1.5全称量词与存在量词导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·必修第一册（人教A版2019）学案（学生版） 班级：__________ 姓名：__________ 日期：__________ 1.5 全称量词与存在量词 【学习目标】 • 1. 理解全称量词∀、存在量词∃的含义，能识别全称量词命题与存在量词命题。（数学抽象） • 2. 会用符号语言表示全称命题 ∀x∈M, p(x) 与特称命题 ∃x₀∈M, p(x₀)。（数学抽象） • 3. 会判断含量词命题的真假：全称举反例，特称举实例。（逻辑推理） • 4. 掌握含一个量词命题的否定：量词互换 + 结论否定，能写出否定并判断真假。（逻辑推理） • 5. 能由含参含量词命题的真假求参数范围（转化为恒成立/有解问题）。（数学运算） 一、新知引入 【问题1】以下命题有什么共同点？①所有正方形都是矩形；②存在一个实数 x 使 x²=2；③每个三角形的内角和都是 180°。它们分别暗含了哪种"量"？ 【问题2】命题"平行四边形的对角线互相垂直"省了量词，它实际是"________平行四边形……"（补全量词）。这说明日常语言常省略量词，判断前要先补出来。 【问题3】如何用统一符号写出"对任意 x∈R，x²≥0"与"存在 x 使 x+1=0"？引出符号 ________ 与 ________。 我的发现： 二、知识梳理 （一）全称量词与全称量词命题 1. 短语"所有的""任意一个"在逻辑中叫做 ________，用符号 ________ 表示。 2. 含有 ________ 的命题叫全称量词命题；"对 M 中任意一个 x，p(x) 成立"记为 ________。 （二）存在量词与存在量词命题 3. 短语"存在一个""至少有一个"在逻辑中叫做 ________，用符号 ________ 表示。 4. 含有 ________ 的命题叫存在量词命题；"存在 M 中的元素 x，使 p(x) 成立"记为 ________。 （三）含一个量词命题的否定 5. 全称量词命题的否定是 ________ 量词命题；存在量词命题的否定是 ________ 量词命题；并且要把结论 ________。 即 ∀x∈M, p(x))的否定为________； ∃x∈M, p(x) 的否定为 ________。 （四）常见词语的否定 6. 对照：任意/所有 ⇄ ________；都(全部) ⇄ ________（至少有一个不）；至少有一个 ⇄ ________（都不）；至多一个 ⇄ ________；必然 ⇄ 可能不。 三、典型例题 例1判断下列命题真假： (1) 所有的素数都是奇数； (2) ∀x∈R，x²+1>0； (3) ∃x∈R，使 x²+x−2=0； (4) 平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线。 例2写出下列命题的否定，并判断真假： (1) 所有能被 3 整除的整数都是奇数； (2) ∃x∈R，x²−2x+3≤0； (3) 对任意 x∈Z，x² 的个位数字不等于 3。 例3已知命题"∀1≤x≤2，x²−m≥0"为真命题，求实数 m 的取值范围。 例4已知集合 A={x | −2≤x≤5}，B={x | m+1≤x≤2m−1} 且 B≠∅。若命题 p："∀x∈B，x∈A"为真，求 m 的取值范围；并写出 p 的否定，判断其真假。 四、变式探究 【变式1】写出"至少有一个实数 x 使 x²+1=0"的否定，并判断真假。 【变式2】命题"∀x∈R，x²+ax+1>0"为真，求实数 a 的取值范围。 【探究】全称命题为假时，它的否定必为真。如何用"∃ 一个反例"来表达"∀x∈R, x²>0"为假？ 五、分层训练 基础巩固（人人过关） 1. 判断真假：(1) 所有菱形都是平行四边形；(2) ∃x∈R，x²=−1；(3) 任意三角形的内角和为 360°；(4) 存在一个偶数是素数。 2. 用 ∀ / ∃ 改写：① 实数的平方是非负数；② 方程 ax²+2x+1=0 (a<0) 至少存在一个负根。 3. 写出"所有矩形都有外接圆"的否定。 4. "至少有一个整数是奇数"的否定是________。 5. 判断"∀x∈R, x²>0"真假，并写出它的否定。 能力提升（+做） 6. 命题"∃x∈R, 3x²+2>0"真假？写出其否定。 7. "∀x∈[1,2], x²−m≥0"为真，求 m 的取值范围。 8. "∃x∈R, x²−2x−m≤0"为真，求 m 的取值范围。 9. 写出"任意两个等边三角形都相似"的否定，并判断真假。 拓展挑战（+做） 10. 已知 A={x | −2≤x≤5}，B={x | m+1≤x≤2m−1} 且 B≠∅。若 p："∀x∈B, x∈A"为真，求 m；写出 p 的否定并判断真假。 11. 证明：∀x, p(x)的否定是∃x, ¬p(x)；并用"举反例"说明其含义。 12. 若 q："∃x∈B, x∉A"为真（A、B 同上），求 m 的取值范围；并与第10题结果对照，说明 p 与 q 的真假关系。 六、课堂小结 我的疑问与收获： 七、课后作业（分层布置） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 全称量词与存在量词 高中数学·必修第一册（人教A版2019）教案（教师版·详案） ◆ 教学设计说明（课前必读） 【课时】 建议 2 课时。第1课时：全称量词、存在量词与命题真假判断（例1~例2）；第2课时：含一个量词命题的否定、含参真假求范围（例3~例4）。若 1 课时完成，例4 改为课后选做。 【重难点】重点：∀、∃ 两种量词命题的识别与真假判断；含一个量词命题的否定（量词互换 + 结论否定）。难点：①省略量词的命题要补出量词再判断；②否定时"只换量词不否结论"或"只否结论不换量词"两类典型错误；③"≠""至少""至多"的否定写法。 【分层策略】 普通班：识别量词 + 真假判断 + 简单否定；重点班：+ 含参"恒成立/有解"求范围；清北班：+ 否定与真假综合、关系推理。同一份学案用"加做"区分。 【板书】 左：∀ / ∃ 符号与命题形式 ∀x∈M,p(x)、∃x₀∈M,p(x₀)；中：否定口诀"改量词，否结论" + 词语否定对照表；右：例3 恒成立转最值、例4 综合。 【衔接】 1.4 的推出关系 p⇒q 是"两个命题之间"的关系；本节进入"命题内部"——量词。下一章"函数"中"∀x∈D, f(x)有定义""∃x₀使 f(x₀)取最值"等表述都依赖本节，务必打牢。 【学习目标】（对标数学核心素养） • 1. 理解全称量词∀、存在量词∃的含义，能识别全称量词命题与存在量词命题。（数学抽象） • 2. 会用符号语言表示全称命题 ∀x∈M, p(x) 与特称命题 ∃x₀∈M, p(x₀)。（数学抽象） • 3. 会判断含量词命题的真假：全称举反例，特称举实例。（逻辑推理） • 4. 掌握含一个量词命题的否定：量词互换 + 结论否定，能写出否定并判断真假。（逻辑推理） • 5. 能由含参含量词命题的真假求参数范围（转化为恒成立/有解问题）。（数学运算） 【强调】 目标第1、4条是保底要求；第4条"否定"是本节最高频考点，也是失分重灾区——必须"量词、结论两处都动"。 一、新知引入（约6分钟） 【问题1】以下命题有什么共同点？①所有正方形都是矩形；②存在一个实数 x 使 x²=2；③每个三角形的内角和都是 180°。它们分别暗含了哪种"量"？ 【问题2】命题"平行四边形的对角线互相垂直"省了量词，它实际是"________平行四边形……"（补全量词）。这说明日常语言常省略量词，判断前要先补出来。 【问题3】如何用统一符号写出"对任意 x∈R，x²≥0"与"存在 x 使 x+1=0"？引出符号 ________ 与 ________。 【师生活动】 口述/投影问题1~3，学生先独立想1分钟。问题1归纳出"全称量词/存在量词"两类；问题2强调"补量词"这一步；问题3引出 ∀、∃。 【设计意图】 从学生熟悉的自然语言入手，先建立"量词"的直觉，再形式化为符号，避免一上来背定义。 【讲解·如何讲清】 开场对比：全称量词像"全班都……"（只要有一个不满足就假），存在量词像"有人……"（只要找到一个就真）。用"查寝"打比方：∀ 是"每个人都到"，有一个没到就假；∃ 是"至少有一个人到"，找到一个人就真。 二、知识梳理（约12分钟，学生先填，教师再讲） （一）全称量词与全称量词命题 1. 短语"所有的""任意一个"在逻辑中叫做 ________，用符号 ________ 表示。 2. 含有 ________ 的命题叫全称量词命题；"对 M 中任意一个 x，p(x) 成立"记为 ________。 （二）存在量词与存在量词命题 3. 短语"存在一个""至少有一个"在逻辑中叫做 ________，用符号 ________ 表示。 4. 含有 ________ 的命题叫存在量词命题；"存在 M 中的元素 x，使 p(x) 成立"记为 ________。 【讲解·如何讲清】 先认符号：∀（倒写的 A，All）、∃（反写的 E，Exist）。命题形式要写全"量词 + 变量∈集合 + 性质 p(x)"三段，缺一不可。提醒学生：省略量词的自然语言（如"正方形是矩形"）默认是全称量词。 （三）含一个量词命题的否定（二级结论·本节核心） 5. 全称量词命题的否定是 ________ 量词命题；存在量词命题的否定是 ________ 量词命题；并且要把结论 ________。 即 ¬(∀x∈M, p(x)) = ________； ¬(∃x∈M, p(x)) = ________。 【重点】 这是本节总开关，一句话口诀："改量词，否结论"。∀ 与 ∃ 互换，p(x) 改为 ¬p(x)。两处都必须改动，缺一不可。 【讲解·如何讲清】 用"查寝"再讲一遍否定：∀"每个人都到"的否定，不是"每个人都不到"，而是"∃ 有人没到"；∃"有人到"的否定，是"∀ 所有人都没到"。关键：量词互换后，结论取反。板书画对照表。 【易错】 ①只换量词不否结论（错把"所有素数都是奇数"的否定写成"存在素数都是奇数"）；②只否结论不换量词（"存在素数不是奇数"少了"所有→存在"的互换）；③"≠"的否定写成"≠"本身（应为"="）；④"至少有一个"的否定写成"至多有一个"（应为"一个都没有/都不"）。 （四）常见词语的否定（二级结论·配套学案提炼） 6. 对照：任意/所有 ⇄ ________；都(全部) ⇄ ________（至少有一个不）；至少有一个 ⇄ ________（都不）；至多一个 ⇄ ________；必然 ⇄ 可能不。 【笔记】 红笔把上表抄在小卡片上，每次写否定先查表再下笔。特别是"都"的否定是"不都"（即"至少有一个不"），不是"都不"——这是最易错的一对。 【对应练习】 讲完识别 → 做例1、训练1、2；讲完真假 → 做例2、训练3、4；讲完否定 → 做例3、训练5、6；讲完含参 → 做例4、训练7~12。 三、典型例题（约18分钟） 例1（基础·识别与真假判断）判断下列命题真假： (1) 所有的素数都是奇数； (2) ∀x∈R，x²+1>0； (3) ∃x∈R，使 x²+x−2=0； (4) 平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线。 【讲评要点】 (1) 假，反例 2 是素数但非奇数；(2) 真，x²≥0 故 x²+1≥1>0；(3) 真，取 x=1 或 x=−2；(4) 假，垂直于同一直线的两条直线互相平行，不可能相交。 【讲解·如何讲清】 全称命题判定：对每个元素都成立才真，找一个反例即假（"举反例"是利器）。特称命题判定：找一个实例即真，若都找不到才假。 【对应练习】 做分层训练1、2。 例2（基础·写命题的否定）写出下列命题的否定，并判断真假： (1) 所有能被 3 整除的整数都是奇数； (2) ∃x∈R，x²−2x+3≤0； (3) 对任意 x∈Z，x² 的个位数字不等于 3。 【讲评要点】 (1) 否定：存在一个能被 3 整除的整数不是奇数（真，如 6）；(2) 否定：∀x∈R，x²−2x+3>0（真，配方 (x−1)²+2>0 恒成立）；(3) 否定：∃x∈Z，x² 的个位数字等于 3（假，平方数的个位只能是 0,1,4,5,6,9，不可能是 3，故原命题真、否定假）。 【讲解·如何讲清】 写否定三步走：①把量词 ∀ 改 ∃（或 ∃ 改 ∀）；②变量与论域不变；③结论 p(x) 改为 ¬p(x)。(3)要提醒：判断否定真假不能凭感觉，回代到原命题的真假——原命题真则其否定必假。 【易错】 (3)的结论否定是"等于 3"（不是"不等于 3"），且量词已互换；写成"任意 x∈Z，x² 个位不等于 3"是错（只否结论没换量词）。 【对应练习】 做分层训练3、4、5。 例3（提高·含参·恒成立/有解）已知命题"∀1≤x≤2，x²−m≥0"为真命题，求实数 m 的取值范围。 【讲评要点】 "∀…成立"即 x²−m≥0 对 x∈[1,2] 恒成立。函数 y=x² 在 [1,2] 递增，最小值为 1，故 1−m≥0 ⇒ m≤1。若把 ∀ 改为 ∃，则只需有解，取最大值 4，得 4−m≥0 ⇒ m≤4。 【讲解·如何讲清】 含参含量词命题求真假/范围，先"翻译"：∀=恒成立（转最值最小值），∃=有解（转最值最大值）。再列不等式。板书对比 ∀ 与 ∃ 两种情形，让学生看清"恒成立用最小、有解用最大"。 【易错】 ①把 ∀ 的恒成立误用最大值；②忘记 x 的论域端点；③改成 ∃ 后仍按恒成立算。 【对应练习】 做分层训练7、8、9。 例4（拓展·清北·综合）已知集合 A={x | −2≤x≤5}，B={x | m+1≤x≤2m−1} 且 B≠∅。若命题 p："∀x∈B，x∈A"为真，求 m 的取值范围；并写出 p 的否定，判断其真假。 【讲评要点】 p 真即 B⊆A 且 B≠∅：需 m+1≤2m−1 ⇒ m≥2（非空），且 −2≤m+1、2m−1≤5 ⇒ m≥−3 且 m≤3，结合得 2≤m≤3。p 的否定：∃x∈B，x∉A。当 2≤m≤3 时 B⊆A 恒成立，故否定为假。 【讲解·如何讲清】 综合两节：量词命题真假(本节) + 集合包含(1.3/1.4)。"∀x∈B,x∈A"真 ⟺ B⊆A，回到 1.4 的集合法；否定把 ∀ 改 ∃、结论取反。强调 B≠∅ 这一前提不能丢（承接 1.2 空集）。 【对应练习】 做分层训练10、11、12。 四、变式探究（约5分钟） 【变式1】写出"至少有一个实数 x 使 x²+1=0"的否定，并判断真假。 【变式2】命题"∀x∈R，x²+ax+1>0"为真，求实数 a 的取值范围。 【探究】全称命题为假时，它的否定必为真。如何用"∃ 一个反例"来表达"∀x∈R, x²>0"为假？ 【探究】 变式1：否定"∀x∈R, x²+1≠0"（真，因 x²+1≥1），故原命题假。变式2：Δ=a²−4<0 ⇒ −2<a<2。"∀假"的反例表达：∃x₀∈R 使 x₀²≤0，取 x₀=0 即可。 【师生活动】 变式1 让学生先换量词再否结论；变式2 用判别式恒成立；探究用 x₀=0 举反例，体会"全称假 ⇔ 存在反例真"。 五、分层训练（课堂/课后均可，约4分钟布置） 【选题说明 普通班保底识别与真假 + 简单否定；重点班加含参恒成立/有解；清北班加否定与集合综合。 【普通班】基础巩固（人人过关） 1. 判断真假：(1) 所有菱形都是平行四边形；(2) ∃x∈R，x²=−1；(3) 任意三角形的内角和为 360°；(4) 存在一个偶数是素数。 2. 用 ∀ / ∃ 改写：① 实数的平方是非负数；② 方程 ax²+2x+1=0 (a<0) 至少存在一个负根。 3. 写出"所有矩形都有外接圆"的否定。 4. "至少有一个整数是奇数"的否定是________。 5. 判断"∀x∈R, x²>0"真假，并写出它的否定。 【重点班】能力提升（+做） 6. 命题"∃x∈R, 3x²+2>0"真假？写出其否定。 7. "∀x∈[1,2], x²−m≥0"为真，求 m 的取值范围。 8. "∃x∈R, x²−2x−m≤0"为真，求 m 的取值范围。 9. 写出"任意两个等边三角形都相似"的否定，并判断真假。 【清北班】拓展挑战（+做） 10. 已知 A={x | −2≤x≤5}，B={x | m+1≤x≤2m−1} 且 B≠∅。若 p："∀x∈B, x∈A"为真，求 m；写出 p 的否定并判断真假。 11. 证明：¬(∀x, p(x)) ⇔ ∃x, ¬p(x)；并用"举反例"说明其含义。 12. 若 q："∃x∈B, x∉A"为真（A、B 同上），求 m 的取值范围；并与第10题结果对照，说明 p 与 q 的真假关系。 【对应练习·闭环 例1↔训练1、2；例2↔训练3、4、5；例3↔训练7、8、9；例4↔训练10、11、12。 六、课堂小结（约2分钟） 1. 知识与技能：∀ / ∃ 两种量词命题的识别与真假判断；含一个量词命题的否定 = 量词互换 + 结论否定。 2. 核心口诀："改量词，否结论"；常见词语否定对照表（任意⇄存在、都⇄不都、至少有一个⇄都不、至多一个⇄至少两个）。 3. 数学思想：转化与化归（全称=恒成立、存在=有解 → 转最值/集合）、正难则反（全称命题用反例攻破）。 【流程】 让学生闭卷回忆：写否定时哪两处必须改？"都"的否定是什么？教师补全板书对照表 + 例3 ∀/∃ 两种情形对比。 【板书设计】 左：∀/∃ 命题形式；中：否定口诀 + 词语对照表；右：例3 恒成立(最小)/有解(最大) 对比、例4 集合综合。 【参考】 本地《1.5.1/1.5.2 全称量词与存在量词（配套学案）》的"课堂小结·易错提醒"把"举反例""逆向思维处理至多至少"列为要点，与本节一致；《分层练习》例3/跟踪训练3 为本节含参求范围的典型。 七、课后作业（分层布置） ● 普通班：课本 P29 练习 1~3、P32 练习 1~3；分层训练 1~5。 ● 重点班：课本练习全做；分层训练 1~9，并整理"否定只改一处"的错题 3 道。 ● 清北班：课本练习全做 + 分层训练 1~12，另完成例4 类综合题 2 道。 【反思 第一章结束前用 10 分钟做一节"章末串讲"：集合（1.1~1.3）是研究对象与运算，常用逻辑（1.4~1.5）是研究工具——条件关系沟通集合包含，量词刻画命题范围。下章"函数"将大量使用"∀x∈D""∃x₀"等表述，本节是前置基础。 学科网（北京）股份有限公司 $