第1章 第3讲 等式性质与不等式性质(教用Word)-【精微方案】2027年高考一轮总复习讲义·数学

该高中数学讲义围绕等式性质与不等式性质高考核心考点，依据课标要求构建从等式基本性质到不等式性质及比较大小方法的知识体系，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节帮助学生突破比较大小、性质应用等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料采用“性质梳理-方法提炼-分层训练”教学模式，通过作差法、作商法等培养学生数学思维，结合民宿改造实例渗透数学语言应用，设置基础判断、能力提升、综合应用练习，助力教师把控复习节奏，提升学生应考能力。

第3讲　等式性质与不等式性质 课标要求　1.掌握等式的性质，会比较两个数的大小．　2.理解不等式的概念，掌握不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用． 1．等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，则ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．两个实数比较大小的方法 作差法 3．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c； a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac>bc； a＞b，c＜0⇒ac<bc； a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (5)可乘方性：a＞b＞0⇒an>bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2). 常用结论　 1．倒数性质 若ab>0，且a>b⇒<； 若ab<0，且a>b⇒>. 2．分数性质 若a>b>0，m>0，则 (1)真分数性质：<；>(b－m>0)；　 (2)假分数性质：>；<(b－m>0).　 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a>b，则>(m≠0).(　　) (2)若a<2，则>.(　　) (3)若a>b>0，则a2＋>b2＋.(　　) (4)若ac2>bc2，则a>b.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(必修第一册P43T3(2)改编)设A＝m(m＋2)，B＝(m＋1)2，则下列不等式一定成立的是(　　) A．A≥B B．A>B C．A≤B D．A<B 解析：选D．因为A－B＝m(m＋2)－(m＋1)2＝m2＋2m－(m2＋2m＋1)＝－1<0，所以A<B．　 3．(用结论)(多选)下列命题中正确的是(　　) A．若a<b，则ac2<bc2 B．若b>a>0，则> C．若a>b，c>d，则a－c>b－d D．若ab<0，a>b，则> 解析：选BD．A中，当c＝0时不成立，故A不正确；B中，由真分数性质知B正确；C中，因为a>b，(－c)<(－d)，不满足不等式的同向可加性，故C不正确；D中，因为ab<0，所以a，b异号，又a>b，所以a>0且b<0，所以>，故D正确． 4．(必修第一册P43T5改编)已知2<a<3，1<b<2，则2a－b的取值范围是________． 解析：因为2<a<3，所以4<2a<6.又1<b<2，所以－2<－b<－1，所以2<2a－b<5. 答案：(2，5) 考点一　比较两个数(式)的大小 　(1)设a，b，c的平均数为M，a与b的平均数为N，N与c的平均数为P.若a>b>c，则(　　) A．N<P B．P<M C．N<M D．M＋N<2P (2)若a＞0，b＞0，则p＝(ab)与q＝abba的大小关系是(　　) A．p≥q B．p≤q C．p＞q D．p＜q 【解析】　(1)由题意得，M＝，N＝，P＝＝＝. 对于A，N－P＝－＝，因为a>b>c，所以a－c>0，b－c>0，所以a＋b－2c>0，所以N－P＝>0，所以N>P，A错误； 对于B，M－P＝－＝，由A知a＋b－2c>0，所以M－P＝>0，所以M>P，B正确； 对于C，M－N＝－＝，由A知，a＋b－2c>0，所以2c－a－b<0，所以M－N＝<0，所以M<N，C错误； 对于D，因为M>P，N>P，所以M＋N>2P，D错误． (2)由题知p＞0且q＞0， ＝＝ab＝()， 若a＞b＞0，则＞1，a－b＞0， 所以＞1，即p＞q； 若b＞a＞0，则0＜＜1，a－b＜0， 所以＞1，即p＞q； 若a＝b，则＝1，所以p＝q. 综上，p≥q. 【答案】　(1)B　(2)A 【感悟进阶】　 　1.若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则(　　) A．A≤B B．A≥B C．A<B D．A>B 解析：选B．由题意，得B2－A2＝－2≤0，所以B2≤A2.又A≥0，B≥0，所以A≥B． 2．若a＝，b＝，则a与b的大小关系是 ____________．(用“>”连接) 解析：方法一(作商法)：因为a＝＞0，b＝＞0，所以＝×＝＝＝log89＞1，所以a＞b. 方法二(作差法)：a－b＝－＝(2ln 3－3ln 2)＝(ln 9－ln 8)＞0，即a＞b. 答案：a＞b 考点二　不等式的基本性质 　(1)(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的是(　　) A．ac<bc B．a－b<c－d C．ad>bc D．－>0 (2)(多选)(2026·赤峰月考)已知实数a，b，c满足a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则下列结论中正确的是(　　) A．a＋b＞0 B．ac＜bc C．＞ D．(a－c)(b－c)＜c2 【解析】　(1)因为a>b>0>c，所以ac<bc，故A正确；令a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，此时a－b＝c－d，ad<bc，故B，C错误；因为a>b>0>c>d，所以>>0，－d>－c>0，可得－>－>0，所以－>0，故D正确． (2)a＋b＋c＝0且a＞b＞c，则a＞0，c＜0. 对于A，a＋b＝－c＞0，A正确； 对于B，由a＞b，c＜0，得ac＜bc，B正确； 对于C，由a＞b＞c，可知a－b＞0，b－c＞0，(a－b)－(b－c)＝a＋c－2b＝－3b， 当b＞0时，0＜a－b＜b－c，则＞； 当b＜0时，a－b＞b－c＞0，则＜； 当b＝0时，a－b＝b－c，则＝，C错误； 对于D，(a－c)(b－c)－c2＝ab－(a＋b)c－c2＝ab＋(a＋b)2－(a＋b)2＝ab－(a＋b)2＝－(a－b)2＜0，D正确． 【答案】　(1)AD　(2)ABD 【感悟进阶】　利用不等式的性质判断命题真假的两种方法 (1)直接法：对于命题正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于命题错误的，只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：利用特殊值法排除错误选项． 　1.(多选)(2026·长春月考)下列说法正确的是(　　) A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2 C．若a＞b且＞，则ab＜0 D．若a＞b＞c＞0，则＜ 解析：选BC．若c＝0，则ac2＝bc2＝0，故A错误；若a＜b＜0，则a2＞ab，ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故B正确；若＞，则－＝＞0，因为a＞b，所以b－a＜0，故ab＜0，故C正确；令a＝3，b＝2，c＝1，满足a＞b＞c＞0，但是＝＞＝，故D错误． 2．已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞.　 证明：因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0， 又a＞b＞0， 所以a－c＞b－d＞0，b－a＜0，c－d＜0， 又e＜0， 所以－＝ ＝＝＞0， 所以＞. 考点三　不等式性质的综合应用 　(1)(多选)已知－1＜a＜5，－3＜b＜1，则以下结论正确的是(　　) A．－15＜ab＜5 B．－4＜a＋b＜6 C．－2＜a－b＜8 D．当b≠0时，－＜＜5 (2)民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为_________________平方米． 【解析】　(1)由题知－1＜a＜5， 因为－3＜b＜1，所以－1＜－b＜3， 对于A，若则－15＜ab＜3， 若则ab＝0，若 则－1＜ab＜5，综上可得－15＜ab＜5，故A正确； 对于B，－4＝－3－1＜a＋b＜1＋5＝6，故B正确； 对于C，－2＝－1－1＜a－b＜3＋5＝8，故C正确； 对于D，当a＝4，b＝时，＝8，故D错误． (2)设改造前的窗户面积为x平方米，窗户增加的面积为y平方米，x＞0，y＞0，依题意≤，即180x＋2xy≤180x＋180y，解得x≤90，所以改造前的窗户面积最大为90平方米． 【答案】　(1)ABC　(2)90 【感悟进阶】　求代数式的取值范围时应注意的事项 (1)必须依照不等式的性质； (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体的范围． 　1.设α∈(－，)，β∈[0，π]，则2α－的取值范围是(　　) A．(0，) B．(－，) C． D．(－，π) 解析：选D．因为α∈(－，)，β∈[0，π]，所以－<2α<π，－≤－≤0，则－<2α－<π. 2．已知实数a，b满足a－b∈[0，1]，a＋b∈[2，4]，则a的取值范围为__________，4a－2b的取值范围是__________． 解析：由0≤a－b≤1，2≤a＋b≤4， 两式相加得2≤2a≤5，故1≤a≤. 因为4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)，0≤3(a－b)≤3，2≤a＋b≤4， 所以4a－2b＝3(a－b)＋(a＋b)∈[2，7]. 答案：[1，]　[2，7] 学科网（北京）股份有限公司 $