重难点专训03 解三角形中的最值与范围问题五大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以正弦定理、余弦定理为核心，构建“方法-题型-分层”三维训练体系，通过4类通法（边角互化+不等式等）破解边、角、面积、周长最值问题，培养数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法|4类通法|边角互化+基本不等式、三角函数有界性、几何轨迹、函数与导数|从定理应用到多法融合，构建“代数-三角-几何”解题路径| |题型通法|5类题型（27题）|边/角/面积/周长最值及综合创新题|按元素类型分层，每种题型匹配1-2种核心解法，强调变式迁移| |分层过关|巩固8题+创新5题|基础方法应用到实际情境建模|从单一方法到综合应用，衔接高考命题趋势，提升数学语言表达能力|

重难点专训03 解三角形中的最值与范围问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 边的最值与范围问题 3 题型2 角的最值与范围问题 4 题型3 面积的最值与范围问题 4 题型4 周长的最值与范围问题 6 题型5 综合与创新题 8 重难专题分层过关练 10 巩固过关 10 创新提升 12 解题方法及技巧提炼 方法一：边角互化 + 基本不等式法 【方法原理】 利用正弦定理将边化为角（或余弦定理将角化为边），使目标表达式转化为关于某两条边（或两个角）的代数式，再利用基本不等式求最值。 核心公式：（x,y>0），当且仅当 x=y 时取等号。 【适用场景】 ① 目标表达式为边的乘积（如面积 S、ab、bc）或边的和（如周长 a+b+c）； ② 已知条件中含有某一角的确定值（如 A=60°）或某一边的确定值； ③ 经余弦定理化简后，目标式可整理为"和定积最大"或"积定和最小"的形式。 【解题步骤】 第一步：由已知角（或边），利用余弦定理建立边之间的关系式； 第二步：将目标量（面积、周长等）用边表示； 第三步：对边的关系式使用基本不等式，求出边乘积或边和的最值； 第四步：验证等号成立条件（是否满足三角形三边关系），写出范围。 方法二：三角函数有界性法（辅助角公式） 【方法原理】 利用正弦定理将边全部化为角的正弦，使目标表达式转化为关于某一个角的三角函数，再利用辅助角公式化为 Asin(ωx+φ) 的形式，最后根据角的范围和正弦函数的有界性求最值。 核心公式： 【适用场景】 ① 已知条件中含有某一角的确定值，目标表达式为边的线性组合（如 a+b、周长）； ② 目标表达式经正弦定理化角后，可整理为"sin B + cos B"等形式； ③ 需要求取值范围（而非仅最大值）时，三角函数法能完整刻画单调性和端点值。 【解题步骤】 第一步：由已知角确定另外两角的关系； 第二步：由正弦定理将目标式中的边全部替换为角的正弦； 第三步：利用两角关系消元，将目标式化为关于单一角的三角函数； 第四步：用辅助角公式化简，结合角的范围和正弦函数单调性求最值。 方法三：几何轨迹法 【方法原理】 当三角形中一边及其对角确定时，第三个顶点的轨迹是一段圆弧（定弦定角模型）。利用圆的几何性质（如直径最长、弧中点到弦的距离最大），可以直观地求出面积、边长等的最值。 核心定理：同弧所对的圆周角相等；弦长一定时，弧中点到弦的距离最大。 【适用场景】 ① 已知一边及其对角（如 a=2, A=60°），求面积最大值或某边上的高的最大值； ② 已知两边之和（或差）为定值，涉及椭圆轨迹的问题； ③ 选择题、填空题中，能用几何直观快速得出答案的问题（无需复杂计算）。 【解题步骤】 第一步：识别"定弦定角"条件，确定顶点所在的圆弧（外接圆）； 第二步：计算外接圆半径 ； 第三步：分析目标量的几何意义； 第四步：利用圆的几何性质求最值（顶点在弧中点时高最大，面积最大）。 方法四：函数与导数法 【方法原理】 当目标表达式较为复杂，无法用基本不等式或三角函数有界性直接处理时，可将目标量表示为某一变量的函数 f(x)，通过求导 f'(x) 研究函数的单调性和极值，从而确定最值。 核心步骤：求定义域→求导→找临界点→判断单调性→求最值。 【适用场景】 ① 目标表达式为高次、分式、根式等复杂函数，基本不等式无法直接应用； ② 变量之间的关系非线性，难以用三角函数化简； ③ 题目要求精确的最值点，而非仅最值（如"求面积最大时角B的值"）。 【解题步骤】 第一步：选择合适的自变量（如某一边长 x 或某一角 θ），确定其取值范围； 第二步：将目标量表示为该变量的函数 f(x)； 第三步：求导 f'(x)，令 f'(x)=0 求临界点； 第四步：判断临界点是否在定义域内，比较临界点和端点处的函数值，确定最值。 题型通法及变式提升 题型1 边的最值与范围问题 ① 若已知一角及其对边：用正弦定理将边化为角，再用三角函数有界性求范围； ② 若已知一角及另外两边的关系：用余弦定理建立方程，结合基本不等式求最值； ③ 若求两边之和的范围：优先用三角函数法（可完整刻画开区间）； ④ 若求两边之积的最值：优先用基本不等式法。 1．（25-26高三下·上海·阶段检测）在中，角、、的对边分别为、、，若满足和的三角形有且仅有两个，则边的取值范围是_________． 2．（2026·上海·一模）设锐角的三边长为，若的三边满足等式：，则的取值范围为__________． 3．（26-27高三上·上海·开学考试）在锐角中，角所对的边为，若，则的取值范围为__________． 4.已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______. 5．已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求； (2)求的取值范围. 题型2 角的最值与范围问题 ① 求角的最值：优先用余弦定理将角表示为边的函数，再用基本不等式或导数求最值； ② 求角的范围：利用三角形三边关系和大边对大角的性质，结合余弦函数单调性； ③ 若已知边的比例关系：设比例参数，将角的余弦表示为参数的函数； ④ 注意：余弦函数在 (0, π) 上单调递减，因此 cos A 最大 ⟺ A 最小。 6．（25-26高三上·上海·期中）的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．在锐角中，记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8.在中，、、分别为边、、所对的内角，若、、成等比数列，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 9．在中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·上海·三模）已知平面向量，，满足，且对任意实数，有，则与夹角为，则的最小值为__________． 11．（2025·上海宝山·二模）空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为_________. 题型3 面积的最值与范围问题 ① 已知一角及其对边：用余弦定理+基本不等式求 bc 最值； ② 已知两边之和：用基本不等式求 ab 最值； ③ 已知一边及其对角（定弦定角）：用几何轨迹法，弧中点处面积最大； ④ 求面积范围（非仅最值）：用三角函数法，将面积表示为角的函数后求值域； ⑤ 面积无下界（可趋于0），通常只求最大值或上界。 12．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）周长为a的三角形的面积的最大值为__________. 13．（2025·上海闵行·一模）草坪上有一个带有围栏的边长为30m的正三角形活动区域ABC，点在边BC上，且，小闵同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为，则手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为________ 14．（25-26高三上·上海·期中）如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______. 15．（25-26高三上·上海闵行·期中）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地AOB，扇形的半径为10米，AB是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路OC，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料．为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则该阴影部分面积的最小值为__________平方米．（结果精确到0.01） 16．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，，求a； (2)若，求的面积的最大值． 17．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数（）的最小正周期为． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，边长，求面积的最大值． 18．（25-26高三上·上海·期中）在中，角所对边的边长分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值． 题型4 周长的最值与范围问题 ① 已知一角及其对边：周长 L=a+b+c，其中 a 为定值，只需用三角函数法求 b+c 的范围； ② 已知两边之和：第三边用余弦定理表示，再求周长函数的最值； ③ 求周长最大值：可用基本不等式，但需注意等号条件； ④ 求周长范围：必须用三角函数法，可完整刻画开区间和单调性。 19．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）康健社区欲在一块半径为100米的圆形场地内建造一个四边形夜跑跑道，如图，在A处有一个可以左右自由旋转的探照灯，固定照射角度为，其中，为保障安全，要求四边形跑道必须完全处于探照灯的照明范围内，则四边形跑道周长的最大值为__________米. 20．（2026·上海·三模）在中，角、、所对的边分别为、、． (1)若、、成等比数列，求证：； (2)若、、成等差数列，且，求的周长的最大值． 21．如图，在平面上以三边为边分别向外作三个正三角形，记这三个正三角形的中心分别为．（被称为拿破仑三角形） (1)证明：为正三角形； (2)若，求周长的取值范围． 22．已知函数在上单调. (1)求的单调区间； (2)若的内角，，的对边分别是，，，且，，求周长的最大值. 23．（25-26高三上·上海·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且，. (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 题型5 综合与创新题 ① 向量综合：利用向量的数量积、模长等条件转化为边或角的关系； ② 三角恒等变换综合：先用和差角、二倍角公式化简条件，再用正余弦定理； ③ 实际应用问题：建立三角形模型，将实际量（距离、角度、高度）转化为三角形元素； ④ 创新定义题：仔细阅读新定义，将其转化为熟悉的三角形关系，再用常规方法求解。 24．（2026·上海·模拟预测）如图所示，地在地的正东方向，相距，地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸曲线上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元/，从到地修建公路的费用是20万元/．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低为__________万元．（精确到0.01） 25．（2026·上海杨浦·二模）已知函数（常数）. (1)若，在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求角B的大小； (2)若的最小正周期为π，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像.当时恒有，求的取值范围. 26.彩云湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，. (1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的属离防护栏（用根号表示）？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 27．（25-26高三上·上海·期中）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； (3)若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围． 重难专题分层过关练 巩固过关 1．在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．在中，角的对边分别为，已知，，则面积的最大值为______． 3．在中，内角 的对边分别为，已知，则的最小值为______． 4．（24-25高三上·上海·期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是______ 5．在 中，，． (1)求 的最大值； (2)求 面积的最大值． 6.记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 7.在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长l的取值范围． 8.如图，中，角、、的对边分别为、、.    (1)若，求角的大小； (2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值. 9.已知向量，且， (1)求函数在上的单调递减区间； (2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为， 若有，，求面积的最大值. 创新提升 1．（25-26高三上·上海松江·期末）定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域的“直径”为，则以下两个结论： ①当时，；②的最大值为（   ） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①②都错误 2．某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 3．（25-26高三上·上海·阶段检测）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道.记，三条轨道的总长度为米. (1)将表示成的函数，并写出的取值范围； (2)求三条轨道的总长度的最小值. 4．（2026·上海·一模）如图是一把直角三角尺，其中间做了镂空设计，设直角三角尺外轮廓的三角形的三边为，其对应的内角为，被挖去的三角形与直角三角尺的外轮廓三角形相似，且二者外接圆半径之比为1:2． (1)若被挖去的三角形的外接圆面积为16，求：的值； (2)若直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，求：该直角三角尺做镂空设计前绕其一边旋转一周而成的几何图形体积的最小值的最大值． 5.高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段､代表山坡，线段为一段平地.设图中坡的倾角满足，长长长.假设该路段的高铁轨道是水平的（与平行），且端点分别与在同一铅垂线上，每隔需要建造一个桥墩（不考虑端点建造桥墩） (1)求需要建造的桥墩的个数； (2)已知高铁轨道的高度为，设计过程中每放置一个桥墩，设桥墩高度为（单位：），单个桥墩的建造成本为（单位：万元），求所有桥墩建造成本总和的最小值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训03 解三角形中的最值与范围问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 3 题型1 边的最值与范围问题 3 题型2 角的最值与范围问题 5 题型3 面积的最值与范围问题 9 题型4 周长的最值与范围问题 15 题型5 综合与创新题 21 重难专题分层过关练 25 巩固过关 25 创新提升 30 解题方法及技巧提炼 方法一：边角互化 + 基本不等式法 【方法原理】 利用正弦定理将边化为角（或余弦定理将角化为边），使目标表达式转化为关于某两条边（或两个角）的代数式，再利用基本不等式求最值。 核心公式：（x,y>0），当且仅当 x=y 时取等号。 【适用场景】 ① 目标表达式为边的乘积（如面积 S、ab、bc）或边的和（如周长 a+b+c）； ② 已知条件中含有某一角的确定值（如 A=60°）或某一边的确定值； ③ 经余弦定理化简后，目标式可整理为"和定积最大"或"积定和最小"的形式。 【解题步骤】 第一步：由已知角（或边），利用余弦定理建立边之间的关系式； 第二步：将目标量（面积、周长等）用边表示； 第三步：对边的关系式使用基本不等式，求出边乘积或边和的最值； 第四步：验证等号成立条件（是否满足三角形三边关系），写出范围。 方法二：三角函数有界性法（辅助角公式） 【方法原理】 利用正弦定理将边全部化为角的正弦，使目标表达式转化为关于某一个角的三角函数，再利用辅助角公式化为 Asin(ωx+φ) 的形式，最后根据角的范围和正弦函数的有界性求最值。 核心公式： 【适用场景】 ① 已知条件中含有某一角的确定值，目标表达式为边的线性组合（如 a+b、周长）； ② 目标表达式经正弦定理化角后，可整理为"sin B + cos B"等形式； ③ 需要求取值范围（而非仅最大值）时，三角函数法能完整刻画单调性和端点值。 【解题步骤】 第一步：由已知角确定另外两角的关系； 第二步：由正弦定理将目标式中的边全部替换为角的正弦； 第三步：利用两角关系消元，将目标式化为关于单一角的三角函数； 第四步：用辅助角公式化简，结合角的范围和正弦函数单调性求最值。 方法三：几何轨迹法 【方法原理】 当三角形中一边及其对角确定时，第三个顶点的轨迹是一段圆弧（定弦定角模型）。利用圆的几何性质（如直径最长、弧中点到弦的距离最大），可以直观地求出面积、边长等的最值。 核心定理：同弧所对的圆周角相等；弦长一定时，弧中点到弦的距离最大。 【适用场景】 ① 已知一边及其对角（如 a=2, A=60°），求面积最大值或某边上的高的最大值； ② 已知两边之和（或差）为定值，涉及椭圆轨迹的问题； ③ 选择题、填空题中，能用几何直观快速得出答案的问题（无需复杂计算）。 【解题步骤】 第一步：识别"定弦定角"条件，确定顶点所在的圆弧（外接圆）； 第二步：计算外接圆半径 ； 第三步：分析目标量的几何意义； 第四步：利用圆的几何性质求最值（顶点在弧中点时高最大，面积最大）。 方法四：函数与导数法 【方法原理】 当目标表达式较为复杂，无法用基本不等式或三角函数有界性直接处理时，可将目标量表示为某一变量的函数 f(x)，通过求导 f'(x) 研究函数的单调性和极值，从而确定最值。 核心步骤：求定义域→求导→找临界点→判断单调性→求最值。 【适用场景】 ① 目标表达式为高次、分式、根式等复杂函数，基本不等式无法直接应用； ② 变量之间的关系非线性，难以用三角函数化简； ③ 题目要求精确的最值点，而非仅最值（如"求面积最大时角B的值"）。 【解题步骤】 第一步：选择合适的自变量（如某一边长 x 或某一角 θ），确定其取值范围； 第二步：将目标量表示为该变量的函数 f(x)； 第三步：求导 f'(x)，令 f'(x)=0 求临界点； 第四步：判断临界点是否在定义域内，比较临界点和端点处的函数值，确定最值。 题型通法及变式提升 题型1 边的最值与范围问题 ① 若已知一角及其对边：用正弦定理将边化为角，再用三角函数有界性求范围； ② 若已知一角及另外两边的关系：用余弦定理建立方程，结合基本不等式求最值； ③ 若求两边之和的范围：优先用三角函数法（可完整刻画开区间）； ④ 若求两边之积的最值：优先用基本不等式法。 1．（25-26高三下·上海·阶段检测）在中，角、、的对边分别为、、，若满足和的三角形有且仅有两个，则边的取值范围是_________． 【答案】 【详解】由，得，显然， 在中，，而，则， 由正弦定理，得，由三角形有且仅有两个， 得，则，所以边的取值范围是. 2．（2026·上海·一模）设锐角的三边长为，若的三边满足等式：，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】因为，所以，根据余弦定理 因为是锐角三角形，，因此​，得，即 因为三个角都是锐角，所以，解得，所以 又​，，所以 因为，所以 3．（26-27高三上·上海·开学考试）在锐角中，角所对的边为，若，则的取值范围为__________． 【答案】 【详解】由，且，得. 所以，所以. 由正弦定理，得. 因为是锐角三角形，所以，即. 所以，所以，， 即的取值范围为. 4.已知在中，角所对边分别为，满足，且，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题意在中，满足，即, 即，而， 故，又, 则，同理， 故 ， 又,故， 则， 故答案为： 5．已知锐角的内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求； (2)求的取值范围. 【详解】（1）由，得，由，化简得， 所以，即 （2）因为为锐角三角形，所以，即，解得， 由正弦定理可知， 可知，则，即； 由题意可得， 令，， 由对勾函数可知在上单调递减，在上单调递增， 可知，所以； 即的取值范围为. 题型2 角的最值与范围问题 ① 求角的最值：优先用余弦定理将角表示为边的函数，再用基本不等式或导数求最值； ② 求角的范围：利用三角形三边关系和大边对大角的性质，结合余弦函数单调性； ③ 若已知边的比例关系：设比例参数，将角的余弦表示为参数的函数； ④ 注意：余弦函数在 (0, π) 上单调递减，因此 cos A 最大 ⟺ A 最小。 6．（25-26高三上·上海·期中）的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得，即， 又由余弦定理，可得， 又因为角为锐角，即，所以，即角的取值范围是. 故选：D. 7．在锐角中，记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知及余弦定理，得，即. 由正弦定理，得，则， 即，即， 所以，或,即或（舍去）. 因为角A，B，C都为锐角，则，且，所以. 故选：B 8.在中，、、分别为边、、所对的内角，若、、成等比数列，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：， 所以， 又， 所以， 故选：B 9．在中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 由余弦定理得，整理得， 则， 当且仅当时取等， 所以的最小值为. 故选：D 10．（2026·上海·三模）已知平面向量，，满足，且对任意实数，有，则与夹角为，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】由题可设，，则， 对任意实数，有，故恒成立， 即对任意实数恒成立， 故，即，即或. 故在直线的上方（含边界）或在直线的下方， 由对称性不妨设在直线的上方（含边界），如图， 设与直线的交点为，因， 故与夹角即为的夹角，即， 而，当且仅当重合时等号成立，故， 设，当且，则， 当或时，，也符号上式， 故且， 故，所以，当且仅当时取最小值. 所以的最小值为. 11．（2025·上海宝山·二模）空间中有相互垂直的两条异面直线，点，且，若，且，则二面角平面角的余弦值最小为_________. 【答案】 【详解】根据双曲线的定义，平面内到两个定点、（焦点）的距离之差的绝对值为定值（小于）的点的轨迹为双曲线.由，可知， 所以点在以、为焦点的双曲线上.在空间中，是此双曲线绕旋转得到的曲面. 因为，根据直径所对的圆周角是直角，所以点同时在以为直径的球面上. 由于，所以、在与垂直的面上. 不妨令固定在一支双曲线上，设双曲线方程为. 过作于，在双曲线中，变形可得. 在（因为）中，的长度可根据坐标关系得到， 因为在过与垂直的面与球的交线上，设球心为（中点）， 由（球的半径的平方为，根据勾股定理得到此关系），的长度与有关（点坐标与点纵坐标有关），且在轴上的投影长度就是，所以. 在中，根据余弦定理， 通过，代入余弦定理公式化简得到,. 令，则. 对于二次函数，其对称轴为，当时，取得最大值. 所以. 故答案为：. 题型3 面积的最值与范围问题 ① 已知一角及其对边：用余弦定理+基本不等式求 bc 最值； ② 已知两边之和：用基本不等式求 ab 最值； ③ 已知一边及其对角（定弦定角）：用几何轨迹法，弧中点处面积最大； ④ 求面积范围（非仅最值）：用三角函数法，将面积表示为角的函数后求值域； ⑤ 面积无下界（可趋于0），通常只求最大值或上界。 12．（25-26高三上·上海徐汇·阶段检测）周长为a的三角形的面积的最大值为__________. 【答案】 【详解】若三角形的三个顶点为，对应边为， 所以，且，则， 由，且， 所以 ， 其中均大于0，且， 而， 即，当且仅当，即时取等号， 所以. 故答案为： 13．（2025·上海闵行·一模）草坪上有一个带有围栏的边长为30m的正三角形活动区域ABC，点在边BC上，且，小闵同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为，则手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为________ 【答案】 【详解】依题意，要使手电筒在ABC内部所能照射到的地面的面积最大，则光线必须经过AB、AC边，如图， 在正中，，，设， 由正弦定理得：，则， ，则， ， 当且仅当，即，亦即时取等号， 所以手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为. 故答案为： 14．（25-26高三上·上海·期中）如图，的顶点平面，点在平面的同一侧，且.若与平面所成的角分别为，则的面积的取值范围为______. 【答案】 【详解】如图，过C作直线l垂直于平面， 因为与平面所成的角分别为，则点分别在如图所示的两个不同的圆周上运动，当直线与轴在同一平面内时，的面积可取最大最小值， 于是，有，即， 所以，即， 所以的面积为， 所以， 故答案为: . 15．（25-26高三上·上海闵行·期中）如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地AOB，扇形的半径为10米，AB是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路OC，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料．为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则该阴影部分面积的最小值为__________平方米．（结果精确到0.01） 【答案】 【详解】设，则， 所以，则， 由，得， 在中，由余弦定理得， ，则， 在中， 即， 则，， 所以， 阴影部分的面积为：， ， ， ， 则，令，得或， 当或时，；当时，， 当时，，当时，， 而， 所以当时，阴影部分面积的最小值为平方米. 故答案为： 16．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【详解】（1）在中，由正弦定理得，又， 所以，故， 又，， 由余弦定理，得，即， 解得， 所以. （2）因为，， 所以， 由余弦定理，得，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 17．（25-26高三上·上海闵行·期中）已知函数（）的最小正周期为． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，边长，求面积的最大值． 【详解】（1）函数（）的最小正周期为， 则，解得，所以． 由，解得， 所以的单调递增区间为． （2）因为，且，所以． 因为，则，所以，解得． 已知，根据余弦定理， 可得，即． 由，得，当且仅当时取等号． 则，当且仅当时取等号． 所以面积的最大值为． 18．（25-26高三上·上海·期中）在中，角所对边的边长分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值． 【详解】（1）根据余弦定理得， 由，可得， 因为，所以， 又因为，解得， 所以角的值为. （2）若外接圆的直径， 根据正弦定理得， 由余弦定理得， 即，可得， 根据基本不等式，可得，所以， 解得，当且仅当时，等号成立， 可得的面积， 所以当时，的面积取得最大值， 所以面积的最大值为． 题型4 周长的最值与范围问题 ① 已知一角及其对边：周长 L=a+b+c，其中 a 为定值，只需用三角函数法求 b+c 的范围； ② 已知两边之和：第三边用余弦定理表示，再求周长函数的最值； ③ 求周长最大值：可用基本不等式，但需注意等号条件； ④ 求周长范围：必须用三角函数法，可完整刻画开区间和单调性。 19．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）康健社区欲在一块半径为100米的圆形场地内建造一个四边形夜跑跑道，如图，在A处有一个可以左右自由旋转的探照灯，固定照射角度为，其中，为保障安全，要求四边形跑道必须完全处于探照灯的照明范围内，则四边形跑道周长的最大值为__________米. 【答案】 【详解】由题意可知四边形需完全在探照灯照明范围内，所以四边形的四个顶点都在以A为顶点、夹角为α的角的内部， 当其中两条跑道恰好落在探照灯的光沿边上时，四边形跑道的周长可取到最大值； 如图：不妨设四边形跑道为,设,则， 由正弦定理可得, 在三角形中，由余弦定理可得, 由于,所以， 当且仅当时，等号成立， 在中， , 由余弦定理可得, 由于,所以， 当且仅当时，等号成立， 故四边形的周长， 所以四边形跑到周长的最大值为米. 20．（2026·上海·三模）在中，角、、所对的边分别为、、． (1)若、、成等比数列，求证：； (2)若、、成等差数列，且，求的周长的最大值． 【答案】(1)证明： 因为成等比数列，所以. 根据余弦定理： 由基本不等式，当且仅当时取等号， 代入得：，原不等式得证. （2）因为成等差数列，所以， 结合三角形内角和，得. 已知，由余弦定理：， 整理可得：，由基本不等式， 代入得：， 因此，当且仅当时取等号. 故周长， 所以周长的最大值为. 21．如图，在平面上以三边为边分别向外作三个正三角形，记这三个正三角形的中心分别为．（被称为拿破仑三角形） (1)证明：为正三角形； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) 连接，设． 分别是正三角形的中心， ， 在中， ， ， 同理，． ，即为正三角形． （2）在中，， ．又． 由余弦定理得：，即，① 在中，由余弦定理得：，② 由①得：，故， 由①，②得：，故． ． 又由②得：． 设，则． 下面证明在上单调递减．任取． ， ，同理，． ． 故．即的周长取值范围为． 22．已知函数在上单调. (1)求的单调区间； (2)若的内角，，的对边分别是，，，且，，求周长的最大值. 【详解】（1）因为 ， 因为在上单调，且，即， 所以，解得， 又因为，所以，所以； 令，解得； 令，解得； 所以的单调递增区间是，单调递减区间为； （2）因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以，则， 由余弦定理可得， 即，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以且，解得，当且仅当时等号成立， 所以，即周长的最大值为9． 23．（25-26高三上·上海·期中）在中，角，，的对边分别为，，，且，. (1)求角； (2)若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【详解】（1）已知， 由正弦定理得， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． （2）在中由正弦定理得，又， 所以，， 所以， ， ， 因为为锐角三角形， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以周长的取值范围是. 题型5 综合与创新题 ① 向量综合：利用向量的数量积、模长等条件转化为边或角的关系； ② 三角恒等变换综合：先用和差角、二倍角公式化简条件，再用正余弦定理； ③ 实际应用问题：建立三角形模型，将实际量（距离、角度、高度）转化为三角形元素； ④ 创新定义题：仔细阅读新定义，将其转化为熟悉的三角形关系，再用常规方法求解。 24．（2026·上海·模拟预测）如图所示，地在地的正东方向，相距，地在地的北偏东方向，相距，河流沿岸曲线上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向A、B、C三地转运货物．经测算，从到、两地修建公路费用都是10万元/，从到地修建公路的费用是20万元/．选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低为__________万元．（精确到0.01） 【答案】85.83 【详解】以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系，如图所示， ，由双曲线定义可得，轨迹为双曲线的右支，故，， 故轨迹方程为：， 故由题意修建的三条公路总费用， 由图形可知，当，，三点共线，即在点处时，最小值， 由题意，所以，所以. 25．（2026·上海杨浦·二模）已知函数（常数）. (1)若，在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求角B的大小； (2)若的最小正周期为π，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像.当时恒有，求的取值范围. 【详解】（1）时，函数，，， 中，，所以， ，由正弦定理可得，， 由，所以. （2）函数（常数），的最小正周期为π， 所以，得，即， 所以， 时，，则有，此时， 当时恒有，则有，解得， 所以的取值范围为. 26.彩云湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，. (1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的属离防护栏（用根号表示）？ (2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【详解】（1）因为，解得：， 又因为C是钝角，所以， 由余弦定理得： ， 故需要修建m的隔离防护栏. （2）因为， 当且仅当时取到等号，此时m， 设，， 在中，， 解得：， 故 ， 因为，所以， 故当，即时，取的最大值为1， 可得， 当且仅当时取到等号，此时m， 所以修建观赏步道时应使得，. 27．（25-26高三上·上海·期中）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； (3)若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题意得 ， ， （2）函数为向量的伴随函数， ， ，或 即或（舍）， 又，由正弦定理得，，即，， ∴，即 由余弦定理，得，即， 即 （3）函数为向量的伴随函数 又关于的方程为， ，即 记 ∴ 作出函数的图像，如图所述，   方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 图象与直线有四个交点， ，即. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．在 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理得， 所以 ， 2．在中，角的对边分别为，已知，，则面积的最大值为______． 【答案】 【详解】在中，由余弦定理得， 即， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以面积的最大值为. 3．在中，内角 的对边分别为，已知，则的最小值为______． 【答案】 【详解】因为，所以， 又， 则，当时取等号， 故的最小值为. 4．（24-25高三上·上海·期中）锐角三角形的三个内角的度数成等差数列，则其最大边长与最小边长比值的取值范围是______ 【答案】 【详解】若锐角的三个内角、、的度数成等差数列， 则，解得，不妨设角为最小角， 设等差数列、、的公差为，则，， 所以，， ， 由题意可知，因为、为锐角，且， 即，解得，则， 所以， . 故答案为：. 5．在 中，，． (1)求 的最大值； (2)求 面积的最大值． 【详解】（1）由余弦定理可得 ，即． 由 ，得， ，当且仅当 时等号成立． 所以 的最大值为. （2）(当且仅当 时等号成立)． 所以 面积的最大值为. 6.记的内角的对边分别为，已知 (1)试判断的形状； (2)若，求周长的最大值. 【详解】（1）解：由，可得，所以， 即，所以， 又由余弦定理得，可得，所以， 所以是直角三角形 （2）解：由（1）知，是直角三角形，且，可得， 所以周长为， 因为，可得， 所以，当时，即为等腰直角三角形，周长有最大值为. 7.在锐角三角形中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长l的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 解得或（舍去）， 又，所以. （2）由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以的周长， 即 ， 又，所以，解得，所以， 所以， 所以，即的周长l的取值范围为. 8.如图，中，角、、的对边分别为、、.    (1)若，求角的大小； (2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即，则， 整理得，而，即，又因为， 所以. （2）在中，， 由余弦定理得， 于是，解得， 当且仅当时取等号， 所以当时，周长取得最大值. 9.已知向量，且， (1)求函数在上的单调递减区间； (2)已知的三个内角分别为，其对应边分别为， 若有，，求面积的最大值. 【详解】（1）∵，∴，即， 所以， 令，，解得：，， 因为，所以 ，解得：， 因为，所以，所以， 函数在上的单调递减区间为； （2），即， 因为，所以，所以，解得：， 因为，所以，从而， 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 即，解得：， 由面积公式得：，当时，等号成立， 所以面积的最大值为 创新提升 1．（25-26高三上·上海松江·期末）定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域的“直径”为，则以下两个结论： ①当时，；②的最大值为（   ） A．①正确，②错误 B．①②都正确 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】B 【详解】结论①：，BC边上的高等于， . 在中，，又， 所以，即，解得， 因此，. 当封闭区域内两点位于在同一半圆上时， 以在上任取两点，为例，连接， 则，又，所以， 当封闭区域内两点位于在不同半圆上时， 以在上取一点，在上取一点为例，设，的中点分别为，，连接，，，， 由两点间线段最短可得，当且仅当，，，四点共线时取等号， 综上，， 所以， 故结论①正确. 结论②：设中角，，所对的边长分别为，，，设边上的高为，即，. 由三角形面积公式可得， 所以， 由余弦定理可得，即， 所以. ， 即，当且仅当时取等号. 由①知， 将，代入可得， 当且仅当，，，四点共线，时取等号， 所以，故结论②正确. 故选：B 2．某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点，在的边上，线段把草坪分成面积相等的两部分．如果沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为______米． 【答案】20 【详解】由，可得是直角三角形，其面积， 不妨设， ①若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ②若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； ③若在上，如图： 设， 则有，解得， ，即， 当且仅当时等号成立； 因为，所以的最小值为20，即水管的最短长度为20米. 3．（25-26高三上·上海·阶段检测）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备.如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点重合）.为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道.记，三条轨道的总长度为米. (1)将表示成的函数，并写出的取值范围； (2)求三条轨道的总长度的最小值. 【详解】（1）因为是弧的中点，所以，， 又，由正弦定理，得， 又，得，， 所以 ， 当在处时，；当在处时，，所以的取值范围是. （2）令，； ，令得， 当时，，为减函数；当时，，为增函数； 所以时，有最小值，所以三条轨道的总长度的最小值为. 4．（2026·上海·一模）如图是一把直角三角尺，其中间做了镂空设计，设直角三角尺外轮廓的三角形的三边为，其对应的内角为，被挖去的三角形与直角三角尺的外轮廓三角形相似，且二者外接圆半径之比为1:2． (1)若被挖去的三角形的外接圆面积为16，求：的值； (2)若直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，求：该直角三角尺做镂空设计前绕其一边旋转一周而成的几何图形体积的最小值的最大值． 【详解】（1）设挖去的三角形的外接圆半径，面积为， 直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径，面积为， 因为外接圆半径之比为1:2，所以，故， 计算得，又因为，故，根据正弦定理得： ； （2）直角三角尺的外轮廓三角形的外接圆半径为6，斜边， 设直角边为，满足， 若绕旋转：体积； 若绕旋转：体积； 若绕旋转：斜边上的高，体积； 因为，所以， 当且仅当时等号成立，此时， 即几何图形体积的最小值的最大值为. 5.高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段､代表山坡，线段为一段平地.设图中坡的倾角满足，长长长.假设该路段的高铁轨道是水平的（与平行），且端点分别与在同一铅垂线上，每隔需要建造一个桥墩（不考虑端点建造桥墩） (1)求需要建造的桥墩的个数； (2)已知高铁轨道的高度为，设计过程中每放置一个桥墩，设桥墩高度为（单位：），单个桥墩的建造成本为（单位：万元），求所有桥墩建造成本总和的最小值. 【详解】（1）由，，可得，，过点向作垂线，垂足为，则 ，，， 故修建桥墩个数为个. （2）设最左边的桥墩到的距离为米，为从左往由第个桥墩的高度， 由，之间可以建13或14个桥墩，当可以建14个桥墩时， ，当时，AC之间可以建13个桥墩，而， 即之间可以建8个桥墩，在时，当，， ，，； 当， ；当，；同理写出， 表达式总结如下： ①当时： 解得 求和后得到的高度总和 ②当时： 求和后得到的高度总和 所以当，，当，， 即桥墩高度总和最小为，成本最小值为万元. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $