第1章 第3讲 等式性质与不等式性质(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学（创新版）

该高中数学讲义聚焦等式性质与不等式性质高考核心考点，依据课标要求梳理比较实数大小的基本方法、等式与不等式的性质及应用，构建“概念-性质-应用”的逻辑体系。通过考点梳理明确知识内在联系，方法指导（如作差法、作商法）示范解题思路，真题改编与分层练习强化实战能力，助力学生系统突破难点。 资料以数学思维（推理能力）和数学语言（符号表达）为核心，设计“性质辨析-反例验证-规律总结”教学活动，如例2通过特殊值法与逻辑推理判断命题真假，培养学生严谨思维。分层对点训练适配不同水平学生，配合素养小结提炼解题策略，有效提升复习效率，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第3讲　等式性质与不等式性质 课标要求　1.掌握等式的性质．　2.会比较两个数(式)的大小．　3.理解不等式的概念，掌握不等式的性质，并能简单应用． 1．比较实数大小 已知a，b∈R，则 a－b>0 ⇔ a＞b； a－b＝0 ⇔ a＝b； a－b<0 ⇔ a＜b. 2．等式的性质 (1)若a＝b且b＝c，则a＝c； (2)若a＝b，则a±c＝b±c； (3)若a＝b，则ac＝bc，＝(c≠0). 3．不等式的基本性质 性质1　a＞b ⇔ b＜a； 性质2　a＞b，b＞c⇒a＞c； 性质3　如果a＞b，那么a＋c＞b＋c； 性质4　如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc； 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc； 性质5　如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d； 性质6　如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd； 性质7　如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2). 1．(必修第一册P43T3(2)改编)设A＝m(m＋2)，B＝(m＋1)2，则下列不等式一定成立的是(　　) A．A≥B　　　　　　　　 B．A>B C．A≤B D．A<B 解析：选D.因为A－B＝m(m＋2)－(m＋1)2＝m2＋2m－(m2＋2m＋1)＝－1<0，所以A<B. 2．已知－2＜a≤3，1≤b＜4则a－b的取值范围是(　　) A．(－6，2] B．(－3，3] C．[－1，2) D．(－6，2) 解析：选A.因为1≤b＜4，所以－4＜－b≤－1，又－2＜a≤3，所以－6＜a－b≤2. 3．(多选)下列命题中正确的是(　　) A．若a<b，则ac2<bc2 B．若b>a>0，则> C．若a>b，c>d，则a－c>b－d D．若ab<0，a>b，则> 解析：选BD.A中，当c＝0时不成立，故A不正确；B中，由真分数性质知B正确；C中，因为a>b，(－c)<(－d)，不满足不等式的同向可加性，故C不正确；D中，因为ab<0，所以a，b异号，又a>b，所以a>0且b<0，所以>，故D正确． 4．若a<0，－1<b<0，则a，ab，ab2的大小关系是__________________．(用“<”连接) 解析：因为－1<b<0，所以0<b2<1，又因为a<0，所以a<ab2<0<ab，所以a<ab2<ab. 答案：a<ab2<ab 5．(必修第一册P43T5改编)已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则的取值范围是________． 解析：因为－2＜b＜－1，所以1＜－b＜2，则有＜－＜1，又2＜a＜3，由不等式的同向同正可乘性得1＜－＜3，则－3＜＜－1. 答案：(－3，－1) 常用结论 1.倒数性质：(1)a>b，ab>0⇒<；(2)a>b>0，d>c>0⇒>. 2.真分数的性质：<；>(a>b>0，m>0，b－m>0). 题型一　比较两个数(式)的大小 [例1] (1)设a，b，c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P.若a＞b＞c，则(　　) A．N＜P　　　　　　 B．P＜M C．N＜M D．M＋N＜2P (2)设a，b都是正数，且a≠b，则aabb与abba的大小关系是_______________．(用“>”连接) 【解析】　(1)由题意得，M＝，N＝，P＝＝＝.对于A，N－P＝－＝，因为a＞b＞c，所以a－c＞0，b－c＞0，所以a＋b－2c＞0，所以N－P＝＞0，即N＞P，A错误；对于B，M－P＝－＝，由A知a＋b－2c＞0，所以M－P＝＞0，即M＞P，B正确；对于C，M－N＝－＝，因为a＞b＞c，所以c－a＜0，c－b＜0，所以2c－a－b＜0，所以M－N＝＜0，即M＜N，C错误；对于D，因为M＞P，N＞P，所以M＋N＞2P，D错误． (2)＝aa－b·bb－a＝. 若a＞b>0，则＞1，a－b＞0，所以＞1，所以aabb＞abba； 若0<a＜b，则0＜＜1，a－b＜0，所以＞1，所以aabb＞abba. 【答案】　(1)B　(2)aabb＞abba 【素养小结】　 [对点训练] 1.若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则(　　) A．A≤B B．A≥B C．A<B D．A>B 解析：选B.由题意，得B2－A2＝－2≤0，所以B2≤A2.又A≥0，B≥0，所以A≥B. 2．若a＝，b＝，则a与b的大小关系是____________．(用“>”连接) 解析：方法一(作商法)：因为a＝＞0，b＝＞0，所以＝×＝＝＝log89＞1，所以a＞b. 方法二(作差法)：a－b＝－＝(2ln 3－3ln 2)＝(ln 9－ln 8)＞0，即a＞b. 答案：a＞b 题型二　不等式的基本性质 [例2] (多选)已知a＞b＞0，下列说法正确的是(　　) A．若c＞d，则ac＞bd B．若c＞0，则＞ C．＞ D．a2＋＞b2＋ 【解析】　对于A，令a＝2，b＝1，c＝－3，d＝－4，则2＞1＞0，－3＞－4，2×(－3)＜1×(－4)，故A错误；对于B，a＞b＞0，c＞0，则ab＋ac＞ab＋bc，即＞，故B正确；对于C，a＞b＞0，则(a＋b)2＞4ab⇒＞⇒＜⇒＜，故C错误；对于D，a＞b＞0，则a2＞b2，＞，所以a2＋＞b2＋，故D正确． 【答案】　BD 【素养小结】　利用不等式的性质判断命题真假的两种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． [对点训练] 1.(2026·阜阳模拟)已知c＜－1＜b＜a＜0，则(　　) A．c3＋c＞0　　　　　　 B．＜ C．bc＜ac D．＞ 解析：选D.对于A，因为c＜－1，所以c3＋c＝c(c2＋1)＜0，A错误；对于B，C，因为c＜－1＜b＜a＜0，所以0＜b－c＜a－c，bc＞ac，所以＞，B，C错误；对于D，由题知b＋c＜a＋c＜0，故＞，D正确． 2．已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. 证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，又a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0，所以0<<，又e＜0，所以＞. 题型三　不等式性质的应用 [例3] (1)(多选)已知－1＜a＜5，－3＜b＜1，则以下结论正确的是(　　) A．－15＜ab＜5 B．－4＜a＋b＜6 C．－2＜a－b＜8 D．当b≠0时，－＜＜5 (2)民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为________平方米． 【解析】　(1)由题知－1＜a＜5， 因为－3＜b＜1，所以－1＜－b＜3， 对于A，若则－15＜ab＜3， 若则ab＝0，若 则－1＜ab＜5，综上可得－15＜ab＜5，故A正确；对于B，－4＝－3－1＜a＋b＜1＋5＝6，故B正确；对于C，－2＝－1－1＜a－b＜3＋5＝8，故C正确；对于D，当a＝4，b＝时，＝8，故D错误． (2)设改造前的窗户面积为x平方米，窗户增加的面积为y平方米，x＞0，y＞0，依题意≤，即180x＋2xy≤180x＋180y，解得x≤90，所以改造前的窗户面积最大为90平方米． 【答案】　(1)ABC　(2)90 【素养小结】　根据不等式的性质求代数式范围的策略 (1)严格运用不等式的性质，注意其成立的条件． (2)利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求解范围，防止在多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围．一般说来，由a<f(x，y)<b，c<g(x，y)<d，求F(x，y)的取值范围时，往往利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，通过恒等变形求得m，n的值，再利用不等式的同向可加性和可乘性求得F(x，y)的取值范围． [对点训练] 1.设α∈(－，)，β∈[0，π]，则2α－的取值范围是(　　) A.(0，) B．(－，) C． D．(－，π) 解析：选D.因为α∈(－，)，β∈[0，π]，所以－<2α<π，－≤－≤0，则－<2α－<π. 2．已知实数a，b满足a－b∈[0，1]，a＋b∈[2，4]，则a的取值范围为________，4a－2b的取值范围是________． 解析：由0≤a－b≤1，2≤a＋b≤4，两式相加得2≤2a≤5，故1≤a≤.因为4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)，0≤3(a－b)≤3，2≤a＋b≤4，所以4a－2b∈[2，7]. 答案：　[2，7] 学科网（北京）股份有限公司 $