第3章 圆的基本性质（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学圆的基本性质单元强化卷，以核心素养为导向，覆盖圆心角、垂径定理等知识，通过文化情境与动态探究题设计，适配单元复习培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|圆周角、内接四边形、垂径定理|结合筒车文化情境（第3题），考查几何直观| |填空题|6/18|中点性质、阴影面积计算|融入矩形与圆综合（第13题），体现运算能力| |解答题|8/72|动态几何、新定义探究（如“环中点平四”）|设置材料阅读与迁移拓展（第24题），发展推理能力与创新意识|

第3章 圆的基本性质（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图，A、B、C是上的点，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得到，即可直接得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 2．如图，四边形是的内接四边形，是直径，延长与相交于点E，连接，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角是圆心角的一半即可得，根据是直径可知，，根据等腰直角三角形可知，，进而根据角度关系即可求解． 【详解】， ． 是的直径， ， ， ， ． ∵四边形是的内接四边形， ∴ ． 3．如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点表示筒车的一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心为圆心的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦长为，筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为，则筒车的直径是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，交于点，交于点，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， 设筒车的半径为，则， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴，解得， ∴筒车的直径是． 4．如图，在扇形中，点在上，连接，，，．若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰三角形的性质得出，由四边形内角和为，根据可得出，根据圆心角和弧之间的关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 则的度数为． 5．如图，为的直径，点C，D在上，点为劣弧的中点，连接，，，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理求出，再根据“同弧（等弧）所对的圆心角相等”得出，然后根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． 6．如图，已知的半径为是外一点，是上的动点，线段的中点为，连结，，则线段的最小值是（    ） A．0 B．0.5 C．1 D．1.5 【答案】C 【分析】取的中点，连接，利用三角形中位线定理求出的长度，从而确定点的轨迹是以为圆心，长为半径的圆，最后根据点与圆的位置关系求出的最小值． 【详解】解：取的中点，连接，， 为的中点，为的中点 ， 为的中位线 ， ， 的半径为，即 ， ， 点在以为圆心，为半径的圆上 ， ，为的中点， ， 当点在线段上时，取得最小值， 的最小值为． 7．如图，把（不完整）分成相等的n段弧，其中，，是其中的三个等分点，连接，．若，依次连接各等分点得到的图形为（     ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正六边形 【答案】A 【分析】根据圆周角定理可得，即正多边形的中心角，进而求得边数，即可求解． 【详解】解：如图，连接 ∵ ∴ 依题意，依次连接各等分点得到的图形为正边形，其中，即正十边形 8．如图，在中，点C为的中点，将弦上方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合．点D为优弧上一点，连接，，．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、、、，，分别证明、是等边三角形，然后证明，即可求解． 【详解】解：如图，连接、、、，， 将弦上方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合． ， 又， ， 是等边三角形， ， ， 点C为的中点， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ，， ， ∴． 9．城市公园规划中，设计师设计了一个半圆形的景观区域，已知半圆的直径，是半圆上两点，且，连接．现分别以点、点为圆心，的长为半径画弧交于点、点．施工人员计划在图中阴影部分铺设彩色地砖，图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设与相交于点，由圆周角定理得，即得，得到，即得到，，再利用直角三角形的性质和勾股定理得，得，，得，最后根据图形求出面积即可． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ． 10．如图，四边形是的内接四边形，连接，，，，下列不能判断四边形是菱形的是（    ） A．点是的中点， B．， C．， D．，点是的中点 【答案】D 【分析】A选项由已知可证明和是等边三角形，则，即可得出结论；B选项先由两组对边平行得四边形是平行四边形，再由，即可得出结论；C选项可证明四边形的对角线互相垂直平分，即可得出结论；D选项两个条件得出的结论是一样的，不能证明四边形是菱形． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴和是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， 故A选项不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， 故B选项不符合题意； C、∵，， ∴， 又∵， ∴垂直平分， 又∵，， ∴垂直平分， ∴四边形是菱形， 故C选项不符合题意； D、∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 两个条件得到的结论是一样的，不能证明四边形是菱形， 故D选项符合题意． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．如图，点B是的中点，若，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定与性质，先结合点B是的中点，得，又因为，得出都是等边三角形，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵点B是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， 则， 故答案为：． 12．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 13．如图，矩形的对角线，交于点，分别以点，为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，．若，，则图中阴影部分的面积为___________．（结果保留） 【答案】 【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形和扇形的面积之和． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 图中阴影部分的面积为：． 14．如图所示，四边形是菱形，经过点A，C，D，与相交于点E，连接，．若，则的度数为_____． 【答案】/12度 【分析】首先根据菱形的性质得到，，然后求出，然后利用圆内接四边形的性质求出，然后结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形 ∴， ∴ ∵四边形内接于 ∴ ∴ ∴． 15．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在第一象限，与轴交于，两点，点的坐标为，的半径为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，故可得出答案． 【详解】解：过点作轴于点，连接， ，， ， 在中   ，       16．如图，已知三角形为等腰直角三角形，米，以为圆心，8米长为半径画弧，以为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积__________．（结果保留） 【答案】平方米 【分析】设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接，先证明，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据计算即可． 【详解】解：如图，设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接， ∵为直径， ∴，即， ∵三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴米， ∴ 平方米． 答：阴影部分的面积为平方米． 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)∵是的直径， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴． ∴． (2)10 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角与，得垂直于，根据垂径定理可得平分弧，进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为；由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， ∵， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 在中，由勾股定理， 代入得 ， 解得． 因此，的半径为． 18．如图，内接于，连接． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆周角定理，先由 求出对应的圆心角，再用 减去，直接算出． （2）延长构造直径，连接，得到直角三角形；由 和半径相等，推出，进而得；最后在 中，用勾股定理算出． 【详解】（1）解： ， ． ， ． （2）解：如图，延长交于点，连接． 是的直径， ． ， ． ， ， ， ， ， ， ． 19．如图，是的直径，是的弦，于点，是的中点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1) 证明：是的直径，于点， ， 是的中点， ， ，即， ； (2) 【分析】（1）根据垂径定理得，由是的中点即可得，进而得，根据圆心角定理，即可证明结论； （2）连接，根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解． 【详解】（1）略； （2） 解：如图，连接， 由（1）可知， 设的半径为，则， ， ， 于点， ， 在中，，即， 解得， 的半径为． 20．内接于，且点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中找一个格点（点不与点重合），画出，使； (2)在图2中的圆上找一点，使得平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）取格点，连接，由勾股定理及其逆定理可知； （2）取格点，连接，此时交于一点I，作直线，交于点F，连接，此时点F为优弧的中点，则，则，可得到平分． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点F即为所求： 21．如图，为的外接圆，交于点D，直径平分交于点F，连接． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分， ， ， ， 为的直径， ， ， ； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，根据等角的余角相等证明结论； （2）过点作于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于，如图， ，， ， ， 在中，，， 则， ， ， ， ． 22．【定义】如图1，是的直径，平移直径得到平行四边形，当对边的中点M落在圆上时，我们称这个平行四边形是的“环中点平四”． (1)【探究1】求证： (2)【应用】在（探究1）的条件下，当点C落在上时，且，求平行四边形的面积． (3)【探究2】如图2，在正方形中，，以为直径作，平移直径得到线段，当平行四边形是的“环中点平四”时，直接写出的最大值． 【答案】(1)证明：如图，连接， 四边形是平行四边形， ，， M 是中点，O是中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 落在圆上， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）连接，先证明四边形是平行四边形，可得 ，进而可证得结论； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角，结合勾股定理和（1）中的结论，求得，即可求解； （3）利用探究（1）的结论可知点在以点为圆心，半径为3的圆上，然后根据正方形的性质和勾股定理求得即可解答． 【详解】（1）略 （2）解： 如图，连接， 点C落在圆上，是直径， ， 由（1）可知， ， 四边形是平行四边形， ∴， ∴在中，， ∴平行四边形的面积； （3）解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵平行四边形是的“环中点平四”， ∴由（1）可知，， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为3的圆上（不包括点），如图所示， ∴当点在同一直线上，且在线段上时，取得最大值， 最大值为． 23．已知，在半圆O中，直径，点C，D在半圆上运动，弦． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M到的距离的最小值是________； ②直接写出点M的运动路径长________． 【答案】(1)证明：∵是直径, ∴. ∵， ∴(相等的圆周角所对的弦相等)， 在和中，, ∴； (2) (3)①   ② 【详解】（1）略 （2）解：如图，过D作于H， ∵半圆O中，直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：①如图2，连接，，，过M作于E． ∵直径，弦， ∴， ∴是等边三角形， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最小， 而当C与A重合（或D与B重合）时，最大，如图3． ∵是等边三角形，M是的中点， ∴， ∴，即点M到的距离的最小值是； ②如图4． 由①知，， ∴M的轨迹是以O为圆心，为半径的弧， 当C与A重合时，， 同理，当D与B重合时，， ∴, ∴点M的运动路径长为． 24．【材料阅读】 如图1，在中，，，，以为直径的交于点D，点P是上的一个动点，连接，求的最小值． 解题思路：连接与交于点E，如图2．当点P运动到交点E时，取得最小值，此时最小值为． (1)如图3，在中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求的最小值． 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足，连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长． (3)如图5，在中，，是边上的高，且，，请直接写出的长为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）证明点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小，再进一步求解即可； （2）如图，作以为直径的圆，连接，交于点O，证明，可得， 点P的运动路径是以为直径的圆的弧，再进一步求解即可； （3）如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接，，，证明四边形是矩形，可得，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，作以为直径的， ， ． ， ． ， 点P在以为直径的上． ∴连接交于点P，此时最小． 点O是的中点，， ， 在中，，，， ， 的最小值为； （2）解：如图，作以为直径的圆，连接，交于点O， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴DAE+ADP=ADP+CDF=ADE=90° ∴， 点P在运动中保持， 点P的运动路径是以为直径的圆的弧， 点P的运动路径长为． （3）解：如图，作的外接圆，过圆心O作于点E，作于点F，连接，，， ∵是边上的高， ∴OED=OFD=FDE=90° ∴四边形是矩形， ∴，， ， ． 在中，， ， ，O为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章圆的基本性质（高效培优单元自测·强化卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.如图，A、B、C是⊙0上的点，若∠AOB=60°，则∠ACB的度数为() B A.60° B.50 C.40° D.30 2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是直径，延长AD与BC相交于点E,连接OD,若 AB=BC,∠COD=42°，则∠DCE的度数为() E D A.42° B.45° C.66° D.72° 3.如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，点P表示筒车的 一个盛水桶，如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心的圆，且圆心在水面上方，若 圆被水面截得的弦AB长为8m,筒车工作时盛水桶在水面以下的最大深度为2m,则筒车的直径是() 水面\4 图1 图2 A.8m B.10m C.12m D.13m 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OAB 4.如图，在扇形 4B中，点C在B上，连按oC,4C,8C,∠1C8=132°.若B0C=2∠40C,则 AC 的度数为() C A.16° B.24° C.32 D.36° 5如图，B为0的直径，点C,D在o0上，点4为劣CD的中点，连接4D,OD,0C,BC.若 ∠ADO=52°，则∠ABC的度数为() 0 A.38° B.42° C.46° D.52 6.如图，己知⊙0的半径为2，P是⊙0外一点，OP=4,Q是⊙0上的动点，线段PO的中点为M,连结 OP,OM,则线段OM的最小值是() A.0 B.0.5 C.1 D.1.5 7.如图，把0 0(不完整)分成相等的”段弧，其中4，，是其中的三个等分点，连接44,44 者<A44=18 ,依次连接各等分点得到的图形为() 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A A.正十边形 B.正九边形 C.正八边形 D.正六边形 ⊙0 8,如图，在O中，点C为MB的中点，将弦1B上方的部分沿弦1B翻折，使点C与圆心0重合.点D AB 为优弧1B上一点，连接BD,CD,BC.若∠BCD=30°，AB=6N5 则CD=() 3V3+3v6 B.6V5 C3+3V5 D.6V2 9.城市公园规划中，设计师设计了一个半圆形的景观区域，已知半圆的直径AB=4,C,E是半圆上两点， 且∠BAC=∠ABE=30°，连接CE.现分别以点A、点B为圆心，AC的长为半径画弧交AB于点D、点F, 施工人员计划在图中阴影部分铺设彩色地砖，图中阴影部分的面积为() E B D A.5 B.32 D5-骨 10.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA,OB,OC,AC,下列不能判断四边形ABCO 是菱形的是() 3/10 函学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 B A,点B是1C的中点， ∠D=60° B.OA∥BCAB∥OC C.∠AOB=∠D∠OAC=∠BAC D.∠AOB=∠D,点B是MC 的中点 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分. 1,如图，点B是AC的中点，若∠10B=60°，则MBC的度数是 B 12.如图，AB是O0的直径，弦CD⊥AB于点E,CD=10,BE=2,则⊙0的半径OC= B D 13.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别以点A,C为圆心，AO长为半径画弧，分别交 AB,CD于点E,F.若BD=6,∠CAB=40°，则图中阴影部分的面积为 (结果保留π) F C O A B E 4/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.如图所示，四边形ABCD是菱形，OO经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE.若 ∠D=68°，则∠EAC的度数为一· 0 15.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P在第一象限，⊙P与x轴交于O,A两点，点A的 (6,0)⊙P 坐标为， 的半径为 13 3,则点P的坐标为 A6,0)衣 16.如图，己知三角形ABC为等腰直角三角形，AC=BC=8米，以C为圆心，8米长为半径画弧，以BC 为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积 (结果保留π) 8厘米 B 8厘米 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.如图，AB为⊙O的直径，C,D为圆上的两点，OC∥BD,OC交AD于点E. 5/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B (1)求证：∠AOC=∠COD. (2)若AD=16,CE=4,求⊙0的半径. 18.如图，△ABC内接于⊙O,连接OA,OB,OC, B (1)若∠COB=100°，∠ACB=40°，求∠C0A的度数. (②)若AC∥OB,AB=5,OC=4,求BC的长. “是⊙0的直径，CD是⊙0。 19.如图，1B是⊙0 是的弦，CDLAB 于点5.C是的中点接 A B (I)求证：AF=CD, (2)若AE=2,AF=10,求⊙0的半径. ∴.AC=AD, C是AF的中点， ∴.AC=CF ∴.AC+CF=AC+AD,即AF=CD, 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.△ABC内接于⊙0，且点A,B,C,O均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图. 图1 图2 (1)在图1中找一个格点D(点D不与点C重合)，画出∠ACD,使∠ACD=90°： (2)在图2中的圆上找一点F,使得BF平分∠ABC 21.如图，OO为△ABC的外接圆，AD⊥BC交BC于点D,直径AE平分∠BAD交BC于点F,连接BE (I)证明：∠AEB=∠AFD； (2)若AB=10,BF=5,求AF的长. 22.【定义】如图1，AB是⊙O的直径，平移直径AB得到平行四边形ABCD,当对边CD的中点M落在 圆上时，我们称这个平行四边形是⊙O的“环中点平四”， 图1 图2 (1)【探究1】求证：AB=2AD (2)【应用】在（探究1）的条件下，当点C落在⊙0上时，且AB=2,求平行四边形ABCD的面积. (3)【探究2】如图2，在正方形ABCD中，AB=6,以CD为直径作⊙0，平移直径CD得到线段PO,当 7/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 平行四边形PODC是O0的“环中点平四”时，直接写出B的最大值. 23.已知，在半圆O中，直径AB=8,点C,D在半圆AB上运动，弦CD=4, D D D M B 图1 图2 图3 (1)如图1，当∠DAB=∠CBA时，求证：△CAB≌△DBA: (2)如图2，若∠DAB=15°时，求图中阴影部分（弦AD、直径AB、弧BD围成的图形）的面积： (3)如图3，取CD的中点M,点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中：①点M 到AB的距离的最小值是 ②直接写出点M的运动路径长 24.【材料阅读】 如图1，在R1△1BC中，B=90°，4B=6,BC=4,以B为直径的O0交4C于点D,点P是 BD上的 一个动点，连接CP,求CP的最小值. D B 图1 解题思路：连接OC与⊙O交于点E,如图2.当点P运动到交点E时，CP取得最小值，此时最小值为 5-3=2 8/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 图2 (I)如图3，在Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=10,BC=6,P是△ABC内部的一个动点，且满足 ∠PAB=∠PBC,求CP的最小值. 图3 【迁移拓展】 (2)如图4，在正方形ABCD中，AD=12,动点E,F分别在边DC,CB上移动，且满足DE=CF,连接 AE和DF,交于点P.点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，求点P运动路径的长. 图4 (3)如图5，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=3,CD=1,请直接写出AD的长为 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 图5 10/10函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第3章圆的基本性质（高效培优单元自测·强化卷) （考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C A C A B A 0 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.120°/120度 29 12.4 13.2π 14.12°/12度 15.(6,2) 16.(12π-24 平方米 三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分，解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(1).AB是⊙0的直径， .∠ADB=90 又·OC‖BD ∠AE0=∠ADB=90°， 即OC⊥AD ..AC-CD .LA0C=∠C0D.-4分 (2)10 1/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)由直径所对的圆周角∠ADB为直角与OCBD,得OC垂直于AD,根据垂径定理可得OC 平分弧AD,进而可证对应圆心角∠AOC=∠COD (2)设圆O半径为r,则OE长度可表示为r-4;由垂径定理可知E为AD中点，得AE长度为AD的一半： 在Rt△OAE中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径. 【详解】(1)略 (2)解：设⊙0的半径为”， CE=4, ..OE=OC-CE=r-4 AD=16,由(1)知，OC1AD, 1 .'AE=AD=8 2 在Rt△AOE中，由勾股定理AE2+OE2=OA, 82+(r-4)2=r2 代入得 解得r=10 因此，⊙0的半径为10.-8分 18.(1)20° 月3 【分析】（山）根据圆周角定理，先由C8=0°求出Bx ∠A0B=80°，再用 ∠C0B=100° ”对应的圆心 减去∠AOB,直接算出∠COA=20°」 (2)延长CO构造直径CD,连接BD,得到直角三角形CBD;由AC‖OB和半径相等，推出 ∠DOB=∠AOB ,进而得 DB=AB=5 :最后在RiACBD 中，用勾股定理算出 BC=39 【详解】(1)解：：∠ACB=40°， .∠AOB=2∠ACB=80° .∠COB=100° .∠C0A=∠COB-∠A0B=20°.--4分 2/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：如图，延长CO交⊙0于点D,连接BD. D 是 的直径， B CD⊙O ∴.∠CBD=90° .OC=4,AB=5 .CD=20C=8 :0A=OC, .∠OCA=∠OAC, .AC∥OB .∠OCA=∠DOB,∠OAC=∠AOB ∴∠DOB=∠AOB .DB=AB=5, ..BC=CD2 DB2=82-52=39 -8分 19.(1) 证明：AB是OO的直径，CD⊥AB于点E, ∴.AC=AD, :C是AF的中点， .AC=CF, .AC+CF=AC+AD,AF=CD, AF=CD:-4分 29 (24 【分析】(1)根据垂径定理得AC=AD,由C是AF的中点即可得AC=CF,进而得AF=CD,根据圆 心角定理，即可证明结论； (2)连接OD,根据垂径定理及勾股定理，即可列方程求解. 3/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)略： (2)解：如图，连接OD, B E 由(1)可知AF=CD=10 设⊙O的半径为r,则OA=OD=r, AE=2, ∴OE=OA-AE=(r-2) CD⊥AB于点E, :.DE-ICD-5, 2 ÷在Ra0DE中，0E+DE2=OD2,即-2+S2=r2 解得r 29 4’ 29 ⊙0的半径为4.8分 20.(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)取格点D,连接AD,CD,由勾股定理及其逆定理可知∠ACD=90°； (2)取格点G,H,连接GH,此时交AC于一点L,作直线O,交⊙0于点F,连接BF,此时点F为优 弧4C的中点，则AF=CF,则∠ABF=∠CBF,可得到BF平分∠ABC 【详解】(1)解：如图，∠ACD即为所求： 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 4分 (2)解：如图，点F即为所求： -8分 G B 21.(1)证明：：AE平分∠BAD, .∠BAF=∠DAF, AD⊥BC, .∴∠DAF+∠AFD=90°， :AE为⊙0的直径， .∠ABE=90° ∠AEB+∠BAF=90°， .∠AEB=∠AFD:-4分 ②35 【分析】(1)根据圆周角定理得到∠ABE=90°，根据等角的余角相等证明结论： (2)过点B作BH⊥AE于H,根据勾股定理求出AE,根据三角形的面积公式求出BH,根据勾股定理计 算即可. 【详解】(1)略 (2)解：过点B作BH⊥AE于H,如图， D E ·∠AFD=∠BFE∠AFD=∠AEB .∠BFE=∠AEB, 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..BE=BF=5, 在Rt△ABE中，AB=I0,∠ABE=90°， 则4E=VAB+BE=5+102=55 S.ImE-AB-BE-T AE.BH, BH=4B:BE-10x5=25, AE 55 ..EH FH=BE2-BH2=5 .AF=AE-EF AE-2EH=35 8分 22.(1)证明：如图，连接OM, A O-----M 四边形 是平行四边形， ABCD ∴.ABIICD AB=CD M是CD中点，O是AB中点， :.OA-4B,DM-7CD 1 2 ∴.OA=DM, 四边形AOMD是平行四边形， :.AD=OM, M落在圆上， ow 0 .AB=2AD;…4分 ② 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 36V2+3 【分析】(1)连接OM,先证明四边形AOMD是平行四边形，可得OM=AD,进而可证得结论： (2)连接AC,根据直径所对的圆周角是直角，结合勾股定理和(1)中的结论，求得AC,即可求解； (3)利用探究(1)的结论可知点Q在以点D为圆心，半径为3的圆上，然后根据正方形的性质和勾股定 理求得BD即可解答. 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接AC, A D O 点C落在圆上， 是 直径， AB⊙O .∠ACB=90° 由(1)可知AB=2AD=2, AD=1, 四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC=1, ∴在Rt△ABC中，AC=VAB2-BC=5 ABCD 平行四边形 的面积 =BC×AC=1×V3=V5 7分 (3)解：如图，连接BD, O D C 图2 ,四边形ABCD是正方形，AB=6, AB=CD=BC=6,∠BCD=90°， 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BD=BC2+CD-62 :平行四边形PQDC是⊙0的“环中点平四”， 由(1)可知，CD=2D0, .D0=3, ∴点Q在以点D为圆心，半径为3的圆上（不包括点O),如图所示， :当点BD、O在同一直线上，且D在线段BQ上时，BO取得最大值， D+DO=6V2+3 最大值为 ---10分 23.(1)证明：AB是直径， ∴.∠ACB=∠BDA=90° .∠DAB=∠CBA, ∴.AC=BD(相等的圆周角所对的弦相等)， AC=BD 在Rt△CAB和RtoDBA中， AB=BA, .△CAB≌DBACHL）;-3分 (②)3π+4 4V3 3)0V5②3π 【详解】(1)略 (2)解：如图，过D作DH⊥AB于H, C B H ,半圆O中，直径AB=8, 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .0A=0D=4, ∠DAB=15°， .∠AD0=15° :.∠DOB=∠DAB+∠ADO=30°， ADH=20D=2,Sn5w=3603 30元×424 2 :5m=0ixnH=x4x2=-4, 4 .S影毫分=S形0s+S.40o-3不+4；…7分 (3)解：①如图2，连接OC,OD,OM,过M作ME⊥AB于E. D B 图2 ,直径AB=8,弦CD=4, ..OC=OD=CD=4. ∴△COD是等边三角形， M是CD的中点， :.CM-CD-2.OMLCD .OM -OC-CM:-2 ME=VOM?-OE=12-OE ∴当OE最大时，ME最小， 而当C与A重合（或D与B重合）时，OE最大，如图3. M (C)业 图3 9/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△COD是等边三角形，M是CD的中点， .∠MOC=30°， :ME=OM=5,即点M到AB的距离的最小值是5： ②如图4. D M 0 图4 由①知， 0M=25 ∴.M的轨迹是以O为圆心， 2W3 为半径的弧， 当C与A重合时，∠AOM=30°， 同理，当D与B重合时，∠BOM'=30°， ∴.∠M0M'=180°-30°-30°=120°」 120元×2√54V5 .点M的运动路径长为180 3π .-10分 24.0v6-5 (2)3π 3)7+2 【分析】(1)证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P,此时CP最小，再进一步求解即 可； （2)如图，作以D为直径的圆，连接1C,BD交于点O,证明△1DE≌△DCF(SAS), 可得 ∠APD=9O°，点P的运动路径是以AD为直径的圆的弧DP0,再进一步求解即可； (3)如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E,作OF⊥AD于点F,连接OA,OB,OC, 证明四边形OEDF是矩形，可得OF=DE,OE=DF,再进一步求解即可. 10113 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：如图，作以AB为直径的⊙0 D C:∠ABC=90° .∠ABP+∠PBC=90° :∠PAB=∠PBC, ∴.∠BAP+∠ABP=90° .∠APB=90° 六点P在以8为直径的 0 上 ∴连接OC交⊙0于点P,此时CP最小. 点O是AB的中点，AB=10, .0A-OB=AB=5 在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=6,OB=5, ∴.OC=VBC2+OB2=V61 ∴.CP=OC-OP=V6I-5 ∴C 的最小值为V6-5 :…4分 (2)解：如图，作以AD为直径的圆，连接AC,BD交于点O, 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ,正方形ABCD .AD=CD,∠ADE=∠DCF=90°， DE=CF, :△MDE≌ADCF(SAS) .∠DAE=∠CDF, .∴.∠DAE+∠ADP=∠ADP+∠CDF=∠ADE=90° ∠APD=90°， 点P在运动中保持∠APD=90°， ∴，点P的运动路径是以AD为直径的圆的弧DPO, 90元×6=3元 :点P的运动路径长为180 -…-8分 (3)解：如图，作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E,作OF⊥AD于点F,连接OA,OB, 0C, ,AD是BC边上的高， ∴.∠OED=∠OFD=∠FDE=90 ∴四边形OEDF是矩形， ..OF=DE,OE=DF, B E DC ·.·∠BAC=45o .∠BOC=90° 12113 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△BOC中，BC=BD+DC=3+1=4, .B0=C0=2√2 :OE⊥BC,O为圆心， :.BE=1BC=2 .'DE =OF =BD-BE =1. 在R△BOE中，B0=22,BE=2 ∴.OE=DF=2 在Rt40F中，M0=25.0F=DE=1, AF=√万， AD=AF+DF=7+2.…12分 13113