∴16＜4a≤40，∴4＜a≤10， ∵，∴，∴， ∴9+4a≥1，∴4a≥﹣8，∴a≥﹣2， 综上，实数a的取值范围是（4，10]． 故选：B． 29．定义集合运算：，若集合A＝B＝{x∈N|1＜x＜4}，，则（A⊕B）∩C＝　 　 ． 【答案】{（4，1），（6，）}． 【分析】先求出集合A，B，再利用新定义求出A⊕B，进而求出（A⊕B）∩C． 【解析】解：由题设可得A＝B＝{2，3}， 所以A⊕B＝{（4，1），（4，），（6，1），（6，）}， 因为1，，16，， 故（A⊕B）∩C＝{（4，1），（6，）}． 故答案为：{（4，1），（6，）}． 30．已知区间[a，2a﹣1]内有且仅有4个整数，则a的取值范围为　 　 ． 【答案】． 【分析】根据题意，由条件可得3≤2a﹣1﹣a＜5，得到4≤a＜6，然后分a＝4，4＜a＜5，a＝5，5＜a＜6讨论，分别计算，即可得到结果． 【解析】解：由题意可知，a＜2a﹣1， 解得a＞1， 因为区间[a，2a﹣1]中有4个整数， 所以3≤2a﹣1﹣a＜5， 解得4≤a＜6， 当a＝4时，[a，2a﹣1]＝[4，7]，其中含有4、5、6、7四个整数，符合题意， 当4＜a＜5时，则8≤2a﹣1＜9， 解得， 若a＝5时，[a，2a﹣1]＝[5，9]，其中含有5、6、7、8、9五个整数，不符合题意， 当5＜a＜6时，则9＜2a﹣1＜10， 解得5＜a， 综上所述，a的取值范围为． 故答案为：． 31．定义集合P＝{x|a≤x≤b}的“长度”是b﹣a，其中a，b∈R．已知集合，，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，若集合M∪N的“长度”大于，则t的取值范围是 　 　 ． 【答案】 【分析】根据区间长度定义得到关于t的范围，再根据并集的区间长度大于，分类讨论得到关于t的不等式，解出即可． 【解析】解：因为是集合{x|1≤x≤2}的子集， 所以，解得， 又M＝{x|}，可知集合M的“长度”为， 又N＝{x|{tx≤t}，要使集合M∪N的“长度”大于， 若， 则，所以，又，所以； 若， 则，所以，又，所以； 则t的取值范围是． 故答案为：． 32．已知集合T＝{1，2，…，2025}，对于T的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数，则所有这样倒数的和为　 　 ． 【答案】2025． 【分析】先求出子集个数，进而找出规律，类比二项式定理展开式，即可得出倒数和为1.........，计算求解得答案． 【解析】解：集合T＝{1，2，…，2025}的非空子集的个数为22025﹣1， 这些子集中，每个元素的乘积分别为1，2，3，…，2025，1×2，1×3，…，1×2025，…，1×2×3×...×2025， 每项都可以看作是从1，2，3，…，2025中选择若干项的乘积， 类比二项式定理展开式可知：1，2，3，…，2025，1×2，1×3，…，1×2025，…，1×2×3×...×2025的倒数和为： 1......... ＝（1+1）（1）...（1）﹣1＝2...1＝2025． 故答案为：2025． Part 4 真题实战 1．（2025•新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝（　　） A．{0，1，2} B．{1，2，8} C．{2，8} D．{0，1} 【答案】D 【分析】先化简集合B，然后利用求出集合A，B的所有公共元素即可． 【解析】解：由已知得：B＝{0，1，﹣1}， 又A＝{﹣4，0，1，2，8}， 故A∩B＝{0，1}． 故选：D． 2．（2025•天津）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{4} 【答案】D 【分析】由集合的运算计算即可求得． 【解析】解：因为A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，所以A∪B＝{1，2，3，5}， 因为U＝{1，2，3，4，5}，∁U（A∪B）＝{4}． 故选：D． 3．（2025•北京）已知集合M＝{x|2x﹣1＞5}，N＝{1，2，3}，则M∩N＝（　　） A．{1，2，3} B．{2，3} C．{3} D．∅ 【答案】D 【分析】先求出集合M，再利用集合的交集运算求解． 【解析】解：由题意可知，集合M＝{x|2x﹣1＞5}＝{x|x＞3}， 又因为N＝{1，2，3}， 所以M∩N＝∅． 故选：D． 4．（2025•新高考Ⅰ）设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1，3，5}，则∁UA中元素个数为（　　） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【分析】根据题意直接写出∁UA即可确定其元素个数． 【解析】解：根据题意，∁UA＝{2，4，6，7，8}， 所以∁UA的元素个数为5． 故选：C． 5．（2024•甲卷）集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A（A∩B）＝（　　） A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} 【答案】D 【分析】先求出集合B，再结合集合的运算，即可求解． 【解析】解：因为A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}＝{1，4，9，16，25，81}， 所以∁A（A∩B）＝{2，3，5}． 故选：D． 6．（2024•甲卷）集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x+1∈A}，则A∩B＝（　　） A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{3，4} D．{1，2，9} 【答案】A 【分析】先求出集合B，再结合交集的定义，即可求解． 【解析】解：A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x+1∈A}＝{0，1，2，3，4，8}， 则A∩B＝{1，2，3，4}． 故选：A． 7．（2024•天津）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　） A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{1} 【答案】B 【分析】利用交集的运算法则求解即可． 【解析】解：集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝{2，3，4}． 故选：B． 8．（2023•新高考Ⅱ）设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A⊆B，则a＝（　　） A．2 B．1 C． D．﹣1 【答案】B 【分析】根据题意可得a﹣2＝0或2a﹣2＝0，然后讨论求得a的值，再验证即可． 【解析】解：依题意，a﹣2＝0或2a﹣2＝0， 当a﹣2＝0时，解得a＝2， 此时A＝{0，﹣2}，B＝{1，0，2}，不符合题意； 当2a﹣2＝0时，解得a＝1， 此时A＝{0，﹣1}，B＝{1，﹣1，0}，符合题意． 故选：B． 9．（2023•上海）已知P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝（　　） A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2，3} 【答案】A 【分析】根据题意及集合的概念，即可得解． 【解析】解：∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P，x∉Q}， ∴M＝{1}． 故选：A． 10．（2023•全国）集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{2k|k∈A}，则A∩B＝（　　） A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2} 【答案】D 【分析】由题意得到B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，利用集合的交集运算即可求解． 【解析】解：因为集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{2k|k∈A}， 所以B＝{﹣4，﹣2，0，2，4}，则A∩B＝{﹣2，0，2}． 故选：D． 11．（2023•甲卷）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁UM＝（　　） A．{2，3，5} B．{1，3，4} C．{1，2，4，5} D．{2，3，4，5} 【答案】A 【分析】由已知结合集合补集及并集运算即可求解． 【解析】解：因为U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}， 所以∁UM＝{2，3，5}， 则N∪∁UM＝{2，3，5}． 故选：A． 12．（2023•甲卷）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z} C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z} D．∅ 【答案】A 【分析】根据集合的基本运算，即可求解． 【解析】解：∵A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}， ∴A∪B＝{x|x＝3k+1或x＝3k+2，k∈Z}，又U为整数集， ∴∁U（A∪B）＝{x|x＝3k，k∈Z}． 故选：A． 13．（2026•上海）已知集合A＝{2，4}，B＝{2，3，m}，若A⊆B，则m＝　 　 ． 【答案】4． 【分析】利用子集的定义求解． 【解析】解：因为A⊆B， 所以m＝4． 故答案为：4． 14．（2025•上海）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B等于　 　 ． 【答案】{1，2} 【分析】直接由交集的运算性质得答案． 【解析】解：由集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}， 则A∩B＝{x|x＞0}∩{﹣1，0，1，2}＝{1，2}． 故答案为：{1，2}． 15．（2025•上海）已知全集U＝{x|2≤x≤5，x∈R}，集合A＝{x|2≤x＜4，x∈R}，则　 　 ． 【答案】{x∈R|4≤x≤5}． 【分析】利用补集的定义求解． 【解析】解：因为全集U＝{x|2≤x≤5，x∈R}，集合A＝{x|2≤x＜4，x∈R}， 所以{x∈R|4≤x≤5}． 故答案为：{x∈R|4≤x≤5}． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 集合 目录 Part1考点突破 考点1：元素与集合的关系 考点2：集合间的关系 考点3：集合的运算 考点4：集合的运算性质 Part2 题型探究 题型1：集合的概念、集合中元素的性质 题型2：根据集合相等求参 题型3：根据集合间的包含关系求参 题型4：子集个数 题型5：集合的基本运算 题型6：Venn图 题型7：集合综合题 Part3 分层通关 Part4 真题实战 Part 1 考点突破 【考点1：元素与集合的关系】 1.集合的含义与表示 某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象． 2.集合元素的特征 （1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关． 3.元素与集合的关系 元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种． 4.集合的常用表示法 集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)． 知识点诠释： （1）列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来. （2）描述法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 5.常用数集的表示 R：实数集；Z：整数集；N：自然数集（含有0）；或N*：正整数集（没有0）；Q：有理数集． 【例1】下列关系中，正确的是（　　） A．﹣2∈N+ B． C．π∉Q D．5∉N 【考点2：集合间的关系】 1.子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. 2.真子集：对于两个集合与，若，且存在，但，则集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. 3.相等：对于两个集合与，如果，同时，那么集合与相等，记作． 4.空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 5.若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． 【例2】已知{1，2}⫋A⫋{1，2，3，4}，则满足条件的集合A的个数为（　　） A．1 B．3 C．4 D．2 【例3】已知集合A＝{x|x2＜4}，集合B⊆A，则B可以为（　　） A．（﹣1，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，1） D．[2，+∞） 【考点3：集合的运算】 1.交集：由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即． 2.并集：由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即． 3.补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． 【例4】设全集U＝{x|0＜x＜6，x∈Z}，集合A＝{1，2，3}，则∁UA＝（　　） A．{4，5} B．{4，5，6} C．{1，2，3} D．{x|3＜x＜6} 【考点4：集合的运算性质】 1.，，，，． 2.，，，，． 3.，，． 4. 【例5】已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，4}，集合，则（∁UA）∩（∁UB）＝（　　） A．{2} B．{0，1} C．{3，5} D．{2，3，4，5} Part 2 题型探究 【题型1：集合的概念、集合中元素的性质】 【例1】下列元素的全体能构成集合的是（　　） A．某电视台著名节目主持人 B．高中学生中的游泳能手 C．中国古代四大发明 D．sin60°，tan45°，cos30° 【变式1】集合M＝{﹣1，2，3}，N＝{3，﹣5，6，﹣4}，从两个集合中各取一个元素作为点的横、纵坐标，则在第二象限内的点的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】下列命题中正确的（　　） A．∅与{0}表示同一个集合 B．方程{x|（x﹣2）2（x﹣3）＝0}的所有解的集合可表示为{2，2，3} C．{y|y＝x2}和{y|y≥0}是相等集合 D．很小的实数可以构成集合 【题型2：根据集合相等求参】 【例2】已知集合A＝{2，a}，B＝{﹣2，b}，若A＝B，则a+b＝（　　） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 【变式1】若集合A＝{a2，b﹣1，0}，集合，且A＝B，则a+b＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【题型3：根据集合间的包含关系求参】 【例3】已知集合A＝{x|x＝2k+1，k∈N}，B＝{x|x＝4m+1，m∈N}，则（　　） A．A⊆B B．A⊇B C．A＝B D．A∩B＝∅ 【变式1】已知集合A＝{1，4，a+2}，B＝{1，a2}，且A∩B＝B，则a＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【变式2】已知集合A＝{x|0≤x＜2}，集合B＝{x|x＞m}．若集合A⊆B，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0] C．[0，2） D．[2，+∞） 【题型4：子集个数】 【例4】已知集合A＝{x∈N|x2﹣x﹣2≤0}，则A的子集个数为（　　） A．3 B．4 C．7 D．8 【变式1】集合的子集个数是（　　） A．8 B．16 C．32 D．无数个 【题型5：集合的基本运算】 【例5】已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{﹣2，0，1}，则A∪B＝（　　） A．{1} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{﹣1，1} D．{﹣2，﹣1，0，1，2} 【变式1】已知集合A＝{x|x＜3，x∈N}，B＝{﹣1，0，1，2，3，4}，则A∩B＝（　　） A．{0，1，2，3} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1，2} D．{x|0≤x＜3} 【变式2】已知集合A＝{0，1，2，3，4}，且B＝{x|x∈A，∉A}，则B＝（　　） A．{1，4} B．{2，3} C．{0，1，4} D．{0，2，3} 【题型6：Venn图】 【例6】A，B，C是U的三个子集，下图中的阴影部分能表示集合[（∁UA）∩B]∪（A∩C）的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣1|≥2}，B＝{x|x2﹣4x＜0}，则图中阴影部分表示的集合为（　　） A．{x|﹣1≤x＜0} B．{x|3≤x＜4} C．{x|0＜x≤3} D．{x|x≥4} 【题型7：集合综合题】 【例7】已知集合A＝{1，2，3}，B＝{3，5}，则C＝{x|x＝2a﹣b，a∈A，b∈B}中的元素个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】定义集合A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{﹣1，1，3}，则A*B中元素的个数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】如果集合M＝{x|（m﹣1）x2﹣4x+2＝0}中只有一个元素，则实数m的所有可能值的和为（　　） A．5 B．4 C．3 D．1 Part 3 分层通关 【基础通关练】 1．下列说法正确的是（　　） A．我校高个子的同学能组成一个集合 B．联合国安理会常任理事国能组成一个集合 C．数组成的集合中有7个元素 D．由不大于4的自然数组成的集合的所有元素为1，2，3，4 2．给出下列6个关系：①，②，③0∉N*，④，⑤π∉Q，⑥|﹣2|∈Z．其中正确命题的个数为（　　） A．2 B．4 C．3 D．5 3．下列四个命题： ①{0}是空集； ②若a∈N，则﹣a∉N； ③集合{x∈R|x2﹣2x+1＝0}中有2个元素； ④集合{x∈Q|∈N}是无限集． 其中正确命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 4．集合{x，x2﹣1，2}中的x不能取的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．下列说法正确的是（　　） A．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合 B．由1，2，3和，1，组成的集合不相等 C．不超过20的非负数组成一个集合 D．方程（x﹣1）（x+1）2＝0的所有解构成的集合中有3个元素 6．若x∈{1，x2}，则x的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．0或1 7．下列集合的表示法正确的是（　　） A．自然数集可表示为N B．由1、2、3、1、4构成的集合是{1，2，3，1，4} C．满足﹣2≤x＜1的x构成的集合是{﹣2≤x＜1} D．二次函数y＝﹣x2+1上的所有点的坐标构成的集合是{y|y＝﹣x2+1} 8．已知集合A＝{﹣3，﹣2，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A，﹣x∉A}，则B＝（　　） A．{0，1，4} B．{1，4} C．{0，2，3} D．{0，1，2，3，4} 9．已知集合A＝{x||x|＝﹣x，x∈Z}，集合B＝∁ZA，则下列各选项中属于B的元素是（　　）． A．﹣2026 B．﹣1 C．0 D．2026 10．若集合A＝{x|ax2+1＝0}是空集，则a的取值范围是（　　） A．（0，+∞） B．[0，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，0] 11．若集合M＝{﹣1，0，1，2，3}，N＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，则M∩N＝（　　） A．{﹣1，0，1} B．{0，2} C．{1，3} D．{﹣1，1，3} 12．（多选）下列集合不能用区间表示的有（　　） A．{x|0＜x＜4，x∈Q} B．∅ C．{x∈N|x≤10} D．{x|x≥0} 13．不等式|x﹣2|＜3的解集可用区间表示为　 　 ． 14．已知集合B＝{x|mx2+4x+1＝0，x∈R}的所有子集只有两个，则实数m的值为　 　 ． 15．已知集合A＝{x∈N|x＜2}，则集合A的子集有 　 　 ． 16．若集合A＝{x|ax2+1＝0}是空集，则a的取值范围是 　 　 ．（用区间表示） 【提升通关练】 17．若x1，x2，x3，x4为集合A的4个元素，则以x1，x2，x3，x4为边长的四边形可能是（　　） A．等腰梯形 B．直角梯形 C．菱形 D．矩形 18．已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{y|y＝2x，x≤2}，则（　　） A．A∪B＝B B．A∪B＝A C．A∩B＝B D．A∩（∁RB）＝R 19．集合M＝{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R}表示平面直角坐标系中（　　） A．第一象限内的点集 B．第三象限内的点集 C．第一、三象限内的点集 D．第二、四象限内的点集 20．已知集合A＝{x|ax2+ax+2＝0}，若集合A为空集，则实数a的取值范围是（　　） A．{a|0＜a＜8} B．{a|0≤a＜8} C．{a|a＜0或a＞8} D．{a|a≤0或a＞8} 21．设集合A＝{x|x＝4k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝4k+3，k∈Z}，U＝Z，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{x|x＝4k，k∈Z} B．{x|x＝4k+2，k∈Z} C．{x|x＝2k，k∈Z} D．∅ 22．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|y＝ln（4﹣x）}，则A∩B＝（　　） A．（﹣2，4） B．（﹣2，3） C．（3，4） D．（﹣∞，4） 23．已知全集U＝{2，3，4，5，6}，集合M＝{2，3}，N＝{4，5}，则∁U（M∪N）＝（　　） A．{6} B．{2，3} C．{4，5} D．{2，3，4，5} 24．若[a，3a+1]为一确定区间，则a的取值范围是　 　 ． 25．已知集合A＝{1，3，m2}，B＝{1，m+2}，若A∪B＝A，则实数m的值为 　 　 ． 【培优通关练】 26．设全集U＝R，，若m∈∁UA，则实数m的取值范围是（　　） A．（1，2） B．[1，2） C．（1，2] D．（﹣∞，1）∪[2，+∞） 27．集合，则A∩（∁RB）＝（　　） A．{x|x＜﹣1} B．{x|x＞3} C．{x|﹣1≤x＜2} D．{x|0＜x＜2} 28．已知集合A＝{x|x＞1}，关于x的不等式a（x﹣1）＞x3﹣4x2+3x的解集为B，若A∩B中恰有三个正整数，则实数a的取值范围是（　　） A．[4，10） B．（4，10] C．[0，4） D．（0，4] 29．定义集合运算：，若集合A＝B＝{x∈N|1＜x＜4}，，则（A⊕B）∩C＝　 　 ． 30．已知区间[a，2a﹣1]内有且仅有4个整数，则a的取值范围为　 　 ． 31．定义集合P＝{x|a≤x≤b}的“长度”是b﹣a，其中a，b∈R．已知集合，，且M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，若集合M∪N的“长度”大于，则t的取值范围是 　 　 ． 32．已知集合T＝{1，2，…，2025}，对于T的每一个非空子集的所有元素，计算它们乘积的倒数，则所有这样倒数的和为　 　 ． Part 4 真题实战 1．（2025•新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝（　　） A．{0，1，2} B．{1，2，8} C．{2，8} D．{0，1} 2．（2025•天津）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{4} 3．（2025•北京）已知集合M＝{x|2x﹣1＞5}，N＝{1，2，3}，则M∩N＝（　　） A．{1，2，3} B．{2，3} C．{3} D．∅ 4．（2025•新高考Ⅰ）设全集U＝{x|x是小于9的正整数}，集合A＝{1，3，5}，则∁UA中元素个数为（　　） A．2 B．3 C．5 D．8 5．（2024•甲卷）集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A（A∩B）＝（　　） A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} 6．（2024•甲卷）集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x+1∈A}，则A∩B＝（　　） A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{3，4} D．{1，2，9} 7．（2024•天津）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　） A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{1} 8．（2023•新高考Ⅱ）设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A⊆B，则a＝（　　） A．2 B．1 C． D．﹣1 9．（2023•上海）已知P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝（　　） A．{1} B．{2} C．{3} D．{1，2，3} 10．（2023•全国）集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{2k|k∈A}，则A∩B＝（　　） A．{0} B．{0，2} C．{﹣2，0} D．{﹣2，0，2} 11．（2023•甲卷）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪∁UM＝（　　） A．{2，3，5} B．{1，3，4} C．{1，2，4，5} D．{2，3，4，5} 12．（2023•甲卷）设集合A＝{x|x＝3k+1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k+2，k∈Z}，U为整数集，则∁U（A∪B）＝（　　） A．{x|x＝3k，k∈Z} B．{x|x＝3k﹣1，k∈Z} C．{x|x＝3k﹣2，k∈Z} D．∅ 13．（2026•上海）已知集合A＝{2，4}，B＝{2，3，m}，若A⊆B，则m＝　 　 ． 14．（2025•上海）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B等于　 　 ． 15．（2025•上海）已知全集U＝{x|2≤x≤5，x∈R}，集合A＝{x|2≤x＜4，x∈R}，则　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $