精品解析：湖南常德市德善学校2026-2027学年八年级上学期第一次阶段学情自测数学（1.1-2.4）

2026-2027学年湘教版数学八年级上学期第一次月考试卷 时量：120分钟满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件，求不等式的解集，理解分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式有意义的条件进行判定即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故选：C． 2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A． 是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意． B． 的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，不符合题意． C． 属于因式分解，符合题意． D． 的左边是单项式，不是多项式，单项式不能进行因式分解，不符合题意． 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了最简分式的判断，根据最简分式的定义，分子和分母没有公因式的分式即为最简分式．逐一分析各选项，判断是否存在可约分的公因式． 【详解】解：选项A：，分子为1，分母为一次多项式，两者无公因式，无法约分，是最简分式． 选项B：，分子4与分母的公因数为4，约分后为，不是最简分式． 选项C：，分母可分解为，与分子有公因式，约分后为，不是最简分式． 选项D：，分子可提取公因式，分解为，与分母有公因式，约分后为，不是最简分式． 故选∶A 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：对于选项A：根据幂的乘方法则，， ∴，故A计算正确； 对于选项B：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，故B计算错误； 对于选项C：合并同类项时，系数相加，字母及指数不变， ∴，故C计算错误； 对于选项D：同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，故D计算错误． 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的应用．先对进行提公因式，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 6. 下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了用平方差公式分解因式，根据平方差公式的结构特征，即两个平方项的差（符号一正一负），逐项判断即可． 【详解】解：A．是两个平方项的和，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； B．，符合平方差公式结构，能直接用平方差公式分解因式； C．是两个平方项和的相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； D．是三项式，是完全平方公式的形式，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 7. 分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 【答案】D 【解析】 【分析】将扩大3倍后的a、b代入分式，化简后与原分式比较得到倍数关系． 【详解】解：把a、b都扩大为原来的3倍，代入分式得， 故分式的值扩大为原来的3倍． 8. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 【答案】D 【解析】 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 9. 在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A. 141414 B. 141315 C. 131413 D. 151415 【答案】B 【解析】 【分析】对多项式先进行因式分解，再代值求出各因式的值，然后组合成密码． 【详解】解：， 当时，，，， 他设置的密码可能是131415或131514或141315或141513或151314或151413，只有选项B符合． 10. 已知，，那么的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂的运算性质将所求式子转化为含的形式，结合已知条件求出的值，代入计算． 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 分式与的最简公分母是______________． 【答案】 【解析】 【分析】先将两个分式的分母分别分解因式，再取所有因式最高次幂的乘积得到最简公分母． 【详解】解：第一个分式的分母为 ，分解因式得： 第二个分式的分母为 ，分解因式得： 取各分母所有因式的最高次幂相乘，可得最简公分母为． 12. 华为搭载的华为麒麟芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程．7纳米也就是米，用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 计算：=_________． 【答案】 【解析】 【分析】两个分式为同分母分式，先按同分母分式减法法则合并分子，再对分子因式分解后约分得到结果． 【详解】解： ． 14. 若分解因式的结果是，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则把展开进而求出m、n的值，然后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分解因式的结果是， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分解因式与整式乘法，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 15. 若是完全平方式，则的值为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据完全平方式的结构得到的两个可能值，再代入所求代数式计算结果． 【详解】解：是完全平方式， ， 可得：， 比较系数可得， 当时， 解得：， 可得：； 当时， 解得：， 可得：； 综上所述，的值为或． 16. 已知，则=_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先对已知等式配方，利用平方的非负性求出和的值，再将所求分式因式分解约分，化简后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵任意数的平方为非负数，两个非负数的和为，则每个非负数为， ∴，， 解得，． 代入，． 原式． 三、解答题（共72分） 17. 计算： 【答案】2 【解析】 【详解】原式． 18. 分解因式 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 20. 利用因式分解计算： （1）；； （2）． 【答案】（1）280000； （2）40000 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 21. 先化简：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且且， ∴当时，原式． 22. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”． （1）用张边长为的正方形卡片，张边长为，的长方形卡片，张边长为的正方形卡片，拼成一个正方形（图），观察拼图的过程，写出相应的等式 ； （2）用张边长为的正方形卡片，张边长为，的长方形卡片，张边长为的正方形卡片，拼成一个长方形（如图2），观察拼图的过程，写出相应的等式 ； （3）用张边长为的正方形卡片，张边长为，的长方形卡片，张边长为的正方形卡片，可以不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ； （4）用张边长为，的长方形卡片，拼成一个大正方形（如图）．若大正方形的面积是，中间围成的小正方形的面积是，则边长为，的长方形卡片的面积是 ； （5）将张边长为的正方形卡片放到张边长为的正方形卡片内（），拼成图所示的形状；再将张边长为的正方形卡片放到张边长为的正方形卡片内，拼成图所示的形状．若图中阴影部分的面积比图中阴影部分的面积大，则与的关系为 ． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据所给图形的面积的不同表示方法得到相应的等式是解题的关键． （）由组成正方形卡片的数量及边长可知组成图的大正方形的面积为，再根据大正方形的边长得到组成图大正方形的面积为即可解答； （）由组成长方形卡片的数量及边长可知组成图的大长方形的面积为，再再根据大长方形的边长得到组成图大长方形的面积为即可解答； （）由组成正方形卡片的数量及边长可知组成图的大正方形的面积为，再根据完全平方公式可得组成图大正方形的边长为即可解答； （）由组成正方形卡片的数量及边长可知组成图大正方形的面积为，中间围成的小正方形的面积为，再根据根据题意列方程即可解答； （）由组成正方形卡片的数量及边长可知组成图和图阴影部分的面积，再根据题意列二元一次方程即可解答． 【小问1详解】 解：∵图由张边长为的正方形卡片，张边长为，的长方形卡片，张边长为的正方形卡片组成， ∴组成图的大正方形的面积为， ∵图的大正方形的边长为， ∴组成图大正方形的面积为：， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵图由张边长为的正方形卡片，张边长为，的长方形卡片，张边长为的正方形卡片组成， ∴图中大长方形面积的和为：， ∵图中大长方形的长为，宽为， ∴图中大长方形的面积为：， ∴ 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵图由张边长为的正方形卡片，张边长为，的长方形卡片，张边长为的正方形卡片， ∴图大正方形卡片的面积为：， ∵， ∴大正方形的边长为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：∵图由张边长为，的长方形卡片，拼成一个大正方形， ∴大正方形的边长为，中间围成的小正方形的边长为， ∴图大正方形的面积为，中间围成的小正方形的面积为， ∵图中大正方形的面积是， ∴图大正方形的面积为， ∴， ∵中间围成的小正方形的面积是， ∴中间围成的小正方形的面积为， ∴， 即， 解得， ∴边长为，的长方形卡片的面积是， 故答案为：； 【小问5详解】 解：∵将张边长为的正方形卡片放到张边长为的正方形卡片内（），拼成图所示的形状； ∴图阴影部分的边长为， ∴图阴影部分的面积为， ∵将张边长为的正方形卡片放到张边长为的正方形卡片内，拼成图所示的形状． ∵图中阴影部分的边长为， ∴图中阴影部分的面积为， ∵图中阴影部分的面积比图中阴影部分的面积大， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 23. 探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，，…… （1）计算：若为正整数，猜想________； （2）； （3）若， 求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据各式的变化规律即可得； （2）根据（1）中的规律，将各项拆分成两项，再计算加减法即可得； （3）先求出，从而可得，再代入进行拆分，计算加减法即可得． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ， ， ， 则， 故答案为：． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：∵， ， 解得， ， 则 ． 24. 观察下列式子，并探索它们的规律： ； ． （1）根据以上式子填空： ① ． ② ． （2）求分式的最小值． （3）已知为整数，求能使分式的值为整数的所有值的和． 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给的规律对①②进行运算即可； （2）结合所给的规律进行求解即可； （3）结合所给的规律进行求解即可． 【小问1详解】 解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， 要求原式的最小值，则的值最大， 当时，， ∴的最小值为：； 【小问3详解】 ， 要使结果为整数， 则为整数， 的值为：或或或， 其和为：． 【点睛】本题主要考查分式的加减，数字的变化规律，解答的关键是对相应的运算法则的掌握，及找到存在的规律． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年湘教版数学八年级上学期第一次月考试卷 时量：120分钟满分：120分 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 若分式有意义，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 7. 分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 缩小为原来的 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的3倍 8. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 9. 在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A. 141414 B. 141315 C. 131413 D. 151415 10. 已知，，那么的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 9 D. 27 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 分式与的最简公分母是______________． 12. 华为搭载的华为麒麟芯片应该达到或者接近7纳米工艺制程．7纳米也就是米，用科学记数法表示为__________． 13. 计算：=_________． 14. 若分解因式的结果是，则的值为______． 15. 若是完全平方式，则的值为____________． 16. 已知，则=_________． 三、解答题（共72分） 17. 计算： 18. 分解因式 （1）； （2）． 19. 计算： （1）； （2） 20. 利用因式分解计算： （1）；； （2）． 21. 先化简：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值． 22. 数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”． （1）用张边长为的正方形卡片，张边长为，的长方形卡片，张边长为的正方形卡片，拼成一个正方形（图），观察拼图的过程，写出相应的等式 ； （2）用张边长为的正方形卡片，张边长为，的长方形卡片，张边长为的正方形卡片，拼成一个长方形（如图2），观察拼图的过程，写出相应的等式 ； （3）用张边长为的正方形卡片，张边长为，的长方形卡片，张边长为的正方形卡片，可以不重叠无缝隙地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为 ； （4）用张边长为，的长方形卡片，拼成一个大正方形（如图）．若大正方形的面积是，中间围成的小正方形的面积是，则边长为，的长方形卡片的面积是 ； （5）将张边长为的正方形卡片放到张边长为的正方形卡片内（），拼成图所示的形状；再将张边长为的正方形卡片放到张边长为的正方形卡片内，拼成图所示的形状．若图中阴影部分的面积比图中阴影部分的面积大，则与的关系为 ． 23. 探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，，…… （1）计算：若为正整数，猜想________； （2）； （3）若， 求的值． 24. 观察下列式子，并探索它们的规律： ； ． （1）根据以上式子填空： ① ． ② ． （2）求分式的最小值． （3）已知为整数，求能使分式的值为整数的所有值的和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $