1.3矩形的性质与判定知识梳理与题型突破2026-2027学年北师大版数学九年级上册（八大题型）

**基本信息** 聚焦矩形性质与判定，以八大题型构建从基础应用到综合探究的分层训练，通过求线段、证矩形等梯度设计，培养几何直观与推理能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|矩形性质（线段、角计算）、判定条件辨析|题型一至题型二，直接应用定义与性质，如已知矩形对角线求边长，夯实概念理解| |中档层|性质与面积、坐标结合|题型三至题型四，综合面积计算与坐标系应用，如“和谐矩形”面积求解，发展空间观念| |综合层|性质与判定综合、跨图形应用|题型五至题型八，结合菱形、直角三角形中线，如证明四边形为矩形，提升推理与模型意识|

1.3矩形的性质与判定知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版九年级上册（八大题型） 知识梳理： 考点 1 矩形的性质 ： ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 考点2 直角三角形斜边上的中线： ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 考点3 矩形的判定： ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 题型突破： 题型一：由矩形的性质求线段的长度 1.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．5 【答案】B． 2.如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝　 　． 【答案】12． 3.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．在边AD上取一点E，使BE＝BC．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 　　． 【答案】．  4.如图，矩形的对角线相交于点，点分别是线段上的点．若，则的长为___________．    【答案】 题型二：由矩形的性质求角的度数 1.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（　　） A．70° B．60° C．80° D．45° 【答案】A． 2.如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝70°，则∠BAC的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】C． 3.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，如果量得∠EDF＝22°，则∠FDB的大小是（　　） A．22° B．34° C．24° D．68° 【答案】B． 4.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边DC上，若AM平分∠DMB，则∠AMD的大小是（　　） A．45° B．60° C．75° D．30° 【答案】C． 5.如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的最大内角的大小是 　 　． 【答案】150°． 题型三：由矩形的性质求面积 1.如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A． 2.如图，点E是矩形ABCD边AD上一动点，连接BE，以BE边作矩形BEFG，使得FG始终经过点C．若矩形ABCD的面积为s1，矩形BEFG的面积为s2，则s1与s2的大小关系是（　　） A．s1＜s2 B．s1＝s2 C．s1＞s2 D．不确定 【答案】B． 3.我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为　 　cm2． 【答案】25． 4.如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1　 　S2；（填“＞”或“＜”或“＝”） 【答案】S1＝S2． 5.已知：矩形ABCD中，延长BC至E，使BE＝BD，F为DE的中点，连接AF、CF． （1）求证：CF⊥AF； （2）若AB＝10cm，BC＝16cm，求△ADF的面积． 【答案】（1）证明：如图，连接BF，在矩形ABCD中，AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°， ∵F为DE的中点， ∴CF＝DF， ∴∠CDF＝∠DCF， ∴∠ADC+∠CDF＝∠BCD+∠DCF， 即∠ADF＝∠BCF， 在△ADF和△BCF中， ， ∴△ADF≌△BCF（SAS）， ∴∠AFD＝∠BFC， ∵BE＝BD，F为DE的中点， ∴BF⊥DE， ∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝∠AFB+∠AFD＝90°， ∴CF⊥AF； （2）解：∵△ADF≌△BCF， ∴点F到AD、BC的距离相等， ∵AB＝10cm， ∴点F到AD的距离为10＝5cm， ∴△ADF的面积16×5＝40cm2． 题型四：矩形的性质与坐标轴的综合运用 1．长方形ABCD的三个顶点的坐标是A（1,1）、B（3,1）、C（3,5），那么D点坐标是（ ） A．（1,3） B．（1,5） C．（5,3） D．（5,1） 【答案】B 2.如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC长为（　　） A． B． C．5 D．4 【答案】A 3.如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣1，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，4） 【答案】D． 4.在平面直角坐标系中，若长方形的三个顶点坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，2），则第四个顶点的坐标是 　 　． 【答案】（3，﹣1）． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 题型五：矩形的判定条件 1.下列命题中，是真命题的是（　　） A．四条边相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 2.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列选项能使平行四边形ABCD成为矩形的条件是（　　） A．∠OBC＝∠OCB B．∠AOB＝60° C．AC⊥BD D．AB＝AD 【答案】A 3.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，只需添加一个条件，即可证明▱ABCD是矩形，这个条件可以是（　　） A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠AOB＝60° 【答案】B 4.如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　） A．∠ABC＝∠BCD B．∠ABC＝∠ADC C．AO＝BO D．AO＝DO 【答案】B 5.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　） A．测量对角线是否相互平分 B．测量其中三个角是否都为直角 C．测量对角线是否相等 D．测量两组对边是否分别相等 【答案】B 题型六：证明四边形是矩形 1.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连接BE．求证：四边形BFDE是矩形． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，AE＝CF， ∴ED＝BF， ∴四边形BFDE是平行四边形， 又∵DF⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∴平行四边形BFDE是矩形． 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为BC、AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接AD、AF、CF，求证：四边形ADCF为矩形． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵点D、E分别为BC、AC中点， ∴AE＝EC，BD＝DC， ∵EF＝DE， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB＝AC，BD＝DC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴▱ADCF是矩形． 3．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连接BE．求证：四边形BFDE是矩形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，AE＝CF， ∴ED＝BF， ∴四边形BFDE是平行四边形， 又∵DF⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∴平行四边形BFDE是矩形． 4.如图，是的中线，，且，连接，．（1）求证：（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由． 【答案】（1）是的中线 又四边形是平行四边形 （2）当满足时，四边形是矩形 ， 又四边形是平行四边形 当时，四边形是矩形 题型七：矩形的判定与性质综合 1.如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE＝CD，延长BC到点F，使CF＝BC，顺次连接点B，E，F，D，且BD＝1，AC＝． （1）求菱形ABCD的面积； （2）求证：四边形BEFD是矩形； （3）四边形BEFD的周长为 　 　． 【答案】（1）略（2）略 （3）2+2 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝1，AC＝， ∴S菱形ABCD＝AC•BD＝××1＝； （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD， ∵CE＝CD，CF＝BC， ∴四边形BEFD是平行四边形，OC是△BDE的中位线， ∴OC∥BE， ∴BE⊥BD， ∴∠DBE＝90°， ∴平行四边形BEFD是矩形； （3）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OC＝OA＝AC， 由（2）可知，OC是△BDE的中位线， ∴BE＝2OC＝AC＝， ∵四边形BEFD是矩形， ∴EF＝BD＝1，BE＝DF＝， ∴四边形BEFD的周长＝2（BD+BE）＝2+2， 故答案为：2+2． 2.如图，已知点E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，且AF＝BC． （1）求证：四边形ABFC为矩形； （2）若△AFD是等边三角形，且边长为，求四边形ABFC的面积． 【答案】（1）略 （2）3． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CFE， ∵点E是▱ABCD中BC边的中点， ∴BE＝CE， 在△ABE和△FCE中， ， ∴△ABE≌△FCE（AAS）， ∴AB＝FC， ∵AB∥FC， ∴四边形ABFC是平行四边形， 又∵AF＝BC， ∴平行四边形ABFC为矩形； （2）解：由（1）得：四边形ABFC为矩形， ∴∠ACF＝90°， ∴AC⊥DF， ∵△AFD是等边三角形， ∴AF＝DF＝2，CF＝DF＝， ∴AC＝＝＝3， ∴S矩形ABFC＝AC•CF＝3×＝3． 3.如图，在四边形ABCD的中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO，△OAB是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若S四边形ABCD＝4，求BD的长． 【答案】（1）略 （2）4 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠OCD， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（ASA）， ∴BO＝DO，AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵△OAB是等边三角形， ∴OA＝OB， ∴OA＝OC＝OB＝OD， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：∵△OAB是等边三角形， ∴AB＝OA＝OB， ∵AO＝CO， ∴AC＝2OA， ∴AC＝2AB， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∴BC＝＝＝AB， ∵S四边形ABCD＝AB•BC＝AB2＝4， ∴AB2＝4， ∴AB＝＝2， ∴OB＝2， ∴BD＝2OB＝4． 4.如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F． （1）求证：四边形OCEB是矩形； （2）如果设AC＝12，BD＝16，求OE的长． 【答案】（1）略 （2）10 【解答】（1）证明：∵CE∥BD，EB∥AC， ∴四边形OBEC为平行四边形． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BOC＝90°， ∴四边形OBEC为矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8， ∴∠DOC＝90°，CD＝＝＝10， ∵平行四边形OCED为矩形， ∴OE＝CD＝10． 题型八：直角三角形斜边的中线 1．直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 2.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为12km，则M，C两点间的距离为（　　） A．3km B．4km C．5km D．6km 【答案】D 3.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】A 4.在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，两对角线交于点O，则BO＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．10 【答案】C 5.如图，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，若BD＝6，则AO＝　 　． 【答案】3 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3矩形的性质与判定知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版九年级上册（八大题型） 知识梳理： 考点 1 矩形的性质 ： ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 考点2 直角三角形斜边上的中线： ※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 考点3 矩形的判定： ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 题型突破： 题型一：由矩形的性质求线段的长度 1.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．5 2.如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝　 　． 3.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．在边AD上取一点E，使BE＝BC．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 　　．   4.如图，矩形的对角线相交于点，点分别是线段上的点．若，则的长为___________．    题型二：由矩形的性质求角的度数 1.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（　　） A．70° B．60° C．80° D．45° 2.如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝70°，则∠BAC的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 3.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，如果量得∠EDF＝22°，则∠FDB的大小是（　　） A．22° B．34° C．24° D．68° 4.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边DC上，若AM平分∠DMB，则∠AMD的大小是（　　） A．45° B．60° C．75° D．30° 5.如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的最大内角的大小是 　 　． 题型三：由矩形的性质求面积 1.如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 2.如图，点E是矩形ABCD边AD上一动点，连接BE，以BE边作矩形BEFG，使得FG始终经过点C．若矩形ABCD的面积为s1，矩形BEFG的面积为s2，则s1与s2的大小关系是（　　） A．s1＜s2 B．s1＝s2 C．s1＞s2 D．不确定 3.我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为　 　cm2． 4.如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1　 　S2；（填“＞”或“＜”或“＝”） 5.已知：矩形ABCD中，延长BC至E，使BE＝BD，F为DE的中点，连接AF、CF． （1）求证：CF⊥AF； （2）若AB＝10cm，BC＝16cm，求△ADF的面积． 题型四：矩形的性质与坐标轴的综合运用 1．长方形ABCD的三个顶点的坐标是A（1,1）、B（3,1）、C（3,5），那么D点坐标是（ ） A．（1,3） B．（1,5） C．（5,3） D．（5,1） 2.如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC长为（　　） A． B． C．5 D．4 3.如图，四边形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），点C在第二象限，则点C的坐标是（　　） A．（﹣1，3） B．（﹣1，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，4） 4.在平面直角坐标系中，若长方形的三个顶点坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，2），则第四个顶点的坐标是 　 　． 5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 题型五：矩形的判定条件 1.下列命题中，是真命题的是（　　） A．四条边相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．四个角相等的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 2.如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列选项能使平行四边形ABCD成为矩形的条件是（　　） A．∠OBC＝∠OCB B．∠AOB＝60° C．AC⊥BD D．AB＝AD 3.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，只需添加一个条件，即可证明▱ABCD是矩形，这个条件可以是（　　） A．AB＝BC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠AOB＝60° 4.如图，四边形ABCD是平行四边形，两条对角线交于点O，下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（　　） A．∠ABC＝∠BCD B．∠ABC＝∠ADC C．AO＝BO D．AO＝DO 5.在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　） A．测量对角线是否相互平分 B．测量其中三个角是否都为直角 C．测量对角线是否相等 D．测量两组对边是否分别相等 题型六：证明四边形是矩形 1.如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连接BE．求证：四边形BFDE是矩形． 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为BC、AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接AD、AF、CF，求证：四边形ADCF为矩形． 3．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作DF⊥BC于点F，点E在边AD上，AE＝CF，连接BE．求证：四边形BFDE是矩形． ． 4.如图，是的中线，，且，连接，．（1）求证：（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由． 题型七：矩形的判定与性质综合 1.如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE＝CD，延长BC到点F，使CF＝BC，顺次连接点B，E，F，D，且BD＝1，AC＝． （1）求菱形ABCD的面积； （2）求证：四边形BEFD是矩形； （3）四边形BEFD的周长为 　 　． 2.如图，已知点E是平行四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，且AF＝BC． （1）求证：四边形ABFC为矩形； （2）若△AFD是等边三角形，且边长为，求四边形ABFC的面积． 3.如图，在四边形ABCD的中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO，△OAB是等边三角形． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若S四边形ABCD＝4，求BD的长． 4.如图所示，点O是菱形ABCD对角线的交点，CE∥BD，EB∥AC，连接OE，交BC于F． （1）求证：四边形OCEB是矩形； （2）如果设AC＝12，BD＝16，求OE的长． 题型八：直角三角形斜边的中线 1．直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（ ）． A．2 B．3 C．4 D．5 2.如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AB的长为12km，则M，C两点间的距离为（　　） A．3km B．4km C．5km D．6km 3.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是斜边AC的中点，AC＝10，则OB＝（　　） A．5 B．6 C．8 D．10 4.在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，两对角线交于点O，则BO＝（　　） A．3 B．4 C．5 D．10 5.如图，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，若BD＝6，则AO＝　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $