第1章 二次函数单元练习 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 浙教版2024九年级上二次函数单元卷，覆盖定义、图像性质、实际应用等核心知识，基础与综合题梯度分布，适配单元复习，培养数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|12|二次函数定义、顶点坐标、最值、图像与系数关系|结合图像辨析（如第5题），考查抽象能力| |填空题|5|对称轴、二次函数条件、图像与不等式|综合结论判断（如第16题），体现推理意识| |解答题|5|利润模型（18题）、隧道抛物线（19题）、动点与最值（22题）|实际情境应用，培养模型意识与几何直观|

浙教版（2024）九年级上 第1章 二次函数 单元练习 一．选择题（共12小题） 1．下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（　　） A．y=ax2+bx+c B． C．y=4（x-1）2 D．y=（x+1）2-x2 2．二次函数的解析式为y=（x-2）2+1，则它图象的顶点坐标是（　　） A．（-2，1） B．（2，-1） C．（2，1） D．（1，2） 3．二次函数y=3（x-5）2-1的最小值为（　　） A．-5 B．5 C．1 D．-1 4．在函数y=2x2+4x-5的图象上有三点，A1（-2，y1），A2（-1，y2），A3（1，y3），则下列各式中，正确的是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 5．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项正确的是（　　） A．a＞0，b＞0，b2-4ac＞0 B．a＜0，b＞0，b2-4ac＞0 C．a＜0，b＞0，b2-4ac＜0 D．a＜0，b＜0，b2-4ac＞0 6．抛物线y=x2-bx+1与x轴有唯一的一个交点时，b的值是（　　） A．0 B．2 C．-2 D．±2 7．二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）的图象经过点（2，0），且与y轴交于正半轴，其对称轴是直线 x=-1．则下列结论中正确的是（　　） A．b2-4ac＜0 B．b+2a=0 C．ab＜0 D．4a-2b+c＞0 8．在平面直角坐标系中，两点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线y=ax2-2ax（a＞0），则下列结论中正确的是（　　） A．当x1＜0且y1•y2＜0时，则0＜x2＜2 B．当x1＜x2＜1时，则y1＜y2 C．当x1＜0且y1•y2＞0时，则0＜x2＜2 D．当x1＞x2＞1时，则y1＜y2 9．已知点A（1，y1），B（2，y2），C（-2，y3）均在抛物线y=（x-2）2+k上，下列说法正确的是（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 10．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A． B．b＜10 C．abc＜0 D．a+b+c=2 11．一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 12．已知抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，且a≠0）的对称轴为直线x=-1，其与x轴的一个交点为A（1，0），与y轴的交点C在点（0，-2），（0，-3）之间（不含端点），有下列结论： ①abc＞0； ②2a+b+c＞0； ③； ④若方程ax2+（b-1）x+c-1=0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），则-3＜x1＜1＜x2； ⑤抛物线上有M（m-2，y1），N（m+1，y2），当y1＞y2时则m的取值范围是． 其中，正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二．填空题（共5小题） 13．抛物线y=（x+1）2+2的对称轴是直线______． 14．若y=（m-2）x2-4x是y关于x的二次函数，则m的取值范围是______． 15．函数y=-x2+bx+c图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是______． 16．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线x=1，点B的坐标为（-1，0）．则下面几个结论：①abc＜0；②2a+b=0；③不等式ax2+bx+c＜0的解为-1＜x＜3；④am2+bm≤a+b；⑤3c=2b,其中正确的序号为______． 17．已知二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（-1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，3＜m＜4．有下列结论： ①关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n+1=0（a≠0）有两个不相等的实数根； ②当x＞-1时，y的值随x值的增大而增大； ③； ④4a-2b+c＜0； ⑤对于任意实数t,总有（t+1）（at-a+b）≤0． 其中所有正确结论的序号是______． 三．解答题（共5小题） 18．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，当销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为x元（x＞40），销售该品牌玩具获得的利润为w元． （1）求出w与x之间的函数关系式； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 19．如图所示的是隧道的截面，其由抛物线和矩形构成，矩形的长是12m、宽是4m,按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m,到地面OA的竖直距离为． （1）求抛物线的函数表达式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； （2）在抛物线形拱壁上安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果两排灯的水平距离不大于，那么灯离地面的最小高度是多少米？ 20．在平面直角坐标系中，已知A（-2，y1），B（1，y2），C（4-t,y3），D（2t-1，y4）是抛物线y=-x2+2tx（t≠0）上的四个点，且任意两点都不重合． （1）直接写出抛物线y=-x2+2tx（t≠0）与x轴的交点坐标（可用含t的代数式表示）； （2）将抛物线在点A，B之间的部分（含A，B）所有点的纵坐标的最小值记为m,并将抛物线在C，D之间的部分（含C，D）所有点的纵坐标的最小值记为n,若m＜n,求t的取值范围． 21．已知二次函数y=ax2+bx（a,b是常数，a≠0）的图象经过点（1，4），对称轴为直线x=． （1）求该二次函数解析式； （2）已知点A（x1，y1）在二次函数y=ax2+bx的图象上，点B（x2，y2）在二次函数y=x2-mx+n的图象上． ①当m=0时，若对任意的x1，x2，恒有y1≤y2，试判断n的取值范围； ②当n=0时，若对任意的x1，x2，当满足x1-x2=3时，恒有y1y2≤0，则当y1≠0时，求的值． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线x=-2与x轴交于点C，与抛物线y=-x2+bx+c交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点B（1，0），且AC=2BC． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直于x轴于点D，交线段AB于点E，使DE=3PE． ①求点P的坐标； ②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为以AB为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 浙教版（2024）九年级上 第1章 二次函数 单元练习 (参考答案) 一．选择题（共12小题） 1、C 2、C 3、D 4、C 5、B 6、D 7、D 8、A 9、B 10、B 11、B 12、B  二．填空题（共5小题） 13、x=-1； 14、m≠2； 15、-1＜x＜3； 16、①②④； 17、①③⑤；  三．解答题（共5小题） 18、解：（1）由题意得w=（x-30）[600-10（x-40）]， 整理得w=-10x2+1300x-30000， 答：w与x之间的函数关系式为w=-10x2+1300x-30000； （2）由题意得， 解得44≤x≤50， ∵w=-10x2+1300x-30000=-10（x-65）2+12250，-10＜0， ∴当x=50时，函数取得最大值，且最大值为-10×（50-65）2+12250=10000， 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 19、解：（1）由题意知，，B（0，4）， 将点B（0，4），代入中，得 ，解得， ∴， ， ∴抛物线的顶点坐标为D（6，10）， ∴拱顶D到地面OA的距离为10m； （2）如图，设两排灯的截面图分别为点P、Q． 当时，由抛物线的对称性可知：点Q的横坐标为， 将代入得：， 根据图象，易知当灯离地面的高度y≥8时，， 即灯离地面的最小高度是8m. 20、解：（1）当y=0时，-x2+2tx=0，即x（x-2t）=0， 解得：x1=0，x2=2t, ∴抛物线y=-x2+2tx（t≠0）与x轴的交点坐标为（0，0），（2t,0）； （2）抛物线y=-x2+2tx的对称轴为直线x=t. 由题意，点A（-2，y1）在点B（1，y2）的左侧，点B（1，y2）与D（2t-1，y4）关于对称轴直线x=t对称，y2=y4， ∵A，B，C（4-t,y3），D（2t-1，y4）四点中，任意两点不重合， ∴-2≠4-t,-2≠2t-1，1≠4-t,1≠2t-1，4-t≠2t-1， ∴t≠1，t≠，t≠3，t≠6． ∵a=-1＜0， ∴当x≤t时，y随x的增大而增大，当x≥t时，y随x的增大而减小． ①当t≤-2时，∵-2＜1，∴y1＞y2， ∴m=y2． 由y2=y4可知，不符合题意． ②当t＞-2时，点A在对称轴的左侧． 点A（-2，y1）关于直线x=t的对称点为A′（2t+2，y1）． ∵m＜n, ∴m=y1， ∴-2＜4-t＜2t+2且2t-1＞-2． 解得：＜t＜6． 综上所述，t的取值范围是＜t＜6且t≠1且t≠且t≠3． 21、解：（1）由二次函数对称轴公式，结合已知条件列方程组：， 整理方程组得：， 将b=-3a代入第二个方程：a-3a=4， 计算得a=-2， 代入得b=6． 因此该二次函数解析式为y=-2x2+6x； （2）①当m=0时，第二个二次函数解析式为y=x2+n. 由题意对任意的x1，x2， 恒有y1≤y2， 即对任意实数x, 不等式x2+n＞-2x2+6x恒成立． 整理不等式得：3x2-6x+n＞0， 该一元二次不等式对所有实数x恒成立， 且二次项系数3＞0， ∴Δ=（-6）2-4×3×n＜0， 计算得：36-12n＜0， 解得n＞3； ②当 n=0时，第二个二次函数解析式为y=x2-mx. 由条件x1-x2=3， 可得x2=x1-3． 将x2=x1-3代入第二个函数，得：， 已知对任意满足x1-x2=3的x1，x2， 恒有y1y2≤0， 其中． 将y1因式分解得y1=-2x1（x1-3）， 代入乘积不等式：， 提取公因式（x1-3）后整理得：， 由于恒成立， 两边同时除以-2， 不等号方向改变， 可得：x1（x1-3-m）≥0， 该不等式对所有实数x1恒成立， 因此二次函数y=x1（x1-3-m）的两个零点重合， 即 3+m=0，解得m=-3． 将m=-3代入y2的表达式：， 对， 可得y1=-2y2． 因此当y1=0时，． 答：（1）二次函数解析式为y=-2x2+6x； （2）①的取值范围是n＞3； ②的值为． 22、解：（1）∵直线x=-2与x轴交于点C， ∴点C（-2，0）， ∵B（1，0）， ∴BC=3， ∵AC=2BC， ∴AC=6， ∵直线x=-2与抛物线交于点A， ∴点A（-2，6）， 把点A、B的坐标代入解析式，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：y=-x2-3x+4； （2）①∵P是直线AB上方的抛物线上的一点， ∴设点P的坐标为（a,-a2-3a+4）， 设直线AB的解析式为yAB=kx+b, 将点A、B的坐标代入解析式，得： ，解得：， ∴直线AB的解析式为：y=-2x+2， ∵PD⊥x轴于点D，交AB于点E， ∴点E的坐标为（a,-2a+2）， ∴DE=-2a+2，PE=-a2-3a+4-（-2a+2）=-a2-a+2， ∵DE=3PE， ∴-2a+2=3（-a2-a+2），解得：a1=1（舍去），a2=， 当x=时，y==， ∴点P的坐标为（，）； ②∵点M在直线PD上， ∴设点M的坐标为（，m）， ∵点A（-2，6），点B（1，0）， ∴AB==，AM=，BM=， ∵△ABM为以AB为直角边的直角三角形， Ⅰ：当BM为斜边时，可得：AB2+AM2=BM2， 即45++（6-m）2=+m2，解得：m=， ∴点M的坐标为（，）； Ⅱ：当AM为斜边时，可得：AB2+BM2=AM2， 即45++m2=+（6-m）2，解得：m=， ∴点M的坐标为（，）； 综上所述，符合题意的点M的坐标为M1（，）、M2（，）． 学科网（北京）股份有限公司 $