第1章 二次函数 能力评价 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 这份二次函数同步练习通过基础概念辨析、性质综合应用及实际情境探究的三层设计，实现从单一知识点到复杂问题解决的能力进阶，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数定义、图像顶点与平移|选择题1-5题直接考查概念辨析，填空题11-12题强化基本运算| |中档|性质应用与简单综合|选择题6-8题结合点坐标比较与图像交点分析，填空题13-14题渗透数形结合思想| |拔高|含参数问题与实际建模|解答题20题经济利润模型、23题矩形面积探究，培养创新意识与应用能力|

第1章 二次函数 能力评价 (满分：120分　时间：120分钟) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1.二次函数y=(x－4)2＋5的图象上最低点的坐标为(　A　) A.(4，5) B.(－4，5) C.(4，－5) D.(－4，－5) 2.把二次函数y=－x2－2x＋3配方成y=a(x－m)2＋k的形式为(　B　) A.y=－(x－1)2－4 B.y=－(x＋1)2＋4 C.y=－(x－1)2＋2 D.y=－(x＋1)2－2 3.将抛物线y=(x－6)2＋3向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到新抛物线的表达式为(　B　) A.y=(x－8)2＋5 B.y=(x－4)2＋5 C.y=(x－8)2＋3 D.y=(x－4)2＋3 4.函数y=ax2－a(a≠0)的图象可能是(　D　) A. B. C. D. 5.如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c的对称轴为直线x=2，点A，B均在抛物线上，且直线AB与x轴平行。若点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为(　D　) A.(2，3) B.(3，2) C.(3，3) D.(4，3) 6.已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y=3x2＋bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是(　A　) A.1＜y1＜y2 B.y1＜1＜y2 C.1＜y2＜y1 D.y2＜1＜y1 【解析】 ∵y=3x2＋bx＋1， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=－=－。 ∵当x=0时，y=1，∴抛物线过点(0，1)， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大。 ∵3＜b＜4，∴－＜－＜－。 ∵=－＞－=－1＜－， ∴点A(－2，y1)到对称轴的距离大于点(0，1)到对称轴的距离，小于B(1，y2)到对称轴的距离， ∴1＜y1＜y2。 7.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2－2ax＋a－3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是(　D　) A.图象的开口向下 B.当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于－3 D.当x=2时，y＜0 【解析】 由题意可得，方程ax2－2ax＋a－3=0的两根异号， ∴x1x2=＜0。 若a＜0，则a－3＜0，则＞0，与x1x2＜0矛盾， ∴a＞0，A错误； ∵y=ax2－2ax＋a－3(a＞0)的图象对称轴为直线x=－=1， ∴当x＞1时，y随x增大而增大，B错误； ∵当x=1时，y=－3， ∴函数的最小值为－3，C错误； 当x=2时，y=4a－4a＋a－3=a－3， ∵a＞0，＜0， ∴a－3＜0，∴此时y＜0，D正确。 8.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=－x2＋2x＋(x＞0)，则水流喷出的最大高度是(　B　) A.3 m B.2.75 m C.2 m D.1.75 m 【解析】 y=－x2＋2x＋=－(x－1)2＋1＋=－(x－1)2＋。 ∵－1＜0，∴当x=1时，y取最大值，最大值为，即2.75米。 9.已知二次函数y=2x2－4x－1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为(　D　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 ∵二次函数y=2x2－4x－1=2(x－1)2－3， ∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1，－3)，开口向上。 又∵当x=0时，y=－1， ∴当x=a时，y=15， ∴2(a－1)2－3=15， 解得a1=4，a2=－2。 ∵0≤x≤a，∴a≥0，∴a的值为4。 10.如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，与y轴交点坐标是(0，m)且2＜m＜3。有下列结论：①abc＜0；②9a－3b＋c＞0；③＜y最大值＜；④关于x的一元二次方程ax2＋(b－1)x＋c－2=0必有两个不相等实根；⑤若点A(n，y1)，B(n＋1，y2)，C(n＋2，y3)在抛物线y=ax2＋bx＋c上，则当y1＜y3＜y2时，n的取值范围是－＜n＜0。其中正确的是(　B　) A.①③ B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤ 【解析】 ∵抛物线开口向下，∴a＜0。 ∵对称轴为直线x=1，∴－=1， ∴b=－2a＞0。 又∵抛物线与y轴交点坐标是(0，m)，即c=m，而2＜m＜3， ∴c＞0，∴abc＜0，①正确。 ∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，对称轴为直线x=1， ∴另一个交点坐标为(－2，0)， ∴由函数图象可知，当x=－3时，y=9a－3b＋c＜0，②错误。 ∵点(－2，0)在抛物线上，∴4a－2b＋c=0。 又∵b=－2a，∴4a＋4a＋c=0， ∴8a＋c=0，∴c=－8a。 ∵2＜m＜3，即2＜c＜3， ∴2＜－8a＜3，∴＜－9a＜。 当x=1时，y取得最大值，最大值为a＋b＋c=a－2a－8a=－9a， ∴＜y最大值＜，③正确。 如答图，作直线y=x＋2，则与抛物线的一个交点是(－2，0)，与y轴的交点是(0，2)。 第10题答图 又∵2＜m＜3，∴由图象得直线与抛物线必有两个交点， ∴方程ax2＋bx＋c=x＋2必有两个不相等的实数根，即一元二次方程ax2＋(b－1)x＋c－2=0必有两个不相等实根，④正确。 (结论④还可由代数法判断： ∵ax2＋(b－1)x＋c－2=0，b=－2a，c=－8a， ∴ax2＋(－2a－1)x－8a－2=0， ∴Δ=(－2a－1)2＋4a(8a＋2)=36a2＋12a＋1=(6a＋1)2。 ∵2＜－8a＜3，∴－＜a＜－， ∴(6a＋1)2＞0， ∴ax2＋(b－1)x＋c－2=0有两个不相等实根，故④正确。) 若点A(n，y1)，B(n＋1，y2)，C(n＋2，y3)在抛物线y=ax2＋bx＋c上，且y1＜y3＜y2， 则由y2＞y3，得＞1，由y3＞y1，得＜1， ∴－＜n＜0，⑤错误。 综上所述，正确的是①③④。 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11.(3分)抛物线y=－(x＋2)2＋6与y轴的交点坐标是　(0，2)　。  12.(3分)二次函数y=－x2－4x＋5的最大值为　9　。  13.(3分)如图所示为二次函数y=ax2－3x＋a2－1(a≠0)的图象，则a的值为　－1　。  【解析】 由图象可知，抛物线经过原点(0，0)， ∴a2－1=0，解得a=±1。 又∵图象开口向下，∴a=－1。 14.(3分)当0≤x≤3时，直线y=a与抛物线y=(x－1)2－3有交点，则a的取值范围是　－3≤a≤1　。  【解析】 抛物线y=(x－1)2－3的顶点坐标为(1，－3)。 当x=0时，y=－2；当x=3时，y=1， ∴当0≤x≤3时，－3≤y≤1， ∴直线y=a与抛物线有交点时，a的取值范围是－3≤a≤1。 15.(3分)已知二次函数y=ax2－4ax＋3a(a≠0)。若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为  或－4　。  【解析】 ∵二次函数y=ax2－4ax＋3a=a(x－2)2－a， ∴抛物线的对称轴是直线x=2。 ∵1≤x≤4， 当a＞0时，抛物线开口向上， ∴x离对称轴越远，函数值y越大， ∴当x=4时，y有最大值， ∴a×(4－2)2－a=4，解得a=； 当a＜0时，抛物线开口向下， 当x=2时，y有最大值， ∴－a=4，解得a=－4。 综上所述，a的值为或－4。 16.(3分)某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面示意图如图所示，球台长度AB=274 cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC=12 cm，出球管道CD=5 cm。若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD'的位置，则发球机模式为“跳球”，路线呈抛物线，在离球台正中间的球网GH左侧72 cm处到达最高点，并高出台面21 cm。如果此时发球，那么乒乓球落台点E与球台端线点B之间的距离EB=　209－30　cm(结果保留根号)。  【解析】 以AC为y轴，AB为x轴，A为原点建立平面直角坐标系，如答图所示。 第16题答图 设抛物线最高点为N，对称轴MN与x轴相交于点M， 则MN=21 cm，MH=72 cm，AB=274 cm。 由题意，得AH=AB=137 cm， ∴AM=AH－MH=137－72=65(cm)， ∴设抛物线的函数表达式为y=a(x－65)2＋21(a＜0)。 过点D'作D'P⊥x轴于点P，交CD于点Q， 则∠CQD'=∠APQ=90°。 ∵∠D'CD=45°，CD'=CD=5 cm， ∴D'Q=CD'=5 cm， ∴D'P=D'Q＋PQ=5＋12=17(cm)， ∴点D'(5，17)， 代入抛物线的函数表达式，得a×(5－65)2＋21=17， 解得a=－， ∴y=－(x－65)2＋21。 令y=0，则－(x－65)2＋21=0， 解得x1=65＋30 ，x2=65－30 (舍去)， ∴点E(65＋30 ，0)， ∴EB=AB－AE=274－(65＋30 )=(209－30)cm。 三、解答题(本题有8小题，共72分) 17.(8分)已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，(0，－3)，求它的函数表达式。 解：把点(－1，0)，(3，0)，(0，－3)的坐标分别代入y=ax2＋bx＋c， 得解得 ∴它的函数表达式为y=x2－2x－3。 18.(8分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点坐标为(1，4)，且过点(－1，0)。 (1)(4分)求抛物线的函数表达式。 (2)(4分)将抛物线向左平移几个单位，可使得平移后的抛物线经过原点？ 解：(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x－1)2＋4(a≠0)， 把点(－1，0)的坐标代入，得 a(－1－1)2＋4=0，解得a=－1， ∴该抛物线的函数表达式为y=－(x－1)2＋4，即y=－x2＋2x＋3。 (2)设将抛物线向左平移m(m＞0)个单位，可使得平移后的抛物线经过原点，则平移后抛物线的函数表达式为y=－(x－1＋m)2＋4。 把点(0，0)的坐标代入，得－(0－1＋m)2＋4=0， 解得m1=3，m2=－1(不合题意，舍去)， ∴将抛物线向左平移3个单位，可使得平移后的抛物线经过原点。 19.(8分)如图，已知二次函数y=ax2＋x＋c(a≠0)的图象与y轴相交于点A(0，4)，与x轴相交于点B，C，点C的坐标为(8，0)，连结AB，AC。 (1)(4分)求二次函数y=ax2＋x＋c的表达式。 (2)(4分)判断△ABC的形状，并说明理由。 解：(1)∵二次函数y=ax2＋x＋c的图象与y轴相交于点A(0，4)，与x轴相交于点C(8，0)， ∴解得 ∴抛物线的函数表达式为y=－x2＋x＋4。 (2)△ABC是直角三角形。理由如下： 令y=0，则－x2＋x＋4=0， 解得x1=8，x2=－2， ∴点B的坐标为(－2，0)。 在Rt△ABO中， AB2=BO2＋AO2=22＋42=20， 在Rt△AOC中， AC2=AO2＋CO2=42＋82=80。 ∵BC=OB＋OC=2＋8=10， ∴在△ABC中，AB2＋AC2=20＋80=102=BC2， ∴△ABC是直角三角形。 20.(8分)哪吒是我国古典神话中家喻户晓的形象，2025年一部关于哪吒的国产动画电影热映，掀起了有关哪吒形象的文化热潮，某商家顺势推出A，B两款“哪吒”文旅纪念品。已知购进A款纪念品200个，B款纪念品300个，需花费14 000元；购进A款纪念品100个，B款纪念品200个，需花费8 000元。 (1)(2分)求A，B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元。 (2)(3分)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A，B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)(3分)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个。设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元，w表示该商家销售A款纪念品的利润(单位：元)，求w关于a的函数表达式，并求出w的最大值。 解：(1)设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元。 由题意，得解得 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元。 (2)设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 (400－m)个。 由题意，得40(400－m)＋20m≤12 000，解得m≥200， ∴m的最小值为200。 答：至少需要购进B款纪念品200个。 (3)由题意，得w=(a－40)[200－5(a－60)] =(a－40)(200－5a＋300) =(a－40)(500－5a) =500a－20 000－5a2＋200a =－5(a－70)2＋4 500。 ∵－5＜0，60≤a≤100， ∴当a－70=0，即a=70时，w最大，最大值为4 500。 21.(8分)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度为0.178 5 km，主缆最低处距离桥面0.001 5 km，桥面距离海平面约0.09 km。请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式。 解：答案不唯一。建立平面直角坐标系，如答图所示： 第21题答图 则抛物线的顶点坐标为(0，0.001 5)，点A，即点A(0.85，0.18)， 设该抛物线的表达式为y=ax2＋0.001 5(a≠0)。 将点A(0.85，0.18)代入，得0.18=0.852a＋0.001 5，解得a=， ∴该抛物线的表达式为y=x2＋。 22.(10分)已知二次函数y=x2－2tx＋3(t＞0)。 (1)(3分)若它的图象过点(2，1)，则t的值为多少？ (2)(3分)当0≤x≤3时，y的最小值为－2，求出t的值。 (3)(4分)如果A(m－2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，点B在对称轴右侧且a＜b＜3，求m的取值范围。 解：(1)将点(2，1)代入y=x2－2tx＋3，得1=4－4t＋3， 解得t=。 (2)抛物线y=x2－2tx＋3对称轴为直线x=t，开口向上。 若0≤t≤3，则当x=t时函数取最小值， ∴t2－2t2＋3=－2，解得t=； 若t＞3，则当x=3时函数取最小值， ∴9－6t＋3=－2， 解得t=(不符合题意，舍去)。 综上所述，t的值为。 (3)∵点A(m－2，a)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上， ∴二次函数y=x2－2tx＋3的图象对称轴直线x=t即为直线x==m－1， ∴t=m－1。 ∵t＞0，∴m－1＞0， 解得m＞1。 ∵m－2＜m，∴点A在对称轴左侧，点C在对称轴右侧。 在y=x2－2tx＋3中，令x=0得y=3， ∴抛物线y=x2－2tx＋3与y轴交点为(0，3)， ∴点(0，3)关于对称轴直线x=m－1的对称点为(2m－2，3)。 ∵b＜3，∴4＜2m－2， 解得m＞3。 ∵a＜b， ∴点B(4，b)到对称轴的距离大于点A(m－2，a)到对称轴的距离， ∴4－(m－1)＞m－1－(m－2)， 解得m＜4， ∴m的取值范围是3＜m＜4。 23.(10分)综合与实践。 矩形种植园最大面积探究 情境 实践基地有一长为12米的墙MN。研究小组想利用墙MN和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园。假设矩形一边CD=x米，矩形种植园的面积为S。 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边BC用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最大值。 探究 思考一：(1)将墙MN的一部分用来替代篱笆，按如图1的方案围成矩形种植园。 思考二：(2)将墙MN的全部用来替代篱笆，按图2的方案围成矩形种植园。 解决 问题 根据分析，分别求出思考一与思考二两种方案中的S的最大值，比较并判断矩形种植园的面积最大为多少。 解：(1)∵CD=x米，篱笆共40米，MN=12米， ∴BC=米， ∴S=(40－x)·x=－(x－20)2＋200。 由题意得0＜x≤12， ∴当x=12时，S取最大值，最大值为168平方米。 (2)AN=(x－12)米， ∴BC==(26－x)米(12≤x＜26)， ∴S=(26－x)·x=－(x－13)2＋169， ∴当x=13时，S取最大值，最大值为169平方米。 ∵168＜169， ∴矩形种植园的面积最大为169平方米。 24.(12分)阅读理解：【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称这三个实数x，y，z构成“友好数”。 【材料二】若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1＋x2=－，x1x2=。 问题解决：(1)(3分)实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由。 (2)(3分)若M1(t，y1)，M2(t－1，y2)，M3(t＋1，y3)三点均在函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“友好数”，求t的值。 (3)(6分)设三个实数x1，x2，x3是“友好数”且满足0＜x1＜x3＜x2，其中x1，x2是关于x的一元二次方程nx2＋mx＋n=0(n≠0)的两个根，x3是抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的一个交点的横坐标。 ①(3分)a＋b＋c=　0　。  ②(3分)设x=，y=，求y关于x的函数表达式。 解：(1)可以。理由如下： ∵62=4×9， ∴4，6，9可以构成“友好数”。 (2)∵y1，y2，y3构成“友好数”， ∴有三种可能： ①若=y2y3， 则k2t2=k(t－1)·k(t＋1)， 即t2=(t－1)(t＋1)，无解； ②若=y1y3， 则k2(t－1)2=kt·k(t＋1)， 即(t－1)2=t(t＋1)， 解得t=； ③若=y1y2， 则k2(t＋1)2=kt·k(t－1)， 即(t＋1)2=t(t－1)， 解得t=－。 综上所述，t的值为或－。 (3)①∵三个实数x1，x2，x3是“友好数”，且满足0＜x1＜x3＜x2， ∴=x1·x2。 ∵x1，x2是关于x的一元二次方程nx2＋mx＋n=0(n≠0)的两个根， ∴x1·x2==1， ∴=1， 又∵x3＞0， ∴x3=1。 ∵x3是抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的一个交点的横坐标， ∴a＋b＋c=0。 ②由①，得a＋b＋c=0， 两边同除以a， 得1＋=0， ∴=－－1=－x－1， ∴y==x2－x－1， 即y关于x的函数表达式为y=x2－x－1。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 二次函数 能力评价 (满分：120分　时间：120分钟) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分) 1.二次函数y=(x－4)2＋5的图象上最低点的坐标为( ) A.(4，5) B.(－4，5) C.(4，－5) D.(－4，－5) 2.把二次函数y=－x2－2x＋3配方成y=a(x－m)2＋k的形式为( ) A.y=－(x－1)2－4 B.y=－(x＋1)2＋4 C.y=－(x－1)2＋2 D.y=－(x＋1)2－2 3.将抛物线y=(x－6)2＋3向左平移2个单位后，再向上平移2个单位，得到新抛物线的表达式为( ) A.y=(x－8)2＋5 B.y=(x－4)2＋5 C.y=(x－8)2＋3 D.y=(x－4)2＋3 4.函数y=ax2－a(a≠0)的图象可能是( ) A. B. C. D. 5.如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c的对称轴为直线x=2，点A，B均在抛物线上，且直线AB与x轴平行。若点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为( ) A.(2，3) B.(3，2) C.(3，3) D.(4，3) 6.已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y=3x2＋bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是( ) A.1＜y1＜y2 B.y1＜1＜y2 C.1＜y2＜y1 D.y2＜1＜y1 7.在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2－2ax＋a－3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是( ) A.图象的开口向下 B.当x＞0时，y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于－3 D.当x=2时，y＜0 8.如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=－x2＋2x＋(x＞0)，则水流喷出的最大高度是( ) A.3 m B.2.75 m C.2 m D.1.75 m 9.已知二次函数y=2x2－4x－1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是(4，0)，与y轴交点坐标是(0，m)且2＜m＜3。有下列结论：①abc＜0；②9a－3b＋c＞0；③＜y最大值＜；④关于x的一元二次方程ax2＋(b－1)x＋c－2=0必有两个不相等实根；⑤若点A(n，y1)，B(n＋1，y2)，C(n＋2，y3)在抛物线y=ax2＋bx＋c上，则当y1＜y3＜y2时，n的取值范围是－＜n＜0。其中正确的是( ) A.①③ B.①③④ C.②④⑤ D.①③④⑤ 二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分) 11.(3分)抛物线y=－(x＋2)2＋6与y轴的交点坐标是　　。  12.(3分)二次函数y=－x2－4x＋5的最大值为　。  13.(3分)如图所示为二次函数y=ax2－3x＋a2－1(a≠0)的图象，则a的值为　－　。  14.(3分)当0≤x≤3时，直线y=a与抛物线y=(x－1)2－3有交点，则a的取值范围是　 　。  15.(3分)已知二次函数y=ax2－4ax＋3a(a≠0)。若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为  。  16.(3分)某校购买了一套乒乓球桌和自动发球机，侧面示意图如图所示，球台长度AB=274 cm，发球机紧贴球台端线点A处，高出球台的部分AC=12 cm，出球管道CD=5 cm。若将水平状态的CD绕点C逆时针旋转45°到CD'的位置，则发球机模式为“跳球”，路线呈抛物线，在离球台正中间的球网GH左侧72 cm处到达最高点，并高出台面21 cm。如果此时发球，那么乒乓球落台点E与球台端线点B之间的距离EB=　 　cm(结果保留根号)。  三、解答题(本题有8小题，共72分) 17.(8分)已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，(0，－3)，求它的函数表达式。 18.(8分)在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点坐标为(1，4)，且过点(－1，0)。 (1)(4分)求抛物线的函数表达式。 (2)(4分)将抛物线向左平移几个单位，可使得平移后的抛物线经过原点？ 19.(8分)如图，已知二次函数y=ax2＋x＋c(a≠0)的图象与y轴相交于点A(0，4)，与x轴相交于点B，C，点C的坐标为(8，0)，连结AB，AC。 (1)(4分)求二次函数y=ax2＋x＋c的表达式。 (2)(4分)判断△ABC的形状，并说明理由。 20.(8分)哪吒是我国古典神话中家喻户晓的形象，2025年一部关于哪吒的国产动画电影热映，掀起了有关哪吒形象的文化热潮，某商家顺势推出A，B两款“哪吒”文旅纪念品。已知购进A款纪念品200个，B款纪念品300个，需花费14 000元；购进A款纪念品100个，B款纪念品200个，需花费8 000元。 (1)(2分)求A，B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元。 (2)(3分)根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12 000元的资金购进A，B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ (3)(3分)在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个。设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元，w表示该商家销售A款纪念品的利润(单位：元)，求w关于a的函数表达式，并求出w的最大值。 21.(8分)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km，主塔高0.27 km，主缆可视为抛物线，主缆垂度为0.178 5 km，主缆最低处距离桥面0.001 5 km，桥面距离海平面约0.09 km。请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式。 22.(10分)已知二次函数y=x2－2tx＋3(t＞0)。 (1)(3分)若它的图象过点(2，1)，则t的值为多少？ (2)(3分)当0≤x≤3时，y的最小值为－2，求出t的值。 (3)(4分)如果A(m－2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，点B在对称轴右侧且a＜b＜3，求m的取值范围。 23.(10分)综合与实践。 矩形种植园最大面积探究 情境 实践基地有一长为12米的墙MN。研究小组想利用墙MN和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园。假设矩形一边CD=x米，矩形种植园的面积为S。 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边BC用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最大值。 探究 思考一：(1)将墙MN的一部分用来替代篱笆，按如图1的方案围成矩形种植园。 思考二：(2)将墙MN的全部用来替代篱笆，按图2的方案围成矩形种植园。 解决 问题 根据分析，分别求出思考一与思考二两种方案中的S的最大值，比较并判断矩形种植园的面积最大为多少。 24.(12分)阅读理解：【材料一】若三个非零实数x，y，z中有一个数的平方等于另外两个数的积，则称这三个实数x，y，z构成“友好数”。 【材料二】若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则x1＋x2=－，x1x2=。 问题解决：(1)(3分)实数4，6，9可以构成“友好数”吗？请说明理由。 (2)(3分)若M1(t，y1)，M2(t－1，y2)，M3(t＋1，y3)三点均在函数y=kx(k为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“友好数”，求t的值。 (3)(6分)设三个实数x1，x2，x3是“友好数”且满足0＜x1＜x3＜x2，其中x1，x2是关于x的一元二次方程nx2＋mx＋n=0(n≠0)的两个根，x3是抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的一个交点的横坐标。 ①(3分)a＋b＋c=　 　。  ②(3分)设x=，y=，求y关于x的函数表达式。 学科网（北京）股份有限公司 $