26.1 二次函数的概念 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数概念，通过矩形面积问题导入，回顾一次函数知识，引导学生发现新函数与一次函数的区别，构建从实际问题到函数关系的学习支架。 以情境驱动和类比迁移为特色，通过比赛场次、产量增长等实际问题抽象函数关系，发展抽象能力（数学眼光），对比一次函数归纳二次函数定义，培养推理意识（数学思维），例题强化表达式书写，提升模型意识（数学语言），助力学生理解概念本质，为教师提供清晰的教学路径。

26.1　二次函数的概念 课程基本信息 学科 数学 年级 九年级 学期 秋季 课题 26.1　二次函数的概念 教学目标 1．经历从实际问题中抽象出二次函数概念的过程，知道二次函数解析式中字母的意义，发展抽象能力． 2．会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义，发展应用意识． 教学内容 教学重点 二次函数的概念． 教学难点 从实际问题中抽象出二次函数的概念． 教学过程 教学环节 主要师生活动 新课导入 引导语：同学们，在现实世界中变量的关系多种多样，我们之前学习的一次函数就是其中的一种形式．今天我们将学习另外一种函数，这类函数在日常生活中应用广泛，其图象也为大家所熟知，接下来我们一起通过章引言的矩形区域问题展开学习吧！ 情景引入：用长为40 m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y（单位：m2），会随着矩形一边长x（单位：m）的变化而变化，y与x之间有什么关系？ 师生活动：学生独立思考，小组讨论，随后教师组织学生交流分享． 归纳：矩形的一边长x和面积y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数．根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为y＝x(20－x)，即 y＝－x2＋20x ①． 追问1：情境中写出的y与x的关系是函数关系吗？ 师生活动：教师启发学生回顾函数的概念，引导学生任意取一些确定的x的值，判断y是否有唯一确定的值与其对应，从而判断情境中所得的数量关系是否为函数． 追问2：这个函数是一次函数吗？ 师生活动：学生小组合作，通过对比一次函数的概念以及y＝－x2＋20x的特征，共同判断y＝－x2＋20x不是一次函数． 设计意图：从章引言的矩形面积问题出发，引导学生利用熟悉的面积公式建立函数关系，并引导学生分析所得函数与一次函数的区别． 新知探究 引导语：显然y＝－x2＋20x并不是之前所学习的一次函数，接下来我们再看看以下几个问题． 问题1：n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛．比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？ 师生活动：学生独立理解题意并寻找比赛的场次数m与球队数n之间的数量关系，教师适当引导，帮助学生找到等量关系，列出关系式． 归纳：每支球队都要与其他(n－1)支球队各比赛1场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数，即 ②． 追问：关系式中有哪些变量？关系式是函数吗？ 师生活动：学生独立思考，结合新课导入时的方式验证所得的关系式是否为函数，教师适时巡堂纠正学生的错误． 归纳：其中m和n都是变量，而对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数． 问题2：某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 师生活动：师生共同分析原产量、一年后的产量和两年后的产量三者之间的数量关系，进而得到关系式． 归纳：原产量是20 t，一年后的产量是20(1＋x) t，两年后的产量为20(1＋x)(1＋x) t，所以两年后的产量y＝20(1＋x)2，即 y＝20x2＋40x＋20 ③． 追问：关系式中有哪些变量？y与x之间的对应关系是函数关系吗？ 师生活动：学生独立思考，判断y与x之间的关系是否为函数关系． 归纳：其中x和y都是变量，而对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数． 设计意图：通过实际情境引导学生根据数量关系列出两个变量间的关系式，再结合函数的定义启发学生判断y与x之间的关系是否为函数关系，一方面提升学生分析题意的能力，另一方面使学生不断熟悉二次函数的形式，为后续讲解二次函数的定义作铺垫． 思考：观察函数①②③，它们有什么共同点？ 师生活动：学生小组合作寻找三个函数共同的特征，教师指定部分小组进行分享，其他小组进行补充． 追问：上一章，我们通过类比一元一次方程的方法学习了一元二次方程的概念．观察函数①②③，它们与一次函数有什么区别？这类函数叫作什么函数？ 师生活动：师生共同探索①②③这种类型的函数与一次函数的本质特征，引导学生关注自变量的次数以及函数的形式． 归纳：一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0） 的函数，叫作二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 设计意图：通过将本节课所得到函数与一次函数对比，从式子的形式上判断两种函数的本质特征，进而得到二次函数都是用自变量的二次式表示的，加深对二次函数形式上的认识． 例题精讲 例　（1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式． （2）一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x．写出两年后产品的年销售量y（单位：万件）关于x的函数解析式． 师生活动：学生独立完成，教师巡堂帮助在理解题意上出现困难的学生．学生完成后交流展示． 归纳：（1）圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以S＝2πr2＋2πr·r，即 S＝4πr2． （2）一年后产品的年销售量为8(1－x)万件，两年后的年销售量为8(1－x)(1－x)万件，所以y＝8(1－x)2，即 y＝8x2－16x＋8． 追问1：上述两个函数都是二次函数吗？ 师生活动：学生小组交流，针对二次函数的定义判断两个函数是否为二次函数，教师适时引导，帮助学生纠正错误认识． 追问2：写出这个二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 师生活动：学生独立完成，小组交流分享． 设计意图：从实际问题中抽象出函数解析式，并强调二次函数的主要特征是用自变量的二次式表示，即二次函数可没有一次项和常数项，帮助学生强化对概念的认识，同时纠正对概念的错误认识． 课堂小结 师生一起回顾本节课所学习的主要内容，并请学生回答以下问题： （1）本节课学习了二次函数的哪些知识？二次函数的特征是什么？ （2）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，b和c可以为0吗？ （3）本节课在探究的过程中如何通过类比一次函数得到二次函数的概念？ 师生活动：学生独立思考并分享对三个问题的认识，教师针对学生回答情况适当补充． 归纳：（1）本节课重点学习了二次函数的概念及其基本特征．二次函数是形如y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的函数，其核心特征是自变量x的最高次数为2． （2）在二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，b和c均可为0．当b＝0时，函数简化为y＝ax2＋c；当c＝0时，函数变为y＝ax2＋bx． （3）本节课通过实际问题引出二次函数概念．回顾一次函数，但当问题涉及面积、增长率等情境时，一次函数模型无法适用．通过观察这类问题的数量关系，发现变量间存在x的二次项，进而抽象出y＝ax2＋bx＋c的形式．类比一次函数与二次函数在表达式结构上形成递进关系，从而建立二次函数的概念． 设计意图：引导学生回顾本节课类比一次函数得到二次函数的概念，明确二次函数的一般式，为后续研究二次函数图象作铺垫． 课后任务 习题26.1第1，2，3题． 学科网（北京）股份有限公司 $