第25章一元二次方程的概念讲义2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学一元二次方程的核心知识点，系统梳理定义（整式方程、单未知数、最高次数2）、一般式（ax²+bx+c=0，a≠0）及解的概念，构建从概念理解到形式转化再到应用的学习支架，助力学生逐步掌握知识脉络。 该资料亮点在于易错点精准归纳（如判断前需化简、二次项系数不为0），题型分层突破（定义判断、一般式转化、解的应用），并通过归巢代入法、赋值法等培养抽象能力与推理意识。课中辅助教师高效教学，课后学生可借助答案解析查漏补缺，提升应用意识与解题能力。

一元二次方程的概念 知识点一 一元二次方程定义及其相关概念 1、定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 2、笔记归纳： ①方程是一个整式方程，非分式方程 ②只含有一个未知数x ③未知数的最高次是2 满足三点要求即为一元二次方程 3、易错点： ①判断是否是一元二次方程需先化简方程，把方程右边变为0。 例如： 不是一元二次方程 ②一元二次方程的二次项系数不能为0。 例如：不是一元二次方程； 是一元二次方程 题型突破 题型一 一元二次方程的定义 例题1、以下是一元二次方程的是（ ） A、 B、 C、 D、 练习1、以下是一元二次方程的是（ ） A、 B、 C、 D、 练习2、以下是一元二次方程的是（ ） B、 B、 C、 D、 知识点二 一元二次方程的一般式 1、一般形式： 2、其他形式： 、 3、项及项的系数 ①二次项：ax²，二次项系数：a ②一次项：bx，一次项系数：b ③常数项：c 4、 总结：只要满足，b、c可以为任意实数 题型突破 题型二 将一元二次方程化成一般式 例题1、把一元二次方程化成二次项系数大于零的一般式是　 　　 ， 其中二次项系数是　 　，一次项系数是　 　，常数项是　 　。 练习1、一元二次方程的二次项是　 　，一次项是　 　，二次项系数是　 　，一次项系数是　 　，常数项是　 　。 练习2、把一元二次方程化为一般形式后，，，的值可以是 A、a=2、b=-1、c=-1 B、a=2、b=3、c=-1 C、a=-2、b=3、c=1 D、a=2、b=-3、c=1 知识点三 一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根。 题型突破 题型三 判断是否是一元二次方程的解 例题1、的解是（ ） A、x=1 B、x=2 C、x1=1，x2=2 D、x1=2，x2=-1 练习1、方程的根是（ ） A． B． C． D． 题型四 一元二次方程的解求参数的值 例题1、若x=3是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是　 　 例题2、已知a是方程的一个根，则的值是　 　 练习1、若x=2是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值是　 　 练习2、已知m是方程的一个根，则的值是　 　 考点集中练 题型一 一元二次方程的定义 例题1、关于x的方程是一元二次方程，则m的值为　 　 练习1、关于x的方程是一元二次方程，则a的值可以为　 　 练习2、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是_____ 题型二 归巢代入法 例题1、若x=m是方程的一个解，则的值为　 　 * 例题2、若关于x的一元二次方程有一解为x=2026，则方程 必有一解为　 　 例题3、已知x＝2是一元二次方程的根，且a≠b，求的值。 练习1、已知x＝m是一元二次方程的根，求的值为　 　 练习2、已知关于x的一元二次方程的其中一个根是x=0，则a的值为　 　 * 练习3、已知x的一元二次方程的其中一个根是x=t，则关于x的一元二次方程必有一解为　 　 题型三 赋值法 例题1、已知x的一元二次方程，若a-b+c=0，则一元二次方程有一根为　 　 例题2、已知x的一元二次方程的解是1和2，则a与b之间的数量关系是　 　 练习1、若9a+3b+c=0，则关于x的一元二次方程必有一根为 　 练习2、若4a-2b+c=0，则关于x的一元二次方程必有一根为 　 练习3、若关于x的一元二次方程的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为_______ 练习4、若x的一元二次方程的系数满足，则此方程的根为_______ 题型四 升降次法求值 例题1、已知m是方程的根，则式子的值为________ 例题2、已知m是方程的根，则式子的值为______ 练习1、已知m、n是方程的根，则式子的值为______ 练习2、已知m是方程的一个根，试求的值为______ 练习3、若a是方程的一个根，则的值为________ 练习4、已知a是方程的一个根，则的值为_______ 课堂笔记 答案解析 题型一 一元二次方程的定义 例题1 【答案】C 【解析】一元二次方程要求：整式方程、只含1个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数≠0，A：分式方程，分母含x；B：整理后x-2=0是一元一次；D：含x、y两个未知数；C符合全部条件。 练习1 【答案】C 【解析】A：a=0时不是二次方程；B：a^2-1=0即a=1和-1时二次项为0；D：分式方程； C：整理：x^2+2y+2x=3x2+2y ，一元二次方程。 练习2 【答案】D 【解析】A：a=0退化为一次；B：分式方程；C：整理-x-1=0一元一次；D只含y、最高次2，符合。 题型二 化一元二次方程为一般式 例题1 【答案】x2-3x-4=0；1；-3；-2 【解析】(x+1)(x-2)=2x ，x^2-x-2=2x ，x2-3x-2=0，二次项x2，二次系数-3，常数项-2。 练习1 【答案】x^2；-3x；1；-3；-2 【解析】x^2-3x-2=0，二次项x^2，一次项-3x，二次系数1，一次系数-3，常数项-2。 练习2 【答案】C 【解析】2x^2-2x=x+1，-2x^2+3x+1=0，a=-2,b=3,c=1。 题型三 判断方程的解 例题1 【答案】D 【解析】D带入等式成立 练习1 【答案】C 【解析】C带入等式成立 题型四 利用方程的解求参数 例题1 【答案】11/3 【解析】x=3代入：9-3m+2=0 ，3m=11，m=11/3 例题2 【答案】10 【解析】a^2-2a-5=0，a^2-2a=5，2a^2-4a=2(a^2-2a)=10。 练习1 【答案】-1/8 【解析】x=2代入：4a+4a+1=0 ，a=-1/8。 练习2 【答案】1/2 【解析】m满足2m^2-2m+1=0 , 2m^2-2m=-1,2m-2m^2=1，,m-m^2=1/2 考点集中练 题型一 根据定义求参数 例题1 【答案】m=-1 【解析】m^2=1,m≠1 ，m=-1 练习1 【答案】a=或a=2 【解析】①a-2=0时，原式4x^2-1=0是一元二次；②a^2-2=2,a=2或-2；③a^2-2=1，a= 练习2 【答案】m≥1且m≠2 【解析】m^2-4≠0，m≥1,m≠2，m≥1且m≠2 题型二 归巢代入法 例题1 【答案】-10 【解析】m^2-3m=5，-2m^2+6m=-10，-10-4=-14。 例题2 【答案】x=2025 【解析】方程a(x+1)^2+b(x+1)-1=0，令x+1=2026 ，x=2025。 例题3 【答案】2 【解析】x=2代入：4a+2b=4 ，2a+b=2；4a^2-b^2/2a-b=(2a+b)(2a-b)/2a-b=2a+b=2。 练习1 【答案】-4 【解析】m^2+m=1，原式=1-2m^2-2m-3=1-2（m^2+m）-3=1-2-3=-4 练习2 【答案】-2 【解析】x=0代入：m^2-4=0,m-2≠0，m=-2。 练习3 【答案】x=\frac1t 【解析】at^2+bt+c=0，两边同除t^2：a+b/t+c/t^2=0，x=1/t 题型三 赋值法 例题1 【答案】x=-1 【解析】x=1时a-b+c=0 例题2 【答案】c=2a 【解析】代入得a+b+c=0,4a+2b+c=0,消b得c=2a 练习1 【答案】x=3 【解析】代入x=3，9a+3b+c=0 练习2 【答案】x=-2 【解析】代入x=-2，4a-2b+c=0 练习3 【答案】x=-1 【解析】代入x=-1，a-b+c=0 练习4 【答案】1或-1 【解析】（a+c）2-b2=0,(a+b+c)(a-b+c)=0,x=1或-1 题型四 升降次求值 例题1 【答案】2027 【解析】m^2=1-m，m3=m(1-m),m3+2m2+2026=m(1-m)+2m2+2026=m+m2+2026=2026+1=2027 例题2 【答案】2 【解析】=3m(3m-1)-=-2m+=3m-1-2m+==2 练习1 【答案】4 【解析】m+1/m==3,=1 练习2 【答案】2025 【解析】=m-1+=2025 练习3 【答案】2025 【解析】=-a(a+1)+2a+2026=-a2+a+2026=2025 练习4 【答案】-2026 【解析】=a(2026a-1)-2026a2 - = -a-1/a=-2026 学科网（北京）股份有限公司 $