第1讲 集合 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕集合高考核心考点，涵盖元素与集合关系、集合间基本关系、集合运算等内容，按概念-关系-运算逻辑层次构建知识体系。通过考点梳理明确考查要求，方法指导提炼解题策略，分层训练强化实战能力，帮助学生系统突破集合难点。 资料注重数学思维与数学语言培养，如在集合含参问题中引导学生用数轴分析连续数集关系并分类讨论空集情况，发展推理与运算能力。设置基础巩固到综合应用的分层练习，配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

数学 第1讲 集合 知识点一：元素与集合 1. 集合的含义与表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示． (2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C…表示． (3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． (4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性． 2. 元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作. 3. 常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 4.集合的表示方法 (1)列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． (2)描述法, 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．一般形式为A＝{x∈I | p}，其中x叫做代表元素，I是代表元素x的取值范围，p是各元素的共同特征． 知识点二：元素间的基本关系 1. 集合与集合的关系 （1）子集：对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集. 记作：或. 读作：“A包含于B”（或“B包含A”）. （2）集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等.记作. 即：若，且，则. 2. 真子集：对于两个集合A与B，如果集合，但存在元素，且，就称集合A是集合B的真子集. 记作：（或）. 3. 空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为. 空集是任何集合的子集. 4. 子集性质：（1）任何一个集合是它本身的子集，即. （2）对于集合A，B，C，如果，且，那么. 5. 结论：含n个元素的集合的所有子集的个数是，所有真子集的个数是. 知识点三：集合的基本运算 1. 并集定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，读作“A并B”，即=. Venn图表示： 2. 交集定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作，读作“A交B”，即. Venn图表示： 3. 集合的运算性质： （1）A，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身； （2）A，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身. （3）A，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身； （4），即任何集合与空集的交集等于空集. 4. 全集定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U. 5. 补集定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即=. Venn图表示： 考法1 元素与集合间关系的应用 判断一个元素是否属于一个集合，就是看该元素是否满足这个集合所含元素的共同特征． （1）对于用列举法表示的集合，只需将所给元素与集合中的元素逐个对照即可． （2）对于用描述法表示的集合，首先要弄清其元素表示的意义，如为数集，表示的函数值的范围，为数集，表示使有意义的的范围，为点集，表示的图象上的点构成的集合．根据元素的限制条件（性质），判断所给元素与集合间的关系． 考点2 集合与集合间关系的应用 （1）子集（真子集）个数的求解方法 ①列举法：集合中元素个数较少时，将集合的子集（真子集）一一列举出来，从而得到子集（真子集）的个数．列举时常依照从小到大，从少到多的原则． 注意：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. ②公式法：含有个元素的集合的子集个数是，真子集个数是，非空子集个数是，非空真子集个数是． （2）判断集合之间关系的方法 ①首先看集合能否化简，能化简的先化简，然后从表达式判断两集合之间的关系. ②根据集合中元素具有的特征之间的关系判断两集合间的关系. ③对于离散型数集或点集，常用列举法或借助Venn图判断两集合之间的关系；对于连续型数集，常借助数轴判断两集合之间的关系，此时要注意端点值的取舍． 考点3 集合的基本运算 解决集合运算问题时应注意以下三点： （1）看元素构成，即集合中的元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是函数值等； （2）对特征条件进行化简，明确集合中元素的特点； （3）注意数形结合思想的应用，常见形式有数轴（连续数集）、坐标系（点集）和Venn图（离散数集）等． 考点4 集合中的含参问题 （1）利用集合中元素的性质求参数的值 已知元素属于集合，求集合中参数的值： 步骤1：利用集合中元素的确定性求出参数的所有取值． 步骤2：根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行验证． 步骤3：写出所有符合题意的取值． （2）利用集合间的关系求参数的值（或取值范围） ①若集合是含有参变量的连续数集，则可以利用数轴求解，由数轴左边小于右边可建立含参数的不等关系． ②若未指明集合非空，则应考虑空集的情况，即由知存在和两种情况，需要分类讨论． ③注意数形结合和分类讨论思想的运用． （3）利用集合运算结果求参数的值（或取值范围） 根据集合运算的结果确定参数的值（或取值范围）的步骤： ①化简；②数轴表示；③由集合端点大小关系列等式或不等式（组）；④解等式或不等式（组）；⑤检验. 注意：①确定不等式的解集时，需检验端点处能否取“＝”；②若已知集合，，当时，注意“极端”情况，即或. 考点5 容斥原理的应用 容斥原理的基本思想是先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复. 如果被计数的事物有，两类，那么类和类元素个数的总和＝类元素个数＋类元素个数——既是类又是类的元素个数，即. 类比两个集合，可以得到三个集合的类似公式：. 考点6 集合新定义问题 对于以集合为背景的新定义问题，集合只是一种表述形式，实质上考查的是学生接受新信息、理解新情境、解决新问题的数学能力，解决此类问题，分以下两步： 第一步，正确理解新定义，分析新定义表述的含义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，进而转化成熟知的数学问题． 第二步，合理利用集合的相关性质（如元素的性质、集合的运算性质等），在解题时要善于从题设条件给出的数、式中发现可以使用集合相关性质的一些因素，并合理利用集合的交、并、补运算法则解题． 学科网（北京）股份有限公司 $