第1章 二次函数基础过关自测卷 -2026-2027学年浙教版九年级数学上册

第1章 二次函数基础过关自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数定义判断即可． 【详解】解：A、为一次函数，故本选项不符合题意； B、等号右边不是整式，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、化简后没有二次项，故本选项不符合题意． 2．已知二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：二次函数的顶点坐标为. 将变形为. ∴顶点坐标为. 3．抛物线与抛物线相比较，其不同点是（     ） A．对称轴不同 B．开口方向不同 C．顶点坐标不同 D．形状不同 【答案】C 【分析】根据二次函数与的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、抛物线与抛物线的对称轴都是y轴，两者相同，故本选项不合题意； B、抛物线与抛物线的开口方向都向上，两者相同，故本选项不合题意； C、抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标是，两者不同，故本选项符合题意； D、抛物线可以由抛物线平移得到，故两者形状相同，故本选项不合题意． 4．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵的图象向左平移2个单位， ∴得． ∵再向下平移2个单位， ∴得． 5．抛物线与坐标轴的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】分别计算抛物线与x轴、y轴的公共点个数，然后相加即可． 【详解】解：∵抛物线， 当时，， ∴抛物线与y轴有1个公共点； 令，得， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有2个公共点， ∴公共点总个数为． 6．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【详解】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 7．若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 【答案】B 【分析】开口向下的二次函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，顶点坐标为， ∴二次函数有最大值． 8．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴． 9．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题． 【详解】解：联立， 消去得， ∴，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为和，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过一、三、四象限，则，即，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过二、三、四象限，则，即，故该选项正确，符合题意． 10．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】根据图象特征（开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点、特殊点的函数值）判断系数及代数式的符号，逐一分析结论． 【详解】解：判断结论①： 观察图象可知，抛物线开口向下，根据二次函数的性质，开口向下意味着二次项系数，故结论①错误； 判断结论②： 抛物线的对称轴为直线，由图象可知，对称轴在y轴右侧，即，所以，因为，所以分母，要使分式，分子必须为负数，解得，故结论②错误； 判断结论③： 设抛物线与y轴的交点坐标为，由图象可知，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即，所以，故结论③正确； 判断结论④： 抛物线与x轴有两个不同的交点，根据一元二次方程根的判别式，当抛物线与x轴有两个不同交点时，，故结论④正确； 判断结论⑤： 当时，函数值，观察图象，当时，对应的点在x轴上方，即，所以，故结论⑤错误； 判断结论⑥： 若，则，此时对称轴，观察图象，对称轴（虚线）明显在的左侧，即对称轴，所以，故结论⑥错误． 综上所述，正确的结论有③和④，共2个．因此A选项符合题意． 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】二次函数图象开口向下时，二次项系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， 解得． 12．二次函数的最小值为___________． 【答案】 【分析】二次函数二次项系数大于0，开口向上，最小值为顶点的纵坐标，可通过配方计算得到． 【详解】解：， ∵， ∴当时，取得最小值，代入计算得最小值为． 13．已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 【答案】/ 【分析】将点，两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应的函数值，即可比较大小． 【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴． 14．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 【答案】5 【分析】根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出即可． 【详解】解：当时，， 解得（舍去），， ∴羽毛球飞出的水平距离为5米． 15．已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据开口方向确定函数增减性规律，再结合题目条件得到k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴． 16．廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 【答案】 【分析】抛物线对称轴为轴，由，水平距离为8米，可得点横坐标，代入解析式即可求出点纵坐标，即所求距离． 【详解】解：抛物线关于轴对称，，在抛物线上同一高度且水平距离为米， 点的横坐标为， 将代入抛物线解析式，得， 警示灯离水面的距离为米． 三、解答题（本题共8小题，第17-第22题每小题8分，第23-第24题每小题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知二次函数． (1)写出函数顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）； (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2)增大 (3) 【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的图象与系数的关系、抛物线的顶点坐标、对称轴方程及函数的增减性是解答此题的关键． （1）根据顶点坐标式即可得出其顶点坐标； （2）由（1）知抛物线的对称轴方程及开口方向即可求解； （3）再分别求出，时的函数值，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴顶点坐标为 （2）解：由（1）知：抛物线的对称轴为，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大； （3）解：∵当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 顶点坐标为：， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围为：． 18．抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和平面直角坐标系中两点间距离的计算，代入已知点求函数系数、利用勾股定理计算线段长度是解题的关键． （1）将已知点其代入抛物线解析式，解方程求出未知系数，即可确定解析式； （2）先通过求出点坐标，再通过解一元二次方程求出点坐标，最后利用勾股定理（是直角三角形）即可计算的长度． 【详解】（1）解：将点代入， 得，解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）将代入，得， ∴点， ∴， 令，得，解得，， ∴点， ∴， ∴． 19．如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将，代入解析式，求出的值，得到抛物线解析式即可； （2）当水面下降，即时，列方程为，求出的值，从而求出此时水面宽度即可． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将，代入，， 得， 解得， 因此，该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知：， 当水面下降，即时， ， 解得或， 此时水面宽度为， 答：此时水面宽度为． 20．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8米，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并化为一般形式； (2)求自变量的取值范围； (3)当这个花圃的面积为20平方米时，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求自变量取值范围，二次函数与一元二次方程， 对于（1），先表示花圃的长，再根据面积相等列出函数关系式； 对于（2），根据墙的长度可得，求出解集即可； 对于（3），将代入函数关系式，求出解即可. 【详解】（1）解：∵为x米、篱笆长为24米， ∴花圃长为米， ∴ ； （2）解：∵墙的可用长度为8米， ∴， 解得； （3）解：当时， ， 解得， ∵， ∴. 21．请仔细阅读并完成相应的任务. 用图象法解一元二次不等式： 方法如下： 步骤一：设 步骤二：先将二次函数：化为顶点式，确定抛物线的顶点位置； 步骤三：列表 x … 0 1 2 3 … y … ___ 3 ____ 3 0 … 步骤四：描点，连线（因为，所以抛物线开口向下）.   步骤五：观察函数图象可知，当或时，.所以的解集是或 任务： (1)“步骤二”中二次函数一般式化为顶点式是______； (2)将材料中的表格补充完整，并画出图像； (3)请直接写出一元二次不等式的解集是______． (4)参照上面材料的分析过程，请你写出一条与函数观点有关的体会或感悟． 【答案】(1) (2) 表格补全为： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 图象如下： ； (3) (4)可以利用函数的图像，数形结合求解不等式或方程（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数图像性质，可利用二次函数图像性质求解一元二次不等式： （1）配方即可得到答案； （2）在二次函数解析式中，令和求出对应y的值，补全表格，在坐标系中描出点，用光滑曲线连接这些点即可； （3）根据图像，不等式的解对应二次函数图像在x轴上方时x的范围； （4）可以数形结合求解不等式或方程（答案不唯一）． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：对于， 当时，； 当时，； （3）解：， 则函数图像取在x轴上方的部分，对应x的范围是， 故答案为：； （4）解：可以利用函数的图像，数形结合求解不等式或方程（答案不唯一）． 22．足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方9米的处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断足球能否射进球门？（忽略其他因素） 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）根据题意得抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，再代入点的坐标求出的值，即可解答； （2）求出抛物线与轴交点的纵坐标，再与球门高度比较即可得出结论． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：当时， ， 足球不能射进球门． 23．南宁市某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为万元/吨，加工过程中原料的质量有的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)在进价不超过248万元的情况下，原料的质量x为多少吨时，销售收入为300万元； (3)原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润销售收入总支出） 【答案】(1) (2)30吨 (3)原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的应用： （1）利用待定系数法求函数关系式； （2）根据销售收入销售价销售量列出函数关系式； （3）设销售总利润为W，根据销售利润销售收入原料成本加工费列出函数关系式，然后根据二次函数的性质分析其最值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， 与x之间的函数关系式为； （2）解：依题意得：， 解得， 设销售收入为P（万元）， ， 令， 解得，（舍去）， 原料的质量为30吨时，销售收入为300万元． （3）解：设销售总利润为W（万元）， ， ， 当时，W有最大值为， 原料的质量为24吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是万元． 24．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，为坐标原点． (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)设是在第一象限内抛物线上的一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)30 (3) 【分析】（1）将点A和B两点代入即可求得二次函数解析式； （2）过D作于N，作于M，根据第一问可得点，结合矩形、三角形的面积公式即可求得答案； （3）连接，过C作交于E，过E作于F，根据题意得为等腰直角三角形，得到，结合角度正切值求得，进一步得，判定是等腰直角三角形，即可求得点，利用待定系数法求得直线直线的解析式，联立即可求得点P． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点． ∴，解得， ∴二次函数的表达式为． （2）过D作于N，作于M， ， 根据，则顶点的坐标为， ； （3）P是抛物线上的一点，且在第一象限，当时，连接，过C作交于E，过E作于F，如图． ∵，则为等腰直角三角形，． 由勾股定理得：， ∵． ∴，即， ∴． 由，得， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的坐标为， 则过B、E的直线的解析式为， 令，解得，或， 所以直线与抛物线的两个交点为， 即所求的坐标为 ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求函数解析式、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形和解方程组，解题的关键是熟悉二次函数的性质和解直角三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 二次函数基础过关自测卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1、 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 3．抛物线与抛物线相比较，其不同点是（     ） A．对称轴不同 B．开口方向不同 C．顶点坐标不同 D．形状不同 4．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（       ） A． B． C． D． 5．抛物线与坐标轴的公共点的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 7．若抛物线的开口向下，顶点坐标为，则二次函数有（     ） A．最小值 B．最大值 C．最小值2 D．最大值2 8．点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 9．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A．B．C．D． 10．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2、 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．二次函数开口向下，则a的取值范围是___________． 12．二次函数的最小值为___________． 13．已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 14．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 15．已知二次函数（k是常数），当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是___________． 16．廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示．已知抛物线的函数表达式为，为增加安全性，在该抛物线上同一高度且水平距离为米的两处安装警示灯，则警示灯离水面的距离为______米． 三、解答题（本题共8小题，第17-第22题每小题8分，第23-第24题每小题12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知二次函数． (1)写出函数顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减小”）； (3)当时，求y的取值范围． 18．抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式． (2)求的长． 19．如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 20．如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8米，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． (1)写出S与x的函数关系式，并化为一般形式； (2)求自变量的取值范围； (3)当这个花圃的面积为20平方米时，求x的值． 21．请仔细阅读并完成相应的任务. 用图象法解一元二次不等式： 方法如下： 步骤一：设 步骤二：先将二次函数：化为顶点式，确定抛物线的顶点位置； 步骤三：列表 x … 0 1 2 3 … y … ___ 3 ____ 3 0 … 步骤四：描点，连线（因为，所以抛物线开口向下）.   步骤五：观察函数图象可知，当或时，.所以的解集是或 任务： (1)“步骤二”中二次函数一般式化为顶点式是______； (2)将材料中的表格补充完整，并画出图像； (3)请直接写出一元二次不等式的解集是______． (4)参照上面材料的分析过程，请你写出一条与函数观点有关的体会或感悟． 22．足球训练中，球射向球门的路线呈抛物线，球员从距离球门底部中心点正前方9米的处射门，当球飞行的水平距离为7米时，球达到最高点，此时球离地面3米，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断足球能否射进球门？（忽略其他因素） 23．南宁市某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为万元/吨，加工过程中原料的质量有的损耗，加工费m（万元）与原料的质量x（吨）之间的关系为，销售价y（万元/吨）与原料的质量x（吨）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)在进价不超过248万元的情况下，原料的质量x为多少吨时，销售收入为300万元； (3)原料的质量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？（销售利润销售收入总支出） 24．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，为坐标原点． (1)求二次函数的表达式； (2)求四边形的面积； (3)设是在第一象限内抛物线上的一点，且，求点的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $