第1章 集合与常用逻辑用语概念清单速记表（知识清单）数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了“集合与常用逻辑用语”单元内容，涵盖集合的概念、关系、运算及常用逻辑用语四大知识范畴，为学生搭建了从“概念定义”到“相关概念关联”再到“应用要点”的层级化学习支架。 清单采用“章节分类+概念分级”的方式呈现知识体系，如“集合间的基本关系”下细分子集、真子集、空集等概念并标注相关联系，培养学生的数学思维和符号意识。特别设计“定义与说明”同步呈现及“相关概念”提示栏，如“描述法”明确取值范围省略约定，不同层次学生可高效掌握知识脉络，教师可直接用于课堂复习或作业设计，提升教学针对性。

第1章 集合与常用逻辑用语清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 1.1 集合的概念 元素与集合 一般地，把研究对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。给定集合的元素必须是确定的、互不相同的；只要构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等。 元素、确定性、互异性、集合相等 元素与集合的关系 如果 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于 A，记作 a∈A；如果 a 不是集合 A 的元素，就说 a 不属于 A，记作 a∉A。 元素、属于、不属于 列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。 集合的表示、元素 描述法 设 A 是一个集合，把集合 A 中所有具有共同特征 P(x) 的元素 x 组成的集合表示为 {x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法。 集合的表示、共同特征 描述法中取值范围的省略约定 若从上下文能明确元素的取值范围（如 x∈R、x∈Z），则 x∈R、x∈Z 可以省略，只写元素 x。 描述法、取值范围 1.2 集合间的基本关系 子集 对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A⊆B（或 B⊇A），读作“A 包含于 B”（或“B 包含 A”）。 包含、真子集、空集 集合相等 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，那么集合 A 与集合 B 相等，记作 A=B。即若 A⊆B 且 B⊆A，则 A=B。 子集、元素相同 真子集 如果 A⊆B，但存在元素 x∈B 且 x∉A，就称集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A⊊B（或 B⊋A），读作“A 真包含于 B”（或“B 真包含 A”）。 子集、集合相等 空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为 ∅，并规定：空集是任何集合的子集。 子集、真子集 集合关系的基本结论 （1）任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A；（2）对于集合 A、B、C，如果 A⊆B 且 B⊆C，那么 A⊆C。 子集、传递性 1.3 集合的基本运算 并集 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的并集，记作 A∪B（读作“A 并 B”），即 A∪B={x|x∈A，或 x∈B}。 交集、补集、集合运算 交集 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与 B 的交集，记作 A∩B（读作“A 交 B”），即 A∩B={x|x∈A，且 x∈B}。 并集、补集、集合运算 全集 如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 U。 补集、研究范围 补集 对于集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合，称为集合 A 相对于全集 U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作，即={x|x∈U，且 x∉A}。 全集、交集、并集 有限集合的计数公式 对于有限集合 A、B，有 card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)；也可用 Venn 图求解有限集合的计数问题。 并集、交集、Venn 图 1.4.1 充分条件与必要条件 命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题。 条件、结论、真命题、假命题 充分条件与必要条件 若“若 p，则 q”为真命题，即 p⇒q，则称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件；若“若 p，则 q”为假命题，则 p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件。 命题、充要条件、充分不必要条件 判定定理与充分条件 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件。 充分条件、判定定理 性质定理与必要条件 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件。 必要条件、性质定理 1.4.2 充要条件 充要条件 若“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q，则 p”均为真命题，即 p⇔q，则称 p 是 q 的充分必要条件，简称为充要条件。此时 p 与 q 互为充要条件。 充分条件、必要条件、等价 充要条件与定义 利用“两个概念互为充要条件”可以给出数学概念的其他等价定义，这些定义是相互等价的。 充要条件、定义 充要条件的证明 证明 p 是 q 的充要条件，需分别证明充分性（p⇒q）和必要性（q⇒p）。 充分条件、必要条件、充要条件 1.5.1 全称量词与存在量词 全称量词 对变量的取值范围进行限定的短语称为量词。短语“所有的”“任意一个”等称为全称量词，用符号“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称量词命题。 全称量词命题、存在量词 全称量词命题的真假判定 要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”为真命题，需对集合 M 中每个元素 x 证明 p(x) 成立；若在集合 M 中找到一个元素 x₀ 使 p(x₀) 不成立，则该命题为假命题。 全称量词、命题真假 存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”等称为存在量词，用符号“∃”表示；含有存在量词的命题叫做存在量词命题。 全称量词、存在量词命题 存在量词命题的真假判定 要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”为真命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x 使 p(x) 成立；若使 p(x) 成立的元素 x 不存在，则该命题为假命题。 存在量词、命题真假 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 命题的否定 对一个命题进行否定，得到的新命题称为原命题的否定。 全称量词命题的否定、存在量词命题的否定 全称量词命题的否定 全称量词命题“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，¬p(x)”。即全称量词命题的否定是存在量词命题。 量词、存在量词、命题的否定 存在量词命题的否定 存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，¬p(x)”。即存在量词命题的否定是全称量词命题。 量词、全称量词、命题的否定 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $