重难点专训01 解三角形中的范围与最值问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以正余弦定理为基础，通过边角互化、函数思想及不等式工具，系统构建解三角形范围与最值问题的方法论体系，逻辑链条完整。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|1|边角互化、变量选择、函数/不等式求最值，含易错点提醒|以正余弦定理为核心，构建“边角统一-变量转化-最值求解”逻辑链| |5类题型（面积/周长/角度/三角函数值/边长）|每题型含典例+变式（如面积2典例+3变式）|每题型配核心口诀与高分技巧（如面积用余弦定理+均值）|题型与解法一一对应，覆盖高考高频考向| |分层过关练|巩固14题+创新10题|综合应用前述方法，强化知识迁移|从基础巩固到创新提升，符合一轮复习梯度需求|

重难点专训01 解三角形中的范围与最值问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 面积的范围与最值 2 题型2 周长的范围与最值 8 题型3 角度的范围与最值 12 题型4 三角函数值的范围与最值 15 题型5 边长的范围与最值 19 重难专题分层过关练 26 巩固过关 26 创新提升 44 解题方法及技巧提炼 1、解三角形中的范围与最值问题的基本思路是： （1）根据题目条件合理选用正弦定理、余弦定理或面积公式，将边角关系统一为边或角； （2）利用三角形内角和为 及边角不等关系（如大边对大角）确定变量的取值范围； （3）将目标量（如边长、周长、面积、角的三角函数等）表示为某个变量（角或边）的函数； （4）运用函数单调性、基本不等式、三角函数有界性、数形结合等方法求出范围或最值。 2、核心转化策略：边角互化与变量选择 （1）边化角：若条件中边多角少，常借助正弦定理将边统一化为角（如 ），把问题转化为三角函数在角区间上的最值问题，注意角的取值范围受内角和及锐钝角限制； （2）角化边：若条件中角多边少，或出现余弦齐次式，可用余弦定理或正弦定理将角化为边，再利用基本不等式（如 ）求最值； （3）引入单一变量：若涉及多个变量，可设其中一个角（或边）为自变量，利用正余弦定理将其他量用该变量表示，从而降维为单变量函数； （4）几何直观法：借助外接圆、内切圆或动点轨迹，从几何角度观察最值位置（如直径所对圆周角最大、点到直线距离最值等），常用于选择题、填空题的快速判断。 3、常见题型与具体技巧 （1）求边长或周长的范围：利用正弦定理边化角，将周长 转化为 ，再通过和差化积或辅助角公式求最值；也可利用基本不等式 ，但需注意等号成立时的三角形条件； （2）求面积的最值：面积 ，常用余弦定理 消元，结合 得到 的范围；或边化角转化为 ，利用三角恒等变形求最值； （3）求角或角的三角函数范围：直接利用三角形内角范围（）和三角函数单调性，若为锐角三角形则各角限制在 ，并注意任意两角之和大于 ，这将显著缩窄自变量区间； （4）已知一边和它的对角：如已知 和 ，则外接圆半径 固定，其余边可表示为 ，目标式转化为关于 （或 ）的三角函数，利用 进一步化简； （5）涉及锐角三角形的特殊限制：除各角小于 外，还隐含 等，这些限制需在定义域中体现，否则最值会失真。 4、易错点与关键提醒 （1）忽视隐含约束：三角形的内角和、两边之和大于第三边、大边对大角等隐含条件，是确定变量范围的基础，遗漏将导致范围扩大； （2）边角互化的等价性：化边为角时要注意正弦定理中 的引入，化角为边时注意余弦定理的符号，且所有变形必须在定义域内等价； （3）基本不等式取等条件：使用 或 时，需验证 是否符合题设（如锐角三角形、已知夹角等），否则等号不可取； （4）三角函数最值的端点与内部：若目标函数在闭区间连续，最值可能在端点或内部极值点取得，需一并检查；开区间则需用极限判断是否能取到； （5）辅助角公式相位范围：在化为 时，要注意 是否落在可取得最值的范围内，避免误判。 题型通法及变式提升 题型1 面积的范围与最值 【典例1-1】已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（　　） A． B．2 C． D．2 【答案】A 【分析】根据题目条件，使用正弦定理转化为，代入计算出最大值，再使用余弦定理计算出，从而得出，使用面积公式计算出面积的最大值. 【详解】已知，由正弦定理化简得：， 代入得： ，当且仅当“”时取等， 由余弦定理可得：，， 由同角三角函数关系可得：， 则面积. 故选：A 核心口诀：面积公式两边角，正弦定理来搭桥；余弦定理加均值，定边定角求最高。 高分技巧： 已知两边及其夹角：面积 ，若 固定或满足约束，则 随 变化，最大值为 （当 时），需结合三角形内角和验证 是否可取； 已知一边及其对角（定边对角型）：利用正弦定理 ，面积 。将 转化为关于 或 的三角函数，利用和差化积求最值。常用变形：； 已知两边之和或两边乘积关系：若已知 或 为定值，利用余弦定理 结合基本不等式 （或 ）推导 或 的范围，进而求面积的最值； 已知外接圆半径 ：面积 ，利用三角恒等式 （等号当 时取到），可直接得面积最大值 ； 已知内切圆半径 ：面积 （ 为半周长），若 固定，则面积与周长成正比，结合 的范围求最值； 坐标法：若三角形顶点在圆上或满足特定轨迹，建系用距离公式求面积，转化为函数最值问题（如椭圆上的三角形面积）； 利用海伦公式：，若已知周长或半周长，结合均值不等式 （等号当 时取到），可得面积最大值。 易错警示：面积取最大值时，三角形是否满足题设条件（如锐角、钝角限制）需验证；基本不等式取等条件需与三角形内角和兼容；角度的取值范围受三角形内角限制（），尤其在锐角三角形中需额外缩小范围；外接圆半径公式中 已知时，等号取等需 ，若题设限制不能取等则需分段讨论。 【典例1-2】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ， ，，则， ，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得 . 所以，即， 又由均值不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 所以，即面积的最大值为. 【变式1-1】在中，，. ①若，则__________； ②面积的最大值为__________. 【答案】 / 【分析】①由正弦定理即可求得答案；②由余弦定理结合基本不等式求出的最大值，即可求得答案. 【详解】①由正弦定理得，则； ②由余弦定理得， 即，当且仅当时等号成立， 故面积的最大值为， 故答案为：； 【变式1-2】记的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知，B为锐角． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变换可求得，可求角B的大小； （2）方法一：利用余弦定理结合基本不等式可求得，进而可求得面积的最大值．方法二：利用正弦定理可得，，从而可得，利用三角恒等变换及辅助角公式可求得面积的最大值． 【详解】（1）因为， 所以， 即． 因为，所以，，又已知，所以． （2）方法一：在中，由余弦定理得， 又因为，，所以， 所以，即，当且仅当时，等号成立， 所以的面积，即的面积的最大值为． 方法二：由，及正弦定理，得， 所以，， 所以的面积 ， 因为，所以， 当，即时，取得最大值1， 取得最大值， 即面积的最大值为． 【变式1-3】已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，请从条件①、条件②、条件③中任意选择两个作为已知条件作答． 条件①：的最小值为； 条件②：的图象的一个对称中心为； 条件③：的图象经过点． (1)求的解析式； (2)在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得的周期，从而得的值，再通过对①②，①③，②③三个组合逐一分析，求得的解析式； （2）根据（1）的结论求得边，利用正弦定理及三角形面积公式，将面积表示为的函数，根据的取值范围，求得该面积的取值范围. 【详解】（1）∵图象的相邻两条对称轴之间的距离为， ∴，即， ∴，∴． 若选①②，则，，即， ∵，∴，∴； 若选①③，则，，即， ∵，∴，∴，得， ∴； 若选②③，，即， ∵，∴，此时， ∵，，，， ∴． （2）由（1）知，，∵， ∴， 由正弦定理， 则， ∴， ∵是锐角三角形，∴，即， ∴，∴， ∴， 即面积的取值范围是． 题型2 周长的范围与最值 【典例2-1】的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由边化角得，进而结合内角和定理和诱导公式，二倍角公式得，进而得； （2）由正弦定理得，，进而根据三角恒等变换得，再结合得到周长范围. 【详解】（1）由正弦定理得． 因为，所以． 所以， 所以． 因为，所以， 所以，. （2）由于，，有正弦定理， 所以，，由于， 因为，所以． 因此. 核心口诀：周长化角用正弦，边角互化最简便；两边定长看夹角，余弦定理加均值。 高分技巧： 已知一边及其对角（定边对角型）：利用正弦定理 ，，，周长 。由 ，，故 。结合 ，可转化为关于 或 的函数，利用三角函数有界性求最值； 已知两边之和或两边乘积：若 为定值，则周长 ，只需求 的范围。利用余弦定理 ，结合 得 的范围，从而得周长范围； 已知两边及其夹角：若 固定，夹角 变化，则 ，周长 ， 随 单调变化，根据 的范围求 的最值； 已知外接圆半径 ：周长 ，利用 （等号当正三角形时取到），得最大值 ；最小值需根据角度的范围（如锐角三角形）另行讨论； 利用椭圆定义：若三角形一边固定（如 固定），另两边 为定值，则顶点轨迹为椭圆，周长 为定值（此时无最值），但若 有范围则转化为椭圆参数方程求最值； 代数法（利用余弦定理+均值）：已知 和 ，由余弦定理 ，可先得 范围，再求 范围（），周长范围由此确定。 易错警示：周长最值问题中，边角互化后角的范围需准确（特别是锐角三角形中 ）；均值不等式取等条件需验证（如正三角形是否满足题设）；若周长表达式在区间端点取得最值，需确认端点对应的三角形是否存在（如退化三角形需舍去）。 【典例2-2】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知平面四边形中，，，. (1)若，求的长； (2)设，记四边形的周长，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，在中，由余弦定理可解； （2）在中，由正弦定理可得，再利用两角和与差的正弦公式可得最大值. 【详解】（1） 连接， 因为，，， 所以为正三角形，， 在中，由余弦定理可得， 代入数值可得，解得. （2）在中，由正弦定理可得， 所以， 所以四边形的周长 ， 所以当时，的最大值为. 【变式2-1】在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足． (1)求角B； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知条件利用余弦定理角化边，即可得，可求角B； （2）已知，，由正弦定理结合三角恒等变换得，再利用角的范围和正弦函数的性质求得周长的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以由余弦定理得， 即，即， 又，则. （2）由（1）知，又， 由正弦定理可得， 则 ， 由，得到，， 则，可得， 故周长的取值范围为． 【变式2-2】（2026·北京西城·一模）已知的面积，且． (1)求C的大小； (2)记的周长为．给出的解析式，并求其最大值． 【答案】(1)/ (2)； 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式即可得解； （2）利用正弦定理表示出，化简，然后结合正弦函数性质求最值. 【详解】（1）由余弦定理和面积公式得：，， 代入可得：，化简得：， 又因为在三角形中，，所以. （2）设为三角形外接圆半径，则由正弦定理可得：，则， 所以，， 则三角形周长为： 其中，所以，代入可得： ， ，其中 所以，则当，即时，取得最大值， 所以. 题型3 角度的范围与最值 【典例3-1】（2026·北京·三模）在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为______． 【答案】 【分析】由余弦定理、基本不等式得出的范围即可得解. 【详解】， 当且仅当，即为等边三角形时，，又  ． 故答案为：. 核心口诀：角度范围边化角，正弦定理破约束；余弦定理判符号，内角和与不等式共舞。 高分技巧： 已知边长关系求角度范围：利用余弦定理 ，将边长关系（如 等）代入，转化为关于 的不等式，再结合 确定角度范围； 已知边角混合条件：利用正弦定理将边转化为角，再结合三角恒等变换（和差化积、辅助角公式）求角的范围。例如已知 等条件，直接化简； 利用基本不等式求角的最值：已知 与 的关系，由余弦定理得 ，若 为定值，利用 求 的范围，进而得 的范围； 利用三角形内角和 ：若已知一角 固定，则 ，利用和角公式或不等式求 或 的范围。如已知 的范围，可反推 的范围； 利用正弦定理中边的大小关系对应角的大小：大边对大角，若边有大小关系，可直接得角的大小关系，结合三角形内角和确定角的上下界； 利用锐角/钝角/直角三角形的限制：若三角形为锐角三角形，则 ，且 等；若为钝角三角形，则一角大于 ，利用这些隐含条件建立不等式； 构造关于角的方程或函数：若题设给出关于角的等式（如 ），通过恒等变形转化为关于某个角的函数，利用三角函数值域求范围。 易错警示：余弦定理中 的单调性在 上递减，由 的范围求 时需注意反函数方向；锐角三角形中所有角均小于 ，且任意两角之和大于 ；角的范围常以开区间给出（如锐角），最值是否可取需验证；利用正弦定理时注意 的正负（恒正）。 【典例3-2】（25-26高三上·北京·开学考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值是______. 【答案】/ 【分析】由余弦定理及基本不等式求出的范围，再根据三角形内角范围及余弦函数的单调性求出范围. 【详解】由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因为，在单调递减，所以，即的最大值是． 故答案为： 【变式3-1】（25-26高三上·北京·阶段检测） 中，，则 的最大值为_____. 【答案】 【分析】由正弦定理将转化为，利用余弦定理得.根据不等式求得其最小值，从而得到的最大值. 【详解】由正弦定理，，得，即. 所以. 由余弦定理，得. 因为，当且仅当时，等号成立. 所以，. 所以当且仅当时，取得最小值，最小值为. 因为，且在上单调递减，所以的最大值为. 故答案为：. 【变式3-2】在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦定理及条件，结合基本不等式，可得，根据角B的范围，分析即可得答案. 【详解】在中，由余弦定理和，得 ， 当且仅当，即时等号成立， 由此可知为锐角，而在上单调递减， 故，所以的最大值为. 故选：D. 题型4 三角函数值的范围与最值 【典例4-1】（2026·北京·高考真题）摇杆机械装置，如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据边长范围结合余弦定理计算求解范围. 【详解】因为，则，即得， 所以中， 所以， 所以的范围为. 核心口诀：三角函数值范围，边角互化一线牵；辅助角公式合并，有界性定区间。 高分技巧： 求 或 的范围：利用余弦定理直接求 ，将边长条件代入后转化为关于 或 的不等式，再结合基本不等式确定范围，进而由 得 的范围（注意 ，）； 求 或 的范围：利用和差化积公式 ，将问题转化为关于 的余弦函数，利用其有界性求范围； 求 或 的范围：利用积化和差或恒等变形，如 ，转化后求范围； 已知边的比值关系：若 （定值），由正弦定理得 ，结合 消去一个角，转化为关于另一个角的三角函数，再求值域； 涉及 或 ：利用正切和角公式 ，结合题设求范围。注意 ，且三角形中正切可能无定义（直角）需单独讨论； 构造辅助角：若表达式形如 ，合并为 ，利用正弦函数的有界性求最值； 利用内角和消元：将目标式中的三个角统一为一个角（如 ），利用 和已知约束化简，转化为单变量三角函数的最值问题。 易错警示： 在三角形中始终成立，但 可正可负（取决于 A 锐/钝）；利用 时注意 A 的范围确保开方取正；辅助角公式中 的确定需注意象限；若出现 ，需考虑 时无定义，需分类讨论。 【典例4-2】在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简为，结合余弦定理可求解；根据两角差的正弦公式及同角三角函数关系化简，进而结合正切函数的图象及性质求解即可． 【详解】由， 整理得，所以， 又，则,故， ， 因为为锐角三角形， 所以，即，所以， 即， 所以的取值范围为． 故选：B 【变式4-1】若点为的外心，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据外心的性质，以及平面向量的线性运算和数量积运算，对向量等式进行化简，再根据余弦定理解三角形，求出角的范围，根据正弦函数性质，求出结果. 【详解】因为点为的外心， 所以， 因为， 即， 即，即， 化简得， 可知，化简得， 根据基本不等式可知，当且仅当时取等号， 因为，，所以， 所以的最大值为. 故选：C. 【变式4-2】在中，向量与向量垂直，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到，求得，利用正弦定理，得到，进而求得，化简，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】设的三边对的三角分别为， 因为向量与向量垂直，可得， 即,可得，所以， 又因为，可得，即， 所以，可得， 因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以当，即时，取得最大值. 故选：A. 【变式4-3】（2025·北京石景山·一模）在锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角求解即可； （2）由（1）可知，所以，所以将转化为同一个角的三角函数，最后求其值域即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理边化角得： ，所以， 由于在中，，所以， 即，又，所以. （2）由（1）可知，所以， 所以 由于在锐角中，，所以， 所以，所以， 所以，所以的取值范围为. 题型5 边长的范围与最值 【典例5-1】在中，内角A、B、C所对应的边依次为a，b，c，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数恒等变换的应用化简已知可得，进而可得，再由余弦定理结合基本不等式化简即可求解. 【详解】∵， ∵解得， 再由，结合余弦定理可得， ∵， 又∵， 得，∴. 故选：D 核心口诀：边长化角用正弦，角有范围边有界；余弦定理配均值，三角不等式定范围。 高分技巧： 已知一角和对边（定角对边型）：利用正弦定理 ，若 固定，则 的范围由 或另两角的范围决定；也可由余弦定理 ，结合 的约束求 的范围； 已知另两边的和或积：若 为定值，由余弦定理 ，结合 及 的范围，可得 的上界或下界； 利用三角形三边不等式：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。若已知两边范围，可直接建立不等式求第三边的范围； 正弦定理边角互化：将边长表示为角的正弦，再利用角的范围求最值。例如 ，若 ，则 （需注意正弦函数的单调性区间）； 利用外接圆半径或内切圆半径：若 已知，边长直接与正弦挂钩；若 已知，利用 和面积公式，结合面积最值反推边长范围； 动点轨迹法：若三角形的一个顶点在定圆或定直线上运动，可建系求该顶点到对边两端点的距离范围，转化为解析几何中的距离最值； 利用余弦定理+二次函数：若某边长表达式中含参数，将其视为关于某个变量的二次函数，利用二次函数最值求法得到边长范围； 构造方程法：若题设给出关于三边的关系式（如 ），可将目标边长视为主元，利用均值不等式或判别式法求范围。 易错警示：利用正弦定理边角互化时，若角在 上且正弦函数不单调，需分段讨论（特别是涉及钝角时）；三角形三边不等式必须满足任意两边之和大于第三边，在求范围时需同时考虑三个不等式；外接圆半径 已知时，边长 ，但 的范围受三角形其他角限制；利用基本不等式求最大/最小值时，取等条件需满足三角形存在。 【典例5-2】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先将目标式化简为，结合已知代入余弦定理，再通过三角恒等变换和辅助角公式求解目标式的最大值. 【详解】由余弦定理，将代入得. 进而. 的最小值为，因此的最大值为. 令，. ， 当时，， 根据对勾函数的性质可得， 故的最大值为， 即的最大值为. 【典例5-3】在中，为AC边上的动点，若AC边足够长，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设结合余弦定理求出，接着将所求进行转化得到，再构造，过作，垂足为，过作，垂足为，数形结合即可分析求解. 【详解】因为，所以， 则， 由余弦定理，， 又，所以， 则. 如图，设，过作，垂足为，则， 过作，垂足为， 则. 故选：C 【典例5-4】已知分别为内角的对边，满足，点为直线BC上一动点. (1)求A； (2)已知，从①；②；③这三个条件中任选一个，使得存在且唯一确定，求线段长度的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可根据余弦定理求解， （2）根据可知，不能选择①，若选②，则根据三角形面积公式可得，即可根据余弦定理求解，由求解最值，若选③，根据同角关系可得，即可根据求解. 【详解】（1）由，可得，则故， 则， 又，则. （2）若选①，根据,，可得， 由于，此时构不成三角形，故不能选①， 可选②或③ 选②，又， 又由，可得， 则，则， 则， 又，则， 则线段长度的最小值为 选③，又， 则由， 可得，则，则， 则 则线段长度的最小值为 【变式5-1】（25-26高三上·北京·开学考试）在中，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据余弦定理结合角的范围得出范围即可. 【详解】由余弦定理得，又， 所以，则的范围是. 故答案为：. 【变式5-2】（北京·高考真题）若的面积为,且为钝角，则_________；的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题. 【详解】， ，即， ， 则， 为钝角，， ，故. 故答案为，. 【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键. 【变式5-3】（北京·高考真题）若的面积为,且为钝角，则_________；的取值范围是_________. 【答案】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题. 【详解】， ，即， ， 则， 为钝角，， ，故. 故答案为，. 【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键. 【变式5-4】已知，， （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值． 【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为；（2）． 【分析】（1）整理得，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值. 【详解】解：（1） ． 的最小正周期为：； 当时， 即当时，函数单调递减， 所以函数单调递减区间为：； （2）因为，所以 ，， ，． 设边上的高为，所以有， 由余弦定理可知：， ，， （当用仅当时，取等号），所以， 因此边上的高的最大值. 重难专题分层过关练 巩固过关 一、单选题 1．已知点在直线上，且，点在圆上，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，得到点到直线的距离的取值范围，由，得到的范围. 【详解】圆心到直线的距离为， 则点到直线的距离的取值范围为， 由，得到. 故选：B. 2．在半径为2的圆中，弧所对的圆心角为为弧上异于的点，过作的垂线，垂足为．若的面积大于，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用三角形的面积公式，列不等式，结合三角恒等变换的化简解得，解三角形即可. 【详解】如图，设，   ， ，则， . 当时，为等边三角形，所以； 当时，为等腰三角形， 由余弦定理得 ， 所以，即的取值范围为. 故选：B. 3．（2025·北京朝阳·一模）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【详解】在三角形中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在三角形底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示： 又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故选：C. 4．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理，可得，根据数量积公式，可得，根据数量积的几何意义，可得在方向上的投影长度为1，设的中点为E，连接DE，DA，DC，DB，可得，分析可得当B、D、C三点共线时，有最小值，且为，即可得答案. 【详解】因为，， 所以， 所以， 因为， 所以，即在方向上的投影长度为1， 设的中点为E，则，连接DE，DA，DC，DB， 所以，所以， 则, 当B、D、C三点共线时取等号， 故选：A 5．在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用诱导公式和同角基本关系式化简条件得，再由正弦定理得，若，利用余弦定理结合已知判断矛盾，所以，即可得解. 【详解】由得， 由正弦定理（为外接圆半径）得，， 因为，所以， 若，由余弦定理得，，所以为锐角， 则，即，由于，，则， 所以，矛盾. 故，即，所以，即， 又因为，，所以（当且仅当时取“＝”号）， 所以的最小值为4. 故选：B. 6．（2026·北京·三模）对于，，则下列结论中正确的有几个．（     ） ①若，，则存在且唯一； ②若的周长为，则的最大值为； ③若的面积为，则的最大值为； ④若的面积为，则的取值范围是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对于①：利用余弦定理运算求解即可判断；对于②：可得，利用基本不等式分析判断；对于③④：可知边上的高为，建立平面直角坐标系，设，可得，，进而分析判断. 【详解】对于①：由余弦定理可得， 即，整理可得，解得， 所以不唯一，故①错误； 对于②：若的周长为，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故②正确； 对于③④：若的面积为，则边上的高为， 以的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，设， 可得，， 则， 当趋近于时，趋近于， 可知无最大值，即无最大值，故③错误； 因为， 若，则； 若，则， 由对勾函数可知，即， 则，可得； 综上所述：，即，故④正确； 综上所述：正确的有2个. 二、填空题 7．（2025·北京朝阳·二模）在中，，且，则__________；面积的最大值为__________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数基本关系求出；利用三角形面积公式及基本不等式求出最大值. 【详解】在中，由，得，而，所以； 的面积，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 故答案为：； 8．（2026·北京平谷·模拟预测）若的面积为，且为钝角，则______；的取值范围是______． 【答案】 【分析】由三角形面积公式可得，可求出；再根据为钝角限定出，利用正弦定理可得，可得其范围是. 【详解】根据题意可得面积， 可得，即， 又易知为锐角，可得； 由正弦定理可得， 因为为钝角，可得，所以； 可得，因此； 故答案为：；； 9．（2026·北京顺义·二模）在中，. ①若，则__________. ②若为锐角三角形，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】①由正弦定理求解即可；②由余弦定理求解即可. 【详解】①由正弦定理: ,代入数据得 解得：. ② 构成三角形，必有，所以 若为锐角三角形，则，即 ，， 所以，，， 代入数据得，因为，所以， 综上所述，的取值范围是. 10．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则______．若为锐角三角形，则的取值范围为______． 【答案】 / 【分析】①用正弦定理将边转化为角，结合三角形内角和定理、三角恒等变换公式推导的值；②先利用正弦定理将​转化为关于角和的三角函数式，再结合锐角三角形的条件确定角的取值范围，最后利用三角函数的性质求取值范围 【详解】①已知，由正弦定理得， 又，故， 代入上式得 化简得，中，因此，即， ②由​，得​，故​，即， 因为为锐角三角形， 所以由正弦定理得， 因为，故，代入得，设​，则， 对所求式子变形：， 函数​在单调递增，代入端点得​，， 因此. 11．已知在中， ，设， 记的最大值为，则的最小值为_____． 【答案】2 【分析】利用正弦定理进行边化角，再利用公式，其中，结合函数的单调性即可求解． 【详解】在中，令内角所对边分别为， 由正弦定理得，则 而，则 ， 由，得， 锐角由确定，又，则， 因此当时，取得最大值， 即， 显然函数在上单调递增， 所以． 故答案为：2． 12．在中，角的对边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为______. 【答案】4 【分析】解法1：利用三角形面积公式计算可得，利用常数代换结合基本不等式求最值即可； 解法2：根据张角定理计算可得，利用常数代换结合基本不等式求最值即可. 【详解】 解法1：如图，， ， 所以，故， 从而， 当且仅当时取等号，所以的最小值为4. 解法2：如图，由张角定理，，所以，故， 从而， 当且仅当时取等号，故的最小值为4. 故答案为：4. 13．（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为_________. 【答案】/ 【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【详解】在中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示：    又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故答案为：. 14．（24-25高三下·北京顺义·阶段检测）已知三个内角、、的对应边分别为、、，且，，给出下列四个结论： ①若，则有两解；           ②周长的最大值为； ③的取值范围为； ④的最大值为. 其中，所有正确结论的序号是____________． 【答案】②③④ 【分析】利用正弦定理判断①；由余弦定理结合基本不等式可判断②；利用三角函数恒等变换的应用可得，根据正切函数的性质即可判断③；根据正弦定理，结合平面向量数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求，进而根据正弦函数的性质可判断④. 【详解】对于①，由正弦定理得， 又，所以，角为唯一锐角，有一解，故①错误； 对于②，由余弦定理得：， 则，所以， 所以周长为，所以周长的最大值为，当且仅当时取到，故②正确； 对于③，， 因为，则的取值范围为， 所以的取值范围为，故③正确； 对于④，由正弦定理得，则，则， ， 因为， 所以 . 因为，所以，则， 所以当，即时，取得最大值为，故④正确. 故答案为：②③④. 三、解答题 15．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____． (1)求角C； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换，结合正余弦定理边角互化，即可逐一求解， （2）根据正弦定理可得，进而根据三角函数的性质即可求解. 【详解】（1）若选①：， 则， ∴ ∴ ∵，， ∴，∵，∴. 若选②：， 由正弦定理得， ∴， ∴， ∵，∴． 若选③：， 则， 由正弦定理得， ∴∴， ∴， ∵，∴． （2）由正弦定理得， 故， 则， ， 由于，，， ∴. 16．（2026·北京·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足． (1)若，，求的面积； (2)记BC边的中点为D，，若A为钝角，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理及三角形面积公式得解； （2）利用向量的运算及余弦定理得出与的关系，再由基本不等式及为钝角得出范围即可. 【详解】（1）因为，所以， 又，即， 所以，即， 所以. （2）因为BC边的中点为D，所以, 所以 ， 又， 所以， 在三角形中，，所以， 所以，即， 又A为钝角，则，解得， 故由，可得， 所以. 17．锐角中，满足分别是的对边. (1)若，求边c的长； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二倍角公式与因式分解化简已知等式，结合锐角三角形的性质求出角，再用余弦定理求边并检验解的合理性，最终确定； （2）先用正弦定理将边的比值转化为角的正弦值，再结合将表达式化为含的三角函数，最后通过角的范围求出取值范围. 【详解】（1）由题， ，为锐角三角形，， . 由余弦定理，得， 即，解得或， 但时，，与已知条件不符， 而时，，符合条件，； （2）由正弦定理，得 ， ， . 18．在中，角所对的边分别为，满足． (1)求角； (2)为边上一点，若为角的平分线，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式化简得，利用辅助角公式得，结合角的范围即可求解. （2）利用正弦定理得，然后利用三角恒等变换得，结合，利用基本不等式求解最小值即可． 【详解】（1）由，得， 即， 即， 而，故，所以， 即，因为，所以，所以． （2）因为为的平分线， 在中，由正弦定理得， 即，所以， 因此 ． 又，所以，因此， 则， 当且仅当，即时，上式等号成立． 所以的最小值为． 19．（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，满足以下三个条件： ①             ②              ③ (1)从以上条件中任选两个作为已知，能否唯一确定？并说明理由； (2)若选择条件①和条件③，且的面积为，求的最大值. 【答案】(1)不能唯一确定，理由： 由条件①，根据正弦定理，得：， 所以，，即. 因为，所以，所以，即. 由条件②，当时，因为，所以，或. 若选①②，不能唯一确定. 当时，；当时，. 角有两组解，边也没有确定，所以不能唯一确定. 若选①③ ，不能唯一确定. 因为，所以. 因为，所以. 只有两条边，但角有两种情况，所以不能唯一确定三角形. 若选 ②③ ，不能唯一确定. 由，不能确定或的值，即可有多组解，且角有两种情况，所以不能唯一确定. 综上所述，任选两个条件作为已知，不能唯一确定△ABC. (2) 【分析】（1）分别选①②、①③、②③，求解，即可判断； （2）由①③得，由面积公式可得与的关系.利用的范围，可求得的取值范围，从而得到的最大值. 【详解】（1）略 （2）条件①和条件③，且的面积为， 根据正弦定理由，得：， 所以，，即. 因为，所以，所以，即，所以. 因为，所以. 因为的面积为，所以，所以. 由，得，所以. 所以的最大值是. 20．在中，内角所对的边分别为.现有如下两个条件：条件①；条件②.请从上述两个条件中选择一个作为已知，完成本题解答. 你选择的条件是__________. (1)求角； (2)若为的中点，且，求的面积的最大值. 注：若多选条件，则按选择第一个条件解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①，则先由正弦定理边化角再结合辅助角公式求解；若选②，则先由正弦定理角化边，再由余弦定理求解. （2）由为的中点得，平方由基本不等式求得有最大值，再由三角形面积公式求面积的最大值. 【详解】（1）选条件①：由，及正弦定理， . 又为内角，所以，从而， 即， 则，或（舍去），从而. 选条件②，由及正弦定理， 得，   整理得， 由余弦定理得，而， 所以. （2）由为的中点，从而. 两边平方，得， 即， 当且仅当时等号成立，此时有最大值， 则. 从而面积的最大值为. 创新提升 1．（2026·湖北十堰·三模）为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角B； (2)若，求面积的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】小问（1）运用正弦定理进行边角转化，再运用两角和的三角公式化简等式，最后根据角度的取值范围进行求解；小问（2）先计算出三角形的面积，再运用正弦定理将c用三角函数值进行表示，求出c的取值范围从而求出三角形面积的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得：， 又，所以，又，所以， 即，由，所以； （2）由题意有， 由正弦定理有：，所以， 由（1）得，所以， 所以， 又为锐角三角形，所以，所以，所以， 所以，，所以，， 所以面积的取值范围为 2．（2026·河南·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将转化为，化简求出的值即可求出； （2）利用余弦定理结合基本不等式，先求出的取值范围，再结合三角形三边的关系，最终求出三角形周长的取值范围. 【详解】（1）在中，，则， 所以， 因为，所以， 则，所以， 又因为，所以，因此，即， 因为，所以； （2）由（1）知，又， 由余弦定理可得，即， 由基本不等式（当且仅当时等号成立），则， 所以，即，所以， 又因为在三角形中，，所以， 因此周长. 3．（2026·湖北·三模）内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求证：； (2)当角取得最大值时，的面积为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将进行切化弦，利用正弦定理和余弦定理可得结论. （2）求出为锐角，利用余弦定理结合基本不等式得到，此时最大，利用平方关系得到．利用三角形的面积公式求出的值． 【详解】（1）由，可得．   由正弦定理可得．   故．   由余弦定理可得．   化简得． （2）因为角取得最大值，所以为锐角，， 因为，所以，所以， 所以，所以为锐角， 则，   当且仅当即时取等号．   此时最大，且．   所以．   解得． 4．（2026·浙江宁波·三模）已知锐角三个内角的对边分别是，若． (1)求的大小； (2)若平分交于点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解. （2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及正弦定理边化角，结合差角的正弦化简，再利用正切函数性质求出范围. 【详解】（1）在锐角中，由及正弦定理， 得， 整理得，而，则， 因此，又，则，解得， 所以. （2）由（1）得，得，则， 由平分交于点及正弦定理， 得 . 5．（2026·湖北黄冈·二模）已知锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由二倍角公式及同角三角函数的商数关系可得，从而证得； （2）结合（1）的结论，由锐角三角形的定义得的范围，根据正弦定理、诱导公式、二倍角公式及两角和的正弦公式，将转化为的函数，分析该函数的单调性，即可求得其取值范围． 【详解】（1），， 由正弦定理得，． 因为是锐角三角形，所以，， ，． （2）因为为锐角三角形，故，解得， 的取值范围是． ． 令，记． 函数在上为增函数，． 故的取值范围是． 6．（2026·河南·三模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求C； (2)若，为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边角关系进行转化，结合余弦定理求出角. （2）利用正弦定理将边转化为角的三角函数，结合锐角三角形的条件确定的取值范围，进而利用换元法或三角函数性质求出代数式的取值范围. 【详解】（1），. 中，由余弦定理可得. 又. （2）中，，. 为锐角三角形，，得. 中，由正弦定理得， 令，将代入得 . 令且. ，，，. 7．（2026高三·全国·专题练习）已知在锐角中，，其中分别为内角所对的边． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理及余弦定理求解即可. （2）根据两角差的余弦公式、辅助角公式，结合正弦型三角函数性质求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：． 所以， 又为锐角的内角，所以． （2）由（1）得，，即， 因为为锐角三角形，所以，所以． 所以 因为，所以，所以． 故的取值范围为． 8．（2026·广东·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成公差为的等差数列，且． (1)求d的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义可得，结合三角形三边的大小关系建立不等式组，解之即可； （2）根据余弦定理可得，结合（1）和不等式的基本性质计算即可求解. 【详解】（1）因为成公差为的等差数列，， 所以，即， 由三角形三边的大小关系可得，即，又， 所以，即的取值范围为. （2）由余弦定理得， ， ， 所以， 由（1）知，则，得， 所以，故， 即的取值范围为. 9．（2026·山东枣庄·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，.且. (1)求； (2)若，记边上的高为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理化简得，再由余弦定理即可得解； （2）由三角形面积公式可得，结合正弦定理及三角恒等变换得，即可得解． 【详解】（1）根据正弦定理可得， 化简整理得， 由余弦定理得， 因为，故； （2）由，得， 又， 所以 ， 在三角形中，故， 当，即时，． 10．（2026·江苏镇江·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求角； (2)若恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再根据及三角恒等变换即可求解； （2）根据题意可得恒成立，利用三角形面积公式及余弦定理可将右式化为，利用基本不等式求出最大值即可求出答案. 【详解】（1）由， 由正弦定理得，， 又， 所以， 即， 又因为，所以，所以， 又，所以. （2）恒成立， 即恒成立，即求的最大值， 由余弦定理得， 所以， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以实数的最小值为. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 解三角形中的范围与最值问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 2 题型1 面积的范围与最值 2 题型2 周长的范围与最值 4 题型3 角度的范围与最值 5 题型4 三角函数值的范围与最值 6 题型5 边长的范围与最值 8 重难专题分层过关练 9 巩固过关 9 创新提升 12 解题方法及技巧提炼 1、解三角形中的范围与最值问题的基本思路是： （1）根据题目条件合理选用正弦定理、余弦定理或面积公式，将边角关系统一为边或角； （2）利用三角形内角和为 及边角不等关系（如大边对大角）确定变量的取值范围； （3）将目标量（如边长、周长、面积、角的三角函数等）表示为某个变量（角或边）的函数； （4）运用函数单调性、基本不等式、三角函数有界性、数形结合等方法求出范围或最值。 2、核心转化策略：边角互化与变量选择 （1）边化角：若条件中边多角少，常借助正弦定理将边统一化为角（如 ），把问题转化为三角函数在角区间上的最值问题，注意角的取值范围受内角和及锐钝角限制； （2）角化边：若条件中角多边少，或出现余弦齐次式，可用余弦定理或正弦定理将角化为边，再利用基本不等式（如 ）求最值； （3）引入单一变量：若涉及多个变量，可设其中一个角（或边）为自变量，利用正余弦定理将其他量用该变量表示，从而降维为单变量函数； （4）几何直观法：借助外接圆、内切圆或动点轨迹，从几何角度观察最值位置（如直径所对圆周角最大、点到直线距离最值等），常用于选择题、填空题的快速判断。 3、常见题型与具体技巧 （1）求边长或周长的范围：利用正弦定理边化角，将周长 转化为 ，再通过和差化积或辅助角公式求最值；也可利用基本不等式 ，但需注意等号成立时的三角形条件； （2）求面积的最值：面积 ，常用余弦定理 消元，结合 得到 的范围；或边化角转化为 ，利用三角恒等变形求最值； （3）求角或角的三角函数范围：直接利用三角形内角范围（）和三角函数单调性，若为锐角三角形则各角限制在 ，并注意任意两角之和大于 ，这将显著缩窄自变量区间； （4）已知一边和它的对角：如已知 和 ，则外接圆半径 固定，其余边可表示为 ，目标式转化为关于 （或 ）的三角函数，利用 进一步化简； （5）涉及锐角三角形的特殊限制：除各角小于 外，还隐含 等，这些限制需在定义域中体现，否则最值会失真。 4、易错点与关键提醒 （1）忽视隐含约束：三角形的内角和、两边之和大于第三边、大边对大角等隐含条件，是确定变量范围的基础，遗漏将导致范围扩大； （2）边角互化的等价性：化边为角时要注意正弦定理中 的引入，化角为边时注意余弦定理的符号，且所有变形必须在定义域内等价； （3）基本不等式取等条件：使用 或 时，需验证 是否符合题设（如锐角三角形、已知夹角等），否则等号不可取； （4）三角函数最值的端点与内部：若目标函数在闭区间连续，最值可能在端点或内部极值点取得，需一并检查；开区间则需用极限判断是否能取到； （5）辅助角公式相位范围：在化为 时，要注意 是否落在可取得最值的范围内，避免误判。 题型通法及变式提升 题型1 面积的范围与最值 【典例1-1】已知的内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（　　） A． B．2 C． D．2 核心口诀：面积公式两边角，正弦定理来搭桥；余弦定理加均值，定边定角求最高。 高分技巧： 已知两边及其夹角：面积 ，若 固定或满足约束，则 随 变化，最大值为 （当 时），需结合三角形内角和验证 是否可取； 已知一边及其对角（定边对角型）：利用正弦定理 ，面积 。将 转化为关于 或 的三角函数，利用和差化积求最值。常用变形：； 已知两边之和或两边乘积关系：若已知 或 为定值，利用余弦定理 结合基本不等式 （或 ）推导 或 的范围，进而求面积的最值； 已知外接圆半径 ：面积 ，利用三角恒等式 （等号当 时取到），可直接得面积最大值 ； 已知内切圆半径 ：面积 （ 为半周长），若 固定，则面积与周长成正比，结合 的范围求最值； 坐标法：若三角形顶点在圆上或满足特定轨迹，建系用距离公式求面积，转化为函数最值问题（如椭圆上的三角形面积）； 利用海伦公式：，若已知周长或半周长，结合均值不等式 （等号当 时取到），可得面积最大值。 易错警示：面积取最大值时，三角形是否满足题设条件（如锐角、钝角限制）需验证；基本不等式取等条件需与三角形内角和兼容；角度的取值范围受三角形内角限制（），尤其在锐角三角形中需额外缩小范围；外接圆半径公式中 已知时，等号取等需 ，若题设限制不能取等则需分段讨论。 【典例1-2】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. (1)求角A的大小； (2)若边上的中线的长度为，求面积的最大值. 【变式1-1】在中，，. ①若，则__________； ②面积的最大值为__________. 【变式1-2】记的内角A、B、C的对边分别是a，b，c，已知，B为锐角． (1)求角B的大小； (2)若，求面积的最大值． 【变式1-3】已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，请从条件①、条件②、条件③中任意选择两个作为已知条件作答． 条件①：的最小值为； 条件②：的图象的一个对称中心为； 条件③：的图象经过点． (1)求的解析式； (2)在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求面积的取值范围． 题型2 周长的范围与最值 【典例2-1】的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求周长的取值范围． 核心口诀：周长化角用正弦，边角互化最简便；两边定长看夹角，余弦定理加均值。 高分技巧： 已知一边及其对角（定边对角型）：利用正弦定理 ，，，周长 。由 ，，故 。结合 ，可转化为关于 或 的函数，利用三角函数有界性求最值； 已知两边之和或两边乘积：若 为定值，则周长 ，只需求 的范围。利用余弦定理 ，结合 得 的范围，从而得周长范围； 已知两边及其夹角：若 固定，夹角 变化，则 ，周长 ， 随 单调变化，根据 的范围求 的最值； 已知外接圆半径 ：周长 ，利用 （等号当正三角形时取到），得最大值 ；最小值需根据角度的范围（如锐角三角形）另行讨论； 利用椭圆定义：若三角形一边固定（如 固定），另两边 为定值，则顶点轨迹为椭圆，周长 为定值（此时无最值），但若 有范围则转化为椭圆参数方程求最值； 代数法（利用余弦定理+均值）：已知 和 ，由余弦定理 ，可先得 范围，再求 范围（），周长范围由此确定。 易错警示：周长最值问题中，边角互化后角的范围需准确（特别是锐角三角形中 ）；均值不等式取等条件需验证（如正三角形是否满足题设）；若周长表达式在区间端点取得最值，需确认端点对应的三角形是否存在（如退化三角形需舍去）。 【典例2-2】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）已知平面四边形中，，，. (1)若，求的长； (2)设，记四边形的周长，求的最大值. 【变式2-1】在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足． (1)求角B； (2)若，求周长的取值范围． 【变式2-2】（2026·北京西城·一模）已知的面积，且． (1)求C的大小； (2)记的周长为．给出的解析式，并求其最大值． 题型3 角度的范围与最值 【典例3-1】（2026·北京·三模）在中，分别是角的对边，且，则角的取值范围为______． 核心口诀：角度范围边化角，正弦定理破约束；余弦定理判符号，内角和与不等式共舞。 高分技巧： 已知边长关系求角度范围：利用余弦定理 ，将边长关系（如 等）代入，转化为关于 的不等式，再结合 确定角度范围； 已知边角混合条件：利用正弦定理将边转化为角，再结合三角恒等变换（和差化积、辅助角公式）求角的范围。例如已知 等条件，直接化简； 利用基本不等式求角的最值：已知 与 的关系，由余弦定理得 ，若 为定值，利用 求 的范围，进而得 的范围； 利用三角形内角和 ：若已知一角 固定，则 ，利用和角公式或不等式求 或 的范围。如已知 的范围，可反推 的范围； 利用正弦定理中边的大小关系对应角的大小：大边对大角，若边有大小关系，可直接得角的大小关系，结合三角形内角和确定角的上下界； 利用锐角/钝角/直角三角形的限制：若三角形为锐角三角形，则 ，且 等；若为钝角三角形，则一角大于 ，利用这些隐含条件建立不等式； 构造关于角的方程或函数：若题设给出关于角的等式（如 ），通过恒等变形转化为关于某个角的函数，利用三角函数值域求范围。 易错警示：余弦定理中 的单调性在 上递减，由 的范围求 时需注意反函数方向；锐角三角形中所有角均小于 ，且任意两角之和大于 ；角的范围常以开区间给出（如锐角），最值是否可取需验证；利用正弦定理时注意 的正负（恒正）。 【典例3-2】（25-26高三上·北京·开学考试）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的最大值是______. 【变式3-1】（25-26高三上·北京·阶段检测） 中，，则 的最大值为_____. 【变式3-2】在中，角的对边分别为，若，则角的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型4 三角函数值的范围与最值 【典例4-1】（2026·北京·高考真题）摇杆机械装置，如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 核心口诀：三角函数值范围，边角互化一线牵；辅助角公式合并，有界性定区间。 高分技巧： 求 或 的范围：利用余弦定理直接求 ，将边长条件代入后转化为关于 或 的不等式，再结合基本不等式确定范围，进而由 得 的范围（注意 ，）； 求 或 的范围：利用和差化积公式 ，将问题转化为关于 的余弦函数，利用其有界性求范围； 求 或 的范围：利用积化和差或恒等变形，如 ，转化后求范围； 已知边的比值关系：若 （定值），由正弦定理得 ，结合 消去一个角，转化为关于另一个角的三角函数，再求值域； 涉及 或 ：利用正切和角公式 ，结合题设求范围。注意 ，且三角形中正切可能无定义（直角）需单独讨论； 构造辅助角：若表达式形如 ，合并为 ，利用正弦函数的有界性求最值； 利用内角和消元：将目标式中的三个角统一为一个角（如 ），利用 和已知约束化简，转化为单变量三角函数的最值问题。 易错警示： 在三角形中始终成立，但 可正可负（取决于 A 锐/钝）；利用 时注意 A 的范围确保开方取正；辅助角公式中 的确定需注意象限；若出现 ，需考虑 时无定义，需分类讨论。 【典例4-2】在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且满足．则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】若点为的外心，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】在中，向量与向量垂直，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·北京石景山·一模）在锐角中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 题型5 边长的范围与最值 【典例5-1】在中，内角A、B、C所对应的边依次为a，b，c，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 核心口诀：边长化角用正弦，角有范围边有界；余弦定理配均值，三角不等式定范围。 高分技巧： 已知一角和对边（定角对边型）：利用正弦定理 ，若 固定，则 的范围由 或另两角的范围决定；也可由余弦定理 ，结合 的约束求 的范围； 已知另两边的和或积：若 为定值，由余弦定理 ，结合 及 的范围，可得 的上界或下界； 利用三角形三边不等式：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。若已知两边范围，可直接建立不等式求第三边的范围； 正弦定理边角互化：将边长表示为角的正弦，再利用角的范围求最值。例如 ，若 ，则 （需注意正弦函数的单调性区间）； 利用外接圆半径或内切圆半径：若 已知，边长直接与正弦挂钩；若 已知，利用 和面积公式，结合面积最值反推边长范围； 动点轨迹法：若三角形的一个顶点在定圆或定直线上运动，可建系求该顶点到对边两端点的距离范围，转化为解析几何中的距离最值； 利用余弦定理+二次函数：若某边长表达式中含参数，将其视为关于某个变量的二次函数，利用二次函数最值求法得到边长范围； 构造方程法：若题设给出关于三边的关系式（如 ），可将目标边长视为主元，利用均值不等式或判别式法求范围。 易错警示：利用正弦定理边角互化时，若角在 上且正弦函数不单调，需分段讨论（特别是涉及钝角时）；三角形三边不等式必须满足任意两边之和大于第三边，在求范围时需同时考虑三个不等式；外接圆半径 已知时，边长 ，但 的范围受三角形其他角限制；利用基本不等式求最大/最小值时，取等条件需满足三角形存在。 【典例5-2】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【典例5-3】在中，为AC边上的动点，若AC边足够长，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【典例5-4】已知分别为内角的对边，满足，点为直线BC上一动点. (1)求A； (2)已知，从①；②；③这三个条件中任选一个，使得存在且唯一确定，求线段长度的最小值. 【变式5-1】（25-26高三上·北京·开学考试）在中，，则的取值范围是______． 【变式5-2】（北京·高考真题）若的面积为,且为钝角，则_________；的取值范围是_________. 【变式5-3】（北京·高考真题）若的面积为,且为钝角，则_________；的取值范围是_________. 【变式5-4】已知，， （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值． 重难专题分层过关练 巩固过关 一、单选题 1．已知点在直线上，且，点在圆上，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在半径为2的圆中，弧所对的圆心角为为弧上异于的点，过作的垂线，垂足为．若的面积大于，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京朝阳·一模）在中，，，点M为所在平面内一点且，则的最小值为（   ） A．0 B． C． D． 4．（25-26高三上·北京顺义·阶段检测）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（2026·北京·三模）对于，，则下列结论中正确的有几个．（     ） ①若，，则存在且唯一； ②若的周长为，则的最大值为； ③若的面积为，则的最大值为； ④若的面积为，则的取值范围是． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 7．（2025·北京朝阳·二模）在中，，且，则__________；面积的最大值为__________． 8．（2026·北京平谷·模拟预测）若的面积为，且为钝角，则______；的取值范围是______． 9．（2026·北京顺义·二模）在中，. ①若，则__________. ②若为锐角三角形，则的取值范围是__________. 10．（25-26高三下·北京海淀·阶段检测）已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则______．若为锐角三角形，则的取值范围为______． 11．已知在中， ，设， 记的最大值为，则的最小值为_____． 12．在中，角的对边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为______. 13．（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为_________. 14．（24-25高三下·北京顺义·阶段检测）已知三个内角、、的对应边分别为、、，且，，给出下列四个结论： ①若，则有两解；           ②周长的最大值为； ③的取值范围为； ④的最大值为. 其中，所有正确结论的序号是____________． 三、解答题 15．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答． 问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____． (1)求角C； (2)若，求的取值范围． 16．（2026·北京·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足． (1)若，，求的面积； (2)记BC边的中点为D，，若A为钝角，求x的取值范围． 17．锐角中，满足分别是的对边. (1)若，求边c的长； (2)求的取值范围. 18．在中，角所对的边分别为，满足． (1)求角； (2)为边上一点，若为角的平分线，且，求的最小值． 19．（25-26高三上·北京·阶段检测）在中，满足以下三个条件： ①             ②              ③ (1)从以上条件中任选两个作为已知，能否唯一确定？并说明理由； (2)若选择条件①和条件③，且的面积为，求的最大值. 20．在中，内角所对的边分别为.现有如下两个条件：条件①；条件②.请从上述两个条件中选择一个作为已知，完成本题解答. 你选择的条件是__________. (1)求角； (2)若为的中点，且，求的面积的最大值. 注：若多选条件，则按选择第一个条件解答计分. 创新提升 1．（2026·湖北十堰·三模）为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求角B； (2)若，求面积的取值范围； 2．（2026·河南·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，求的周长的取值范围． 3．（2026·湖北·三模）内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求证：； (2)当角取得最大值时，的面积为，求． 4．（2026·浙江宁波·三模）已知锐角三个内角的对边分别是，若． (1)求的大小； (2)若平分交于点，求的取值范围． 5．（2026·湖北黄冈·二模）已知锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求证：； (2)求的取值范围． 6．（2026·河南·三模）记的内角的对边分别为，已知． (1)求C； (2)若，为锐角三角形，求的取值范围． 7．（2026高三·全国·专题练习）已知在锐角中，，其中分别为内角所对的边． (1)求角的大小； (2)求的取值范围． 8．（2026·广东·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成公差为的等差数列，且． (1)求d的取值范围； (2)求的取值范围． 9．（2026·山东枣庄·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，.且. (1)求； (2)若，记边上的高为，求的最大值. 10．（2026·江苏镇江·一模）在中，角，，所对的边分别为，，，满足. (1)求角； (2)若恒成立，求实数的最小值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $