第3章 圆的基本性质 能力提升自测 2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第3章 圆的基本性质能力提升自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的半径为，同一平面内有一点，且，则与的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 2．如图，为的直径，点为的中点．若，则的度数是（    ） A．40° B．50° C．60° D．70° 3．如图，点，，在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．小明捡到一个量角器碎片，按如图的方式测量的度数，他让点落在量角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为，．若点，对应的刻度分别为、，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 7．等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是（     ） A． B． C． D． 8．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为时，水面下盛水筒的最大深度为．（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）则该圆的半径为（    ）． A． B． C． D． 9．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 10．如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，曲线是由半径为个单位长度，圆心角为的经足够多次复制并依次连接而成的．现有一动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿曲线向右运动，则第秒时点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，是的直径，弦，若，则__________． 12．如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． 13．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 14．如图，六边形是正六边形，曲线…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按，，，，，循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当时，的长度为________，曲线的长度是________ 15．如图，是的直径，为的弦，将弧沿翻折恰好过点O，连接，若，则的长为________ ． 16．在中，，，以为边作一个等边，则的最大值是_____ ． 三、解答题（本题共8小题，第17-第22题每小题8分，第23-第24题每小题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 18．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 19．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 20．如图，在中，，点在边上，以点为圆心，长为半径的半圆，交于点，与相切于点，连接，． (1)求的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 21．如图，内接于，连接． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 22．如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 23．如图1，在中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)求点到直线的距离． (2)如图2，优弧上存在一动点M，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为_____________． ②当时，求阴影部分面积． 24．【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆的基本性质能力提升自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．的半径为，同一平面内有一点，且，则与的位置关系是（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，关键是求出点到圆心的距离与半径作比较；根据点与圆的位置关系判定规则，比较点P到圆心O的距离与半径的大小，即可确定的位置． 【详解】解：∵的半径为， ∴， ∴点在内， 故选：A． 2．如图，为的直径，点为的中点．若，则的度数是（    ） A．40° B．50° C．60° D．70° 【答案】D 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧或等弧所对的圆周角相等， 先连接，再说明，然后根据等弧所对圆周角相等得，则此题可解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴． ∵点B是的中点， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．如图，点，，在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得． 4．折扇最早出现于我国南北朝时期，《南齐书》中说：“司徒褚渊入朝，以腰扇障日．”这里的“腰扇”在《通鉴注》中的解释为折叠扇．如图，一折扇的骨柄长为21cm，折扇张开后为扇形，圆心角为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的长． 5．小明捡到一个量角器碎片，按如图的方式测量的度数，他让点落在量角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为，．若点，对应的刻度分别为、，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接设的直径为，根据角的和差关系求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，求出的度数即可. 【详解】解：连接设的直径为，如图， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 6．如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据圆周角定理可得，即正多边形的中心角，进而求得边数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴ 依题意，依次连接各等分点得到的图形为正边形，其中，即正十边形 7．等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等．如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果，那么这个等宽曲线的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质得到，，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴的长为，的长为，的长为， ∴这个等宽曲线的周长为． 8．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为时，水面下盛水筒的最大深度为．（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）则该圆的半径为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作直径，垂足为，设圆的半径为，由垂径定理可得，根据题意，则，在直角中，利用勾股定理构造方程求解出的值即可． 【详解】解：如图，作直径，垂足为，设圆的半径为， ∵直径， ∴， 由题意可知，， ∴， 在直角中，， ∴， 解得， ∴圆的半径为． 9．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系．由中知要使取得最小值，则需取得最小值，连接，当点在线段上时，取得最小值，据此求解可得． 【详解】解：连接， ， ， ， ， 若要使取得最小值，则需取得最小值， 连接，当点在线段上时，取得最小值， 过点作轴于点， 圆心的坐标为， 则，， ， 又 的半径为2， 的最小值为， ， 故选：C 10．如图，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，曲线是由半径为个单位长度，圆心角为的经足够多次复制并依次连接而成的．现有一动点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿曲线向右运动，则第秒时点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型中点的坐标，垂径定理，直角三角形的性质，弧长公式，由长为，则点运动长用时（秒），过作轴于点，交长于点，则，则有第秒点纵坐标为，第秒点纵坐标为，第秒点纵坐标为，第秒点纵坐标为，第秒点纵坐标为，，点纵坐标以，，，四个数为一个周期依次循环，得第秒时点的纵坐标与第秒点纵坐标相同为，从而求解，解题的关键是找出点的坐标的规律． 【详解】解：长为，则点运动长用时（秒）， 如图，过作轴于点，交长于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴第秒点纵坐标为， 第秒点纵坐标为， 第秒点纵坐标为， 第秒点纵坐标为， 第秒点纵坐标为， ， ∴点纵坐标以，，，四个数为一个周期依次循环， ∵， ∴第秒时点的纵坐标与第秒点纵坐标相同为， 故选：． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．如图，是的直径，弦，若，则__________． 【答案】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角求出 ，利用三角形内角和求出 的度数，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴． 12．如图，已知滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，半径转过的面积是______． 【答案】 【分析】重物上升，则滑轮转过的弧长也是，再由，即可求出半径转过的面积． 【详解】解：由题意得，半径转过的弧长为， 则半径转过的面积． 13．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】记与半圆O交于点C，连接，由旋转的性质，可知两个半圆的面积相等，，则，根据计算即可． 【详解】解：记与半圆O交于点C，连接，如图所示． 由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 14．如图，六边形是正六边形，曲线…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按，，，，，循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当时，的长度为________，曲线的长度是________ 【答案】 【分析】本题考查的是正多边形的外角性质与弧长公式，灵活运用弧长公式是解题的关键．根据正六边形的每个外角为，可确定每段弧的圆心角；再依次确定各段弧的半径，进而求出曲线的长度． 【详解】解：正六边形的每个外角为，的圆心是，半径，圆心角，根据弧长公式； 同理得，， ， ， ， ， 曲线的长度是， 故答案为：；． 15．如图，是的直径，为的弦，将弧沿翻折恰好过点O，连接，若，则的长为________ ． 【答案】2 【分析】本题考查圆周角定理，翻折性质，垂径定理，等边三角形判定及性质等．根据题意连接，由翻折性质可知，继而利用圆周角定理得，再判断是等边三角形，即可得到本题答案． 【详解】解：连接， ， 由翻折性质可知， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：2． 16．在中，，，以为边作一个等边，则的最大值是_____ ． 【答案】5 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先理解题意，在直线的上方作等边三角形，连接．结合等边三角形的性质，证明，故点D的运动轨迹是以O为圆心，以长为半径的圆，当D、O、A共线时，的值最大，最大值为，即可作答． 【详解】解：如图，在直线的上方作等边三角形，连接． ∵，都是等边三角形， ∴， ∴ ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴点D的运动轨迹是以O为圆心，以长为半径的圆， ∴当D、O、A共线时，的值最大，最大值为． 故答案为：5． 三、解答题（本题共8小题，第17-第22题每小题8分，第23-第24题每小题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 【答案】 【分析】根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ． ， 是等腰直角三角形， 在中，． 这个管道横截面的半径为． 18．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得，根据三角形外角性质求解即可； （2）过点O作于点E，则，根据垂径定理以及三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到， ∵，， ∴； （2）解：过点O作于点E，则圆心O到的距离，， ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 19．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)∵是的直径， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴． ∴． (2)10 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角与，得垂直于，根据垂径定理可得平分弧，进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为；由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， ∵， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 在中，由勾股定理， 代入得 ， 解得． 因此，的半径为． 20．如图，在中，，点在边上，以点为圆心，长为半径的半圆，交于点，与相切于点，连接，． (1)求的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得出，从而得到，结合为半圆的相切，可得，进而求出的度数． （2）由为等边三角形，得，在中，用三角函数分析求出，再分别求出，，进而求出阴影部分面积. 【详解】（1）解：， ． ， ． ． ． 与半圆相切， ． ． ． （2）解：，， 为等边三角形． ． ， ． 在中，， ． ． ， 阴影部分面积． 21．如图，内接于，连接． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆周角定理，先由 求出对应的圆心角，再用 减去，直接算出． （2）延长构造直径，连接，得到直角三角形；由 和半径相等，推出，进而得；最后在 中，用勾股定理算出． 【详解】（1）解： ， ． ， ． （2）解：如图，延长交于点，连接． 是的直径， ． ， ． ， ， ， ， ， ， ． 22．如图，内接于，、是的高，H是的交点，的延长线交于G． (1)试说明：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)解：连接． 是的高， ． ． ， ， ， 在与中， ， ． (2) 【分析】（1）连接，先根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理推导出，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）连接．先利用圆周角定理可得，进而可证明为等边三角形得到，结合全等三角形的性质可得，最后利用圆的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接． ， ． ， 为等边三角形， ． ， ， ， ． 23．如图1，在中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且． (1)求点到直线的距离． (2)如图2，优弧上存在一动点M，从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当点运动至点处时，停止转动．过点作直线，直线与优弧交于另一点． ①当直线与优弧相切时，的值为_____________． ②当时，求阴影部分面积． 【答案】(1)4 (2)①或；② 【分析】（1）连接，过点作于点，根据圆的基本性质可得为等边三角形，从而得到，然后根据切线的性质可得，最后由30度所对的直角边等于斜边的一半即可求得答案； （2）①分两种情况讨论：直线在的左侧和直线在的右侧时，根据切线的性质和平行线的性质可求的，再结合已知即可解答； ②连接，过点作于点，设与交于点，由题意可知，易证四边形为矩形，得到，然后根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质得到，，最后根据阴影部分面积即可求解． 【详解】（1）解：连接，过点作于点，如图， ， 为等边三角形， ， ∵优弧与直线相切于点， ， ， ， ， ∴点到直线的距离为4； （2）解：①I．当直线与优弧相切，且直线在的左侧时，如图， ∵直线与优弧相切， ， ∵直线， ， ， 从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒， ， ； II．当直线与优弧相切，且直线在的右侧时，如图， ∵直线与优弧相切， ， ∵直线， ， ， 的旋转的度数为， 从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒，转动时间为秒， ， ； 综上，当直线与优弧相切时，的值为或． 故答案为：或．         ②连接，过点作于点，设与交于点，如图， ， ， ∵优弧与直线相切于点， ， ∵直线， ∴直线， ， ∴四边形为矩形， ， ， ， ，， ， ∴阴影部分面积． 【点睛】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积等知识点，熟练掌握切线的性质，采用分类讨论的思想方法是解题的关键． 24．【课本再现】在人教版九年级上册课本第页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点，，，在上，求证． 【解决问题】（2）如图②，已知点，，，在上，若，的半径为．求的长． 【答案】 （1）如图①，连接，， 在中，，， ； （2）． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，根据圆周角定理可得，，即可得证； （2）连接，，过点作于点，由（1）可知，结合得到，，推出，则，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1） 略 （2）由（1）可知， ， ，， 如图②，连接，，过点作于点， ， ， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $