第1章 二次函数考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练2026-2027学年九年级数学上册（浙教版）

**基本信息** 以“概念-图象-性质-应用”逻辑链整合二次函数知识，提炼判定步骤、平移规律、待定系数法等方法，通过分层题型实现抽象能力与模型意识培养。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念判定|3题|定义三要素+整理-确认-限定步骤|从一般式到特殊形式的概念生成| |图象平移|3题|“左加右减，上加下减”口诀|顶点式与平移变换的几何直观| |性质应用|8类|开口方向/增减性/顶点公式法|从系数特征到函数性质的推理| |方程关系|3类|Δ判定交点+交点式转化|函数与方程的数形结合| |实际应用|4类|建模-求最值-检验步骤|实际问题到二次函数模型的转化| |综合探究|8类|铅垂高法/特殊三角形构造|知识交叉与复杂问题的逻辑拆解|

第1章 二次函数 思维导图 1.1 二次函数的意义 一般地，形如y = ax² + bx + c（a、b、c是常数，a ≠ 0）的函数叫做二次函数。其中x是自变量，y是因变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 二次函数概念需要注意的关键点 · 必须满足最高次项次数为2，也就是二次项系数不能为0，如果a=0，函数就会退化为一次函数y=bx+c（b≠0）或者常数函数y=c，不再是二次函数。 · 二次函数是整式形式，自变量x的取值范围在没有实际限制的情况下是全体实数；如果结合实际问题，自变量的范围需要符合实际意义，比如边长、面积等不能为负数，取值范围会缩小。 · 常见的二次函数特殊形式：y=ax²（a≠0，b=0,c=0）、y=ax²+c（a≠0，b=0）、y=ax²+bx（a≠0，c=0），这些都属于二次函数的特例，依然满足a≠0的核心要求。 判定二次函数的步骤 第一步先整理函数解析式，化为一般形式；第二步确认自变量的最高次数是2，且二次项系数不为0；最后结合实际问题确定自变量取值范围即可完成判定。 1.2 二次函数的图象 二次函数图象的基本特征 二次函数的图象是一条抛物线，所有二次函数的抛物线都是轴对称图形，有一条对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最高点或者最低点。 不同形式二次函数的图象平移规律 函数形式 顶点坐标 对称轴 平移关系（相对于y=ax²） y = ax² (0, 0) y轴（直线x=0） 基准图象，无平移 y = a(x - h)² (h, 0) 直线x=h h>0时向右平移h个单位，h<0时向左平移|h|个单位 y = a(x - h)² + k (h, k) 直线x=h 先平移左右|h|个单位，再上下平移|k|个单位：k>0向上、k<0向下 y = ax² + bx + c （，） 直线x= 可通过配方转化为顶点式得到平移关系 平移规律可以总结为：左加右减，上加下减，左右平移针对x本身变化，上下平移针对常数项整体变化，例如将y=2x²向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的解析式是y=2(x+3)²-2，符合上述规律。 a的绝对值对抛物线开口的影响 |a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽，|a|相同的抛物线形状完全相同，只有位置和开口方向不同。 1.3 二次函数的性质 开口方向与最值 · 当a > 0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，函数有最小值，最小值就是顶点的纵坐标k=。 · 当a < 0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，函数有最大值，最大值就是顶点的纵坐标k=。 增减性（单调性） 增减性以对称轴x=h为分界： · a > 0时：对称轴左侧（x < h），y随x的增大而减小；对称轴右侧（x > h），y随x的增大而增大，简称“左减右增”。 · a < 0时：对称轴左侧（x < h），y随x的增大而增大；对称轴右侧（x > h），y随x的增大而减小，简称“左增右减”。 顶点与对称轴的求法 · 公式法：对于一般式y=ax²+bx+c，对称轴是直线x =，顶点坐标(, ) · 配方法：将一般式化为顶点式y=a(x-h)²+k，直接得到顶点(h,k)，对称轴x=h。 · 对称性：抛物线上纵坐标相同的两个点的垂直平分线就是对称轴，对称轴与抛物线的交点就是顶点。 抛物线与坐标轴的交点 · 与y轴的交点：令x=0，得到y=c，所以抛物线恒过点(0, c)，常数项c就是抛物线与y轴交点的纵坐标，c的符号决定交点在y轴的正半轴还是负半轴：c>0交点在正半轴，c=0过原点，c<0交点在负半轴。 · 与x轴的交点：令y=0，得到一元二次方程ax²+bx+c=0，交点的横坐标就是方程的根，交点个数由根的个数决定，具体关系见1.4节内容。 1.4 二次函数与一元二次方程的关系 核心对应关系 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，就得到一元二次方程ax²+bx+c=0，因此： · 一元二次方程ax²+bx+c=0的根，就是二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。 · 一元二次方程根的判别式Δ = b² - 4ac，决定了二次函数图象与x轴的交点个数，对应关系如下： 判别式Δ的符号 一元二次方程根的情况 二次函数与x轴交点个数 Δ > 0 两个不相等的实数根 两个交点 Δ = 0 两个相等的实数根（重根） 一个交点（顶点在x轴上） Δ < 0 没有实数根 没有交点 二次函数与一元二次不等式的关系（拓展） 基于图象可以直接判断不等式的解集： · 当a>0时，ax²+bx+c>0的解集是x<x₁或x>x₂（x₁<x₂是两个交点横坐标）；ax²+bx+c<0的解集是x₁<x₂。 · 当a<0时，ax²+bx+c>0的解集是x₁<x₂；ax²+bx+c<0的解集是x<x₁或x>x₂；如果没有交点，直接根据开口方向判断函数值恒正或恒负即可。 交点式（因式分解形式） 若二次函数y=ax²+bx+c与x轴交于(x₁, 0)和(x₂, 0)两点，则二次函数可以写成交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)，其中x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0的两个根，交点式方便直接得到抛物线与x轴的交点坐标，适合已知交点求解析式的场景。 图象法求一元二次方程的近似根 步骤：先画出二次函数y=ax²+bx+c的图象，观察图象找到抛物线与x轴交点，确定交点横坐标所在的两个相邻整数区间，再通过取中点计算函数值符号逐步缩小范围，得到符合精度要求的近似根。 1.5 二次函数的应用 利用二次函数解决最值问题 实际问题中，经常需要求最大利润、最大面积、最小成本等问题，解题步骤： · 设定变量，设自变量和因变量，根据实际问题中的等量关系列出二次函数解析式。 · 根据实际问题的要求，确定自变量的取值范围，保证自变量符合实际意义（例如长度、销量不能为负）。 · 在自变量取值范围内，利用二次函数的顶点性质求函数的最大值或最小值：如果顶点横坐标在自变量取值范围内，顶点的纵坐标就是对应最值；如果顶点横坐标不在范围内，根据二次函数的增减性，在区间端点取到最值。 常见最值应用类型 1. 面积最值：通常是矩形、三角形等图形，给定周长或者一边总长，求面积最大值，列出面积关于边长的二次函数求解即可。 2. 利润最值：基本公式是总利润=（单价-单位成本）×销售量，通常销售量会随着单价变化，设单价为自变量，得到总利润关于单价的二次函数，求最大利润。 利用二次函数解决抛物线型实际问题 常见的问题包括抛物线型的桥拱、隧道、弹道轨迹、跳水路径等，解题步骤： · 建立合适的平面直角坐标系，通常将抛物线的顶点或者原点放在坐标轴上简化计算。 · 根据已知点坐标求出二次函数的解析式。 · 利用解析式求解实际问题，例如求某点高度、判断能否通过、求最大高度等。 二次函数与一次函数的综合应用 常考交点问题、最值比较、动点问题：两个函数的交点坐标就是联立两个函数解析式组成方程组的解，求交点直接联立求解即可；比较两个函数值的大小，可根据交点左右两侧的图象位置判断大小关系。 用待定系数法求二次函数解析式的三种方法 作为应用的基础，待定系数法根据已知条件选择合适解析式可以简化计算： · 已知任意三个点坐标，选择一般式y=ax²+bx+c，代入三个点坐标得到三元一次方程组，求解a,b,c即可。 · 已知顶点坐标（或者对称轴、最值），选择顶点式y=a(x-h)²+k，代入顶点坐标得到h、k，再代入另一个点坐标求解a即可。 · 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，选择交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)，代入两个交点横坐标得到x₁、x₂，再代入第三个点坐标求解a即可。 【类型一】二次函数的定义及求参 1．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 【详解】解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 2．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 3．已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程，解一元一次不等式． 根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵二次函数的常数项为零， ∴，即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故答案为：2． 【类型二】列二次函数关系式 1．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 2．将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用． 根据利润每个利润销售量列出关系式即可． 【详解】解：售价上涨元后，每个利润为元， 销售量减少个，即为个， ∴利润． 故选：A． 3．如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查了列二次函数关系式，由m，得m，m，即可求解； 【详解】解：∵m， ∴m，m， ∴， 故答案为： 【类型三】二次函数的平移 1．将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的规律即可求得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是． 2．将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度所得图象的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规律即可求解． 【详解】解：∵原函数为，向右平移2个单位长度，需将自变量替换为，得； 再向上平移5个单位长度，需在整体上加5， ∴最终所得图象的函数表达式为． 3．若抛物线与轴两个交点间的距离为，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线顶点坐标______________． 【答案】 【分析】根据定弦抛物线的定义和对称轴求出原抛物线的解析式，得到原抛物线顶点坐标，再根据二次函数图象平移规律计算平移后抛物线的顶点坐标. 【详解】解：定弦抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴两个交点间的距离为， 抛物线与轴的两个交点坐标为，， ∴抛物线的解析式为， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， 将抛物线向左平移个单位，横坐标减，再向下平移个单位，纵坐标减， 可得平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 平移后抛物线顶点坐标为. 【类型四】二次函数与坐标轴的交点 1．二次函数与两坐标轴交点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，本题需分别求出二次函数与x轴、y轴的交点个数，再求和得到总交点数． 【详解】解：当时，， ∴二次函数与y轴有1个交点 令，则， ∵， ∴该方程有两个相等的实数根，即二次函数与x轴有1个交点 ∴总交点个数为个． 故选：B． 2．二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴上所有点的横坐标为0，将代入二次函数解析式，计算得到的值，即可确定交点坐标． 【详解】解：令，代入得， ∴二次函数与轴的交点坐标为． 3．关于抛物线，下列说法正确的是______．（填序号） ①开口向下；②y有最小值；③与y轴的交点坐标是；④顶点坐标是． 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据二次函数性质，通过系数判断开口方向、最值，将代入解析式与y轴交点，根据顶点坐标求顶点坐标． 【详解】解：对于抛物线， 其中，因此开口向下，故①正确； 由于开口向下，有最大值，无最小值，故②错误； 当时，，与轴交点为，故③错误； 顶点横坐标为，代入得，顶点为，故④正确； 故答案为：①④． 【类型五】y=ax²的图象与性质 1．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 2．已知，是抛物线上的点，则，的大小关系是____． 【答案】 【分析】求出，的值，比较即可得出结果． 【详解】解：∵，是抛物线上的点， ∴，， ∵， ∴． 3．已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 【答案】(1)开口向上 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）先将点的坐标代入二次函数解析式求出的值，根据的正负判断函数图像的开口方向； （2）将点的坐标代入已确定的二次函数解析式，计算求出的值. 【详解】（1）解：将点代入中 得 即 解得 因为 所以这个函数图像的开口向上 （2）解：由（1）可知二次函数解析式为 将点代入中 得 解得. 【类型六】y=ax²+k的图象与性质 1．若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】将两点横坐标分别代入抛物线解析式，得到和的值，再比较大小即可求解． 【详解】解：∵点和点都在抛物线上， ∴将代入解析式，得， 将代入解析式，得， ∵， ∴． 2．抛物线的顶点坐标是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，根据抛物线的解析式为进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴此函数的顶点坐标为． 故答案为：． 3．已知抛物线（如图所示）．    (1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______； (2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)0，1；y轴 (2)或 【分析】熟悉抛物线的图象和性质、等边三角形的性质，是正确解答本题的关键． （1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可； （2）设．根据轴于B，点，是等边三角形，得，求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标，即得． 【详解】（1）解：抛物线的顶点为，对称轴为y轴． 故答案为：0，1；y轴． （2）解：设． ∵轴，垂足为B， ∴． ∵点， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∴ ， 解得，． ∴ ∴点P的坐标为或．    【类型七】y=a(x-h)²的图象与性质 1．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 2．若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 通过计算二次函数在各点的函数值，比较，，的大小． 【详解】解：对于点，， 对于点，， 对于点，， ∴． 故答案为：． 3．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 【类型八】y=a(x-h)²+k 的图象与性质 1．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 【答案】D 【分析】根据二次项系数判断开口方向与最值，根据顶点式确定对称轴，结合开口方向判断增减性，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，函数的最大值为，因此A、B选项错误； ∵该函数的对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大，因此C选项错误； 该函数图象的对称轴为直线，因此D选项正确． 2．已知，是抛物线上的两点，则与的大小关系是______． 【答案】 / 【分析】先根据抛物线的顶点式确定开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较两个函数值的大小即可． 【详解】∵抛物线解析式为， 又∵， ∴抛物线开口向上，由顶点式可知对称轴为直线， 根据二次函数的性质，开口向上时，对称轴右侧y随x的增大而增大， ∵点，的横坐标都满足，，即两点都在对称轴右侧，且， ∴． 3．已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)点在此抛物线上 (2)，见解析 【分析】本题主要考查二次函数的性质． （1）判断点是否在抛物线上，只需将点的横坐标代入抛物线解析式，看得到的纵坐标是否与该点的纵坐标相等； （2）比较函数值的大小，可根据抛物线的开口方向和点离对称轴的远近进行判断，即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入抛物线解析式中， 当时，， 点在此抛物线上； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵，抛物线上离对称轴越远的点函数值越大， ∴’． 【类型九】y=ax²+bx+c的图象与性质 1．已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式整理为顶点式，再根据二次函数的顶点坐标、对称轴、与x轴交点个数、增减性逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B选项说法正确，不符合题意； 令，则， 解得， ∴函数图像与x轴只有1个交点，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D选项说法正确，不符合题意． 2．已知二次函数的图象与轴的两个交点的距离为，则该函数图象的顶点的纵坐标为______． 【答案】 【分析】设二次函数对应一元二次方程的两根为，由抛物线与轴两交点距离为可得，利用恒等式结合韦达定理推导出，再代入顶点纵坐标公式，整体代换求值得到顶点纵坐标． 【详解】解：令，得， 设方程的两个根为， 由根与系数的关系可得 ，， 由题意得二次函数图象与轴两个交点的距离为， 因此， 两边平方得， 由完全平方公式变形得， 代入得， 整理得，即， 二次函数顶点纵坐标公式为， 将代入得， 将代入得． 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的纵坐标相等，建立方程解答即可； （2）由（1）知，把二次函数转化为，结合函数的最大值为，确定a值即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：由（1）知， 故二次函数转化为， 则， ∵函数的最大值为， ∴二次函数图象开口向下，即，且， 整理，得， 解得或（舍去）， 故． 故抛物线的解析式为． 【类型十】待定系数法求二次函数解析式 1．如图，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式． (2)利用函数图象，求当时，y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式； （2）利用配方法得到，根据二次函数的性质得到当时，结合函数图象可得到当时，y的取值范围为． 【详解】（1）解：（1）把分别代入得， 解得， 所以抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴当时，y有最小值， ∴时，y的取值范围为． 2．已知，二次函数的图象经过点，抛物线对称轴为直线． (1)求该二次函数的解析式； (2)若是该二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知点坐标求出常数项，再根据二次函数对称轴公式求出，即可得到二次函数解析式； （2）根据是二次函数与轴交点横坐标，得到满足的方程，通过降次变形化简所求代数式，消去含的项后即可计算出结果． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， 将代入解析式得， ∵抛物线对称轴为直线，二次函数中，对称轴公式为， ∴， 解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：∵是二次函数图象与轴交点的横坐标， ∴， 当时，， ∴， 等式两边同时除以得，即， 由得， ， ∴， 代入得：， ∴， ∴， 代入得：， ∴． 3．关于x的二次函数（a，b，c是实数且）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 1 … y … n … (1)若，求二次函数的表达式； (2)若二次函数的图象与x轴没有交点，求a的取值范围； (3)若在m，n，p这三个实数中，有且只有一个是正数，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）二次函数的图象与轴没有交点，即，代入求解即可； （3）根据题意，把，，代入方程，根据，，这三个实数中，有且只有一个是正数，计算不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：当时， ， 解得：， 二次函数的表达式：； （2）解：根据题意可得：， 当和时，， 所以当为该函数对称轴； 即，， 由可知， 将，代入， 可得：， 即， 解得：（舍去）或， 即的取值范围为：， （3）解：根据题意可得：由题意得：，，这三个实数中，有且只有一个是正数； 同（2）可得，， ， 把，，代入得： ， 当时， 解得：， 当时， 解得：， 当时， 解得：（无解，舍去）， 综上所述，的取值范围为：或． 【类型十一】二次函数的应用一投球问题 1．2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 【答案】(1) (2)足球从传球点水平飞行到头部触球的距离是米． (3)能 【分析】（1）由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为，代入即可求解； （2）令，代入表达式求解，再根据题意确定取值即可得结论． （3）分别计算，的函数值，进一步判断即可． 【详解】（1）解：由题意设足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为， 把代入得，， 解得， ∴足球飞行轨迹对应的二次函数表达式为． （2）解：令，则， 解得，， 根据图象，头球点在最高点右侧，即，舍去， ∴足球从传球点水平飞行到头触球的距离是米． （3）解：当时，则， 当时，则， ∴梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，足球在水平距离的范围内，能飞入球门． 2．在一次“校园科技节”物理探究活动中，某物理小组用发射器从距地面2米高的处将一个小球斜抛向前方．建立如图所示的平面直角坐标系，下图1中的抛物线表示小球的飞行高度（单位：）关于飞行水平距离（单位：）的函数图象（不考虑空气的阻力）．已知小球发射后水平飞行时，飞行的最大高度是． (1)求关于的函数关系式； (2)如图2，为发射器，为标靶，小球由点射出，，若，则小球能否击中标靶？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能击中标靶． 理由是：由（1），知 ， 时， ， ∴不能击中标靶． 【分析】（1）根据题意得出抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，将点代入求解即可； （2）将代入（1）中函数解析式与比较即可． 【详解】（1）解：由题意，得抛物线顶点坐标为． 设抛物线解析式为， 在函数图象上， ， ， 即 ． （2）略 3．根据以下素材，探索完成任务． 羽毛球发球机的运动路线 素材一 如图1，某羽毛球场地的中线长为，球网设置在中线中点处，球网高度为．羽毛球训练机的出球口在中线端点正上方的点处，以为原点、中线所在直线为轴建立平面直角坐标系． 素材二 假设发出的羽毛球沿中线飞行，其运动高度关于水平距离的函数图象为抛物线，该抛物线在与水平距离为的点处达到最高，此时距地面高度为，羽毛球最终落在地面的点处． 素材三 如图3，若羽毛球落地弹起后，且在与水平距离为的点处达到最高，弹起后最高高度为． 问题解决： (1)任务一：求训练机发球后到落地前，羽毛球运动轨迹的函数表达式（不要求写自变量取值范围） (2)任务二：小明在球网的另一侧接球，若羽毛球在离地面距离不少于时为最佳击球高度，求最佳击球点与训练机的水平距离的取值范围 (3)任务三：当时，运动员在点处沿直线击球，想让球从网下穿过后落到点右侧的点，且球网下端离地面高度不低于，该操作能否实现？请说明理由． 【答案】(1)羽毛球运动轨迹的函数表达式 (2) (3)该操作能实现，理由： 如图，若羽毛球落地弹起后，且在与水平距离为的点处达到最高，弹起后最高高度为， 则点的坐标为， 设直线函数表达式， 将点，代入中，得 ， 解得， 则直线函数表达式， 当时，， ， 故该操作能实现． 【分析】（1）根据题意可知抛物线顶点，然后设顶点式，代入求出，得到函数解析式； （2）令解方程得到两个临界，结合球网在处和抛物线图象的性质，确定的范围； （3）由、两点坐标求直线解析式，然后把代入算高度，对比判断能否实现． 【详解】（1）解：根据题意可知，顶点的坐标为， 设羽毛球运动轨迹的函数表达式， 将点代入中，得， 则， 故羽毛球运动轨迹的函数表达式． （2）解：由题意可得， 解得，， ， 当时，的值随值的增大而减小， 需要， ， 小明在球网的另一侧接球，且球网的位置位于中线中点，即距离点处， 最佳击球点与训练机的水平距离的取值范围为． （3）略 【类型十二】二次函数的应用—喷池与拱桥问题 1．某村响应国家高效节水灌溉的号召，引入了现代化喷灌设备．喷灌机从喷水口点向四周旋转喷洒，喷出的水流轨迹可近似看作形状相同的抛物线．如图，以地面为轴，喷灌机所在的竖直直线为轴，建立平面直角坐标系．已知喷水口距离地面的高度为，水流在离喷灌机的水平距离处达到最高点，此时喷洒高度为． (1)求这条水流所在抛物线的函数表达式； (2)若在距离喷灌机水平距离处，有一棵高的果树为了让水流能喷洒到果树右侧的土地，需要将喷水口沿竖直方向向上平移．已知平移后水流的速度、压力不变（抛物线的形状、大小保持不变），求喷水口至少需要向上平移多少米． 【答案】(1)； (2)． 【分析】由题意可得，顶点，然后利用待定系数法即可求解； 当时，，然后计算，则可得出喷水口至少需要向上平移的距离． 【详解】（1）解：由题意可得，顶点， 设这条水流所在抛物线的函数表达式为， 将代入得，解得， ∴这条水流所在抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， 则（米）， ∴喷水口至少需要向上平移米． 2．某市政工程修建的排水管道截面如图所示，其轮廓为抛物线的一部分，以管道底面截得的线段的中点O为坐标原点，直线为x轴，过原点的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．已知管道底面的宽，管道顶部D（抛物线顶点）距离底面的高度．为提升排水效率，需在管道内安装两层水平滤网和，上层滤网距离底面，下层滤网距离底面，滤网两端均与管道内壁贴合． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若滤网的材料价格为100元（按滤网水平长度计价，不考虑管道纵深长度），上下两层滤网单价相同，求出两层滤网的材料总费用． 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据宽可得点A与点B的坐标，再由可得点D的坐标，设出函数的顶点式代入求解即可； （2）分别求解出点E，点F，点G，点H的横坐标，再结合价格求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，点，点，点， ∵点为抛物线的顶点， 设函数的顶点式为，即， 将点代入可得，，解得， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵上层滤网距离底面， ∴令，则， 即，解得， ∴点E的横坐标为，点F的横坐标为， ∴， ∵下层滤网距离底面， ∴令，则， 即，解得， ∴点G的横坐标为，点H的横坐标为， ∴， ∴总长度为， ∵滤网的材料价格为100元，且上下两层滤网单价相同， ∴材料总费用为元． 3．阅读下列素材，并完成任务： 背景 中国的石拱桥，是刻在大地上的诗行，每一道弧线都是古人写给山河的情诗． 素材1 已知河面上的拱桥形状为抛物线，在正常水位时，水位线与拱桥最高点的距离为3米，水位线宽为6米． 素材2 如图1，现有一艘长为10米，宽米的货船（可近似看成长方体）正从拱桥下方通过，露出水面的横截面为长方形，米．（假设船体货物接触到拱桥时，可以通过拱桥） 素材3 船行走时一般不会导致水位的变化． (1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出拱桥所在抛物线的函数表达式． (2)如图2，如果上方的货物横截面为，，米，请通过计算判断此时小船能否通过拱桥？若不能，请说明理由，若能，求出水面上升高度最多不能超过多少米？ (3)船面上方装有如图3所示的货物（可近似看成直五棱柱），横截面为五边形，其中，，且E、A、B共线，F、D、C共线，已知当同一种货物的体积每增加50立方米时，船会下沉0.1米，请求出最多能装多少体积的货物？ 【答案】(1)以的中点为原点建立平面直角坐标系： ∵水位线与拱桥最高点的距离为3米，米， ∴抛物线的顶点为，，， 设抛物线解析式为， 将代入得：，解得：， ∴抛物线解析式为． (2)能通过拱桥，水面上升高度最多不能超过米 (3) 【分析】（1）根据题意作出对应的平面直角坐标系，再结合图象和已知条件利用待定系数法即可求出结果； （2）根据已知条件结合图象作出船只通过拱桥的临界点，通过计算得出临界点的坐标，再与比较得出结果；要使水面上升后船能正常通过拱桥，则点A和点E需恰好在抛物线上，设，则，将点代入抛物线解析式求出t的值，从而得出最终结果； （3）通过设未知数结合图象求出五边形的面积，再得出货物的体积，根据题意列出列出方程即可得出最终结果． 【详解】（1）略 （2）解：由题意知，如图， 令，则， 解得：，， ∴，， ∵米， ∴， 令，则， ∴, ∵， ∴能通过拱桥， 要使水面上升后船能正常通过拱桥，则点A和点E需恰好在抛物线上， 如图，设，则， 将点代入抛物线得： ， 解得：， ∴， ∴水面上升高度最多不能超过（米）． （3）解：如图，当船未装货物时，点G位于抛物线的顶点，即，设与y轴交点H， ∵米， ∴，， 令，则， ∴， 设船会下沉x米， ∴，， ∴ ， ∴， ∵同一种货物的体积每增加50立方米时，船会下沉0.1米， ∴， 解得：， ∴． 【类型一】二次函数的对称性求参 1．已知二次函数的图象与轴交于，两点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数对称轴的公式可得，由可得，根据不等式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称的性质，先求出抛物线对称轴，再得到与的关系，最后判断各选项即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和，两点纵坐标相等 ∴抛物线对称轴为直线， ∵点和点在抛物线上，且到对称轴的距离相等， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴两点纵坐标相等，即，得， 依次判断选项：A、，值随变化，不是定值，不符合题意； B、，值随变化，不是定值，不符合题意； C、，值恒为，是定值，符合题意； D、，值随变化，不是定值，不符合题意． 3．如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 【答案】 【分析】首先确定抛物线的对称轴，再求出点A的坐标，最后根据对称点的性质求解即可. 【详解】解：抛物线中，，， ∴抛物线的对称轴为， 将代入抛物线解析式，得， 点的坐标为， 点和点关于抛物线对称轴对称，对称点纵坐标相等，点，点到对称轴的距离相等， 设点的横坐标为，可得， 解得， 点的坐标为. 【类型二】二次函数与一元二次方程 1．下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程的根对应二次函数与轴交点的横坐标，先观察表格中函数值的正负变化，找到函数值由负变正的区间，再结合区间内函数值与的接近程度，判断近似根更靠近． 【详解】解：一元二次方程的根，就是二次函数中函数值时对应的自变量， 观察表格： 当时，，最接近； 当 时，，距离比更远； 又∵在到之间由负变正，说明的根在和之间， ∴对应的函数值更接近， ∴一元二次方程的一个近似根是． 2．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线经过点，即或得到，所以一元二次方程的两个根为，，把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程得到方程的根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得， 方程的根是． 3．已知二次函数的与的部分对应值如下表： 0 2 4 5 7 0 则关于的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【分析】先根据表格中y值相等的点求出二次函数的对称轴，再利用对称性得到对应的另一个的值，即可得到一元二次方程的解 【详解】解：根据表格可得，点，都在二次函数的图象上， 二次函数图象的对称轴为直线， 由表格信息可得，当时，， 点关于对称轴的对称点为， 关于的一元二次方程的解是. 【类型三】二次函数与不等式 1．已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数图象解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．求时，的取值范围，就是二次函数的图象在轴下方时对应的的范围． 【详解】解：∵二次函数的部分图象交轴于点， ∴时，的取值范围是， 故选：B． 2．已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点，当时，求的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．先利用抛物线对称轴公式求出的值，再代入已知交点求出的值得到抛物线解析式，通过配方确定顶点（最小值点），结合区间端点函数值与抛物线开口方向，确定的取值范围． 【详解】解：∵二次函数中，，对称轴， ∴，解得， ∵抛物线与轴交于点，代入得：， 解得， ∴抛物线解析式为，配方得， ∵， ∴抛物线开口向上，顶点为最低点，故的最小值为， 当时，， 当时，， 又∵，在该区间内，的最大值小于，最小值大于， ∴． 故选：B． 3．已知抛物线经过点，． （1）抛物线顶点的纵坐标为___________； （2）当时，都有，则的取值范围是___________． 【答案】 或 【分析】（1）将一般式化为顶点式即可； （2）分为和两种情况讨论，当时，由图象可知，抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小，结合题意可得，从而得出的取值范围；当时，使用同样的方法计算即可． 【详解】解：（1）， ∴抛物线顶点的纵坐标为； （2）①当时，抛物线开口向上， 由（1）可知，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离直线越近，其纵坐标越小， ∵当，都有， ∴对于，都成立， ∴， ∵， ∴，即； ②当时，抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离直线越近，其纵坐标越大， ∵当时，都有， ∴对于，都成立， ∴， ∴，解得； 综上所述，的取值范围为或． 【类型四】二次函数图象与各项系数符号 1．如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①，由对称轴为直线可判断②，由时及抛物线的对称性可判断③，由图象可判断④，由时函数取最大值可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴，故②正确； ∴，故①正确； ∵时，， ∴时，，故③不正确； 由图象可得当时，不一定大于0， ∴当时，不一定大于0，故④不正确； 由图象可得时，函数值取最大值， 即， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有3个． 2．如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下， ∴， 又， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和0之间， ∴与x轴的另一个交点在2和3之间， ∴方程一定有一个根在2和3之间，故③正确； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，的最大值为， ∴对于任意实数，都有， ∴对于任意实数，，即，故④正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， 又， ∴， ∴,故⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共4个． 3．抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点，对称轴为．下列五个结论： ①； ②； ③若，则； ④； ⑤对于任意实数，不等式总成立． 其中正确结论的序号是________． 【答案】 ②③⑤ 【分析】根据对称轴公式判断②，利用抛物线对称性判断③，利用根与系数的关系化简判断④，利用二次函数的最值性质判断⑤，逐一验证各结论即可. 【详解】解：∵，，对称轴为直线， ①是抛物线与轴交点的纵坐标，题目仅说明抛物线与轴有两个交点，无法确定的符号，当时，抛物线与轴也有2个交点，故①错误； ②由对称轴公式，整理得，即，故②正确； ③根据抛物线对称性，抛物线与轴两个交点到对称轴的距离相等，因此，即， ∵， ∴， ∴，即，故③正确； ④ 由根与系数的关系得，， 则， 由②可知：， ∴；故④错误； ⑤ ∵，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴顶点是抛物线的最小值点， ∴对任意实数，都有， ，不等式对任意实数恒成立，故⑤正确； 综上：正确的是 ②③⑤. 【类型五】二次函数的应用—销售问题 1．某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为元（且为整数），每天的销售量为件. (1)求与的函数关系式； (2)设每天的销售利润为元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)（且为整数） (2)当每件商品的售价定为32元或33元时，每天的销售利润最大，最大利润是612元 【分析】（1）根据“现有销售量原销售量涨价减少的销售量”列出与的函数关系式，并结合实际意义确定自变量的取值范围； （2）根据“总利润每件商品的利润销售量”得到关于的二次函数, 再利用二次函数的性质结合为整数的条件, 求出最大利润和对应售价． 【详解】（1）解：（且为整数）； （2）解：， 对称轴为直线， 因为x为整数，且两侧的整数为32和33，， 当时， （元）． 当时： （元）． 答：当售价定为32元或33元时，每天利润最大，最大利润为612元． 2．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件5元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批商品的日利润为w元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题： (1)设商品售价x元，则一天可以卖出________件； (2)当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ 【答案】(1) (2)当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元 【分析】（1）设商品售价x元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件，据此列出代数式即可； （2）先求出，再根据题意列出日利润w的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设商品售价x元，则由题意可得， 即一天可以卖出件； （2）解：由题意可得， 解得， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线的对称轴为直线，x为正整数， ∴根据抛物线对称性可知，当或时，取得最大值， 此时最大值为, 即当商品售价为9元或10元时，日利润最大，最大日利润为800元． 3．某养殖户饲养了，两种肉羊，根据往年的饲养经验，他发现：饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系．已知函数，图象的交点为，，函数的图象与轴正半轴交于点，如图所示． (1)求函数，的解析式． (2)观察图象，分析单独饲养A种肉羊与单独饲养B种肉羊所获得的利润的大小关系． (3)该养殖户计划明年投资万元饲养，这两种肉羊，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少万元？ 【答案】(1)；． (2)当投资金额小于万元时，饲养种肉羊的利润较大；当投资金额等于万元时，饲养种肉羊，种肉羊的利润一样；当投资金额大于万元时，饲养种肉羊的利润较大． (3)当种肉羊的投资金额为万元，种肉羊的投资金额为万元，可使得总利润最大，最大利润为万元 【分析】（1）设函数的解析式为：；把点代入，求出即可；设函数的解析式为：；把，，，代入函数解析式，求出，即可； （2）根据函数图象，进行解答，即可； （3）设养殖户明年饲养，两种肉羊获得的总利润为万元，其中饲养种肉羊的投资金额为万元，，饲养种肉羊的投资金额为万元，可得，根据二次函数的图象和性质，求出最大值即可． 【详解】（1）解：设函数的解析式为：；函数经过点， ∴， ∴， ∴； 设函数的解析式为：；函数经过点，，， ∴， 解得：， ∴． （2）解：由函数图象可知；当投资金额小于万元时，饲养种肉羊的利润较大；当投资金额等于万元时，饲养种肉羊，种肉羊的利润一样；当投资金额大于万元时，饲养种肉羊的利润较大． （3）解：设养殖户明年饲养，两种肉羊获得的总利润为万元，其中饲养种肉羊的投资金额为万元，饲养种肉羊的投资金额为万元， ∴， 整理得：， 配方可得：； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为；此时； ∴当种肉羊的投资金额为万元，种肉羊的投资金额为万元，可使得总利润最大，最大利润为万元． 【类型六】二次函数的应用—周长与面积问题 1．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或或． 【分析】由题意设函数表达式为，然后把代入解析式即可求解； 连接，由得二次函数的表达式为，求出点的坐标为，点的坐标为，又关于对称轴直线对称，点在对称轴上，则有，故有的周长，则当三点共线时，的周长最小，然后求直线的函数解析式为，再把代入即可求解； 由点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，设，，然后分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，三种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，设函数表达式为，图象过点， ∴，解得， ∴二次函数的表达式为， ∴； （2）解：如图，连接， 由得二次函数的表达式为， 当时，， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∵关于对称轴直线对称，点在对称轴上， ∴， ∴的周长， ∴当三点共线时，的周长最小，如图， 设直线的函数解析式为，代入，， 得，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：存在，理由如下： ∵点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上， ∴设，， 当为对角线时，如图， ∴， 解得， ∴时，， ∴； 当为对角线时，如图， ∴， 解得， ∴时，， ∴； 当为对角线时，如图， ∴， 解得， ∴时，， ∴； 综上可知：点坐标为或或． 2．如图，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点在抛物线上，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在第一象限，连接交于点．记的面积为，的面积为．当时，则点的横坐标的取值范围是______； (3)如图2，直线交抛物线于另一点． ①若点、点的横坐标分别是、，则______； ②连接、，记的面积为，求的最小值． 【答案】(1)； (2) (3)①；②的最小值为8． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）由，得到，得到，，由题意得，据此求解即可； （3）①联立得，利用根与系数的关系即可求得； ②求得，利用不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线经过点和， 将代入，得， 将代入，得： ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：先求解抛物线与x轴的另一个交点A， 令，即， 解得或， 结合A在B左侧得； ∵， ∴， ∴， ∵点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴，整理得， ∵点在第一象限， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 联立直线与抛物线方程得，， 整理得：， 该方程的两个根为点P、Q的横坐标m、n， 由一元二次方程根与系数的关系得； ②∵点，， ∴， ∵， ∴m、n异号，设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（当且仅当，即时取等号）， ∴， 答：的最小值为8． 3．如图，抛物线交轴于，两点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)抛物线上有一点（不与重合），使，求点坐标； (3)在对称轴上有一点，在抛物线上有一点，若使，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出，坐标． 【答案】(1)， (2)或或 (3)，；，；，． 【分析】把，代入，求出抛物线解析式为，然后通过配方即可求出顶点坐标； 分若点在上方，，若点在下方，当时，点的纵坐标与点的纵坐标相同两种情况求解即可； 分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况，然后通过平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴； （2）解：若点在上方，， 即，得， 把代入抛物线， 解得， ∴或； 若点在下方，当时，点的纵坐标与点的纵坐标相同，此时点； 综上所述，点坐标为或或； （3）解：设，， 如图，当为对角线时， ∴，解得， ∴，； 如图，当为对角线时， ∴，解得， ∴，； 如图，当为对角线时， ∴，解得， ∴，； 综上可得共三种情况，；，；，． 【类型七】二次函数的应用一图形问题 1．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与，与之间的函数解析式（要求写出的取值范围）； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据栅栏总长为可得到与的函数解析式，再由矩形的面积公式得到与的函数解析式； （2）将与的函数解析式转化为顶点式，结合的取值范围求解最大值即可． 【详解】（1）解：设矩形实验田与墙垂直的一边长为，与墙平行的一边长为，面积为， ∵栅栏总长为， ∴，即， 其中， 由，可得， ∴与的函数解析式为； 由矩形的面积可知，； （2）解：∵， ∴ 当时，矩形实验田的面积最大，为800，且满足的取值范围， 答：当的值是时，矩形实验田的面积最大，最大面积是． 2．在开封古城墙遗址旁，考古队要保护一段城墙（长约），他们想用的围栏围出一个矩形保护区域，如图所示，一面利用现存城墙，设垂直于城墙的边长为，并在边上留一个宽为的门． (1)若矩形区域长比宽多，求此时长方形的长． (2)设长方形区域的长为，请写出y与x的函数关系式，并求出x的最小值． (3)求长方形区域的面积S的最大值． 【答案】(1)此时长方形的长为； (2)y与x的函数关系式为，x的最小值为61； (3)长方形区域的面积S的最大值为． 【分析】（1）根据题意列式，据此计算即可求解； （2）根据题意得，再根据长为，求得，据此计算即可求解； （3）得到二次函数，结合，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设长方形的宽为，则长为， 由题意得：， 解得：, 所以长， 答：此时长方形的长为； （2）解：由题意得：， 所以， 因为城墙长为， 所以，即， 解得：， 所以x的最小值为61， 答：y与x的函数关系式为，x的最小值为61； （3）解：由题意得： ， ∵，， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，有最大值，最大值为4880． 答：长方形区域的面积S的最大值为． 3．某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？设米（）．下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题： (1)试用含的代数式表示线段BC的长______米； (2)若围成园地面积为640平方米，求的值； (3)请判断谁的说法正确，为什么？并求出围成园地面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)小英说得正确，围成的园地的最大面积为平方米 【分析】（1）利用栅栏总长为69米，栅栏的长度加上门的宽度再减去的长度即可得到的代数式； （2）根据“矩形面积 ”解一元二次方程即可； （3）将园地的面积表示出来得到二次函数，将二次函数转化为顶点式，根据二次函数性质求得围成园地面积的最大值，以及此时的长度，判断围成的园地的属于哪种特殊平行四边形． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴（米）， 则（米）； （2）解：由题意列式为， 解得； （3）解：设园地的面积为， 则， ∵， ∴当时，围成的园地面积最大，为平方米， 此时米，米， ∵， ∴围成的园地是矩形， ∴小英说得正确，围成的园地的最大面积为平方米． 【类型八】二次函数的应用一几何动点问题 1．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 【答案】(1)；； (2)1秒后 (3)解：不能，理由如下： 当的面积等于时，则， 整理，得， ∴， ∴方程没有实数根， 故的面积不能等于； (4)当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间以及线段的和差关系列出代数式即可； （2）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，求出判别式的符号，即可得出结果； （4）将三角形的面积转化为二次函数求最值即可. 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：∵，，， ∴的面积， 解得或， 当时，（不符合题意，舍去）； ∴， 答：1秒后，的面积等于； （3）略 （4）解：当点运动到点时，秒； 由题意，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，的值最大为； 故当P、Q运动2秒后，的面积最大，最大为. 2．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果，两点分别从，，两点同时出发，出发时间为（，单位：）．有下列结论： (1)___________， ___________（用含的式子表示）； (2)___________（用含的式子表示），的最大值是___________； (3)当的面积是9时，的值是___________． 【答案】(1)， (2)，25． (3)1 【分析】（1）由题意得， ，； （2）先列出的面积的函数解析式，再化成顶点式，求出最值即可． （3）根据的面积是9，可得，解一元二次方程即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得： ，． （2）解： ， ∴， 当时． （3）解：当时，， 解得，， 由题意知P点从A点运动到B点需秒，Q点从B点运动到C点需要秒， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴. 3．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【答案】(1)， (2)①是，；② 【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； （2）解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 【类型一】二次函数的增减性最值 1．对于二次函数在中的最大值和最小值分别是（   ） A．最大值为4，最小值为1 B．最大值为2，最小值为 C．最大值为4，最小值为0 D．最大值为1，最小值为0 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据的取值范围和函数图象的性质，找到函数取得最大值和最小值时的的取值是解答本题的关键．先判断对称轴和开口方向，再根据的取值范围，结合二次函数的图象，得出最大值和最小值时的的取值，即可得出函数的最大值和最小值． 【详解】解：， 二次函数图象的对称轴为，且开口向上， 在范围内，当时，函数取最小值， 当时，函数取最大值， 故选：C． 2．已知二次函数的图象如图所示，当时，下列说法正确的是（   ） A．有最小值，最大值0 B．有最小值，最大值6 C．有最小值2，最大值6 D．有最小值，最大值2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先认真观察函数图象，得抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，当时，；当时，；当时，；故当时，有最小值，最大值2，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出抛物线的开口方向向下，对称轴为直线， 在对称轴的左边时，随着的增大而增大， 依题意，当时，；当时，； ∵对称轴为直线， ∴当时，； 当时，有最小值，最大值2， 故选：D． 3．已知二次函数． （1）当时，y的最大值为______，最小值为______； （2）当时，y的最大值为______，最小值为______； （3）当时，y的最大值为______，最小值为______． 【答案】 7 14 2 【分析】本题考查了利用二次函数的增减性求最值，自变量取值范围确定，求二次函数最值需要分情况讨论：①若对称轴在自变量取值范围内，则要从顶点和自变量取值范围的两个端点中确定二次函数的最值；②若对称轴不在自变量取值范围内，则要从自变量取值范围的两个端点中确定二次函数的最值． （1）（2）（3）先求出抛物线开口向上，对称轴为直线，然后利用二次函数的增减性求解即可． 【详解】解：由二次函数可知，抛物线开口向上，对称轴为直线． （1）当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值为7，当时，y取得最小值为． 故答案为：7，； （2）当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取得最小值为，当时，y取得最大值为14． 故答案为：14，； （3）当时， ∵， ∴当时，y取得最小值－2， 又∵1－0<3－1， ∴当时，函数取得最大值，． 故答案为：2， 【类型二】二次函数的几何最值 1．如图，在正方形中，，动点E在边上，动点F在边上，连接，相交于点G，且，H为的中点，连接，．有下列结论： ①面积的最大值为2； ②线段长的最小值为； ③线段长的最小值为． 其中，正确结论的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】这是正方形“十字模型”，证，设，建立函数求最大值，取中点，连接，利用三角形三边的关系可得当在同一条直线上时，最小，利用直角三角形斜边性质，结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∵， ∴， ∴， 设，则， ， ∵， ∴时，面积的最大，最大值为，①正确； 在中，， 当时，取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵H为的中点， ∴， ∵的最小值是， ∴的最小值是，②错误； 取中点，连接，如图所示， 在中，， 在中，，， ∵， ∴， ∴当在同一条直线上时，最小，最小值为，③错误， 综上分析可得，正确的是①，只有个． 2．如图所示，在边长为1的正方形中，点P是边上不与端点重合的一动点，连接、过点P作交正方形外角的平分线于点Q，则有关面积的说法正确的为（    ）． A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，求出面积的解析式成为解题的关键． 如图：连接，过P作交于G，过Q作于K，先证明可得，再证，进而得到，设，则，进而得到，最后根据二次函数的性质求最值即可解答． 【详解】解：如图：连接，过P作交于G，过Q作于K， ∵四边形为正方形； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∵ ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴当时，即时，面积有最大值． 故选C． 3．如图，已知，，抛物线与x轴交于C，D两点，点C在D点左侧，当抛物线顶点M在线段上移动时，点C的横坐标最小值为．设的最大值为m，最小值为n，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，顶点坐标公式，最值问题，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，当点C横坐标最小时，顶点M与A重合，代入点C坐标求出a；求的值，即求当时函数值，因为抛物线顶点在直线即上，另设抛物线解析式为，即，当时，，对此函数在范围内求最值，然后求最大值与最小值的差即可． 【详解】解：点横坐标最小时，顶点与点重合， 则抛物线的解析式为：， 此时点，代入上式， ， 解得：， 则， ∵抛物线在移动过程中形状、开口方向都不变， ∴抛物线中， 求的值，即求当时函数值， ∵抛物线顶点在线段上， ∴设抛物线解析式为， ∵设解析式为，代入，， ，解得， ∴解析式为， ∴， 即抛物线解析式为， 当时， ， ∴对称轴为， 当时， 当时，最大，； 当时，值最小，； ． 故答案为：． 【类型三】二次函数的铅垂高最值 1．如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标和面积的最大值．若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在使得的周长最小 (3)存在使得面积最大，最大为 【分析】（1）根据题意可知，将点、代入函数解析式，列出方程组即可求得、的值； （2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，再求与对称轴的交点； （3）设点的坐标，将的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：将，代入中得， ． 抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接， 由对称性可知， ∴的周长， ∵A、C为定点， ∴为定值， ∴当最小时，的周长最小， ∴当B、C、Q三点共线时，最小，即的周长最小， 在中，当时， 的坐标为， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为：， 在中，当时， ， ∴存在使得的周长最小； （3）解：设，连接， ， ， ∵， 当时，最大， 当时，， 点坐标为， ∴存在使得面积最大，最大为． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于、两点，与 轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点 是直线 下方抛物线上一个动点，求四边形 面积的最大值及此时点 的坐标； (3)如图2，点 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 轴交于点 ，直线（ 为常数）交抛物线于 、 两点（点 、 分别在抛物线对称轴的两侧），直线交 轴于点 ，直线交 轴于点．试探究是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为；点的坐标为 (3)是定值，定值为 【分析】（1）先写出交点式，再代入点C坐标求解即可； （2）过点作轴，交于点，可求直线，根据，可得当面积最大时，四边形面积最大，设（），则，那么，再由，得到，再利用二次函数的性质求解即可； （3）不妨设点、分别位于对称轴的左右两侧，可求顶点，则，设，，联立直线与抛物线，整理得，，则，可求直线，求出，同理可得，则，，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ ∵抛物线与轴交于点 ∴， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴，交于点， 设直线， 代入，可得， 解得 ∴直线 ∵ ∴当面积最大时，四边形面积最大， 设（），则 ∴， ∴， 即 ∵，， ∴当时，的面积最大为， ∴四边形面积最大值为， ∴此时点纵坐标为， ∴点的坐标为； （3）解：是定值， 如图，不妨设点、分别位于对称轴的左右两侧， 抛物线， ∴顶点 ∴ 设， 联立直线与抛物线， 则 整理得，， ∴， 设直线，则 解得 ∴直线， 令，则，解得， ∴，同理可得， ∴，， ∴． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点P为第二象限抛物线上的动点． (1)求a、b、c的值； (2)连接、 、，求面积的最大值； (3)设点P的横坐标为m，是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出所有符合条件的点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)面积的最大值是； (3)或 【分析】（1） 已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于一点，用待定系数法将三点坐标代入，解三元一次方程组即可求出系数． （2）点在第二象限抛物线上运动，连接、、，求面积最大值．过点作x轴垂线交于点，利用铅垂高与水平宽表示面积，将面积化为关于点横坐标的二次函数，配方求最值． （3）直角三角形需分三种情况讨论直角顶点：、、．前两种情况分别通过构造相似三角形和等腰直角三角形列方程求解；第三种情况利用点在直线上方，说明，从而排除． 【详解】（1）解：抛物线经过点，，， ， 解得：． （2）解：设点的横坐标为（）， 抛物线的解析式为， ， 设直线的解析式为， 直线经过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 过点作x轴于点，交于点， ， ， ， ， 当时，最大． （3）解：存在． ① 当时，过点作轴于点，轴于点， ， 又，， ， ， ， ， ，且，， ，，，， ， 整理得：， 又，， ， 解得：，不符合题意，舍去． ② 当时，过点作轴于点， ，， ， 点在y轴上， ， 又， ， ， ， ， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． ③ 当时， 点的坐标为，直线的解析式为， ， 又， ， 点在直线上方，且射线在x轴上方， ， ， ． 综上所述，存在点，使为直角三角形，的值为或． 【类型四】二次函数中的特殊三角形 1．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)如图①，连接，在轴上存在一点，使得是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (2)如图②，在抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图③，连接，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图④，若抛物线的顶点为，连接，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点，使是以为底的等腰三角形，，或， (3)存在点，使是以为腰的等腰三角形，满足条件的点，或，或， (4)存在点，使是等腰三角形，点坐标为，或，或，或， (5)存在点，使是等腰三角形，点坐标为，或，或，或，或， 【分析】（1）设，，由，则，求出即可求，； （2）点在线段的垂直平分线上，再由是等腰直角三角形可得垂直的直线为，联立方程组即可求点坐标； （3）设，，由和，建立方程求出的值，即可求出答案； （4）求出顶点，，设，，分三种情况讨论：①当时，可得，；②当时，可得．，或，；③当时，可得，； （5）设，，分三种情况讨论∶①当时，可得，；②当时，可得，或，；③当时，可得，或，． 【详解】（1）解：令，则， ∴，， 令，则， ∴，， 令，则， 解得或， ∴，， 设，， ∴， ∴， 解得， ∴，； （2）解：存在点，使是以为底的等腰三角形，理由如下： ∵，，，， ∴的中点为，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴过的中点与垂直的直线为， 联立方程组， 解得或， ∴，或，； （3）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形，理由如下： 设，， 当时， ∴， 解得舍去或， ∴，； 当时，， ∴， ∴，或，， 即满足条件的点，或，或，； （4）解：存在点，使是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴顶点，， 设，， ①当时，， 解得或舍， ∴，； ②当时，， 解得或， ∴，或，； ③当时，， 解得， ∴，； 综上所述：点坐标为，或，或，或，； （5）解：存在点，使是等腰三角形，理由如下： ∵抛物线的对称轴为直线， 设，， ①当时，， 解得， ∴，； ②当时，， 解得， ∴，或，； ③当时，， 解得或， ∴，或，； 综上所述：点坐标为，或，或，或，或，． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 2．如图，在等腰直角三角形中，，点A在x轴上，点B在y轴上，点，二次函数的图象经过点C． (1)求二次函数的解析式，并把解析式化成的形式； (2)把沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求线段扫过区域的面积； (3)在抛物线上是否存在异于点C的点P，使是以为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)7 (3)存在， 【分析】(1)将点C的坐标代入抛物线的解析式，可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可将抛物线的解析式变形为的形式即可； (2)过点C作轴，垂足为点K，首先证明，从而可得到，，于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平移的距离，最后，依据线段扫过区域的面积为，求解即可； (3)当时，过点P作轴，垂足为G，先证明，从而可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可，当，过点P作轴，垂足为点F，同理可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ，解得：， ∴二次函数的解析式为， ； （2）解：过点C作轴，垂足为K． 为等腰直角三角形， ． 又， ． 又， ． 在和中， ， ， ，． ，． ∴当点B平移到点D时，设， 则，解得（舍去）或． ∴线段扫过区域的面积为：； （3）解：存在； 当时，过点P作轴，垂足为G． 为等腰直角三角形， ，． ． 又， ． 在和中， ， ， ，， ． 当时，， ∴点不在抛物线上． 当，过点P作轴，垂足为F． 同理可知：， ，， ． 当时，， ∴点在抛物线上， 综上，所有符合条件的点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 3．如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据，求出的长，进而得到A，的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，用含的式表示出、的坐标，求出的长度最大时的值，即可求得、的坐标； （3）分两种情况，和时，分别求得点的坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 把A，代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）∵直线经过点， 设直线的解析式为： 把A，代入代入得： 解得：， ∴直线的解析式为： ∵过点作轴的垂线交抛物线于点， 设点横坐标为，点在线段上(点A，除外)， ∴点， ∴点横坐标为，点在抛物线上， ∴点， 据图知：点在点上方， ∴， ∵，开口向下，有最大值， 当时，的最大值为9． ∴，， ∴点，点； （3）存在 ①当时，点的纵坐标为3， 即， 解得：，， ∴，； ②当，点的纵坐标为， 即， 解得，（舍去） ∴点， 综上所述，存在点，使是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质和分类讨论思想． 【类型五】二次函数中的特殊四边形 1．如图，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)把线段沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为，当落在抛物线上时，求的坐标； (3)除（2）中的平行四边形外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点、的坐标分别为， (3)存在，，或，或， 【分析】（1）先求得点的坐标，然后根据待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据平移性质及抛物线的对称性，求出、的坐标； （3）分为平行四边形的边和对角线两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，对称轴为直线， ， 把，代入抛物线的表达式得：， 解得： ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴当时，， ∴点， ∵抛物线的对称轴为， ∴点关于的对称点的坐标为， ∴点向右平移了2个单位长度． ∴点向右平移后的点的坐标为． ∴点、的坐标分别为，； （3）解：存在．理由如下： 设． 若以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则： ①为平行四边形的边，如答图1， ⅰ）若四边形为平行四边形， 则且， 此时，分别与点、重合，与题意不符，舍去； ⅱ）若四边形为平行四边形，则且， 过点作轴于点， 则， ∴， ∴，． ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：，． ，， ，； ②若为平行四边形的对角线，如答图2． 则且， ∴，； 综上所述，存在点、，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点、的坐标为：，或，或，． 2．如图，抛物线与轴交于和两点，在点左边，与轴交于点． (1)直接写出，，三点坐标； (2)如图，为中点，在抛物线上找一点，使，求出点坐标； (3)如图，将（）中的点和及抛物线均向下平移个单位，为新抛物线对称轴右侧上一点，直线与新抛物线交于唯一公共点，与轴交于，是否存在以为对角线的菱形，使点在轴上，点在延长线上，若存在，求菱形的面积，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)存在，． 【分析】（）由抛物线得，当时，，当时，，解得，，从而得出，，三点坐标； （）分当点在上方时，当点在下方时，两种情况求解即可； （）由点和及抛物线均向下平移个单位，则平移后抛物线解析式为，设，则，则直线解析式为，与抛物线联立得，又直线与新抛物线交于唯一公共点，则， 解得，则解析式为，当时，，所以，设，因为四边形是菱形，所以，则，解得，故，由，，设，根据菱形性质求出，同理可得直线解析式为，解得，所以，，最后通过求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线得， 当时，， 当时，， 解得，， ∴，，； （2）解：当点在上方时，在上取点，使，过作，交抛物线于点，交轴于点，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 当点在下方时，在上取点，使，过作，交抛物线于点，交轴于点，作点关于轴对称点，连接，交抛物线于点，如图， 由得直线解析式为，， 当时，， ∴， ∵点与点关于轴对称， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得（舍去）或， ∴； 综上可得或； （3）解：∵点和及抛物线均向下平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 设，则，设直线解析式为， 把代入得， ∴直线解析式为， ∴与抛物线联立得， ∴， ∵直线与新抛物线交于唯一公共点， ∴，整理得， 解得， ∴解析式为，当时，， ∴， 设， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，整理得， 解得， ∴， 由，， 设， ∴，，解得，， ∴， ∵将（）中的点和及抛物线均向下平移个单位， ∴，， 同理可得直线解析式为， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴． 3．如图，已知抛物线经过，两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，动点D从点O开始沿向终点B以每秒1个单位长度的速度运动，动点E从点O开始沿向终点C以每秒2个单位长度的速度运动，过点E作，交于点F，交抛物线于点G，连接，点D，E从点O同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，若四边形为正方形，求t的值； (3)将（2）中的正方形沿y轴翻折180°，得到正方形，然后将正方形沿直线方向向下平移，设在平移过程中正方形与重合部分的面积为S，平移的距离为，请直接写出S与m之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可． （2）用t表示出点D，E的坐标，结合平行四边形的定义，让，求出t值，再进行检验能否得出正方形结论即可求出最终结果． （3）画图进行分类讨论，分别当在x轴上方时，在x轴下方，且在y轴左边时，在x轴下方，且在y轴右边时，逐一进行求出重叠部分的面积即可． 【详解】（1）将点A和C代入抛物线解析式中 解得： 抛物线的解析式为：． （2）点B是抛物线与y轴的交点 又 的解析式为： 又 当时，四边形为平行四边形 解得： 当时， 四边形为正方形 当时， 四边形不是正方形 综上所述：当时，四边形为正方形． （3）    为等腰直角三角形 如上图所示 ①当在x轴上方时， 重叠部分的宽为： ②当在x轴下方，且在y轴左边时， 重叠部分的面积为： ③当在x轴下方，且在y轴右边时， 重叠部分的宽为： 综上： 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，重叠部分面积求法等知识点，灵活运用所学知识并采用数形结合的方法解决综合问题是解题的关键． 【类型六】二次函数中的等角与倍角 1．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在抛物线上，其横坐标为（）．过点作轴的平行线交直线于点，以为边，点为对称中心，作． (1)求抛物线的对称轴； (2)当点在第四象限时，求的取值范围； (3)点的坐标为． ①作、．当时，求的值． ②当直线与抛物线有两个公共点时，设其中一个交点为（点不与点、重合），作点关于点的对称点为，连接、．当与重合部分的图形内角中恰好有一个角是直角时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①，②的取值范围为或或 【分析】（1）将抛物线解析式配成顶点式，直接根据顶点式对称轴公式求解； （2）先求出坐标，利用平行四边形以原点为对称中心得到点坐标，再结合第四象限点横、纵坐标符号列出不等式组求解范围； （3）①由平行四边形对角相等转化角的等量关系，根据圆周角逆定理推出四点共圆，利用弦的垂直平分线交于圆心建立横坐标方程，结合求出； ②先根据抛物线对称性得到点坐标，再由点关于定点对称的中点公式求出坐标，判断为直角三角形，结合平行四边形边界与的位置关系分区间讨论，找出重合部分内角恰好只有一个直角时的取值范围． 【详解】（1）解：， 抛物线的对称轴为：直线； （2）解：点在抛物线上，横坐标为，代入抛物线得纵坐标：，即， 令，代入直线方程得：， ， 以为对称中心 点与点关于原点中心对称， ， 第四象限的点满足：横坐标，纵坐标， ， 解得：； （3）解：①如图， 四边形是平行四边形， ， ， 与均对应线段，且点都在同侧，根据圆周角定理逆定理：同弧所对圆周角相等则四点共圆，因此四点共圆， 对于弦：，，在轴上，的中点为， 因此的垂直平分线是直线，圆心必在这条直线上， 对于弦：、纵坐标相同，轴，其中点横坐标为， 因此的垂直平分线是直线，圆心也必在这条直线上， ，即， ，，代入得：， 整理为一元二次方程：， 解得：， ， ； ②直线， 抛物线对称轴为， 两点关于对称， 点横坐标为，即， 点与关于对称，由中点公式得坐标：， ，，， 是直角三角形， 令的横坐标等于的横坐标：， 整理得，， 解得：， ， ， 重合部分为与平行四边形的交集，需其内角恰好有个直角： 当且时：，在轴下方，为水平边，为竖直边，二者在点形成的直角完全落在重合部分内部，其余内角均不为直角，满足“恰好一个直角”， 时与重合，不满足条件，舍去， 当时：平行四边形右边界在左侧，点的直角不在重合部分内，且无其他直角，不满足条件，舍去， 当时：平行四边形右边界在右侧，整个落在平行四边形内部，重合部分即为直角三角形，恰好有个直角，满足条件， 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题综合考查二次函数图象性质、一次函数、中心对称、平行四边形性质、四点共圆、坐标对称变换与图形相交分类讨论，熟练运用坐标运算、垂直平分线、中点公式、图形位置分类是解题关键． 2．抛物线：过点，点，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)如图，连接，在直线上方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得抛物线，若时，直线与图象有唯一公共点，求的取值范围． 【答案】(1)，的坐标 (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式，求得解析式，再化为顶点式，即可求解； （2）根据，得出，设点坐标为，则，，进而得出，即可求解． （3）设将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得抛物线：，根据直线与抛物线有唯一公共点，联立直线与抛物线得出，根据得出的范围，即可求解． 【详解】（1）解：过点，点， ∴ 解得 ∵ ∴对称轴为直线 的坐标 （2）过点作轴的垂线与过点平行轴的直线交于点 当时，， ∴， 点， ∴ 点， ∴ 轴 设点坐标为，则， 解得或舍 （3）设将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得抛物线： 点， 设直线的关系式为： ∴ 解得： 直线的关系式为 由抛物线与直线相交得 整理得 直线与抛物线有唯一公共点 3．已知抛物线（是常数且）与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为，是坐标原点． (1)若， ①求该抛物线的顶点和点，的坐标； ②抛物线上一点在直线下方，其横坐标为，过点作直线，当直线与直线之间的距离取得最大值时，求点的坐标． (2)当取得最小值时，该抛物线上存在一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)①顶点坐标为，点的坐标为，点的坐标为；② (2)或 【分析】（1）①把代入求出抛物线的表达式，然后配方出顶点坐标，再分别令求出与坐标轴的交点； ②过点作，轴，交于点，得到是等腰直角三角形，那么将的最大值转化为的最大值求解即可； （2）同①可得，，，，直线的解析式为，可求点，作点关于轴的对称点，有．则，即点，，在一条直线上时，取得最小值，将点代入求出，求出抛物线解析式，取点，连接，然后证明． 当点在直线下方时，可知；当点在直线上方时，设与轴相交于点，可得，则，再求出直线的不等式与抛物线的表达式联立求解即可． 【详解】（1）解：①当时，抛物线解析式为． 由，知抛物线的顶点坐标为． 当时，． 解得，． ∴点的坐标为． 当时，． ∴点的坐标为． ②过点作，轴，交于点． ，， ． ， ． 轴， ． ． 在中，有． ． ∴当取最大值时，直线与直线之间的距离取得最大值． 设直线 由，得， 解得 ∴直线的解析式为． ． ∵点在抛物线上， ． ． ∵， ∴当时，取得最大值．此时点的坐标是． （2）解：同①可得，，，，直线的解析式为． 由可知，点． 作点关于轴的对称点，有． ，即点，，在一条直线上时，取得最小值， ∴将点代入得，． 解得（舍去），． ∴抛物线解析式为． ∴点，． ． 取点，连接， 由，可知垂直平分． ． ．即． ． 当点在直线下方时，可知． 由点，，同理可求直线的解析式为． ∴设直线的解析式为． 把点代入可解得． ∴直线的解析式为． 当时， 解得（与点重合，不合题意舍去），． ∴点的坐标为． 当点在直线上方时，设与轴相交于点． 由，，可知． 又，， ∴． ∴． ． ∴同理可求直线的解析式为． 当时， 解得（与点重合，不合题意舍去），． ∴点的坐标为． 综上，满足条件的点的坐标为或． 【类型七】二次函数的定值问题 1．如图，二次函数的图像与轴交于点和点（位于轴的正半轴），与轴交于点． (1)_______（用含的代数式表示）； (2)若的面积为6，点，为二次函数图像上的两点，设点的横坐标为，点的横坐标为，且，直线，分别与轴交于点，． ①求该二次函数的表达式； ②若，则是定值吗？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)①②是定值，定值为，理由见详解 【分析】（1）将代入即可求解； （2）①当时，可求出，在由三角形的面积可得，即可求解；②如图，过作轴，作关于的对称点，连接，由对称的性质及等腰三角形的判定及性质得，从而可判定、、三点共线，由已知条件可求，，由待定系数法直线的解析式为 ，联立，可求，同理可求直线的解析式为，直线的解析式为，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， ； 故答案：； （2）解：①由题意得， 当时， ， ， 解得：，， ， ， 当时，， ， ， 的面积为6， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ， 该二次函数的表达式； ②如图，过作轴，作关于的对称点，连接， ， ， ， ， ， ， ， 、、三点共线， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ； 故的定值为． 【点睛】本题考查了待定系数法，对称的性质，几何图形面积的计算方法，等腰三角形的判定及性质，掌握二次函数图像的性质，能根据由对称的性质证出、、三点共线是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为抛物线上一点，点为轴上一点，当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点的坐标； (3)若为线段的中点，为抛物线的顶点，直线交抛物线于两点，直线交轴于点，直线交轴于点．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，中点坐标公式，二次函数一次函数结合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意求出，将三个点代入函数表达式求解即可； （2）根据题意设，，分两种情况进行讨论，当为平行四边形对角线时；以及为平行四边形对角线时，即可得到答案． （3）设，，求出，根据题意求出，，即可求出答案． 【详解】（1）解： ， 将代入， ，解得， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：点为抛物线上一点， 设， 点为轴上一点， 设， 当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时， ①为平行四边形对角线时，对角线交点即为中点，利用中点坐标公式， ， 解得， ， ②为平行四边形对角线时， ， 解得， ， 此时点和点重合，故该情况不成立， 综上所述，点的坐标； （3）解：设的值为定值， 为抛物线上两点， 设，， 为直线与抛物线的交点， 联立得：， 得：， ， 为抛物线的顶点， ， ， 表示为：， 得， 直线交轴于点， 令，得，解得， ， ， 表示为：， 得， 令，得，解得， ， 为线段的中点， ， ， ， ， 故的值为定值，为． 3．已知抛物线的对称轴为y轴，过点且平行于x轴的直线与抛物线交于A、B两点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P的直线与抛物线交于C，D两点（C点在D点的左侧） ①当时，点Q为直线l下方的抛物线上的一点，求的面积的最大值； ②过点C、D分别作x轴的垂线，交x轴于点E、F，设，的面积分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)①为最大值；②为定值， 【分析】（1）根据题意可得二次函数经过点，利用待定系数法即可解答； （2）①过Q作y轴平行线交于点M，利用，列二次函数，利用二次函数的性质即可解答； ②设，，利用根与系数的关系列出，即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为y轴， ， ∵过点且平行于x轴的直线与抛物线交于A、B，且， ∴根据抛物线对称性，过点， 则可得， ∴，即； （2）解：①∵， ∴直线l：， 把代入可得， ∴直线l：， 联立得：， 解得：或，即，， 设，，过Q作y轴平行线交于点M，则， ， ， ， ，； ②是定值，理由： 根据题意可得直线l：， 设，， 联立得， ， 根据根与系数的关系得， ，， ． 【类型八】二次函数的新定义 1．定义：函数图象上到两坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 （1）在①，②，③，④四点中，是函数的完美点的有______（填序号）； （2）点为反比例函数第二象限图象上的完美点，求的值； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求和的值； 【定义拓展】 （4）若二次函数的图象上存在到两坐标轴的距离相等且小于等于的完美点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）②④ （2） （3） （4） 【分析】（1）把点代入一次函数解析式，分别求出到坐标轴的距离，再根据完美点的定义进行判定即可求解； （2）根据反比例函数图象在第二象限可得，结合完美点的计算可得横纵坐标互为相反数，由此可得，得到，求出完美点的坐标，运用待定系数法即可求解； （3）根据完美点可得二次函数与有且只有一个交点，得到，把完美点代入二次函数解析式得，由此联立方程组求解即可； （4）根据题意，分类讨论：第一种情况，设这个完美点的坐标为；第二种情况，设这个完美点的坐标为；根据完美点的计算，代入，运用根与系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）∵函数图象上到两坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点， ∴①点到轴的距离为， 当时，，即到轴的距离为， ∴此点在函数图象上，且， ∴不是完美点； ②点到轴的距离为， 当时，，即到轴的距离为， ∴此点在函数图象上，且， ∴是完美点； ③点到轴的距离为， 当时，，即到轴的距离为， ∴此点不在函数图象上，且， ∴不是完美点； ④点到轴的距离为， 当时，，即到轴的距离为， ∴， ∴是完美点； ∴四点中是完美点的有②④， 故答案为：②④； （2）反比例函数的图象在第二象限， ∴， ∵点为第二象限的完美点， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴； （3）∵二次函数的图象上有且只有一个完美点，且完美点是到两坐标轴的距离相等， ∴二次函数与直线有且只有一个交点， ∴，整理得，， ∴，即， 把点代入二次函数得，，即， ∴联立方程组得，， 解得，； （4）∵二次函数的图象上存在到两坐标轴的距离相等且小于等于的完美点， ∴横、纵坐标相等或互为相反数， ∴完美点在直线或直线的图象上， ∴第一种情况，设这个完美点的坐标为， ∴，整理得，， ∵有完美点， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴当时，，把代入得， 解得，； 当时，，把代入得， 解得，（不符合题意，舍去），； 综上所述，； 第二种情况，设这个完美点的坐标为， ∴，整理得，， ∵有完美点， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴当时，，把代入得， 解得，； 当时，，把代入得， 解得，，（不符合题意，舍去）； 综上所述，； ∵存在到两坐标轴的距离相等且小于等于的完美点， ∴． 【点睛】本题主要考查定义新运算，一次函数图象的性质，反比例函数图象的性质，二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，二元一次方程组的计算，理解题目中完美点的含义及计算，掌握一次函数，二次函数图象的性质是解题的关键． 2．在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点．他们把这个点定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： (1)点的“和”点是______； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．当时，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义下的二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）根据题目中给出的信息解答即可； （2）先将点M的坐标代入抛物线的解析式，求出，得出抛物线解析式，然后根据题意写出抛物线的“和抛物线”即可； （3）先根据点，求出点B的坐标，把点B代入抛物线关系式得出b、c的关系式，然后把b、c的关系式代入抛物线的关系式，得出，写出其“和抛物线”的关系式为：，并求出化为顶点式，得出，将n看作c的函数，求出当时，n的取值范围即可； 【详解】（1）解：根据题意可知，点的“和”点是， ∴点的“和”点的纵坐标为，即． 故答案为：． （2）将点代入抛物线得：， 解得：， 即抛物线的解析式为， ∴抛物线的“和抛物线”为， 即． （3）根据题意可知，点是点的“和”点， ∴，解得：，即， 将点代入抛物线得：，则， ∴抛物线为， ∴抛物线的“和抛物线”为：， 即 ∵其顶点坐标为， ∴， 将n看作c的函数， ∵， 时，n有最大值，且最大值为1， 当时，，n有最小值，且最小值为， ∴n的取值范围是. 3．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点是函数图像上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图像上所有点的“纵横值”中若存在最大值则称为函数的“最优纵横值”，若存在最小值则称为函数的“最劣纵横值”． 【举例】已知点在函数图像上． 点的“纵横值”为； 函数图像上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时，的最大值为的最小值为， 所以函数的“最优纵横值”为7，“最劣纵横值”为4． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为__________； ②求出函数的“最优纵横值”和“最劣纵横值”； (2)若二次函数的对称轴为直线，且最优纵横值为5，求c的值； (3)已知二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为m，最劣纵横值为n，若，请直接写出t的值． 【答案】(1)①7；②最优纵横值是8，最劣纵横值是 (2) (3)或 【分析】（1）①根据“纵横值”的定义求解即可；②根据“纵横值”的定义，设函数图像上所有点的“纵横值”为，，结合二次函数图像的性质即可获得答案； （2）首先确定，设图像上所有点的“纵横值”为，则有，结合二次函数图像的性质以及“最优纵横值”的定义求解即可； （3）设函数图像上所有点的“纵横值”为，则有，易知关于的函数图像开口向上，且对称轴为，然后分、、三种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意，点的“纵横值”为； ②对于函数，设图像上所有点的“纵横值”为， 则有， ∵， ∴关于的函数图像开口向上，且对称轴为， ∴当时，可有“最劣纵横值”为， 又∵， ∴可有“最优纵横值”为． 故答案为：①7；②最优纵横值是8，最劣纵横值是； （2）若二次函数的对称轴为直线， 则有，解得， ∴该函数解析式为， 可设图像上所有点的“纵横值”为， 则有， ∵， ∴关于的函数图像开口向下，且对称轴为， ∴当时，可有“最优纵横值”，且为， 解得； （3）对于二次函数， 设图像上所有点的“纵横值”为， 则有， ∵， ∴关于的函数图像开口向下，且对称轴为， 分三种情况讨论： ①若，当时，取最大值，即， 当时，取最小值，即， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去； ②若，的最大值为4，即 或， ∵， 令，解得，（不合题意，舍去）； 令，解得，（不合题意，舍去）； ③若，即， 当时，取最小值，即， 当时，取最大值，即， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了新定义“纵横值”、二次函数的图像与性质、二次函数综合应用等知识，正确理解新定义是解题关键． 1．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：把化为顶点式：， ∵， ∴图象开口向上，A错误； 该函数的对称轴为直线，B错误； ∵开口向上，顶点坐标为， ∴函数的最小值为，C错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 2．（25-26九年级下·北京顺义·阶段检测）将抛物线向左平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，利用“左加右减，上加下减”的规律求解，水平平移仅改变x的表达式，常数项不变． 【详解】解：抛物线向左平移3个单位长度，仅需对x加3， 则平移后得到的抛物线解析式为． 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用抛物线的对称性求解，抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵ 两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 4．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴相交于，两点，下列说法不正确的是（   ） A． B．函数的最小值为 C．方程有两个不相等的实数根 D． 【答案】D 【分析】由函数图象及二次函数的性质即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴相交于，两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∵， ∴， 由图象知，， ∴，即选项A正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值，即选项B正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于，两点， ∴方程有两个不相等的实数根，分别为与1，即选项C正确； ∵， ∴，即选项D错误． 5．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）若二次函数有最大值7，则的值为________． 【答案】6 【分析】将二次函数解析式配方为顶点式，根据二次函数有最大值，列出关于的方程，求解即可得到的值. 【详解】解：， ， 二次函数开口向下， 二次函数的最大值为， 二次函数的最大值为， ， 解得. 6．（25-26九年级下·湖北黄石·阶段检测）写出一个开口向下，顶点坐标为的二次函数解析式，其顶点式可以表示为__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由二次函数的顶点式为，其中 为顶点坐标． ∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴二次函数的解析式为， ∵开口向下， ∴， 二次函数的解析式为（答案不唯一）． 7．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A、B、C、D四点，且线段都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为，，则点B到CD的距离为_______． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入的横坐标即可． 【详解】解：如图建立坐标系： ∵抛物线最高点到的距离为，，， ∴，， 设，将代入得，， 解得，即， 当时，， 即点到的距离为． 8．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）抛物线与y轴交于点 (1)求a的值； (2)将该抛物线的图象向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线，请你写出新函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． （1）将点代入抛物线解析式求解即可； （2）根据二次函数的平移规律求解即可 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点， ， 解得：； （2）解：由（1）可知，抛物线解析式为， 该抛物线的图象向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线， 则新函数的解析式为． 9．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）如图，已知抛物线（b为常数）经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作x轴的平行线，交抛物线于A、B两点，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质， （1）利用待定系数法求解即可； （2）由，轴得时代入解析式，即可求． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， 该抛物线的函数表达式为； （2）解：，轴， 当时，， 解得：，， ． 10．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 【分析】（1）由点的坐标设抛物线的交点式，再把点D的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可求得． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点D的坐标为， ∴将点D坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，， ∴矩形的周长 ， ∵， ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为． 1．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴，，． 根据二次函数顶点坐标公式，可得： ，． ∴二次函数的顶点坐标为． 2．（25-26九年级下·河南周口·期中）二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质，分别通过开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，从而得到正确选项． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴，当时，， ∴， 综上，，，，故选项A符合题意． 3．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）已知一个二次函数（、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如表： 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（     ） A． B．该函数的最小值为 C．该函数图象不经过第三象限 D．该函数图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】先利用表格中的对应点求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质逐一判断各选项，找出错误结论即可． 【详解】解：由表格可知当时，，当时，； ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， 、，结论正确，不符合题意； 、由，则函数开口向上， ∵对称轴为， ∴将代入得， ∴函数最小值为，结论正确，不符合题意； 、当时，，， ∴恒成立，函数与轴交点都在正半轴，图象不经过第三象限，结论正确，不符合题意； 、由选项得函数对称轴为直线，不是，结论错误，符合题意． 4．（25-26八年级下·山东东营·期中）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为3，由此可求得A点横坐标，即得，从而可得，由菱形面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为3； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为3， 即， ∴， ∴菱形面积为． 5．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）若二次函数的图像过点，则a的值为______． 【答案】2 【分析】将点代入二次函数解析式得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：将点代入二次函数得：，解得：． 6．（25-26九年级下·黑龙江·期中）将二次函数化为的形式，结果为_____． 【答案】 【分析】先提取二次项系数，再利用完全平方公式配方即可得到结果. 【详解】解： ， 即. 7．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点、（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为______． 【答案】 【分析】由两抛物线的解析式确定出两抛物线的对称轴，利用对称性确定出点B与C的横坐标，进而求出的长． 【详解】解：抛物线与的对称轴分别为直线与直线， ∵点A的横坐标为1， ∴点C的横坐标为5，点B的横坐标为， ∴． 8．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 m 0 3 … (1) _____；该抛物线的顶点坐标是_____； (2)在平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象； (3)填空：当时，y随x的增大而减小，则n的取值范围是_____． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，画二次函数图象，把二次函数的解析式转化为顶点坐标式． （1）把代入二次函数的解析式即可求出的值；用配方法把二次函数的解析式转化为顶点坐标式； （2）利用列表、描点、连线的方法画出二次函数的图象； （3）由图象可知，当时，随的增大而减小，所以可得的取值范围是． 【详解】（1）解：当时， 可得：， ； ； ∴该抛物线的顶点坐标是； 故答案为：，； （2）解：画出函数图象，如下图所示， （3）解：由图象可知，当时，随的增大而减小， ， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，二次函数的图象交轴于，两点，已知抛物线的对称轴为轴，． (1)求的值； (2)若点在抛物线上，且点的横坐标为，连接，求的面积． 【答案】(1)1 (2)6 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据轴对称的性质，得出，，把点代入，求出即可； （2）先求出点，作于点，则，根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于，两点，抛物线的对称轴为轴， ∴A、B关于y轴对称， ∵， ∴，， 把点代入，得， 解得：． （2）解：由（1）知， 当时，， 点， 如图，作于点，则， ． 10．（25-26九年级下·四川自贡·期中）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． (1)求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． (2)义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为使销售利润最大，则每件应降价多少元？ 【答案】(1) (2)4元 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件列方程求解即可； （2）设降价y元，利润为w元．求出w的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， ， 解得：（舍）， 答：月平均增长率为； （2）解：设降价y元，利润为w元． ∴当时，w有最大值． 答：为使销售利润最大，每件应降价4元． 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先根据顶点式得到顶点坐标，再根据坐标符号判断顶点所在象限即可． 【详解】解：可写为， 该二次函数图象的顶点坐标为， 顶点横坐标，纵坐标， 顶点在第二象限． 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象判断的取值，利用数形结合即可求解． 【详解】解：A、由反比例函数图象得，，由抛物线得，可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项A不符合题意； B、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项B不符合题意； C、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象不可能在同一坐标系中，故选项C不符合题意； D、由反比例函数图象得，，由抛物线得，，则可得抛物线和双曲线（）的图象可能在同一坐标系中，故选项D符合题意． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，点，在二次函数的图象上．若点是该函数图象与x轴的一个交点，且，则a可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把，代入，可求出，，则，分别求出，时，对应y的值，然后根据点是该函数图象与x轴的一个交点，且得出，最后解不等式组即可． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴， 消去c得，即， ∴， 把代入得， ∴， ∴， ∴二次函数可表示为：， 当时，， 当时，， ∵点是函数与x轴的交点，且， ∴， ∴或， 解得， 观察各选项，只有选项B符合题意． 4．（25-26八年级下·广西南宁·期末）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点从处出发，沿笔直公路向目的地处运动．设为（单位：）（），为（单位：）．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（） A． B． C．点的纵坐标为250 D．点在该函数图象上 【答案】C 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：（负值舍去），故选项A不正确； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B不正确； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C正确； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点不在该函数图象上，故选项D不正确． 5．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，抛物线与直线交于A、B两点，则的解集是________． 【答案】 【分析】根据图象上一次函数图象在二次函数图象上方部分对应的自变量取值范围即可得解． 【详解】解：由图象可知，当时，一次函数图象在二次函数图象上方， 则的解集是． 6．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 7．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）． （1）抛物线的对称轴为直线______； （2）点，为该抛物线上的两点，当，时，均满足，则t的取值范围为______． 【答案】 1 【分析】（1）利用对称轴公式进行计算即可； （2）根据对称性得到和时的函数值相等，根据增减性结合题意，得到，进行求解即可． 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为直线． （2）∵，抛物线的对称轴为直线， ∴时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，和时的函数值相等． ∵当，时，均满足， ∴， ∴t的取值范围为：． 8．（25-26九年级上·广东珠海·期末）如图1，一小球从地面点处抛出，到达最高处点后，再重新落回地面至点，球的抛出路线可以用二次函数刻画． (1)求小球到达最高点的坐标，以及小球落回地面点的坐标； (2)如图2，若点处有一斜坡，可以用一次函数刻画．小球从点处抛出，其抛出路线不变，小球落到斜坡上的点，求出点的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了把化成顶点式，求抛物线与x轴的交点坐标，投球问题(实际问题与二次函数)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先将解析式转化为顶点式，从而可求得小球到达的最高点的坐标，再取，，解一元二次方程求得即可得出小球落回地面点的坐标； （2）联立两解析式可得：，求出方程组的解即可得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，． 故小球到达的最高点的坐标为； 当时，，解得（不合题意，舍去），， 故小球落回地面点的坐标为； （2）解：联立两解析式可得：， 解得：，或， 故可得点的坐标为． 9．（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：关于自变量的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为“增函数”，当，时，都有，称该函数为“减函数”． 【例题】证明：函数 （x是任意实数）是“减函数”， 证明：设，则， 因为，所以， 所以， 所以，因此该函数是“减函数”． (1)根据定义可以判断函数（x是任意实数）是“______函数”（填“增”或者“减”）； (2)根据例题，请判断函数在自变量时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)增 (2)函数（）是增函数，存在最小值，最小值为，不存在最大值，理由如下： 设，则， ∵， ∴，， ∴ ∴，即该函数是“增函数”， ∵在时是“增函数”， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为，并且不存在最大值． 【分析】（1）先设，运算，再根据，推出，据题意即可判断； （2）设，运算，再根据，，推出，即可判断在自变量时为增函数，最后根据函数的性质辨别最值即可． 【详解】（1）设，则， ∵， ∴， ∴ ∴，即该函数是“增函数”． （2）略 10．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点两点，与y轴交于点C，其中点C可由点B绕原点逆时针旋转得到． (1)求抛物线的解析式； (2)点G为抛物线上一动点，连接，当点C到直线的距离最大时，求的面积为多少； (3)当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)存在，点D坐标为或或 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）由题易得时，点C到的距离最大，据此求解即可； （3）设出点D的坐标，构造三垂直全等，表示出点P坐标，进而代入抛物线解析式即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 由题意得：点C的坐标为， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：设点C到的距离为h，则， ∵点C到直线的距离最大， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为：， ，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：或， ∴点G的坐标为， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴． （3）解：∵抛物线的解析式为：． ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点D的坐标为，， ①点D为直角顶点， Ⅰ、，作对称轴于点M，则， ∴， ∴点P为， ∴，解得：（不合题意，舍去）， ∴点D的坐标为， Ⅱ．，如图2，点， ∴，则， ∴（取负值）， ∴点D的坐标为， ②A为直角顶点，过点A作y轴的平行线，作轴的平行线于点M，轴的平行线于点N，则， ∴， ∴点P为， ∴，解得， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点D坐标为； 综上，点D坐标为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 二次函数 思维导图 1.1 二次函数的意义 一般地，形如y = ax² + bx + c（a、b、c是常数，a ≠ 0）的函数叫做二次函数。其中x是自变量，y是因变量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。 二次函数概念需要注意的关键点 · 必须满足最高次项次数为2，也就是二次项系数不能为0，如果a=0，函数就会退化为一次函数y=bx+c（b≠0）或者常数函数y=c，不再是二次函数。 · 二次函数是整式形式，自变量x的取值范围在没有实际限制的情况下是全体实数；如果结合实际问题，自变量的范围需要符合实际意义，比如边长、面积等不能为负数，取值范围会缩小。 · 常见的二次函数特殊形式：y=ax²（a≠0，b=0,c=0）、y=ax²+c（a≠0，b=0）、y=ax²+bx（a≠0，c=0），这些都属于二次函数的特例，依然满足a≠0的核心要求。 判定二次函数的步骤 第一步先整理函数解析式，化为一般形式；第二步确认自变量的最高次数是2，且二次项系数不为0；最后结合实际问题确定自变量取值范围即可完成判定。 1.2 二次函数的图象 二次函数图象的基本特征 二次函数的图象是一条抛物线，所有二次函数的抛物线都是轴对称图形，有一条对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最高点或者最低点。 不同形式二次函数的图象平移规律 函数形式 顶点坐标 对称轴 平移关系（相对于y=ax²） y = ax² (0, 0) y轴（直线x=0） 基准图象，无平移 y = a(x - h)² (h, 0) 直线x=h h>0时向右平移h个单位，h<0时向左平移|h|个单位 y = a(x - h)² + k (h, k) 直线x=h 先平移左右|h|个单位，再上下平移|k|个单位：k>0向上、k<0向下 y = ax² + bx + c （，） 直线x= 可通过配方转化为顶点式得到平移关系 平移规律可以总结为：左加右减，上加下减，左右平移针对x本身变化，上下平移针对常数项整体变化，例如将y=2x²向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的解析式是y=2(x+3)²-2，符合上述规律。 a的绝对值对抛物线开口的影响 |a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽，|a|相同的抛物线形状完全相同，只有位置和开口方向不同。 1.3 二次函数的性质 开口方向与最值 · 当a > 0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，函数有最小值，最小值就是顶点的纵坐标k=。 · 当a < 0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，函数有最大值，最大值就是顶点的纵坐标k=。 增减性（单调性） 增减性以对称轴x=h为分界： · a > 0时：对称轴左侧（x < h），y随x的增大而减小；对称轴右侧（x > h），y随x的增大而增大，简称“左减右增”。 · a < 0时：对称轴左侧（x < h），y随x的增大而增大；对称轴右侧（x > h），y随x的增大而减小，简称“左增右减”。 顶点与对称轴的求法 · 公式法：对于一般式y=ax²+bx+c，对称轴是直线x =，顶点坐标(, ) · 配方法：将一般式化为顶点式y=a(x-h)²+k，直接得到顶点(h,k)，对称轴x=h。 · 对称性：抛物线上纵坐标相同的两个点的垂直平分线就是对称轴，对称轴与抛物线的交点就是顶点。 抛物线与坐标轴的交点 · 与y轴的交点：令x=0，得到y=c，所以抛物线恒过点(0, c)，常数项c就是抛物线与y轴交点的纵坐标，c的符号决定交点在y轴的正半轴还是负半轴：c>0交点在正半轴，c=0过原点，c<0交点在负半轴。 · 与x轴的交点：令y=0，得到一元二次方程ax²+bx+c=0，交点的横坐标就是方程的根，交点个数由根的个数决定，具体关系见1.4节内容。 1.4 二次函数与一元二次方程的关系 核心对应关系 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），当y=0时，就得到一元二次方程ax²+bx+c=0，因此： · 一元二次方程ax²+bx+c=0的根，就是二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。 · 一元二次方程根的判别式Δ = b² - 4ac，决定了二次函数图象与x轴的交点个数，对应关系如下： 判别式Δ的符号 一元二次方程根的情况 二次函数与x轴交点个数 Δ > 0 两个不相等的实数根 两个交点 Δ = 0 两个相等的实数根（重根） 一个交点（顶点在x轴上） Δ < 0 没有实数根 没有交点 二次函数与一元二次不等式的关系（拓展） 基于图象可以直接判断不等式的解集： · 当a>0时，ax²+bx+c>0的解集是x<x₁或x>x₂（x₁<x₂是两个交点横坐标）；ax²+bx+c<0的解集是x₁<x₂。 · 当a<0时，ax²+bx+c>0的解集是x₁<x₂；ax²+bx+c<0的解集是x<x₁或x>x₂；如果没有交点，直接根据开口方向判断函数值恒正或恒负即可。 交点式（因式分解形式） 若二次函数y=ax²+bx+c与x轴交于(x₁, 0)和(x₂, 0)两点，则二次函数可以写成交点式：y = a(x - x₁)(x - x₂)，其中x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0的两个根，交点式方便直接得到抛物线与x轴的交点坐标，适合已知交点求解析式的场景。 图象法求一元二次方程的近似根 步骤：先画出二次函数y=ax²+bx+c的图象，观察图象找到抛物线与x轴交点，确定交点横坐标所在的两个相邻整数区间，再通过取中点计算函数值符号逐步缩小范围，得到符合精度要求的近似根。 1.5 二次函数的应用 利用二次函数解决最值问题 实际问题中，经常需要求最大利润、最大面积、最小成本等问题，解题步骤： · 设定变量，设自变量和因变量，根据实际问题中的等量关系列出二次函数解析式。 · 根据实际问题的要求，确定自变量的取值范围，保证自变量符合实际意义（例如长度、销量不能为负）。 · 在自变量取值范围内，利用二次函数的顶点性质求函数的最大值或最小值：如果顶点横坐标在自变量取值范围内，顶点的纵坐标就是对应最值；如果顶点横坐标不在范围内，根据二次函数的增减性，在区间端点取到最值。 常见最值应用类型 1. 面积最值：通常是矩形、三角形等图形，给定周长或者一边总长，求面积最大值，列出面积关于边长的二次函数求解即可。 2. 利润最值：基本公式是总利润=（单价-单位成本）×销售量，通常销售量会随着单价变化，设单价为自变量，得到总利润关于单价的二次函数，求最大利润。 利用二次函数解决抛物线型实际问题 常见的问题包括抛物线型的桥拱、隧道、弹道轨迹、跳水路径等，解题步骤： · 建立合适的平面直角坐标系，通常将抛物线的顶点或者原点放在坐标轴上简化计算。 · 根据已知点坐标求出二次函数的解析式。 · 利用解析式求解实际问题，例如求某点高度、判断能否通过、求最大高度等。 二次函数与一次函数的综合应用 常考交点问题、最值比较、动点问题：两个函数的交点坐标就是联立两个函数解析式组成方程组的解，求交点直接联立求解即可；比较两个函数值的大小，可根据交点左右两侧的图象位置判断大小关系。 用待定系数法求二次函数解析式的三种方法 作为应用的基础，待定系数法根据已知条件选择合适解析式可以简化计算： · 已知任意三个点坐标，选择一般式y=ax²+bx+c，代入三个点坐标得到三元一次方程组，求解a,b,c即可。 · 已知顶点坐标（或者对称轴、最值），选择顶点式y=a(x-h)²+k，代入顶点坐标得到h、k，再代入另一个点坐标求解a即可。 · 已知抛物线与x轴的两个交点坐标，选择交点式y=a(x-x₁)(x-x₂)，代入两个交点横坐标得到x₁、x₂，再代入第三个点坐标求解a即可。 【类型一】二次函数的定义及求参 1．下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的常数项为零，则的值为_____． 【类型二】列二次函数关系式 1．公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 2．将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个．已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，小明的父亲想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园．已知房屋外墙长，设m，矩形菜园的面积为，则与之间的函数解析式为___________．（不必写出的取值范围） 【类型三】二次函数的平移 1．将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 2．将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度所得图象的函数表达式为（     ） A． B． C． D． 3．若抛物线与轴两个交点间的距离为，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线顶点坐标______________． 【类型四】二次函数与坐标轴的交点 1．二次函数与两坐标轴交点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．关于抛物线，下列说法正确的是______．（填序号） ①开口向下；②y有最小值；③与y轴的交点坐标是；④顶点坐标是． 【类型五】y=ax²的图象与性质 1．如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 2．已知，是抛物线上的点，则，的大小关系是____． 3．已知二次函数图像经过点． (1)判断这个函数图像的开口方向； (2)点在这个函数图像上，求m的值． 【类型六】y=ax²+k的图象与性质 1．若点和点都在抛物线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．抛物线的顶点坐标是_____． 3．已知抛物线（如图所示）．    (1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______； (2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标． 【类型七】y=a(x-h)²的图象与性质 1．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________（请按从小到大的顺序排列）． 3．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【类型八】y=a(x-h)²+k 的图象与性质 1．对于二次函数，下列说法中正确的是（     ） A．图象的开口向上 B．函数的最小值为1 C．当时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线 2．已知，是抛物线上的两点，则与的大小关系是______． 3．已知抛物线． (1)判断点是否在此抛物线上． (2)若点，在该函数图象上，试比较与的大小，并说明理由． 【类型九】y=ax²+bx+c的图象与性质 1．已知二次函数，下列说法错误的是（     ） A．顶点坐标为 B．对称轴为直线 C．函数图像与x轴有2个交点 D．当时，y随x的增大而减小 2．已知二次函数的图象与轴的两个交点的距离为，则该函数图象的顶点的纵坐标为______． 3．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 【类型十】待定系数法求二次函数解析式 1．如图，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的表达式． (2)利用函数图象，求当时，y的取值范围． 2．已知，二次函数的图象经过点，抛物线对称轴为直线． (1)求该二次函数的解析式； (2)若是该二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标，求的值． 3．关于x的二次函数（a，b，c是实数且）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … 1 … y … n … (1)若，求二次函数的表达式； (2)若二次函数的图象与x轴没有交点，求a的取值范围； (3)若在m，n，p这三个实数中，有且只有一个是正数，直接写出a的取值范围． 【类型十一】二次函数的应用一投球问题 1．2026年美加墨世界杯开幕式于当地时间6月11日在墨西哥墨西哥城体育场（原阿兹特克体育场）举行．在小组赛中，阿根廷队中场德保罗送出过顶长传，足球飞行轨迹近似为二次函数抛物线．以德保罗传球时的站立位置为坐标原点，水平前进方向为x轴正方向建立平面直角坐标系（单位：米），已知： ①传球瞬间，足球高度为1米，即坐标为：； ②足球飞行水平距离20米时，达到最高点，高度为5米； ③前锋梅西在禁区内准备接球攻门，球门范围：水平距离传球点，球门高度． (1)求足球飞行轨迹对应的二次函数表达式； (2)若梅西头球攻门时，头部触球高度为2米，求足球从德保罗传球点水平飞行到梅西头部触球位置的距离是多少米？（结果保留根号） (3)若梅西没有碰到足球，足球沿原轨迹向前飞行，计算判断足球在水平距离的范围内，能否飞入球门？ 2．在一次“校园科技节”物理探究活动中，某物理小组用发射器从距地面2米高的处将一个小球斜抛向前方．建立如图所示的平面直角坐标系，下图1中的抛物线表示小球的飞行高度（单位：）关于飞行水平距离（单位：）的函数图象（不考虑空气的阻力）．已知小球发射后水平飞行时，飞行的最大高度是． (1)求关于的函数关系式； (2)如图2，为发射器，为标靶，小球由点射出，，若，则小球能否击中标靶？请说明理由． 3．根据以下素材，探索完成任务． 羽毛球发球机的运动路线 素材一 如图1，某羽毛球场地的中线长为，球网设置在中线中点处，球网高度为．羽毛球训练机的出球口在中线端点正上方的点处，以为原点、中线所在直线为轴建立平面直角坐标系． 素材二 假设发出的羽毛球沿中线飞行，其运动高度关于水平距离的函数图象为抛物线，该抛物线在与水平距离为的点处达到最高，此时距地面高度为，羽毛球最终落在地面的点处． 素材三 如图3，若羽毛球落地弹起后，且在与水平距离为的点处达到最高，弹起后最高高度为． 问题解决： (1)任务一：求训练机发球后到落地前，羽毛球运动轨迹的函数表达式（不要求写自变量取值范围） (2)任务二：小明在球网的另一侧接球，若羽毛球在离地面距离不少于时为最佳击球高度，求最佳击球点与训练机的水平距离的取值范围 (3)任务三：当时，运动员在点处沿直线击球，想让球从网下穿过后落到点右侧的点，且球网下端离地面高度不低于，该操作能否实现？请说明理由． 【类型十二】二次函数的应用—喷池与拱桥问题 1．某村响应国家高效节水灌溉的号召，引入了现代化喷灌设备．喷灌机从喷水口点向四周旋转喷洒，喷出的水流轨迹可近似看作形状相同的抛物线．如图，以地面为轴，喷灌机所在的竖直直线为轴，建立平面直角坐标系．已知喷水口距离地面的高度为，水流在离喷灌机的水平距离处达到最高点，此时喷洒高度为． (1)求这条水流所在抛物线的函数表达式； (2)若在距离喷灌机水平距离处，有一棵高的果树为了让水流能喷洒到果树右侧的土地，需要将喷水口沿竖直方向向上平移．已知平移后水流的速度、压力不变（抛物线的形状、大小保持不变），求喷水口至少需要向上平移多少米． 2．某市政工程修建的排水管道截面如图所示，其轮廓为抛物线的一部分，以管道底面截得的线段的中点O为坐标原点，直线为x轴，过原点的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．已知管道底面的宽，管道顶部D（抛物线顶点）距离底面的高度．为提升排水效率，需在管道内安装两层水平滤网和，上层滤网距离底面，下层滤网距离底面，滤网两端均与管道内壁贴合． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若滤网的材料价格为100元（按滤网水平长度计价，不考虑管道纵深长度），上下两层滤网单价相同，求出两层滤网的材料总费用． 3．阅读下列素材，并完成任务： 背景 中国的石拱桥，是刻在大地上的诗行，每一道弧线都是古人写给山河的情诗． 素材1 已知河面上的拱桥形状为抛物线，在正常水位时，水位线与拱桥最高点的距离为3米，水位线宽为6米． 素材2 如图1，现有一艘长为10米，宽米的货船（可近似看成长方体）正从拱桥下方通过，露出水面的横截面为长方形，米．（假设船体货物接触到拱桥时，可以通过拱桥） 素材3 船行走时一般不会导致水位的变化． (1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出拱桥所在抛物线的函数表达式． (2)如图2，如果上方的货物横截面为，，米，请通过计算判断此时小船能否通过拱桥？若不能，请说明理由，若能，求出水面上升高度最多不能超过多少米？ (3)船面上方装有如图3所示的货物（可近似看成直五棱柱），横截面为五边形，其中，，且E、A、B共线，F、D、C共线，已知当同一种货物的体积每增加50立方米时，船会下沉0.1米，请求出最多能装多少体积的货物？ 【类型一】二次函数的对称性求参 1．已知二次函数的图象与轴交于，两点．若，则（     ） A． B． C． D． 2．抛物线经过四点：，，，，其中，则下列选项中，值不变的是（     ） A． B． C． D． 3．如果抛物线上的点和点B关于它的对称轴对称，那么点B的坐标是______． 【类型二】二次函数与一元二次方程 1．下列表格中是二次函数的自变量与函数的一些对应值，可以判断一元二次方程的一个近似根是（   ） A． B． C． D． 2．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 3．已知二次函数的与的部分对应值如下表： 0 2 4 5 7 0 则关于的一元二次方程的解为_____． 【类型三】二次函数与不等式 1．已知二次函数 的部分图象如图，若，则的取值范围是 （    ） A． B． C．或 D．或 2．已知抛物线的对称轴为直线，且与轴交于点，当时，求的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线经过点，． （1）抛物线顶点的纵坐标为___________； （2）当时，都有，则的取值范围是___________． 【类型四】二次函数图象与各项系数符号 1．如图，二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④当时，；⑤（m为实数），其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．抛物线（，，是常数，其中）与轴交于和两点，对称轴为．下列五个结论： ①； ②； ③若，则； ④； ⑤对于任意实数，不等式总成立． 其中正确结论的序号是________． 【类型五】二次函数的应用—销售问题 1．某商场销售一种进价为每件15元的商品，售价为每件25元时，每天可售出50件；售价每上涨1元，每天的销售量就减少2件.设每件商品的售价为元（且为整数），每天的销售量为件. (1)求与的函数关系式； (2)设每天的销售利润为元，当每件商品的售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 2．某商店决定对某类商品进行降价促销活动．已知进价为每件5元，平时以单价12元的价格售出一天可卖80件、根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件；设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批商品的日利润为w元（利润＝售价﹣成本），请解决以下问题： (1)设商品售价x元，则一天可以卖出________件； (2)当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ 3．某养殖户饲养了，两种肉羊，根据往年的饲养经验，他发现：饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成一次函数关系，饲养种肉羊获得的利润（万元）与投资金额（万元）成二次函数关系．已知函数，图象的交点为，，函数的图象与轴正半轴交于点，如图所示． (1)求函数，的解析式． (2)观察图象，分析单独饲养A种肉羊与单独饲养B种肉羊所获得的利润的大小关系． (3)该养殖户计划明年投资万元饲养，这两种肉羊，如何分配资金，可使得总利润最大？最大总利润是多少万元？ 【类型六】二次函数的应用—周长与面积问题 1．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，顶点坐标为． (1)求二次函数的表达式； (2)在抛物线的对称轴上有一点，使得的周长最小，求出点的坐标； (3)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点在抛物线上，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点在第一象限，连接交于点．记的面积为，的面积为．当时，则点的横坐标的取值范围是______； (3)如图2，直线交抛物线于另一点． ①若点、点的横坐标分别是、，则______； ②连接、，记的面积为，求的最小值． 3．如图，抛物线交轴于，两点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线解析式及顶点坐标； (2)抛物线上有一点（不与重合），使，求点坐标； (3)在对称轴上有一点，在抛物线上有一点，若使，，，为顶点的四边形为平行四边形，直接写出，坐标． 【类型七】二次函数的应用一图形问题 1．如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)直接写出与，与之间的函数解析式（要求写出的取值范围）； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 2．在开封古城墙遗址旁，考古队要保护一段城墙（长约），他们想用的围栏围出一个矩形保护区域，如图所示，一面利用现存城墙，设垂直于城墙的边长为，并在边上留一个宽为的门． (1)若矩形区域长比宽多，求此时长方形的长． (2)设长方形区域的长为，请写出y与x的函数关系式，并求出x的最小值． (3)求长方形区域的面积S的最大值． 3．某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙（墙足够长），另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？设米（）．下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题： (1)试用含的代数式表示线段BC的长______米； (2)若围成园地面积为640平方米，求的值； (3)请判断谁的说法正确，为什么？并求出围成园地面积的最大值． 【类型八】二次函数的应用一几何动点问题 1．如图所示，已知在中，，点Q从点A开始沿边向点B以的速度移动，点P从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P运动到C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ， ． （用含t的代数式表示）； (2)如果P、Q分别从A、B两点出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)在（1）中，的面积能否等于？试说明理由． (4)点P、Q运动几秒后，的面积最大？最大值为多少？ 2．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果，两点分别从，，两点同时出发，出发时间为（，单位：）．有下列结论： (1)___________， ___________（用含的式子表示）； (2)___________（用含的式子表示），的最大值是___________； (3)当的面积是9时，的值是___________． 3．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【类型一】二次函数的增减性最值 1．对于二次函数在中的最大值和最小值分别是（   ） A．最大值为4，最小值为1 B．最大值为2，最小值为 C．最大值为4，最小值为0 D．最大值为1，最小值为0 2．已知二次函数的图象如图所示，当时，下列说法正确的是（   ） A．有最小值，最大值0 B．有最小值，最大值6 C．有最小值2，最大值6 D．有最小值，最大值2 3．已知二次函数． （1）当时，y的最大值为______，最小值为______； （2）当时，y的最大值为______，最小值为______； （3）当时，y的最大值为______，最小值为______． 【类型二】二次函数的几何最值 1．如图，在正方形中，，动点E在边上，动点F在边上，连接，相交于点G，且，H为的中点，连接，．有下列结论： ①面积的最大值为2； ②线段长的最小值为； ③线段长的最小值为． 其中，正确结论的个数为（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图所示，在边长为1的正方形中，点P是边上不与端点重合的一动点，连接、过点P作交正方形外角的平分线于点Q，则有关面积的说法正确的为（    ）． A．有最大值为 B．有最小值为 C．有最大值为 D．有最小值为 3．如图，已知，，抛物线与x轴交于C，D两点，点C在D点左侧，当抛物线顶点M在线段上移动时，点C的横坐标最小值为．设的最大值为m，最小值为n，则的值为______． 【类型三】二次函数的铅垂高最值 1．如图，抛物线与x轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标和面积的最大值．若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于、两点，与 轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，点 是直线 下方抛物线上一个动点，求四边形 面积的最大值及此时点 的坐标； (3)如图2，点 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与 轴交于点 ，直线（ 为常数）交抛物线于 、 两点（点 、 分别在抛物线对称轴的两侧），直线交 轴于点 ，直线交 轴于点．试探究是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点P为第二象限抛物线上的动点． (1)求a、b、c的值； (2)连接、 、，求面积的最大值； (3)设点P的横坐标为m，是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出所有符合条件的点P的横坐标m的值；若不存在，请说明理由． 【类型四】二次函数中的特殊三角形 1．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)如图①，连接，在轴上存在一点，使得是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (2)如图②，在抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图③，连接，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图④，若抛物线的顶点为，连接，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在等腰直角三角形中，，点A在x轴上，点B在y轴上，点，二次函数的图象经过点C． (1)求二次函数的解析式，并把解析式化成的形式； (2)把沿x轴正方向平移，当点B落在抛物线上时，求线段扫过区域的面积； (3)在抛物线上是否存在异于点C的点P，使是以为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【类型五】二次函数中的特殊四边形 1．如图，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)把线段沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为，当落在抛物线上时，求的坐标； (3)除（2）中的平行四边形外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与轴交于和两点，在点左边，与轴交于点． (1)直接写出，，三点坐标； (2)如图，为中点，在抛物线上找一点，使，求出点坐标； (3)如图，将（）中的点和及抛物线均向下平移个单位，为新抛物线对称轴右侧上一点，直线与新抛物线交于唯一公共点，与轴交于，是否存在以为对角线的菱形，使点在轴上，点在延长线上，若存在，求菱形的面积，若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线经过，两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，动点D从点O开始沿向终点B以每秒1个单位长度的速度运动，动点E从点O开始沿向终点C以每秒2个单位长度的速度运动，过点E作，交于点F，交抛物线于点G，连接，点D，E从点O同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，若四边形为正方形，求t的值； (3)将（2）中的正方形沿y轴翻折180°，得到正方形，然后将正方形沿直线方向向下平移，设在平移过程中正方形与重合部分的面积为S，平移的距离为，请直接写出S与m之间的函数关系式． 【类型六】二次函数中的等角与倍角 1．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在抛物线上，其横坐标为（）．过点作轴的平行线交直线于点，以为边，点为对称中心，作． (1)求抛物线的对称轴； (2)当点在第四象限时，求的取值范围； (3)点的坐标为． ①作、．当时，求的值． ②当直线与抛物线有两个公共点时，设其中一个交点为（点不与点、重合），作点关于点的对称点为，连接、．当与重合部分的图形内角中恰好有一个角是直角时，直接写出的取值范围． 2．抛物线：过点，点，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)如图，连接，在直线上方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得抛物线，若时，直线与图象有唯一公共点，求的取值范围． 3．已知抛物线（是常数且）与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，其顶点为，是坐标原点． (1)若， ①求该抛物线的顶点和点，的坐标； ②抛物线上一点在直线下方，其横坐标为，过点作直线，当直线与直线之间的距离取得最大值时，求点的坐标． (2)当取得最小值时，该抛物线上存在一点，满足，求点的坐标． 【类型七】二次函数的定值问题 1．如图，二次函数的图像与轴交于点和点（位于轴的正半轴），与轴交于点． (1)_______（用含的代数式表示）； (2)若的面积为6，点，为二次函数图像上的两点，设点的横坐标为，点的横坐标为，且，直线，分别与轴交于点，． ①求该二次函数的表达式； ②若，则是定值吗？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点为抛物线上一点，点为轴上一点，当以为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求点的坐标； (3)若为线段的中点，为抛物线的顶点，直线交抛物线于两点，直线交轴于点，直线交轴于点．试探究：是否为定值？若为定值，求出的值；若不是定值，请说明理由． 3．已知抛物线的对称轴为y轴，过点且平行于x轴的直线与抛物线交于A、B两点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P的直线与抛物线交于C，D两点（C点在D点的左侧） ①当时，点Q为直线l下方的抛物线上的一点，求的面积的最大值； ②过点C、D分别作x轴的垂线，交x轴于点E、F，设，的面积分别为，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【类型八】二次函数的新定义 1．定义：函数图象上到两坐标轴的距离相等的点叫做这个函数图象的完美点． 【定义解析】 （1）在①，②，③，④四点中，是函数的完美点的有______（填序号）； （2）点为反比例函数第二象限图象上的完美点，求的值； 【定义应用】 （3）若二次函数的图象上有且只有一个完美点，求和的值； 【定义拓展】 （4）若二次函数的图象上存在到两坐标轴的距离相等且小于等于的完美点，请直接写出的取值范围． 2．在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点．他们把这个点定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成： (1)点的“和”点是______； (2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”； (3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．当时，求n的取值范围． 3．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义： 点是函数图像上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图像上所有点的“纵横值”中若存在最大值则称为函数的“最优纵横值”，若存在最小值则称为函数的“最劣纵横值”． 【举例】已知点在函数图像上． 点的“纵横值”为； 函数图像上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时，的最大值为的最小值为， 所以函数的“最优纵横值”为7，“最劣纵横值”为4． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)①点的“纵横值”为__________； ②求出函数的“最优纵横值”和“最劣纵横值”； (2)若二次函数的对称轴为直线，且最优纵横值为5，求c的值； (3)已知二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为m，最劣纵横值为n，若，请直接写出t的值． 1．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）关于二次函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．其最小值为 D．当时，随的增大而减小 2．（25-26九年级下·北京顺义·阶段检测）将抛物线向左平移3个单位长度，得到抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·黑龙江绥化·阶段检测）若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴相交于，两点，下列说法不正确的是（   ） A． B．函数的最小值为 C．方程有两个不相等的实数根 D． 5．（25-26九年级下·山东聊城·阶段检测）若二次函数有最大值7，则的值为________． 6．（25-26九年级下·湖北黄石·阶段检测）写出一个开口向下，顶点坐标为的二次函数解析式，其顶点式可以表示为__________． 7．（25-26九年级下·北京·阶段检测）如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取A、B、C、D四点，且线段都与地面平行，抛物线最高点P到AB的距离为，，则点B到CD的距离为_______． 8．（25-26九年级上·湖北咸宁·阶段检测）抛物线与y轴交于点 (1)求a的值； (2)将该抛物线的图象向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线，请你写出新函数的解析式． 9．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）如图，已知抛物线（b为常数）经过点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作x轴的平行线，交抛物线于A、B两点，求线段的长度． 10．（24-25九年级上·山西大同·阶段检测）如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 1．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·河南周口·期中）二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）已知一个二次函数（、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如表： 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（     ） A． B．该函数的最小值为 C．该函数图象不经过第三象限 D．该函数图象的对称轴是直线 4．（25-26八年级下·山东东营·期中）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（    ） A．18 B． C．9 D． 5．（25-26九年级下·河南驻马店·期中）若二次函数的图像过点，则a的值为______． 6．（25-26九年级下·黑龙江·期中）将二次函数化为的形式，结果为_____． 7．（25-26八年级下·辽宁盘锦·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与：的一个交点为，过点作轴的平行线，分别交这两条抛物线于点、（点在点左侧，点在点右侧）．已知点的横坐标为1，则的长为______． 8．（25-26九年级上·湖北襄阳·期中）已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 m 0 3 … (1) _____；该抛物线的顶点坐标是_____； (2)在平面直角坐标系中，画出该抛物线的大致图象； (3)填空：当时，y随x的增大而减小，则n的取值范围是_____． 9．（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，二次函数的图象交轴于，两点，已知抛物线的对称轴为轴，． (1)求的值； (2)若点在抛物线上，且点的横坐标为，连接，求的面积． 10．（25-26九年级下·四川自贡·期中）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． (1)求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． (2)义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为使销售利润最大，则每件应降价多少元？ 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）二次函数 图象的顶点所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）抛物线和双曲线（）在同一直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，点，在二次函数的图象上．若点是该函数图象与x轴的一个交点，且，则a可能是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广西南宁·期末）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点是一个固定观测点，运动点从处出发，沿笔直公路向目的地处运动．设为（单位：）（），为（单位：）．如图2，关于的函数图象与轴交于点，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（） A． B． C．点的纵坐标为250 D．点在该函数图象上 5．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，抛物线与直线交于A、B两点，则的解集是________． 6．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 7．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）． （1）抛物线的对称轴为直线______； （2）点，为该抛物线上的两点，当，时，均满足，则t的取值范围为______． 8．（25-26九年级上·广东珠海·期末）如图1，一小球从地面点处抛出，到达最高处点后，再重新落回地面至点，球的抛出路线可以用二次函数刻画． (1)求小球到达最高点的坐标，以及小球落回地面点的坐标； (2)如图2，若点处有一斜坡，可以用一次函数刻画．小球从点处抛出，其抛出路线不变，小球落到斜坡上的点，求出点的坐标． 9．（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：关于自变量的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为“增函数”，当，时，都有，称该函数为“减函数”． 【例题】证明：函数 （x是任意实数）是“减函数”， 证明：设，则， 因为，所以， 所以， 所以，因此该函数是“减函数”． (1)根据定义可以判断函数（x是任意实数）是“______函数”（填“增”或者“减”）； (2)根据例题，请判断函数在自变量时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由． 10．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，已知二次函数的图像与x轴交于点两点，与y轴交于点C，其中点C可由点B绕原点逆时针旋转得到． (1)求抛物线的解析式； (2)点G为抛物线上一动点，连接，当点C到直线的距离最大时，求的面积为多少； (3)当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $