1.3 矩形的性质与判定 题型专练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

北师大版（2024）九年级上册 1.3 矩形的性质与判定 题型专练 【题型1】直角三角形斜边上中线等于斜边一半 【典例】如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是(　　) A．20 B．12 C．16 D．13 【举一反三1】如图，已知的边在轴上，，点A落在反比例函数的图象上，斜边上的中线交y轴于点E，若的面积为4，则k的值是（ ） A．4 B．6 C． D．8 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是边AC的中点，连结DE，连结BE交AD于点F，此时∠CAD=∠CBE，下列结论中：①BE平分∠ABC；②AD2+CD2=4DE2；③∠CDE=∠ABE+∠BAD；④若记△ABF的面积为S△ABF，△BDE的面积为S△BDE，则S△ABF=S△BDE.其中正确的结论是 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【举一反三3】如图，在中，，点D为边的中点，，，则的长为__________ . 【举一反三4】如图，在中，，D是边上一点，E是边上一点，连接．若，则的长为__________ ． 【举一反三5】如图所示,已知 是 Rt 斜边 的中点,点 在边 上, 与 的延长线交于点 . 求证: . 【题型2】矩形性质定理的理解 【典例】下列说法中正确的是（　　）. A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．平行四边形的对角线平分一组对角 D．矩形的对角线相等且互相平分 【举一反三1】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【举一反三2】下列说法正确的是（ ） A．平行四边形是轴对称图形 B．矩形的四条边都相等 C．菱形的四个内角都相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【举一反三3】(课本练习P133 T1)矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 __________ . 【举一反三4】(课本练习P134 T2)如图,四边形为矩形.请指出图中相等的线段和角. 【题型3】求矩形在坐标系中的坐标 【典例】如图，在矩形AOBD中，点D的坐标是(1，3)，则AB的长为 A．3 B． C． D． 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝3．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点B始终在x轴的正半轴上随之左右移动，已知M是边AB的中点，连接OM，DM．下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：在移动过程中，OM的长度不变； 结论Ⅱ：当∠OAB＝45°时，四边形OMDA是平行四边形． A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 【举一反三2】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．连接AC，按下列方法作图：以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交CA，CD于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；连接CG交AD于点H，则S△ACH的面积是（　　） A． B． C．1 D． 【举一反三3】长方形的长为5，宽为3，将该长方形按如图的方式放置在平面直角坐标系中，已知点，则点的坐标为__________. 【举一反三4】如图所示,在平面直角坐标系中,为坐标原点,在矩形中,为的中点,为边上一点,若为等腰三角形,求所有满足条件的点的坐标. 【题型4】矩形与折叠问题 【典例】如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形； ②EC平分∠DCH； ③线段BF的取值范围为3≤BF≤4； ④当点H与点A重合时，EF＝2. 以上结论正确的有(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【举一反三1】如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝24，将矩形折叠，使点C与点A重合，则AF的长为（　　） A．20 B．18 C．16 D．15 【举一反三2】如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，下列结论： ①； ②≌； ③； ④. 其中正确的结论是（ ）. A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【举一反三3】如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点落在点的位置，与交于点.若，求图中阴影部分的周长__________. 【举一反三4】如图，将长方形纸片沿折叠（折线交，于，），点、分别对应点，，交于，再将四边形沿折叠，点、分别对应点、，交于．若，则的度数为 __________ （用含的代数式表示）． 【举一反三5】如图所示，折叠矩形的一边，使点D落在边上的点F处，已知，. （1）求的长； （2）求的长. 北师大版（2024）九年级上册 1.3 矩形的性质与判定 题型专练（参考答案） 【题型1】直角三角形斜边上中线等于斜边一半 【典例】如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长是(　　) A．20 B．12 C．16 D．13 【答案】C 【解析】∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，CD＝BC＝4， ∵AD⊥BC，点E为AC的中点，∴DE＝EC＝AC＝6， ∴△CDE的周长＝CD＋DE＋EC＝16. 【举一反三1】如图，已知的边在轴上，，点A落在反比例函数的图象上，斜边上的中线交y轴于点E，若的面积为4，则k的值是（ ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【解析】连接 、， 为 的斜边 上的中线， ，， ，即 ， ， ． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是边AC的中点，连结DE，连结BE交AD于点F，此时∠CAD=∠CBE，下列结论中：①BE平分∠ABC；②AD2+CD2=4DE2；③∠CDE=∠ABE+∠BAD；④若记△ABF的面积为S△ABF，△BDE的面积为S△BDE，则S△ABF=S△BDE.其中正确的结论是 A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【解析】∵AD⊥BC， ∴∠CAD+∠C=90°， ∵∠CAD=∠CBE， ∴∠CBE+∠C=90°， ∴∠BEC=90°，即BE⊥AC， ∵点E是边AC的中点， ∴AE=EC， ∴BE垂直平分AC， ∴BA=BC， ∴BE平分∠ABC，故①正确； 在Rt△ADC中，点E是边AC的中点， ∴AD2+CD2=AC2，AC=2DE， ∴AD2+CD2=4DE2，故②正确； ∵BE⊥AC， ∴∠AFE+∠DAC=90°， ∵AD⊥BC， ∴∠DCE+∠DAC=90°， ∴∠DCE=∠AFE， 又∵DE=AC=EC， ∴∠CDE=∠DCE， ∴∠CDE=∠AFE， 又∵∠AFE=∠ABE+∠BAD， ∴∠CDE=∠ABE+∠BAD，故③正确； ∵点E是边AC的中点， ∴S△ABE=S△BCE，S△ADE=S△DEC， ∴S△ABE-S△ADE=S△BCE-S△DEC=S△BDE， 而S△ABF=S△ABE-S△AFE≠S△ABE-S△ADE，故S△ABF≠S△BDE，即④不正确. 【举一反三3】如图，在中，，点D为边的中点，，，则的长为__________ . 【答案】 【解析】∵， ，， ∴， 又点D为边的中点，∴， 故答案为∶ . 【举一反三4】如图，在中，，D是边上一点，E是边上一点，连接．若，则的长为__________ ． 【答案】 【解析】如图所示，过点D作于点F， ∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三5】如图所示,已知 是 Rt 斜边 的中点,点 在边 上, 与 的延长线交于点 . 求证: . 【答案】证明　如图所示,连接 , 因为 是 Rt 斜边 的中点,所以 . 因为 , 所以 . 因为 是 Rt 斜边 上的中线,所以 , 所以 . 因为 , 所以 , 所以 ,即 . 【题型2】矩形性质定理的理解 【典例】下列说法中正确的是（　　）. A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．平行四边形的对角线平分一组对角 D．矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴A不正确； ∵对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴B不正确； ∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角， ∴C不正确； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴D正确； 故选：D. 【举一反三1】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A．对边平行且相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】D 【解析】A.对边平行且相等，B.对角相等，C.对角线互相平分，均是矩形和平行四边形都具有的性质. D.对角线相等是矩形具有，而平行四边形不一定具有的性质.故选：D. 【举一反三2】下列说法正确的是（ ） A．平行四边形是轴对称图形 B．矩形的四条边都相等 C．菱形的四个内角都相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】A.平行四边形不是轴对称图形，故A错误； B.矩形仅对边相等，四条边不一定都相等，故B错误； C.菱形仅对角相等，四个内角不一定都相等，故C错误； D.正方形的对角线互相垂直平分且相等，故D正确. 【举一反三3】(课本练习P133 T1)矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 __________ . 【答案】两条对角线相等,四个内角都是直角,是轴对称图形 【举一反三4】(课本练习P134 T2)如图,四边形为矩形.请指出图中相等的线段和角. 【答案】解:题图中相等的线段有. 相等的角有, . 【题型3】求矩形在坐标系中的坐标 【典例】如图，在矩形AOBD中，点D的坐标是(1，3)，则AB的长为 A．3 B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，连接OD，过点D作DF⊥x轴于点F， ∵四边形AOBD是矩形， ∴AB=OD， ∵点D的坐标是(1，3)， ∴OF=1，DF=3， ∴OD===， ∴AB=. 【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB＝6，BC＝3．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在y轴的正半轴上上下移动时，矩形的另一个顶点B始终在x轴的正半轴上随之左右移动，已知M是边AB的中点，连接OM，DM．下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：在移动过程中，OM的长度不变； 结论Ⅱ：当∠OAB＝45°时，四边形OMDA是平行四边形． A．结论Ⅰ、Ⅱ都对 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不对 C．只有结论Ⅰ对 D．只有结论Ⅱ对 【答案】A 【解析】∵M是边AB的中点，AO⊥OB，∴OM＝AB＝3，故结论Ⅰ正确； ∴AD＝AM＝BM＝3， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAM＝90°，∴∠AMD＝45°，DM＝AD＝3， ∵∠OAB＝∠OBA＝45°，AB＝6，∴∠AMD＝∠OAB，OA＝AB＝3， ∴DM∥OA，DM＝OA，∴四边形OMDA是平行四边形，故结论Ⅱ正确. 【举一反三2】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4．连接AC，按下列方法作图：以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交CA，CD于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；连接CG交AD于点H，则S△ACH的面积是（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【举一反三3】长方形的长为5，宽为3，将该长方形按如图的方式放置在平面直角坐标系中，已知点，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】， 轴， 四边形是长方形， 轴， ，， 点的坐标为，即， 故答案为：. 【举一反三4】如图所示,在平面直角坐标系中,为坐标原点,在矩形中,为的中点,为边上一点,若为等腰三角形,求所有满足条件的点的坐标. 【答案】解:四边形是矩形,, . 为的中点, . (1)当时，点在的垂直平分线上， 点的坐标为. (2)当时,, 点的坐标为. (3)当时，作于点， 则. 分两种情况:当点在点的左侧时,如图①所示. 点的坐标为. 当点在点的右侧时,如图②所示. 点的坐标为. 综上所述,点的坐标为或. 【题型4】矩形与折叠问题 【典例】如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形； ②EC平分∠DCH； ③线段BF的取值范围为3≤BF≤4； ④当点H与点A重合时，EF＝2. 以上结论正确的有(　　) A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【解析】①∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD，BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF， ∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得CF＝FH，∴平行四边形CFHE是菱形，故①正确； ②∵四边形CFHE是菱形，∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°时，EC平分∠DCH，故②错误； ③当点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8－x，在Rt△ABF中，AB2＋BF2＝AF2，即42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3， 当点G与点D重合时，CF＝CD＝4，∴BF＝4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确； ④过点F作FM⊥AD于点M，则ME＝(8－3)－3＝2，由勾股定理得EF＝＝2，故④正确； 综上所述，结论正确的有①③④共3个. 【举一反三1】如图，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝24，将矩形折叠，使点C与点A重合，则AF的长为（　　） A．20 B．18 C．16 D．15 【答案】D 【解析】设BE＝x，则CE＝BC﹣BE＝24﹣x， ∵沿EF翻折后点C与点A重合，∴AE＝CE＝24﹣x， 在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，即122+x2＝（24﹣x）2，解得x＝9， ∴AE＝24﹣9＝15， 由翻折的性质得∠AEF＝∠CEF， ∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE， ∴AF＝AE＝15. 【举一反三2】如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB、BC上，且，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，下列结论： ①；②≌； ③；④. 其中正确的结论是（ ）. A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【解析】∵， ∴，， ∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处， ∴，即， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处， ∴，， ， ∴， ∴①正确； ∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处， ∴， ∴. 在和中，， ∴≌， ∴②正确； ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴③正确； ∵，，， ∴， ∴的面积为， ∵将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处， ∴的面积为， ∴， ∴④正确； 故选：A. 【举一反三3】如图，将长方形纸片沿其对角线折叠，使点落在点的位置，与交于点.若，求图中阴影部分的周长__________. 【答案】 【解析】∵四边形为矩形， ∴，， 由翻折可得， ∴阴影部分的周长为 ， 故答案为：. 【举一反三4】如图，将长方形纸片沿折叠（折线交，于，），点、分别对应点，，交于，再将四边形沿折叠，点、分别对应点、，交于．若，则的度数为 __________ （用含的代数式表示）． 【答案】 【解析】∵长方形纸片， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵折叠， ， ， ． 【举一反三5】如图所示，折叠矩形的一边，使点D落在边上的点F处，已知，. （1）求的长； （2）求的长. 【答案】（1）由矩形的性质可得：，， 由折叠的性质可得：， 由勾股定理可得：； （2）由（1）可得， 设，则， 在中，，即 解得，即. 学科网（北京）股份有限公司 $