第2讲 常用逻辑用语·讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

第2讲 常用逻辑用语·配套讲义

一、考情分析

二、知识清单

一、充分条件、必要条件、充要条件

二、全称量词与存在量词

三、含有一个量词的命题的否定

三、方法总结

考点1：充分条件与必要条件

考点2：全称量词与存在量词命题

考点3：根据命题真假求参数范围

四、典题精讲

考点1：充分条件与必要条件

考点2：全称量词与存在量词命题

考点3：根据命题真假求参数范围

 

一、考情分析

1. 考查频次与题型

从近年全国一卷（新高考Ⅰ卷）的情况来看，常用逻辑用语的考查频次呈现出一定的波动性.2023年在单选题中进行了直接考查，但近三年（2024-2026）的试卷中未出现直接针对该考点的独立试题.

2. 命题角度与特色

核心考点：充分条件与必要条件的判断，全称量词与存在量词命题的真假判断与否定.

命题趋势：常用逻辑用语作为独立考点进行直接命题的频率有所降低.它更多地作为数学的基础语言，自然融入到函数、导数、不等式等模块中，例如在表述恒成立与存在性

问题时使用“对任意”“存在”等量词（如2026年全国一卷第19题题干中自然出现的“对任意 ”“存在”等表述）.

试题特点：当直接考查时，通常与集合、不等式、数列等知识点交汇，以单选题形式出现，难度中等偏易，侧重考查概念的理解与等价转化.

3. 备考策略

· 夯实基础概念：准确掌握充分条件、必要条件的定义，熟练运用集合的包含关系（小集合是大集合的充分条件）进行判断.

· 注重语言转化：重点理解“对任意（）”和“存在（）”的数学含义，熟练掌握含量词命题的否定规则，并能将其灵活应用于函数恒成立与存在性问题的求解中.

· 关注知识交汇：在复习其他模块（如向量、三角、解析几何）时，注意梳理相关定理和公式的成立条件，培养严谨的逻辑推理习惯，以基础题和概念题为主，不必在偏难怪的纯逻辑题上耗费过多精力.

二、知识清单

一、充分条件、必要条件、充要条件

1. 定义

如果命题“若 ，则 ”为真（记作 ），则 是 的充分条件；同时 是 的必要条件.

2. 从逻辑推理关系上看

· 若 且 ，则 是 的充分不必要条件.

· 若 且 ，则 是 的必要不充分条件.

· 若 且 ，则 是 的充要条件（也说 和 等价）.

· 若 且 ，则 不是 的充分条件，也不是 的必要条件.

对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则 是 的充分条件，同时 是 的必要条件.所谓“充分”是指只要 成立， 就成立；所谓“必要”是指要使得 成立，必须要 成立（即如果 不成立，则 肯定不成立）.

3. 从集合与集合之间的关系上看

设 ，.

· 若 ，则 是 的充分条件（）， 是 的必要条件；若 ，则 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件.

· 若 ，则 是 的必要条件， 是 的充分条件.

· 若 ，则 与 互为充要条件.

【易错提醒】 在利用集合关系判断充分必要条件时，切记“小集合是大集合的充分条件，大集合是小集合的必要条件”.

二、全称量词与存在量词

1. 全称量词与全称量词命题

短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对 中的任意一个 ，有 成立”可用符号简记为“”，读作“对任意 属于 ，有 成立”.

2. 存在量词与存在量词命题

短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在 中的一个 ，使 成立”可用符号简记为“”，读作“存在 中元素 ，使 成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.

三、含有一个量词的命题的否定

1. 命题的否定形式

· 全称量词命题 的否定 为 .

· 存在量词命题 的否定 为 .

【易错提醒】 全称量词命题与存在量词命题的否定，必须将条件中的全称量词和存在量词互换，且只对结论进行否定，不能改变条件范围.

2. 常见的一些词语和它的否定词

三、方法总结

考点1：充分条件与必要条件

考法1：定义法与集合法判断充要关系