26.1 二次函数的概念 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

课程基本信息

学科

数学

年级

九年级

学期

秋季

课题

26.1　二次函数的概念

教学目标

1．经历从实际问题中抽象出二次函数概念的过程，知道二次函数解析式中字母的意义，发展抽象能力．

2．会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义，发展应用意识．

教学内容

教学重点

二次函数的概念．

教学难点

从实际问题中抽象出二次函数的概念．

教学过程

教学环节

主要师生活动

新课导入

引导语：同学们，在现实世界中变量的关系多种多样，我们之前学习的一次函数就是其中的一种形式．今天我们将学习另外一种函数，这类函数在日常生活中应用广泛，其图象也为大家所熟知，接下来我们一起通过章引言的矩形区域问题展开学习吧！

情景引入：用长为40 m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积y（单位：m2），会随着矩形一边长x（单位：m）的变化而变化，y与x之间有什么关系？

师生活动：学生独立思考，小组讨论，随后教师组织学生交流分享．

归纳：矩形的一边长x和面积y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数．根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为y＝x(20－x)，即

y＝－x2＋20x ①．

追问1：情境中写出的y与x的关系是函数关系吗？

师生活动：教师启发学生回顾函数的概念，引导学生任意取一些确定的x的值，判断y是否有唯一确定的值与其对应，从而判断情境中所得的数量关系是否为函数．

追问2：这个函数是一次函数吗？

师生活动：学生小组合作，通过对比一次函数的概念以及y＝－x2＋20x的特征，共同判断y＝－x2＋20x不是一次函数．

设计意图：从章引言的矩形面积问题出发，引导学生利用熟悉的面积公式建立函数关系，并引导学生分析所得函数与一次函数的区别．

新知探究

引导语：显然y＝－x2＋20x并不是之前所学习的一次函数，接下来我们再看看以下几个问题．

问题1：n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛．比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？

师生活动：学生独立理解题意并寻找比赛的场次数m与球队数n之间的数量关系，教师适当引导，帮助学生找到等量关系，列出关系式．

归纳：每支球队都要与其他(n－1)支球队各比赛1场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数，即

②．

追问：关系式中有哪些变量？关系式是函数吗？

师生活动：学生独立思考，结合新课导入时的方式验证所得的关系式是否为函数，教师适时巡堂纠正学生的错误．

归纳：其中m和n都是变量，而对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数．

问题2：某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示？

师生活动：师生共同分析原产量、一年后的产量和两年后的产量三者之间的数量关系，进而得到关系式．