第25章 一元二次方程 复习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

一元二次方程复习讲义 一、一元二次方程基础概念 定义 1.1 (一元二次方程定义)：只含有一个未知数，等号两边都是整式，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程。 一般形式： 其中是二次项，为二次项系数；是一次项，为一次项系数；为常数项。 重要隐含条件：，若，方程不再是一元二次方程。 定义 1.2 (一元二次方程的根). 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根。一元二次方程在实数范围内可以有两个、一个或者没有实数根。 1. （2025模拟）下列关于的方程，属于一元二次方程的是（） A. B. C. D. 2. （2024真题改编）若方程是一元二次方程，则 。 3. 已知是方程的一个根，求的值 。 二、一元二次方程四种解法 解题优先级建议：因式分解法直接开平方法配方法公式法。 定义 2.1 (直接开平方法). 适合形如的方程；两边同时开平方得到，再求解未知数。 定义 2.2 (配方法). 步骤：移项；二次项系数化为；等式两边同时加上一次项系数一半的平方；写成完全平方形式；开方求解。 配方法是推导求根公式的底层思想。 定义 2.3 (公式法). 对于，当，求根公式： 定义 2.4 (因式分解法). 把方程整理成，得到或者，实现降次求解；常用提公因式、十字相乘法。 . 1. （2025改编）解方程： 2. （2024中考）用配方法解方程： 3. 用因式分解法解方程： 4. 选用合适方法解方程： 三、根的判别式与含参数专题 定义 3.1 (根的判别式). 对于一元二次方程 ，记。 · ：方程有两个不相等实数根； · ：方程有两个相等实数根； · ：方程没有实数根。 注意：讨论判别式之前，务必确认；题目没有说明是一元二次方程，必须分类讨论与两种情况。 1. （2025真题）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（） A. B. C.且 D.且 2. （2024改编）已知关于的方程讨论方程实数根的个数。 3. 求证：无论实数取何值，方程总有两个不相等的实数根。 四、根与系数的关系（韦达定理） 定义 4.1 (韦达定理). 若一元二次方程存在两个实数根，前提，则： 常用变形： 考试高频坑：使用韦达定理做题，题目没有给出方程有实根，必须检验。 1. （2024四川中考改编）若是方程的两个实数根，求的值。 2. （2025模拟）已知是关于的方程两实数根，且，求的值。 五、一元二次方程实际应用题 解题通用提醒：解出方程根之后，必须检验，舍去不符合现实实际意义的根，例如负数长度、负数增长率。 1. （增长率模型）某产品2024年产量为万件，2026年产量达到万件，求这两年产量的年平均增长率。 2. （几何面积）一块矩形菜地长，宽，现在菜地内部修筑宽度相等的十字小路，余下菜地面积为，求小路的宽度。 3. （销售利润）某商品每件进价元，售价每件元，每周可以卖出件；市场调研：每件涨价元，每周少卖件。想要每周利润达到元，每件应该涨价多少元？ 参考答案与详细解析 一、一元二次方程基础概念 1.解析：A是一元一次方程；B含有根号不是整式方程；C中，满足一元二次方程；D化简后二次项抵消。答案：C 2.解析：，得到。答案：。 3.解析：将代入，，解得。 二、一元二次方程四种解法 1.解析：，。 2.解析：移项，配方，，。 3.解析：因式分解，。 4.解析：，，。 三、根的判别式与含参数专题 1.解析：一元二次方程条件：，；解得且。答案：C 2.解析： 当，原方程为，是一元一次方程，有个实数根； 当，； 即且，两个不等实根； 即，两个相等实根； 即，无实数根。 3.解析：； ，恒成立； 无论取何实数，方程总有两个不相等实数根。 四、根与系数的关系（韦达定理） 1.解析：； 2.解析：； ，，，； 检验； 时；时；故或。 五、一元二次方程实际应用题 1.解析：设年平均增长率为， ；；； 舍去负根，；答：年平均增长率。 2.：设小路宽， ； 整理，解得；超出矩形边长舍去；小路宽。 3.解析：设每件涨价元，单件利润，销量； ；；； 两者都符合题意；每件涨价元或者元。 学科网（北京）股份有限公司 $