第二讲 常用逻辑用语 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦常用逻辑用语核心考点，涵盖充分条件、必要条件、充要条件的判断，全称量词与存在量词命题的真假及否定，按“定义-逻辑关系-集合转化-题型应用”架构梳理知识，通过必掌握知识点精讲、解题方法总结、分层题型训练（直接判断、参数问题、综合应用），帮助学生系统构建逻辑体系，突破条件理解与命题否定难点。 讲义创新采用集合关系类比条件判断，结合正反例辨析命题否定，如通过“小范围推大范围”理解充分必要关系，设计基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，融入高考真题演练与即时方法归纳，培养学生逻辑推理与数学表达能力，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

高三数学第二讲 常用逻辑用语 学习目标】1.会判断充分条件,必要条件,充要条件； 2.会判断全称量词命题和存在量词命题的真假，会写这两种命题的否定． 【学习重点】充分条件及必要条件的判断；存在量词命题和全称量词命题的否定. 【学习难点】充分条件及必要条件的理解；判定全称量词命题和存在量词命题的真假. 【学习过程】 必掌握知识点 一、充分条件、必要条件、充要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）． 二．全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”． （2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 三．含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定为，． （2）存在量词命题的否定为． 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一． 【解题方法总结】 1、从集合与集合之间的关系上看 设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． 2、常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意（所有） 至多有一个 至多有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有两个 一个都没有 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例． （2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题． 必考题型全归纳 一．充分条件、必要条件、充要条件 题型 1：直接判断两个代数式间的条件关系 1．设，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条 【答案】A 【分析】根据与的互相推出情况判断出对应哪一种条件. 【详解】由，则，即“”“”； 由“”得，即“”“” 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先找出与的关系，然后利用充分、必要条件的判定即可求出结果. 【详解】由可得：，则可推出； 由可得：，则可推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故选：. 3．设a>0，b>0，则“a>b”是“lna>lnb”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【详解】因为为增函数，故有时，，同时，若必有，故是的充要条件，故选D. 4．是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】结合充分条件，必要条件的判定，相互推导，即可． 【详解】当x,y满足，可以推出，但是当，虽然满足 ，但是并不能满足，故为必要不充分条件，故选B． 【点睛】考查了必要不充分条件的判定，关键看两个关系式能否相互推导，即可，难度较容易． 题型 2：条件关系转化为集合包含关系求参数 5．函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性，确定若函数在区间上单调递增等价于，再根据必要不充分条件的定义，逐项判断即可求解. 【详解】二次函数的对称轴为， 函数在区间上单调递增，所以，解得， 选项为函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件， 则是选项的真子集，所以符合题意.故选：C 6．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（  ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出是的真子集，是的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数，所以， 因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件， 所以是的真子集，是的真子集， 所以且，解得，所以“”表示的数字是1或2，故正确.故选：C. 7（多选）．设p：实数x满足，其中a≠0，q：实数x满足，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】BC 【分析】分别求出命题p、q中a的取值范围，根据p是q的必要不充分条件，从而求出a的取值范围． 【详解】解：时，解得：， 时，解得：，解不等式组，得：， 因为p是q的必要不充分条件， 所以时，且，解得，时，且，无解， 综上可得：．故选：BC． 8（多选）．已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】BC 【分析】根据充分条件得到集合与集合关系，并注意集合中元素的互异性即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则BC符合题意.故选：BC. 9（多选）．若，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据不等式相关性质即可求解. 【详解】，故“”是“”的充要条件，故A错误； 由得能推出， 反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 由可得，故，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 易知“”是“”的充分不必要条件，故D正确.故选：BCD. 10．已知函数在上单调递减，，若是的必要不充分条件， 则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】是的必要不充分条件等价于，利用集合间的基本关系建立不等关系求解. 【详解】当为真时，，记集合，，. 若是的必要不充分条件， 则， ①当，即时，； ②当时，等价于，解得， 综上所述，实数的取值范围为.故答案为:. 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的问题，将其转化为集合间的基本关系是有效途径，属于基础题. 题型 3：一元二次方程根的正负与条件关系综合 11（多选）．在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 【答案】ABC 【详解】若二次方程的两根为正数，则，，，故满足其中一个或两个不能推出二次方程的两根为正数，所以选项A，B，C能成为使二次方程的两根为正数的必要不充分条件. 二 全称量词命题、存在量词命题 题型 1：判断全称 、特称命题真假 12．若命题：“，都有”为真命题，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目条件可得出：命题：“，都有”为真命题；再构造函数，利用导数判断其为增函数，进而可得出结果. 【详解】因为命题：“，都有”为真命题， 所以命题：“，都有”为真命题. 令，.则.因为， 所以，所以函数为增函数. 又因为，所以.故选：B. 13．已知命题，；命题，，则（    ）. A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】分别求解和的真假性，即可得解. 【详解】由于，故命题是假命题，为真命题， 取，则，故命题为真命题，为假命题，故选：B 【解题总结】 1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论． 2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可． 题型 2：全称、特称命题的否定 14．下面命题中不正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“任意，则”的否定是“存在，则” C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，，则“且”是“”的充要条件 【答案】C 【分析】分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判断选项B的正误． 【详解】对于A，或，则“”是“”的充分不必要条件，故A对； 对于B，全称命题的否定是特称命题，“任意，则”的否定是“存在，则”，故B对； 对于C，“且”“”，但“”推不出“且”， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错； 对于D，且，则“”是“”的充要条件，故D对； 故选：C． 15（多选）．下列四个结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．命题“任意，则”的否定是“存在，则”． D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】CD 【分析】依据不等式性质和命题的判断等相关定义即可. 【详解】A. 取，不满足，故A错误； B. 取符合题意，但，故B错误； C.全称命题的否定：任意改存在，则后改否定，故C正确； D.若 ，则不一定成立，例如； 若，则成立，故D正确.故选：CD. 【解题总结】 1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定． 2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否． 类型 3：特称命题为假，转化恒成立求参数范围 17．若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为____． 【答案】或 【分析】先得出存在量词命题的否定，即为恒成立问题，结合二次函数的图象与性质对的符号分类讨论即可 【详解】由题意得，“，使”是真命题， 当时，易得时命题成立； 当时，由抛物线开口向下，命题不成立； 当时，则命题等价于，即或 故答案为：或 三 集合运算与逻辑综合（子集、补集） 9．已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得到，再逐项判断即可. 【详解】由，可得， 所以错误，错误， 错误，，即，正确.故选：D. 四 解答综合大题（逻辑结合函数、方程、导数） 20．关于的一元二次方​恒有两个实数根​. (1)当 ​且两个根皆为负时, 求实数​的取值范围. (2)不等式 ​恒成立, 求实数​的最大值. 【答案】(1)​(2)​ 【分析】（1）两个根皆为负即；（2）韦达定理的逆运用，转化为关于的式子，再结合因式分解，二次函数的最值进行求解. 【详解】（1）当 ​时, 方程化为​ 由已知有 ​所以实数的取值范围为​ （2）​ 此时​ ​ ​则的最大值为​. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学第二讲 常用逻辑用语 学习目标】1.会判断充分条件,必要条件,充要条件； 2.会判断全称量词命题和存在量词命题的真假，会写这两种命题的否定． 【学习重点】充分条件及必要条件的判断；存在量词命题和全称量词命题的否定. 【学习难点】充分条件及必要条件的理解；判定全称量词命题和存在量词命题的真假. 【学习过程】 必掌握知识点 一、充分条件、必要条件、充要条件 1、定义 如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件． 2、从逻辑推理关系上看 （1）若且，则是的充分不必要条件； （2）若且，则是的必要不充分条件； （3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）； （4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件． 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）． 二．全称量词与存在量词 （1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”． （2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 三．含有一个量词的命题的否定 （1）全称量词命题的否定为，． （2）存在量词命题的否定为． 注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一． 【解题方法总结】 1、从集合与集合之间的关系上看 设． （1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且； 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”． （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件． 2、常见的一些词语和它的否定词如下表 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意（所有） 至多有一个 至多有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 某个 至少有两个 一个都没有 （1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例． （2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题． 必考题型全归纳 一．充分条件、必要条件、充要条件 题型 1：直接判断两个代数式间的条件关系 1．设，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条 【答案】A 【分析】根据与的互相推出情况判断出对应哪一种条件. 【详解】由，则，即“”“”； 由“”得，即“”“” 所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先找出与的关系，然后利用充分、必要条件的判定即可求出结果. 【详解】由可得：，则可推出； 由可得：，则可推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故选：. 3．设a>0，b>0，则“a>b”是“lna>lnb”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【详解】因为为增函数，故有时，，同时，若必有，故是的充要条件，故选D. 4．是的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】结合充分条件，必要条件的判定，相互推导，即可． 【详解】当x,y满足，可以推出，但是当，虽然满足 ，但是并不能满足，故为必要不充分条件，故选B． 【点睛】考查了必要不充分条件的判定，关键看两个关系式能否相互推导，即可，难度较容易． 题型 2：条件关系转化为集合包含关系求参数 5．函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性，确定若函数在区间上单调递增等价于，再根据必要不充分条件的定义，逐项判断即可求解. 【详解】二次函数的对称轴为， 函数在区间上单调递增，所以，解得， 选项为函数在区间上单调递增的一个必要不充分条件， 则是选项的真子集，所以符合题意.故选：C 6．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：，，，然后他们三人各用一句话来正确描述“”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：是的必要不充分条件；丙：是的充分不必要条件.则“”表示的数字是（  ） A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 【答案】C 【分析】根据此数为小于5的正整数得到，再推出是的真子集，是的真子集，从而得到不等式，求出，得到答案. 【详解】因为此数为小于5的正整数，所以， 因为是的必要不充分条件，是的充分不必要条件， 所以是的真子集，是的真子集， 所以且，解得，所以“”表示的数字是1或2，故正确.故选：C. 7（多选）．设p：实数x满足，其中a≠0，q：实数x满足，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】BC 【分析】分别求出命题p、q中a的取值范围，根据p是q的必要不充分条件，从而求出a的取值范围． 【详解】解：时，解得：， 时，解得：，解不等式组，得：， 因为p是q的必要不充分条件， 所以时，且，解得，时，且，无解， 综上可得：．故选：BC． 8（多选）．已知集合，若“”是“”的充分条件，则实数的取值可以是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】BC 【分析】根据充分条件得到集合与集合关系，并注意集合中元素的互异性即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则BC符合题意.故选：BC. 9（多选）．若，则“”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据不等式相关性质即可求解. 【详解】，故“”是“”的充要条件，故A错误； 由得能推出， 反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 由可得，故，反之不成立， 故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 易知“”是“”的充分不必要条件，故D正确.故选：BCD. 10．已知函数在上单调递减，，若是的必要不充分条件， 则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】是的必要不充分条件等价于，利用集合间的基本关系建立不等关系求解. 【详解】当为真时，，记集合，，. 若是的必要不充分条件， 则， ①当，即时，； ②当时，等价于，解得， 综上所述，实数的取值范围为.故答案为:. 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的问题，将其转化为集合间的基本关系是有效途径，属于基础题. 题型 3：一元二次方程根的正负与条件关系综合 11（多选）．在下列条件中，能成为“使二次方程的两根为正数”的必要不充分条件是（    ） A． B． C．且 D．，， 【答案】ABC 【详解】若二次方程的两根为正数，则，，，故满足其中一个或两个不能推出二次方程的两根为正数，所以选项A，B，C能成为使二次方程的两根为正数的必要不充分条件. 二 全称量词命题、存在量词命题 题型 1：判断全称 、特称命题真假 12．若命题：“，都有”为真命题，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目条件可得出：命题：“，都有”为真命题；再构造函数，利用导数判断其为增函数，进而可得出结果. 【详解】因为命题：“，都有”为真命题， 所以命题：“，都有”为真命题. 令，.则.因为， 所以，所以函数为增函数. 又因为，所以.故选：B. 13．已知命题，；命题，，则（    ）. A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】分别求解和的真假性，即可得解. 【详解】由于，故命题是假命题，为真命题， 取，则，故命题为真命题，为假命题，故选：B 【解题总结】 1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论． 2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可． 题型 2：全称、特称命题的否定 14．下面命题中不正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“任意，则”的否定是“存在，则” C．设，，则“且”是“”的必要不充分条件 D．设，，则“且”是“”的充要条件 【答案】C 【分析】分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判断选项B的正误． 【详解】对于A，或，则“”是“”的充分不必要条件，故A对； 对于B，全称命题的否定是特称命题，“任意，则”的否定是“存在，则”，故B对； 对于C，“且”“”，但“”推不出“且”， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故C错； 对于D，且，则“”是“”的充要条件，故D对； 故选：C． 15（多选）．下列四个结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若且，则 C．命题“任意，则”的否定是“存在，则”． D．“”是“”的必要不充分条件 【答案】CD 【分析】依据不等式性质和命题的判断等相关定义即可. 【详解】A. 取，不满足，故A错误； B. 取符合题意，但，故B错误； C.全称命题的否定：任意改存在，则后改否定，故C正确； D.若 ，则不一定成立，例如； 若，则成立，故D正确.故选：CD. 【解题总结】 1、全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定． 2、全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否． 类型 3：特称命题为假，转化恒成立求参数范围 17．若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为____． 【答案】或 【分析】先得出存在量词命题的否定，即为恒成立问题，结合二次函数的图象与性质对的符号分类讨论即可 【详解】由题意得，“，使”是真命题， 当时，易得时命题成立； 当时，由抛物线开口向下，命题不成立； 当时，则命题等价于，即或 故答案为：或 三 集合运算与逻辑综合（子集、补集） 9．已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得到，再逐项判断即可. 【详解】由，可得， 所以错误，错误， 错误，，即，正确.故选：D. 四 解答综合大题（逻辑结合函数、方程、导数） 20．关于的一元二次方​恒有两个实数根​. (1)当 ​且两个根皆为负时, 求实数​的取值范围. (2)不等式 ​恒成立, 求实数​的最大值. 【答案】(1)​(2)​ 【分析】（1）两个根皆为负即；（2）韦达定理的逆运用，转化为关于的式子，再结合因式分解，二次函数的最值进行求解. 【详解】（1）当 ​时, 方程化为​ 由已知有 ​所以实数的取值范围为​ （2）​ 此时​ ​ ​则的最大值为​. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $