第1讲 集合及其运算【10个核心题型归纳】讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦集合及其运算高考核心考点，涵盖元素与集合关系、集合特征、集合关系、运算等题型，按“核心知识-方法技巧-真题例题-巩固练习”逻辑组织，通过考点梳理、方法指导和分层训练，帮助学生系统构建知识体系，突破互异性、空集等难点。 资料突出数学思维与数学语言培养，如用数轴法分析集合关系、Venn图直观表达运算，新定义问题训练抽象能力。设置经典例题与课后检测，确保复习针对性，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第1讲 集合及其运算 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】元素与集合的关系 核心知识 集合元素的确定性互异性无序性是判断元素与集合关系的基础 元素与集合的关系只有两种：属于（）或不属于（） 常见数集符号：（自然数集）（正整数集）（整数集）（有理数集）（实数集） 方法技巧 1.代入验证法：判断一个元素是否属于集合直接代入集合的描述条件验证即可 2.互异性检验：若集合含参数求出参数后必须回代检验集合元素是否重复 3.符号区分：注意区分“属于（元素与集合）”和“包含（集合与集合）”符号避免混淆 【经典例题1】（2026·湖北武汉·三模）设集合，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ 全集，， ∴ . A选项：∵ ，∴ ，该选项正确. B选项：∵ ，∴ ，即的表述错误，该选项错误. C选项：∵ ，∴ ，该选项错误. D选项：∵ ，∴ ，该选项错误. 综上，本题选A. 【经典例题2】（2026·北京丰台·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合，， 则集合必包含元素，可能包含元素，所以，，故A正确，BD错误， 因为，且，所以，故C错误. 【巩固练习1】（2026·上海嘉定·二模）已知集合，且，则___________． 【答案】 【详解】由题意可知，或，即或， 当时，集合，不满足集合元素互异性，舍去； 当时，集合，符合题意，所以. 【巩固练习2】（2026·安徽滁州·一模）已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因式分解得；可得， 故集合； 因为且，所以，解得. 所以的取值范围是. 【巩固练习3】（2026·湖南湘潭·二模）设不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合一元二次不等式的解法、元素与集合的关系求解即可. 【详解】由， 得，，，． 故选：A. 【题型2】 集合中元素的特征 核心知识 确定性：给定集合任何对象都能明确判断是否属于该集合 互异性：集合中的元素互不相同是集合的核心性质也是高频易错点 无序性：集合中元素的顺序不影响集合本身 方法技巧 1.互异性优先：涉及含参集合时先根据条件列方程求解参数再检验元素是否重复 2.分类讨论：当集合中元素的形式不确定（如含字母分式根式）时按元素类型分类讨论 3.排除法：利用元素的确定性和互异性排除明显不符合条件的选项 【经典例题1】（2026·江西宜春·模拟预测）若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 【答案】C 【详解】当时，满足； 当时，因为，所以， 此时，满足． 【经典例题2】（2026·山东烟台·二模）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】由可知中元素必属于，故或；分别求解后，结合集合元素的互异性排除，最终得或． 【详解】由，得或， 若，则，，满足， 若，则或， 时，，，满足， 时，，不满足集合元素的互异性， 综上，或． 【巩固练习1】（2026·江苏·一模）设集合，，若含有4个元素，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合元素的互异性及并集的概念求解即可. 【详解】根据集合元素的互异性可知，，. 因为含有4个元素，所以仅含有1个元素， 若，则或，所以或. 若，则. 结合集合元素的互异性可知或. 当时，，，，符合题意. 当时，，，，不符合题意. 综上，. 【巩固练习2】（2025·陕西榆林·一模）已知集合，若，则实数的值为（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【分析】根据题意集合相等，元素相同且同一集合元素互异求解即可. 【详解】解：因为集合，， 所以，解得. 故选：C 【巩固练习3】（25-26高一上·黑龙江鸡西·月考）已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由集合相等，确定，进而确定，再结合元素互异性即可求解. 【详解】由， 可得， 所以，即， 所以， 当时，不符合元素互异性，舍去； 当时，符合题意， 所以. 故选：B 【题型3】 集合间的基本关系 核心知识 子集：若集合的所有元素都属于集合则称是的子集记作 真子集：若且则称是的真子集记作 空集：不含任何元素的集合记作是任何集合的子集是任何非空集合的真子集 集合相等：若且则 方法技巧 1.定义法判断：判断集合关系核心是判断一个集合的元素是否全部属于另一个集合 2.数轴/韦恩图辅助：数集用数轴表示抽象集合用韦恩图表示直观判断包含关系 3.空集优先：含参集合讨论子集关系时必须先考虑集合为空集的情况避免漏解 4.符号辨析：区分“”和“”前者包含的情况后者不包含 【经典例题1】（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 【经典例题2】（2026·西藏日喀则·模拟预测）集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 【答案】D 【详解】由知是的子集，若，则中有重复元素0，不合题意舍去； 若，则无解；若，则，经检验符合题意. 所以 【巩固练习1】（2026·山东济南·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C．Ü D．Ü 【答案】C 【详解】或，，所以，所以A错误； 或，，所以Ü，所以，所以B错误，C正确； 由Ü，且集合中包含小于0的元素，而集合中没有小于0的元素可知D错误. 【巩固练习2】（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知集合， 因为任何数的平方都大于等于0，要使成立，则必须满足， 即，，所以集合，集合M中的元素是一个点. 集合，集合N中的元素是两个数0和1. 所以集合M与集合N没有公共元素，即. 【巩固练习3】（2026·江西·模拟预测）设集合，，若，则（   ） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或2或 【答案】B 【分析】利用集合的包含关系，结合集合元素的互异性求解. 【详解】由，得，即，而集合， 由，得或，所以或. 故选：B 【题型4】 子集真子集的个数 核心知识 若集合含有个元素则： 子集个数：个 真子集个数：个（去掉集合本身） 非空子集个数：个（去掉空集） 非空真子集个数：个（去掉空集和集合本身） 方法技巧 1.先数元素个数：计算子集个数前先化简集合明确集合中元素的个数 2.特殊集合处理：空集的子集个数为1（只有它本身）单元素集合的真子集个数为1（只有空集） 3.易错点规避：注意题目是否要求“非空”“真”避免直接用作答 【经典例题1】（2026·河南商丘·模拟预测）已知全集，集合，则的真子集个数为（   ） A．3 B．7 C．15 D．31 【答案】B 【详解】依题意，， 故，则的真子集个数为． 【经典例题2】（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 【答案】3 【分析】求解方程，确定集合中元素个数，再结合真子集个数公式即可求解. 【详解】方程可化为，解得或1， 则，故集合的真子集的个数为. 【巩固练习1】（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 【巩固练习2】（2026·湖北襄阳·二模）已知集合 ，则符合条件的集合B的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用列举法表示出集合，再根据给定条件即可求出集合的可能情况. 【详解】集合，， 所以可能的取值为，即集合，是的真子集，有个，故C正确． 【巩固练习3】（2026·河南开封·模拟预测）已知集合，，则的非空子集的个数为（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题设，， 所以，则其非空子集的个数有个. 【题型5】 集合的交并补运算 核心知识 交集：由同时属于集合和集合的所有元素组成的集合记作 并集：由属于集合或属于集合的所有元素组成的集合记作 补集：设全集为由不属于集合但属于的所有元素组成的集合记作 运算性质： 方法技巧 1.定义法直接运算：根据交、并、补的定义直接找出符合条件的元素 2.数轴法（数集专用）：对于区间型集合画数轴表示通过区间重叠部分快速确定交、并集 3.补集思想：当正面计算复杂时利用“正难则反”先求补集再转化求解 4.运算律应用：灵活使用分配律、德摩根律简化运算 【经典例题1】（2026·天津河东·二模）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的运算即可求解． 【详解】由题可得，，， 所以，则． 【经典例题2】（2026·山西大同·三模）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，解得， ； ，解得， ； ， ． 【巩固练习1】（2026·浙江宁波·三模）已知集合，则下列说法正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 故， 又，故， ，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 【巩固练习2】（2026·河南·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合， 则，因此. 【巩固练习3】（2026·江苏扬州·模拟预测）已知集合，集合，为实数集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，用列举法先求出集合，再根据集合的补集求出集合，从而求出. 【详解】解：由题意得集合，集合， 所以. 【题型6】 Venn图运算 核心知识 Venn图用封闭曲线直观表示集合通过图形的重叠、包含关系体现集合运算 核心关系：对应两圆重叠部分对应两圆覆盖的所有部分对应全集内、集合外的部分 方法技巧 1.标注元素法：将集合中的元素标注在Venn图的对应区域直接读取运算结果 2.区域分析法：根据Venn图的区域划分理解“属于不属于”“属于不属于”等区域的含义 3.容斥原理结合：利用Venn图理解解决计数问题 【经典例题1】（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合图形，利用集合运算的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合运算的表示方法，可得图中阴影部分表示集合除去的部分， 所以阴影部分表示集合为． 【经典例题2】（2026·河北唐山·一模）已知全集U及其两个非空真子集M，N，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：. 【巩固练习1】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知全集，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用韦恩图及集合的并集，补集计算求解. 【详解】阴影部分表示的是，因为，所以，即． 【巩固练习2】（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用韦恩图，结合集合运算逐一判断即可. 【详解】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图： 由，得，而， 结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集， 因此选项AD错误，选项BC正确. 故选：BC 【巩固练习3】（2025·辽宁·模拟预测）已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合集合交集和并集的概念，即可求解. 【详解】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为， 即阴影部分表示集合为. 故选：B. 【题型7】 由集合的基本关系求参数范围 核心知识 已知（或）结合集合的描述（如区间、方程的解）求参数的取值范围 核心逻辑：集合的所有元素都必须属于集合转化为不等式或方程的恒成立问题 方法技巧 1.分类讨论（空集优先）：先讨论集合的情况此时参数满足使方程无解的条件 2.数轴法列不等式：若集合为区间型画数轴表示两集合的包含关系列出端点满足的不等式 3.端点验证：列出不等式后必须验证端点是否可取避免漏写或多写等号 4.互异性检验：若集合含参数求出参数后需回代检验集合元素的互异性 【经典例题1】（2026·陕西·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 因为，且， 所以，即实数的取值范围是. 【经典例题2】（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出集合，再利用集合间的关系，即可求解. 【详解】由，得到，解得，则, 又， 当时，，当时，，当时，， 又，当时，， 当时，， 由是任何集合的子集，可得满足条件， 综上所述，. 【巩固练习1】（2026·湖北十堰·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知集合； 已知集合，由于可得是的正因数； 当时，；当时，；当时，；当时，； 所以； 因为，集合中的最大元素为，所以必须大于等于6，即，所以实数的取值范围是. 【巩固练习2】（2026·湖北·二模）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求和，再由得，即，进而得，恒成立，即，利用单调性即可求解. 【详解】，，由，所以． 故，恒成立，所以恒成立，令，即， 又在单调递减，， 所以， 故选：D． 【巩固练习3】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，分、两种情况讨论，根据，可得出关于的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，且. 若，则，满足； 若，则，此时， 因为，所以，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【题型8】 由集合的交并补运算求参数范围 核心知识 已知集合运算的结果（如、、等）反求参数的取值范围 核心转化：将运算结果转化为集合的包含关系如转化为、无公共元素转化为 方法技巧 1.运算转包含： ：两集合无公共元素（数集用数轴看区间无重叠） ： ： 2.补集转化：利用转化为已知包含关系求参数 3.端点临界分析：重点关注区间端点的取值避免因端点等号导致集合出现公共元素 4.多情况讨论：当集合为方程的解时需讨论方程无解、有一解、有两解的情况 【经典例题1】（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知集合，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解分式不等式得到集合，从而得到.讨论集合是否为空集，得到不等式（组）解得的取值范围. 【详解】令，则，所以或， 即或，可得， 而，分如下情况讨论， ①，即，则， ②，则，则， ∴，即. 故选：A. 【经典例题2】（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解集合，再得到，然后根据，即可求解实数的取值范围. 【详解】因为，所以或， 所以， 所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：. 【巩固练习1】（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 【答案】或 【分析】由题意得出是一元集，然后按的正负或0分类讨论求解． 【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集， 若，则，而，满足题意， 若，则，，此时，不合题意； 若，则，，只含一个元素，则， 综上，的取值范围是或． 【巩固练习2】（24-25高一上·上海·月考）已知集合，若，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】由题意可得集合以及两集合之间的包含关系，分情况讨论的解集，建立不等式得解． 【详解】由可得， 又， ， 当时，，由可得或，所以； 当时，，满足； 当时，，由可得或，所以； 综上，实数的取值范围是． 【巩固练习3】（2025·海南儋州·模拟预测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设，，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可得，分和两种情况讨论即可； （2）由p是q的充分不必要条件可得真包含于，根据包含关系列出不等式组即可. 【详解】（1）由可得， 当时，则，解得； 当时，则，解得. 综上，实数的取值范围是. （2）若p是q的充分不必要条件，则真包含于，这等价于且， 由可得，解得， 又（即且）无解，故恒成立， 所以实数的取值范围是. 【题型9】 容斥原理及其应用 核心知识 两个集合的容斥原理： 三个集合的容斥原理： 本质：计算并集元素个数时减去重复计数的部分再加回多减的部分 方法技巧 1.韦恩图辅助计数：将题目中的数据标注在Venn图的各个区域直观理解重复部分 2.公式直接套用：明确题目涉及的集合个数直接套用对应的容斥原理公式 3.逆向思维：当直接计算并集困难时用“总数-都不属于的元素个数”求解 4.重复部分分析：重点关注“同时属于多个集合”的元素这是容斥原理的核心易错点 【经典例题1】（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用三集合容斥原理，通过韦恩图划分各部分人数，设三类都参加的人数为、只参加劳动实践和培训的人数为，根据总人数列方程化简得，再结合培训的总人数，算出只参加培训的人数． 【详解】设类课程全参加的有人，同时只参加劳动实践和技术培训的有人， 列出韦恩图，则， 可得，则只参加技术培训的人数为人． 【经典例题2】（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【答案】 【详解】设都赞成人，所以赞成或赞成的人数为 由题可知都不赞成人数为， 所以总人数 ，解得 【巩固练习1】（25-26高一上·四川巴中·月考）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 【巩固练习2】（2027高三·全国·专题练习）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【答案】5 【分析】将参加各队的学生转化为集合，利用三个集合的容斥原理公式，设三项都参加的人数为未知数，代入已知数据列方程求解． 【详解】设参加足球队的学生组成集合，参加排球队的学生组成集合，参加游泳队的学生组成集合， 则，，，，，． 设三项都参加的人数为， 则， 因为， 所以由 得， 解得，即三项都参加的有5人． 故答案为：5． 【巩固练习3】（2025高三·全国·专题练习）（多选）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 【答案】CD 【分析】根据题意画出韦恩图，标出各集合包含的元素个数，列方程即可逐一求得. 【详解】设全班同学组成全集，参加田赛的同学组成集合，参加径赛的同学组成集合， 参加球类比赛的同学组成集合，设同时参加径赛和球类比赛的人数为， 根据题意，画出韦恩图如图所示， 则，解得. 对于A，由图知同时参加径赛和球类比赛的人数为人，故A错误； 对于B，只参加球类一项比赛的人数为人，故B错误； 对于C，只参加径赛一项比赛的人数为人，故C正确； 对于D，由图知只参加田赛一项比赛的人数为3人，故D正确. 故选：CD． 【题型10】 集合中的新定义问题 【经典例题1】（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，集合，集合，， 所以，，， 选项A：因为，所以或者（且满足集合元素的互异性）； 选项B：因为，所以一定成立； 选项C：当时，集合，集合，，C错误； 选项D：当，时，集合，集合，，D错误. 【经典例题2】（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 【答案】50 【分析】解法一利用组合数的性质并分类讨论求解即可，解法二列举出具体集合，再分类讨论求解即可. 【详解】解法一：若中各含1个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含2个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含3个元素时，“互斥子集组”有个， 若中各含2个元素时，“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 解法二：当集合中有1个元素时，有，共4种情况， 集合是由集合中去除这个元素后，剩下的3个元素组成的非空子集， 可得这样的“互斥子集组”有个， 当集合中有2个元素时，有， 共6种情况，而集合是由集合中去2个元素后， 剩下的2个元素组成的非空子集，此时“互斥子集组”有个， 当集合中有3个元素时，有，共4种情况， 而集合是由集合中去除3个元素后，剩下的1个元素组成的非空子集， 则此时“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 【巩固练习1】（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 【答案】 【分析】用列举法列出集合、，再根据所给定义列出即可判断. 【详解】 ，，，，， ，，，，， ，，，，，，，，，， ， ，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，，， ，，，，，，，， ，共个元素. 【巩固练习2】（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 【答案】8 【分析】根据给定条件，从1开始依次取值讨论求解. 【详解】当，2时，无法满足中的元素是3的倍数，故舍； 当时，集合元素的总和为6，每部分和应为2，但中必须包含3， 其和，故舍； 当时，集合元素的总和为10，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为15，每部分和应为5，中必须包含3， 需要再加入和为2的元素，只能加入2，此时，剩余元素分配给， 无法满足和为5且奇偶性的要求，故舍； 当时，集合元素的总和为21，每部分和应为7，中必须包含3和6， 此时和为，故舍； 当时，集合元素的总和为28，不能被整除，故舍； 当时，集合元素的总和为36，每部分和应为12，中必须包含3和6， 需要再加入和为3的元素，可加入1和2，此时，剩余元素分配给， 取奇数，和为12，取偶数，和为12，满足所有条件， 故的最小值为8. 【巩固练习3】（24-25高三上·陕西·期中）【多选题】已知集合，记，则（   ） A．中有个元素 B．中的最大元素为2046 C．当为偶数时，中有个元素 D．当为奇数时，中的元素之和为 【答案】BCD 【详解】对于A：的元素在区间内的正整数，所以元素个数为，故A错误； 对于B：当时，，所以表示在区间为3的倍数， 最大元素为小于的最大的3的倍数，所以最大元素为，故B正确； 对于C：当为偶数时，令，则， 所以中的倍数的个数为，故C正确； 对于D：当为奇数时，令，中元素的首项为，末项为的等差数列，项数为， 所以中的元素之和为，故D正确. 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，的唯一元素是零，而，所以，故A错误； 对于B，是无理数，是有理数集，故B错误； 对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误； 对于D，由集合的无序性可得D正确. 2．（25-26高一上·重庆渝中·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由 ，所以， 所以. 故选：B 3．（2026·云南·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解可得集合，再将集合使用列举法表示，进而可求得. 【详解】解，得或，因此； 满足的自然数为：， 因此，，故， 故选：B． 4．（2026·四川成都·三模）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，所以. 5．（2026·山西·二模）集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，其中， 又， 则． 6．（2026·安徽安庆·三模）设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，， 所以，所以. 7．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若恰有4个子集，则中恰有2个元素，所以. 8．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合 ，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】化简集合分式不等式等价于，解得，即， 化简集合由得，即； 根据包含关系求的范围表示中所有元素都属于， 要让区间完全落在内，只需满足：解得， 即的取值范围为. 9．（2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，， 当时，，满足，因此， 当时，由，得，解得， 所以的取值范围是. 10．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合，即可根据交集的定义求解. 【详解】由题意，得，所以. 11．（2026·陕西榆林·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以． 12．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由，得，进而得到关于的方程，结合集合的性质求解即可. 【详解】由，得， 所以或或，解得或或或. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，符合题意. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 故. 13．（2026·山东威海·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的性质以及补集的定义即可求解. 【详解】已知集合， 由补集的定义可知，即， 因此必有且，解得，故A正确. 14．（2026·河北邯郸·三模）已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】集合，共有4个元素，故选B. 15．（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 16．（2026·广东广州·三模）已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，化简得， 所以或， 所以或， 所以或， 阴影部分表示的集合为，而， 所以. 17．（2026·河北保定·三模）已知集合，，则的非空真子集的个数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】由 ，所以， 所以，所以的非空真子集有和共2个. 18．（2026·内蒙古赤峰·一模）为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（   ） A．20% B．30% C．40% D．50% 【答案】A 【分析】利用条件概率关系设未知数，根据高茎中抗倒伏比例和抗倒伏中高茎比例分别表示出高茎和抗倒伏的占比，再利用既不高茎也不抗倒伏的比例得到和事件的概率，由概率加法公式列方程求解. 【详解】设高茎作物占比为，抗倒伏作物占比为， 既不高茎也不抗倒伏的占比为，两种性状兼备的占比为， 由题意得，则， ，则， ，则， 则，解得， 即两种性状兼备的占比为. 二、多选题 19．（25-26高一上·四川内江·月考）对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题中，为真命题的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．对任意，，都有 【答案】BCD 【分析】根据集合新定义，结合集合的交集、并集、补集之间的元素关系逐项判断即可. 【详解】对于A，因为⊕，所以,，故，故A错误； 对于B，，且⊕，则,， 即与是相同的，所以，故B正确； 对于C，，且⊕，则,， 故，且中元素不能出现在中，故，故C正确； 对于D，⊕,， 其中，， 故⊕，,， 而⊕,，故⊕⊕，故D正确． 故选：BCD． 20．（25-26高三上·广东梅州·期中）设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论正确的是（    ） A．若是集，则或 B．若集合是集，集合是非空数集，则是集 C．若集合是集，集合，则为集 D．，且，使得是集 【答案】ACD 【分析】根据集的定义求出，即可判断A，举反例判断B，根据集的定义判断C、D. 【详解】对于A：由集的定义及已知得，，或，或， 解得或（舍去），故A正确； 对于B：若取，则，，显然不符合集的定义，故B错误； 对于C：由是集，所以存在（两两不等），使得， 因为中的元素个数不小于，所以且，使得， 且两两不等，由，得，所以为集，故C正确； 对于D：设， 取， 满足（两两不等），存在, 是集，故D正确. 故选：ACD. 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高考数学一轮复习题型全归纳 第1讲 集合及其运算 题型总览 总览 核心题型归纳（目录） 模块一 核心题型·举一反三 【题型1】元素与集合的关系 核心知识 集合元素的确定性互异性无序性是判断元素与集合关系的基础 元素与集合的关系只有两种：属于（）或不属于（） 常见数集符号：（自然数集）（正整数集）（整数集）（有理数集）（实数集） 方法技巧 1.代入验证法：判断一个元素是否属于集合直接代入集合的描述条件验证即可 2.互异性检验：若集合含参数求出参数后必须回代检验集合元素是否重复 3.符号区分：注意区分“属于（元素与集合）”和“包含（集合与集合）”符号避免混淆 【经典例题1】（2026·湖北武汉·三模）设集合，集合满足，则（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·北京丰台·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·上海嘉定·二模）已知集合，且，则___________． 【巩固练习2】（2026·安徽滁州·一模）已知集合，若，且，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·湖南湘潭·二模）设不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【题型2】 集合中元素的特征 核心知识 确定性：给定集合任何对象都能明确判断是否属于该集合 互异性：集合中的元素互不相同是集合的核心性质也是高频易错点 无序性：集合中元素的顺序不影响集合本身 方法技巧 1.互异性优先：涉及含参集合时先根据条件列方程求解参数再检验元素是否重复 2.分类讨论：当集合中元素的形式不确定（如含字母分式根式）时按元素类型分类讨论 3.排除法：利用元素的确定性和互异性排除明显不符合条件的选项 【经典例题1】（2026·江西宜春·模拟预测）若集合，，且，则的值为（    ） A．4 B．2或4 C．或4 D．或4 【经典例题2】（2026·山东烟台·二模）已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【巩固练习1】（2026·江苏·一模）设集合，，若含有4个元素，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【巩固练习2】（2025·陕西榆林·一模）已知集合，若，则实数的值为（   ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【巩固练习3】（25-26高一上·黑龙江鸡西·月考）已知，，若集合，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【题型3】 集合间的基本关系 核心知识 子集：若集合的所有元素都属于集合则称是的子集记作 真子集：若且则称是的真子集记作 空集：不含任何元素的集合记作是任何集合的子集是任何非空集合的真子集 集合相等：若且则 方法技巧 1.定义法判断：判断集合关系核心是判断一个集合的元素是否全部属于另一个集合 2.数轴/韦恩图辅助：数集用数轴表示抽象集合用韦恩图表示直观判断包含关系 3.空集优先：含参集合讨论子集关系时必须先考虑集合为空集的情况避免漏解 4.符号辨析：区分“”和“”前者包含的情况后者不包含 【经典例题1】（2026·河南·模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·西藏日喀则·模拟预测）集合，．若，则实数（   ） A．0 B．2 C．3 D．-1 【巩固练习1】（2026·山东济南·三模）已知集合，，则（   ） A． B． C．Ü D．Ü 【巩固练习2】（2026·湖南长沙·二模）已知集合，，则M与N的关系是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·江西·模拟预测）设集合，，若，则（   ） A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或2或 【题型4】 子集真子集的个数 核心知识 若集合含有个元素则： 子集个数：个 真子集个数：个（去掉集合本身） 非空子集个数：个（去掉空集） 非空真子集个数：个（去掉空集和集合本身） 方法技巧 1.先数元素个数：计算子集个数前先化简集合明确集合中元素的个数 2.特殊集合处理：空集的子集个数为1（只有它本身）单元素集合的真子集个数为1（只有空集） 3.易错点规避：注意题目是否要求“非空”“真”避免直接用作答 【经典例题1】（2026·河南商丘·模拟预测）已知全集，集合，则的真子集个数为（   ） A．3 B．7 C．15 D．31 【经典例题2】（2026·陕西榆林·三模）集合的真子集的个数为______. 【巩固练习1】（2026·西藏林芝·二模）若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【巩固练习2】（2026·湖北襄阳·二模）已知集合 ，则符合条件的集合B的个数为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·河南开封·模拟预测）已知集合，，则的非空子集的个数为（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 【题型5】 集合的交并补运算 核心知识 交集：由同时属于集合和集合的所有元素组成的集合记作 并集：由属于集合或属于集合的所有元素组成的集合记作 补集：设全集为由不属于集合但属于的所有元素组成的集合记作 运算性质： 方法技巧 1.定义法直接运算：根据交、并、补的定义直接找出符合条件的元素 2.数轴法（数集专用）：对于区间型集合画数轴表示通过区间重叠部分快速确定交、并集 3.补集思想：当正面计算复杂时利用“正难则反”先求补集再转化求解 4.运算律应用：灵活使用分配律、德摩根律简化运算 【经典例题1】（2026·天津河东·二模）已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·山西大同·三模）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·浙江宁波·三模）已知集合，则下列说法正确的是（        ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·河南·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2026·江苏扬州·模拟预测）已知集合，集合，为实数集，则（   ） A． B． C． D． 【题型6】 Venn图运算 核心知识 Venn图用封闭曲线直观表示集合通过图形的重叠、包含关系体现集合运算 核心关系：对应两圆重叠部分对应两圆覆盖的所有部分对应全集内、集合外的部分 方法技巧 1.标注元素法：将集合中的元素标注在Venn图的对应区域直接读取运算结果 2.区域分析法：根据Venn图的区域划分理解“属于不属于”“属于不属于”等区域的含义 3.容斥原理结合：利用Venn图理解解决计数问题 【经典例题1】（2026·内蒙古赤峰·三模）如图，已知全集及其两个非空真子集，则图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·河北唐山·一模）已知全集U及其两个非空真子集M，N，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知全集，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·河南南阳·模拟预测）（多选）已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2025·辽宁·模拟预测）已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【题型7】 由集合的基本关系求参数范围 核心知识 已知（或）结合集合的描述（如区间、方程的解）求参数的取值范围 核心逻辑：集合的所有元素都必须属于集合转化为不等式或方程的恒成立问题 方法技巧 1.分类讨论（空集优先）：先讨论集合的情况此时参数满足使方程无解的条件 2.数轴法列不等式：若集合为区间型画数轴表示两集合的包含关系列出端点满足的不等式 3.端点验证：列出不等式后必须验证端点是否可取避免漏写或多写等号 4.互异性检验：若集合含参数求出参数后需回代检验集合元素的互异性 【经典例题1】（2026·陕西·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·青海西宁·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·湖北十堰·二模）已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（2026·湖北·二模）已知集合，，若，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型8】 由集合的交并补运算求参数范围 核心知识 已知集合运算的结果（如、、等）反求参数的取值范围 核心转化：将运算结果转化为集合的包含关系如转化为、无公共元素转化为 方法技巧 1.运算转包含： ：两集合无公共元素（数集用数轴看区间无重叠） ： ： 2.补集转化：利用转化为已知包含关系求参数 3.端点临界分析：重点关注区间端点的取值避免因端点等号导致集合出现公共元素 4.多情况讨论：当集合为方程的解时需讨论方程无解、有一解、有两解的情况 【经典例题1】（25-26高三上·上海徐汇·期中）已知集合，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（2026·上海普陀·二模）设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______. 【巩固练习2】（24-25高一上·上海·月考）已知集合，若，则实数的取值范围是_____． 【巩固练习3】（2025·海南儋州·模拟预测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)设，，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【题型9】 容斥原理及其应用 核心知识 两个集合的容斥原理： 三个集合的容斥原理： 本质：计算并集元素个数时减去重复计数的部分再加回多减的部分 方法技巧 1.韦恩图辅助计数：将题目中的数据标注在Venn图的各个区域直观理解重复部分 2.公式直接套用：明确题目涉及的集合个数直接套用对应的容斥原理公式 3.逆向思维：当直接计算并集困难时用“总数-都不属于的元素个数”求解 4.重复部分分析：重点关注“同时属于多个集合”的元素这是容斥原理的核心易错点 【经典例题1】（2026·安徽合肥·模拟预测）为了丰富学生的课余生活，促进学生全面发展，某校开设了劳动实践、研学参观、技术培训类拓展课程．高三某班学生共有人报名参加拓展课程，其中有人报名参加劳动实践，有人报名参加研学参观，有人报名参加技术培训，同时报名参加劳动实践和研学参观的有人，同时报名参加研学参观和技术培训的有5人，只参加技术培训的人数为（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（25-26高一下·四川成都·期中）对班级40名学生调查对两个事件的态度，有如下结果：24人赞成，其余的不赞成；27人赞成，其余的不赞成；另外，对都不赞成的学生数比对都赞成的学生数的三分之一多人，则对都赞成的学生有__________人. 【巩固练习1】（25-26高一上·四川巴中·月考）《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【巩固练习2】（2027高三·全国·专题练习）某校高一（4）班学生共47人，寒假参加体育训练，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，三项都参加的有__________人． 【巩固练习3】（2025高三·全国·专题练习）（多选）江苏省实验中学科技城校举行秋季运动会，高一某班共有30名同学参加比赛，有20人参加田赛，13人参加径赛，有19人参加球类比赛，同时参加田赛与径赛的有8人，同时参加田赛与球类比赛的有9人，没有人同时参加三项比赛．以下说法正确的有（   ） A．同时参加径赛和球类比赛的人数有3人 B．只参加球类一项比赛的人数有2人 C．只参加径赛一项比赛的人数为0人 D．只参加田赛一项比赛的人数为3人 【题型10】 集合中的新定义问题 【经典例题1】（2026·河南开封·二模）定义集合且，已知集合，，若，则下列一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【经典例题2】（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 【巩固练习1】（2026·广东东莞·模拟预测）已知集合 ，定义集合 ，则中元素的个数为__________. 【巩固练习2】（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为集合的非空子集，满足： ①，； ②，中元素均为奇数，中元素均为偶数； ③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________． 【巩固练习3】（24-25高三上·陕西·期中）【多选题】已知集合，记，则（   ） A．中有个元素 B．中的最大元素为2046 C．当为偶数时，中有个元素 D．当为奇数时，中的元素之和为 课后过关检测 一、单选题 1．（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·重庆渝中·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·云南·模拟预测）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·四川成都·三模）设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山西·二模）集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·安徽安庆·三模）设集合，若，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 7．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·陕西咸阳·三模）已知集合 ，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·广东江门·二模）已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·陕西榆林·三模）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高三下·湖南长沙·阶段检测）已知集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 13．（2026·山东威海·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026·河北邯郸·三模）已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 16．（2026·广东广州·三模）已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 17．（2026·河北保定·三模）已知集合，，则的非空真子集的个数为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 18．（2026·内蒙古赤峰·一模）为了培育高茎且抗倒伏的优良作物，现从试验田中随机选出充足的作物样本，发现在高茎作物的样本中约有50%的作物抗倒伏，在抗倒伏的作物样本中约有40%的作物为高茎，并且样本中约有30%的作物既不具备高茎也不具备抗倒伏这两种优良性状．则样本中兼备两种优良性状的植株的占比约为（   ） A．20% B．30% C．40% D．50% 二、多选题 19．（25-26高一上·四川内江·月考）对任意，，记，并称为集合，的对称差.例如：若，，则.下列命题中，为真命题的是（   ） A．若，且，则 B．若，且，则 C．若，且，则 D．对任意，，都有 20．（25-26高三上·广东梅州·期中）设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论正确的是（    ） A．若是集，则或 B．若集合是集，集合是非空数集，则是集 C．若集合是集，集合，则为集 D．，且，使得是集 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $