江苏省南京市鼓楼区苏科版2026—2027学年九年级数学上学期第一次月考模拟练习卷

江苏省南京市鼓楼区苏科版2026—2027学年九年级数学上学期第一次月考模拟练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （测试范围：第一章、第二章 考试时间:120分钟 试卷满分:100分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题2分，满分12分） 1．方程化为一元二次方程的一般形式是（     ） A． B． C． D． 2．某市平均房价经过两年由每平方米元下降到每平方米元，设年平均下降率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．若点，都在反比例函数的图象上，则与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 5．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7．已知，分别是关于的方程的两个根，且满足，则的值为______． 8．已知关于的方程没有实数根，那么的取值范围是__________． 9．一个两位数，十位数字比个位数字大2，把这个两位数的个位数字和十位数字交换后得到的两位数的平方，所得数值比原来的两位数大138，则原来的两位数为_______． 10．有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的的值为______． 11．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，图象如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是______米． 12．若是反比例函数，则的值为_________． 13．如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 14．如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数图象与直线，，，，（且为整数）分别交于点，，，，，则____________________． 16．如图，点D是平行四边形内一点，与x轴平行，与y轴平行，，，．若反比例函数的图像经过A、D两点，则k的值是________． 三、解答题（本大题共9小题，共计68分，其中17、18、19、20每题6分、21、22、23每题8分，24、25每题10分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程： (1)； (2)． 18．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）（单位：）的反比例函数，当时，，若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 20．画反比例函数的图象． (1)列表（请填空）； x 1 2 3 4 y (2)描点、连线（请在图中的平面直角坐标系中完成）； (3)点在的图象上吗？为什么？ 21．如图，某校园艺社计划利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形园子．设矩形园子的相邻两边长分别为． (1)y关于x的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）； (2)当相邻两边中一条边的长为时，求另一条边的长． 22．某商场将进货价为元的台灯以元售出，平均每月能售出个．调查表明：这种台灯的售价每上涨元，其月销售量就减少个． 要实现每月元的销售利润目标，且售价不能低于元/个． (1)求这种台灯的定价； (2)商场应进货多少个？ 23．如图，矩形的一个顶点与原点重合，两边分别在坐标轴上，反比例函数的图象与该矩形相交于E，F两点，以这两点为顶点作矩形，我们约定这个矩形为反比例函数的“相伴矩形”．已知点C的坐标为，，求点F的坐标． 24．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线经过点B，与x轴交于点D，作关于直线的对称图形，反比例函数的图象经过边的中点E． (1)求证：． (2)求点C的坐标及反比例函数的解析式． (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25．利用反比例函数的图象能将一个角三等分，也能将一条线段三等分．    (1)如图①，是的三等分线，，点在上，过点作，交于点，分别过点、点作，，垂足为、，交于点，点是的中点，连接并延长交于点．猜想与的数量关系，并说明理由． (2)古希腊数学家帕普斯借助反比例函数的图象成功将锐角三等分，作法如下： 1．如图②，建立平面直角坐标系，将已知的顶点与原点重合，角的一边与轴正方向重合； 2．在平面直角坐标系里，绘制函数的图象，图象与已知角的另一边交于点； 3．以为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点； 4．分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点； 5．连接，得到． 请根据以上作法，证明． (3)如图③，在平面直角坐标系中，点在轴上，请你利用反比例函数（，）的图象作出线段的三等分点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A A B B A B 1．A 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】由题意得平均房价下降一年后为每平方米元，下降两年后为每平方米元，结合题目条件选出可列的方程即可． 【详解】解：由题意可列方程为，故选A． 3．B 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【详解】解：反比例函数，当时，随的增大而增大， 说明在第四象限内随的增大而增大， ． 4．B 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】根据反比例函数的解析式可判断该反比例函数图象分布的象限以及在每个象限内的增减性，结合两个点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴该反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴点，都在第四象限， ∴． 5．A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数 【分析】利用一元二次方程的解的意义求得，利用根与系数的关系求得，最后将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵它的两根分别为，， ∴，， ∴ ． 6．B 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据矩形的性质求线段长 【分析】过点D作于点H，由点B的坐标结合矩形的性质可得点D的坐标，点E的横坐标，得到的长，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，将点E的横坐标代入，可得点E的坐标，从而求出的长，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于点H， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴点D是的中点，轴， ∵， ∴，点E的横坐标为， ∴． ∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 7．12 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据韦达定理： ， ，用含的式子表示出一元二次方程两根之和、两根之积，再代入中，即可求出的值．注意：求出值后，需要代回到一元二次方程中检验是否大于，只有当时值才满足条件． 【详解】解：∵，分别是关于的方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴一元二次方程为： ， 检验判别式： ， ∴方程有两个实根， 值符合题意． 8． 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【详解】解：方程可化为， ∵关于的方程没有实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． 9．31 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设原来两位数的个位数字为，根据数位表示法表示出原两位数和交换后的新两位数，根据题意给出的等量关系列一元二次方程，结合数字的性质舍去不合理的解即可得到结果． 【详解】解：设原来两位数的个位数字为，则十位数字为， 原来的两位数为，交换个位和十位后的新两位数为， 根据题意可得， 解得（舍去），， ， 十位数字为， 原来的两位数为． 10．或 【知识点】程序流程图与代数式求值、公式法解一元二次方程 【分析】根据题意列出一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 因式分解得，， ∴，或， 解得：，， ∴输出的的值为或． 11．/ 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】根据反比例函数的定义求得反比例函数的解析式，再求得时，的值即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 把代入反比例函数， 得， 解得， 所以反比例函数的解析式为， 当时，可得． 即此时镜片焦距是米． 12．-2 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数的定义，得到的指数为，且系数不为，据此列条件求解即可. 【详解】解：∵是反比例函数，反比例函数的一般形式为， ∴满足两个条件：且， 解方程，得，即或， ∵，得， ∴. 13．或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】先求出点的坐标，再找出一次函数图象在反比例函数图象的下方部分即可． 【详解】解：将代入反比例函数的解析式得， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式得， ∴， ∴， ∵直线与双曲线交于点和点， ∴由函数图象可得，不等式的解集是或． 14． 4 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 【详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 15． 【知识点】求反比例函数值 【分析】根据直线与反比例函数的交点坐标规律，得出，进而得到通项，利用裂项相消法进行求和计算． 【详解】解： 由题意可知，，，，，， 点在反比例函数的图象上， ， ， 原式 ． 16．4 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解 【分析】过A作于E，作轴于F，延长交x轴于G，根据三角形的面积可求出，根据三角形内角和定理、等角对等边等得出，根据平行四边形的性质、平行线的性质以及可证明，得出，则可设，则，从而得出，即可求解． 【详解】解：过A作交的延长线于E，作轴于F，延长交x轴于G， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵与x轴平行， ∴， ∴， ∵与y轴平行，x轴轴， ∴轴， 又与x轴平行， ∴， 又轴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴点D的纵坐标为， 设，则， ∵反比例函数的图像经过A、D两点， ∴， 解得， ∴． 17．(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）利用因式分解法，解答即可； （2）利用因式分解法，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，． （2）解：， ， ， ， 解得， ． 18． 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键是根据题意设出反比例函数解析式，代入已知条件求出比例系数，再代入新的函数值求解自变量． 设反比例函数解析式（）；代入已知x，y值求；将待求值代入解析式求对应值． 【详解】解：∵ 火焰的像高是物距的反比例函数， ∴ 设解析式为（）． 将，代入得． 解得． ∴ 反比例函数解析式为． 当时，代入解析式得． 解得． 答：小孔到蜡烛的距离为． 19．(1)证明：∵， 无论当m取何值，方程都有两个不相等的实数根． (2)m的值为1或 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）根据一元二次方程根与系数的关系计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵的两个实数根为a，b， ，． ∵， ，． ，即． 解得或． m的值为1或． 20．(1)依次填入：，，，，6，3，2， (2)反比例函数图象如图所示： (3)点在的图象上，理由如下： 当时，， 所以点在的图象上． 【知识点】求反比例函数值、判断（画）反比例函数图象 【分析】（1）根据反比例函数解析式，代入自变量的值，即可求对应的函数值； （2）由（1）中表格信息，在平面直角坐标系中描点，再用平滑的曲线连接，绘制即可； （3）将代入解析式，根据函数值与点的纵坐标的关系，即可解答． 【详解】（1）解：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 故表格中依次填入：，，，，6，3，2，． （2）略 （3）略 21．(1) (2)当一条边长为时，另一条边的长度为 【知识点】实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、求反比例函数值、由反比例函数值求自变量、根据矩形的性质求面积 【分析】（1）利用矩形的面积计算公式，可得出，进而可得出y； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出另一边的长度． 【详解】（1）解：依题意得：， ∴． （2）解：当时，； 当时，， 解得． ∴当一条边长为时，另一条边的长度为． 22．(1) 元 (2) 个 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设每个台灯涨价元，由“总利润单件商品利润销售量”列方程即可求出台灯的定价，注意题目的限制条件； （2）将台灯定价代入销售量代数式求出进货数量． 【详解】（1）解：设每个台灯涨价元，则售价为元，销量为 个，每个利润为元， 根据题意，得 或 当 时，售价为，不合题意； 当 时，售价为，符合题意． 台灯的定价为元． （2）解：当台灯的定价为元时，月销售量为（个）， 商场应进货个． 23． 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据矩形的性质求线段长 【分析】由矩形可得到，，则有相同的纵坐标，有相同的横坐标，然后求出反比例函数表达式，即可求解点F的坐标． 【详解】解：由题意知， ∴有相同的纵坐标，有相同的横坐标 ∴ 将代入中， 则 ∴反比例函数解析式为 ∵点C的坐标为 ∴将代入中得 ∴． 24．(1)证明：在中，当时，， ∴，， 当时，， ∴， ∴，， 将代入，得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴． (2)， (3)存在，点P的坐标为或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据菱形的性质与判定求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）求出．证明．根据与关于直线对称即可得到结论； （2）求出，利用待定系数法即可求出答案； （3）求点P的纵坐标为，即点P的纵坐标为或．由点P在函数的图象上即可求出点P的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴轴， ∵，， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∵点E在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式． （3）存在，点P的坐标为或． 如图，设点P到的高为h， ∵点，，， ∴， ∴， ∴， ∴点P的纵坐标为， 即点P的纵坐标为或． ∵点P在函数的图象上， ∴点P的横坐标为或． ∴点P的坐标为或． 25．(1)解：，理由如下， ，， ，， ， ，，， ，即和是直角三角形， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 则； (2)证明：如图，分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点， 设，，则，， 设直线的解析式为， ，解得， ， 当时，， 即点在直线上， 轴，轴，轴，轴，轴轴 ， 四边形是矩形， 对角线，相等且互相平分， ， ， 轴， ， ， ，即， ， ， ， 则； (3)解：如图，点，即为线段的三等分点； 过点作轴的垂线，交函数（，）的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，过点作轴的垂线于点，在轴上截取，点，即为线段的三等分点． 点，在函数（，）的图象上， ，， ， ， ， ， ， 则点，为线段的三等分点． 【知识点】反比例函数与几何综合、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、利用矩形的性质证明 【分析】（1）先根据垂直的定义和平行线的性质，可得和是直角三角形，再根据“直角三角形斜边上的中线是斜边的一半”，得，最后利用角之间的关系和等量代换，易得，，从而，，进而可得，； （2）分别过点和作轴和轴的平行线，两线相交于点，和相交于点，设，，则，，求直线的解析式，可证点在直线上，再证四边形是矩形，从而根据矩形的性质，可证，进而可证，，，，即可求证； （3）根据“过一个点作已知直线的垂线”尺规作图的方法，作轴，交函数的图象于点，作矩形，在轴上顺次截取，过点作轴的垂线，交函数的图象于点，作矩形，根据反比例函数的几何意义，即可得到，在轴上截取，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $