第2讲 常用逻辑用语·讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦常用逻辑用语专题，涵盖充分条件与必要条件、全称量词与存在量词等核心考点，按概念定义、集合关系、命题否定的逻辑层次构建知识体系，通过知识清单梳理、方法总结指导、典题精讲训练的教学流程，帮助学生突破考点难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义突出数学思维与语言的融合，如用Venn图直观分析集合充要关系培养几何直观，通过主元法、分离参数法解决参数范围问题发展推理能力，结合易错提醒和分层例题保障复习实效。能助力学生高效提升逻辑推理与符号表达能力，为教师精准把控复习节奏提供清晰教学框架。

第2讲 常用逻辑用语·配套讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 1 一、充分条件、必要条件、充要条件 1 二、全称量词与存在量词 2 三、含有一个量词的命题的否定 2 三、方法总结 3 考点1：充分条件与必要条件 3 考点2：全称量词与存在量词命题 3 考点3：根据命题真假求参数范围 4 四、典题精讲 4 考点1：充分条件与必要条件 4 考点2：全称量词与存在量词命题 6 考点3：根据命题真假求参数范围 7 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考查内容 2026 - 0分 全国一卷中未直接考查 2025 - 0分 全国一卷中未直接考查 2024 - 0分 全国一卷中未直接考查 2023 第7题（单选） 5分 充分条件与必要条件（与集合交汇） 从近年全国一卷（新高考Ⅰ卷）的情况来看，常用逻辑用语的考查频次呈现出一定的波动性.2023年在单选题中进行了直接考查，但近三年（2024-2026）的试卷中未出现直接针对该考点的独立试题. 2. 命题角度与特色 核心考点：充分条件与必要条件的判断，全称量词与存在量词命题的真假判断与否定. 命题趋势：常用逻辑用语作为独立考点进行直接命题的频率有所降低.它更多地作为数学的基础语言，自然融入到函数、导数、不等式等模块中，例如在表述恒成立与存在性问题时使用“对任意”“存在”等量词（如2026年全国一卷第19题题干中自然出现的“对任意 ”“存在”等表述）. 试题特点：当直接考查时，通常与集合、不等式、数列等知识点交汇，以单选题形式出现，难度中等偏易，侧重考查概念的理解与等价转化. 3. 备考策略 · 夯实基础概念：准确掌握充分条件、必要条件的定义，熟练运用集合的包含关系（小集合是大集合的充分条件）进行判断. · 注重语言转化：重点理解“对任意（）”和“存在（）”的数学含义，熟练掌握含量词命题的否定规则，并能将其灵活应用于函数恒成立与存在性问题的求解中. · 关注知识交汇：在复习其他模块（如向量、三角、解析几何）时，注意梳理相关定理和公式的成立条件，培养严谨的逻辑推理习惯，以基础题和概念题为主，不必在偏难怪的纯逻辑题上耗费过多精力. 二、知识清单 一、充分条件、必要条件、充要条件 1. 定义 如果命题“若 ，则 ”为真（记作 ），则 是 的充分条件；同时 是 的必要条件. 2. 从逻辑推理关系上看 · 若 且 ，则 是 的充分不必要条件. · 若 且 ，则 是 的必要不充分条件. · 若 且 ，则 是 的充要条件（也说 和 等价）. · 若 且 ，则 不是 的充分条件，也不是 的必要条件. 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则 是 的充分条件，同时 是 的必要条件.所谓“充分”是指只要 成立， 就成立；所谓“必要”是指要使得 成立，必须要 成立（即如果 不成立，则 肯定不成立）. 3. 从集合与集合之间的关系上看 设 ，. · 若 ，则 是 的充分条件（）， 是 的必要条件；若 ，则 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件. · 若 ，则 是 的必要条件， 是 的充分条件. · 若 ，则 与 互为充要条件. 【易错提醒】 在利用集合关系判断充分必要条件时，切记“小集合是大集合的充分条件，大集合是小集合的必要条件”. 二、全称量词与存在量词 1. 全称量词与全称量词命题 短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对 中的任意一个 ，有 成立”可用符号简记为“”，读作“对任意 属于 ，有 成立”. 2. 存在量词与存在量词命题 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在 中的一个 ，使 成立”可用符号简记为“”，读作“存在 中元素 ，使 成立”（存在量词命题也叫存在性命题）. 三、含有一个量词的命题的否定 1. 命题的否定形式 · 全称量词命题 的否定 为 . · 存在量词命题 的否定 为 . 【易错提醒】 全称量词命题与存在量词命题的否定，必须将条件中的全称量词和存在量词互换，且只对结论进行否定，不能改变条件范围. 2. 常见的一些词语和它的否定词 原词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 都是 任意（所有） 至多有一个 至少有两个 否定词语 不等于（） 小于等于（） 大于等于（） 不是 不都是 某个 至少有两个 一个都没有 三、方法总结 考点1：充分条件与必要条件 考法1：定义法与集合法判断充要关系 · 利用定义判断：明确推出的含义，是 成立 一定成立才能叫推出，而不是有可能成立.举反例是推翻充分性或必要性最直接有效的方法. · 利用集合关系判断：充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.借助Venn图是极为有效的直观工具.证明必要性时，构造一个满足条件的特殊集合是常见的解题技巧. 考法2：结合函数与方程判断充要关系 · 将条件等价转化为函数或方程的性质（如复合函数单调性的“同增异减”、三角方程解集等），再比较参数取值集合的包含关系. 考法3：结合向量与几何判断充要关系 · 处理向量的充要条件判断时，数量积的变形（如展开、因式分解）是揭示向量垂直或共线关系的核心手段. 考法4：根据充要关系求参数范围 · 标准流程：解不等式化为集合 确定集合间的包含关系 转化为端点值的不等式组. · 若不等式两根大小不确定，务必对参数进行分类讨论. · 在求解参数取值范围时，要特别注意端点值是否能取到，避免漏解或多解. 考点2：全称量词与存在量词命题 考法1：含量词命题的否定与真假判断 · 真假判断：要判定一个全称量词命题是真命题，必须严格证明；要判断为假命题，只要举出一个反例.要判断一个存在量词命题为真命题，只要找到一个特例使之成立即可；否则为假命题. · 判断超越不等式恒成立，构造函数求最值是最通用的法宝.既要通过汉字意思理解，又要通过严格的数学推导得出结论. 考点3：根据命题真假求参数范围 考法1：二次型恒成立与存在性问题 · 解决含参二次不等式恒成立问题，切记“先看头，后看尾”.即必须优先讨论二次项系数是否为零，再结合开口方向和判别式列出不等式组. 考法2：主元法解决恒成立问题 · 当不等式中参数的次数较低（通常为一次）而变量次数较高时，果断采用“主元法”，将参数视为主变量，原变量视为常数，利用一次函数的单调性转化为端点最值问题. 考法3：分离参数法解决恒成立问题 · 分离参数法是解决恒成立或存在性问题的通用利器.核心原则是： 恒成立 ； 有解 . · 正难则反：在解决求参数的取值范围问题上，若直接求解存在命题较难，可以先利用其否定（全称命题）为真求出参数范围，再取补集. 四、典题精讲 考点1：充分条件与必要条件 考法1：定义法与集合法判断充要关系 例1.（2025·青岛·一模）设 为全集，， 是集合，则“存在集合 使得 ，”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【思路】判断充要条件，可以从条件推结论，再从结论推条件.本题涉及集合的包含与补集关系，借助Venn图直观分析，或者利用集合的运算性质进行推导. 【解析】由 ，得 ，而 ，则 ，故“存在集合 使得 ，”是“”的充分条件；由 ，存在一个集合 ，使得 ，，∴“存在集合 使得 ，”是“”的必要条件.故选：C. 【规律】判断集合关系的充要条件时，Venn图是极为有效的直观工具.同时，证明必要性时，构造一个满足条件的特殊集合（如令 ）是常见的解题技巧. 考法2：结合函数与方程判断充要关系 例2.（2026·皖江名校·5月模拟） “函数 在区间 上单调递增”是“”的（ 　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【思路】处理复合函数的单调性问题，需遵循“同增异减”原则，并特别注意对数函数真数大于零的隐含条件.求出使函数单调递增的参数范围后，再与已知条件进行包含关系的对比. 【解析】 在区间 上单调递增 且 ，解得 .∴ 是 的必要不充分条件. 【规律】判断含参命题的充要条件，本质上是比较参数取值集合的包含关系.小集合是大集合的充分条件，大集合是小集合的必要条件. 考法3：结合向量与几何判断充要关系 例3.（2026·天壹名校·5月模拟） 对于平面向量 ，设甲：，乙：，则（ 　　） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【思路】探究向量等式与向量为零之间的逻辑关系.对于甲条件，可通过移项提取公因式，将其转化为向量数量积为零的形式，进而揭示向量间的垂直或零向量关系，再与乙条件进行双向推导. 【解析】对于充分性，当 时甲成立，而乙不一定成立，矛盾；对于必要性， 时 ，成立，故选B. 【规律】处理向量的充要条件判断时，数量积的变形（如展开、因式分解）是核心手段.同时，举反例是推翻充分性或必要性最直接有效的方法. 考法4：根据充要关系求参数范围 例4. 已知集合 ，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】必要不充分条件对应着集合的真子集关系.解题时需先解出两个一元二次不等式对应的集合，特别注意集合B中两根大小的比较，这需要对参数进行分类讨论，最后根据子集关系列出不等式组求解. 【解析】由题意集合 ，，若 ，则 ，此时 ，∵“”是“”的必要不充分条件，∴，∴，∴；若 ，则 ，此时 ，∵“”是“”的必要不充分条件，∴，∴，∴；若 ，则 ，此时 ，满足 ，综合以上可得 .故选：C. 【规律】处理含参不等式的充要条件问题，标准流程为：解不等式化为集合 确定集合间的包含关系 转化为端点值的不等式组.若不等式两根大小不确定，务必分类讨论. 考点2：全称量词与存在量词命题 考法1：含量词命题的否定与真假判断 例5.（2026·黄冈·一模） 已知命题 ，则（ 　　） A. 是假命题， B. 是假命题， C. 是真命题， D. 是真命题， 【答案】D 【思路】面对含参或复杂超越函数的恒成立命题，直接判断真假较为困难.可以构造新函数，利用导数工具研究函数的单调性与最值，从而严谨地证实或证伪全称命题.同时需牢记量词命题否定的规则. 【解析】设 ，则 .由 ；由 .∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增.∴ 的最小值为 .∴ 对 恒成立.∴ 成立，即命题 为真命题.∵全称量词命题的否定是存在量词命题，∴.故选：D. 【规律】全称命题的否定需变更为存在命题，且只否定结论，不改变条件范围.判断超越不等式恒成立，构造函数求最值是最通用的法宝. 考点3：根据命题真假求参数范围 考法1：二次型恒成立与存在性问题 例6. 若命题 ：“，”是假命题，则 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【思路】存在量词命题为假，等价于其否命题（全称量词命题）为真.转化后得到一个二次项系数含参的不等式恒成立问题.处理此类问题，必须像条件反射一样，优先单独讨论二次项系数等于零的情况，再利用判别式处理系数不为零的情况. 【解析】∵命题“，”是假命题，∴命题“，”是真命题.若 ，即 或 .当 时，不等式为 ，恒成立，满足题意；当 时，不等式为 ，不恒成立，不满足题意.当 时，则需要满足 ，即 ，解得 .综上所述， 的范围是 . 【规律】解决含参二次不等式恒成立问题，切记“先看头，后看尾”.即先讨论二次项系数是否为零，再结合开口方向和判别式列出不等式组. 考法2：主元法解决恒成立问题 例7. 若命题“，”为假命题，则实数 的取值范围为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【思路】面对含有两个变量的不等式，常规思维是把 当作自变量.但观察发现，不等式中参数 的最高次数仅为一次.此时应转换视角，将 视为主元，构造关于 的一次函数，利用一次函数在闭区间上恒成立的充要条件（端点值同号）来破解难题. 【解析】命题“，”为假命题，其否定为真命题，即“，”为真命题.令 ，则 ，即 ，解得 ，∴实数 的取值范围为 .故选：C. 【规律】当不等式中参数的次数较低（通常为一次）而变量次数较高时，果断采用“主元法”，将参数视为主变量，原变量视为常数，利用一次函数的单调性转化为端点最值问题. 考法3：分离参数法解决恒成立问题 例8. 已知命题“，”为假命题，则实数 的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【思路】全称命题为假，说明其否定（存在命题）为真.转化后得到存在性成立的不等式.观察不等式结构，参数 容易被孤立出来.通过分离参数，将问题转化为求已知函数的最值，思路清晰且计算简便. 【解析】∵命题“，”为假命题，∴命题的否定“，”为真命题，∴，.易知函数 在 上单调递增，∴当 时， 取最小值，∴.∴实数 的取值范围为 .故选：D. 【规律】分离参数法是解决恒成立或存在性问题的通用利器.核心原则是： 恒成立 ； 有解 . 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $