四川达州市渠县达州外国语学校2026-2027学年九年级上学期第四周学情自测数学试题

四川省达州市外国语学校2026-2027学年九年级上学期第四周学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分且互相垂直 C．对角相等 D．对边相等 2．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．2x＝0 C． D．x2﹣x﹣2＝0 3．如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝1，BC＝2，DE＝1.5，则EF的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 4．如图，菱形ABCD的周长为20cm，对角线BD长为6cm，则它的面积为（　　） A．24cm2 B．28cm2 C．32cm2 D．48cm2 5．已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若b+d+f＝3，那么a+c+e的值为（　　） A．10 B．5 C． D． 6．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．m＜﹣4 D．m＞﹣4 7．如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD相交于点F，则下列等式中不成立的是（　　） A． B． C． D． 8．在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（　　） A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468 9．如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC的中点时，PO的长为（　　） A．3 B． C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，CE，DA的延长线交于点M，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．在一元二次方程x2＝6x+1中，当二次项系数为1时，一次项系数是　　 ． 12．如图是杠杆示意图，支点为O，动力F1的作用线与动力臂L1垂直，阻力F2的作用线与阻力臂L2垂直．由动力臂L1、动力F1的作用线与杠杆组成△OAB，由阻力臂L2、阻力F2的作用线的反向延长线与杠杆组成△OCD，若，且杠杆平衡时动力F1＝2N，根据杠杆平衡条件F1•L1＝F2•L2，则阻力F2＝　　 N． 13．若α、β是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的两根，则的值是 　　 ． 14．如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好的标本遮盖到了数学作业本上的一个正n边形一部分．若正n边形的两条边所在直线AM、BN所夹锐角为36°，则n的值是 　　 ． 【解答】解：如图，∠C＝36°， 15．菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为 　　 ． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16．解方程：（1）2x2﹣4x﹣5＝0． （2）5x（3x+2）＝6x+4． 17．为了测量成都熊猫基地观光瞭望塔“竹笋”建筑物AB的高度，小明同学采取了如下方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小明眼睛距离地面的高度ED的长约为1.6m，BC和CD的长分别为40m和1.5m，求建筑物AB的高度．（结果保留整数，说明：由物理知识，可知∠ECF＝∠ACF） 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0 （1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根； （2）证明：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根． 19．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4． （1）求CE的长； （2）求AB的长． 20．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点． （1）求证：△ABM≌△DCM； （2）四边形MENF是菱形吗？请说明理由． 21．某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．设某天该衬衫每件降价x元，则： （1）该衬衫的销量为　　 件，每件可获利　　 元； （2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利1200元，同时尽快减少库存，那么衬衫的单价应降多少元？ （3）商场销售这批衬衫能否通过降价每天盈利1500元？ 22．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，交DC的延长线于点E． （1）求证：BD＝BE； （2）若∠DBC＝30°，BO＝2，求四边形ABED的面积． 23．【主题】如何裁剪木板使面积最大．素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值．素材2：求解代数式﹣x2+2x+3的最大值． 解：原式＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4． ∵（x﹣1）2≥0， ∴﹣（x﹣1）2≤0， ∴﹣（x﹣1）2+4≤4， ∴﹣x2+2x+3的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板ABC的面积为13.5m2，一条直角边AB长为4.5m，现王师傅要沿着边AC截一个矩形台面DEFG，D，G分别在边AB，BC上，BH⊥EF，分别与DG，EF交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 24．我们发现，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac的值是一个完全平方数（两个相同的数相乘的结果）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是若一元二次方程的根都为整数，则Δ的值一定是一个完全平方数． 定义：两个根都为整数的关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用Q（a，b，c）表示，即；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）也为“全整根方程”，其“最值码”记为Q（p，q，r），当满足Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c时，则称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是px2+qx+r＝0（p≠0）的“全整根伴侣方程”． （1）“全整根方程”x2﹣3x+2＝0的“最值码”是　　 ； （2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0（m为整数，且4＜m＜15）是“全整根方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+m﹣2＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m﹣n的值． 25．已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF． （1）如图1，求证：△ADE≌△CDF； （2）直线AE与CF相交于点G． ①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形； ②如图3，连接BG，若AB＝5，DE＝3，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值． 参考答案 四川省达州市外国语学校2026-2027学年九年级上学期第四周学情自测数学试题 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线相等 B．对角线互相平分且互相垂直 C．对角相等 D．对边相等 【解答】解：矩形的对角线长度相等，而菱形的对角线不一定相等（除非是正方形）．因此，对角线相等是矩形特有的性质．故选项A符合题意， 菱形的对角线互相垂直且平分，但矩形的对角线仅互相平分而不垂直（除非是正方形）．因此，此性质属于菱形而非矩形．故选项B不符合题意， 矩形和菱形都是平行四边形，对角相等、对边相等是平行四边形的基本性质，矩形和菱形均具备，故选项C、D不符合题意． 故选：A． 2．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．2x＝0 C． D．x2﹣x﹣2＝0 【解答】解：A、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程，故选项A不符合题意； B、2x＝0是一元一次方程，故选项B不符合题意； C、，分母含有未知数，不是整式方程，故选项C不符合题意； D、x2﹣x﹣2＝0是一元二次方程，故选项D符合题意． 故选：D． 3．如图，直线l1∥l2∥l3，若AB＝1，BC＝2，DE＝1.5，则EF的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，AB＝1，BC＝2，DE＝1.5， ∴，即， ∴EF＝3， 故选：D． 4．如图，菱形ABCD的周长为20cm，对角线BD长为6cm，则它的面积为（　　） A．24cm2 B．28cm2 C．32cm2 D．48cm2 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，OB＝ODBD，AC＝2OA，AC⊥BD， ∴△OAB是直角三角形， ∵对角线BD长为6cm， ∴OB＝ODBD＝3cm， 又∵菱形ABCD的周长为20cm， ∴4AB＝20cm， ∴AB＝5cm， 在Rt△OAB中，由勾股定理得：OA4（cm）， ∴AC＝2OA＝8（cm）， ∴该菱形的面积为：AC×BD8×6＝24（cm2）． 故选：A． 5．已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若b+d+f＝3，那么a+c+e的值为（　　） A．10 B．5 C． D． 【解答】解：由题意得，，． ∵b+d+f＝3， ∴． 故选：C． 6．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．m＜﹣4 D．m＞﹣4 【解答】解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0， ∴（﹣1）2+4m＞0， ∴m． 故选：B． 7．如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD相交于点F，则下列等式中不成立的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴， 故A正确； ∵△EDF∽△BCF， ∴， 故B正确； ∵△ADE∽△ABC， ∴， 故C错误； ∵，， ∴， 故D正确， 故选：C． 8．在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（　　） A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468 C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468 【解答】解：设入口的宽度为x m，由题意得： （30﹣2x）（20﹣x）＝468． 故选：A． 9．如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，PO的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到BC的中点时，PO的长为（　　） A．3 B． C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴OA，OB是Rt△AOB的直角边，AB是斜边， ∴点P从A→B时，AP＝x逐渐增大， 根据图2可得，当x＝0时，OP＝OA＝6， 当OP⊥AB时，在Rt△BOP中，OP是直角边，OB是斜边， ∴OP＜OB，即OP＝y，逐渐减小，当OP⊥AB时，y值最小，当点P继续运动到点B时，y值逐渐增大，即当点P运动到点B时，OP＝OB＝3， 同理，点P从B→C时，OP＝y逐渐减小，到OP⊥BC时有最小值，之后逐渐增大，当点P运动到点C时，OP＝OC＝6，此时停止运动， ∴， ∴点P运动到BC中点时，PO的长为， 故选：B． 10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，CE，DA的延长线交于点M，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°， ∵E、F分别是AB，BC的中点， ∴， ∴BE＝CF， 在△CBE与△DCF中， ， ∴△CBE≌△DCF（SAS）， ∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确； ∵∠BCE+∠ECD＝90°， ∴∠ECD+∠CDF＝90°， ∴∠CGD＝90°， ∴CE⊥DF，故②正确； ∴∠EGD＝90°， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BE， ∵∠MAE＝∠CBE，∠AEM＝∠CEB，AE＝BE， ∴△AEM≌△BEC（ASA）， ∴BC＝AM＝AD， ∵AG是斜边的中线， ∴， ∴∠ADG＝∠AGD， ∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°， ∴∠AGE＝∠CDF，故③正确； ∵， ∴∠CDF≠30°， ∴∠ADG≠60°， ∵AD＝AG， ∴△ADG不是等边三角形， ∴∠EAG≠30°，故④错误； 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．在一元二次方程x2＝6x+1中，当二次项系数为1时，一次项系数是　﹣6　 ． 【解答】解：将原方程化为一般式为：x2﹣6x﹣1＝0， 根据一次项系数的定义可知：一次项系数为﹣6． 故答案为：﹣6． 12．如图是杠杆示意图，支点为O，动力F1的作用线与动力臂L1垂直，阻力F2的作用线与阻力臂L2垂直．由动力臂L1、动力F1的作用线与杠杆组成△OAB，由阻力臂L2、阻力F2的作用线的反向延长线与杠杆组成△OCD，若，且杠杆平衡时动力F1＝2N，根据杠杆平衡条件F1•L1＝F2•L2，则阻力F2＝　6　 N． 【解答】解：由题意可得：∠DCO＝∠BAO＝90°， ∴CD∥BA， ∴∠CDO＝∠ABO， ∴△OCD∽△OAB， ∴， ∴AO＝3CO，即L1＝3L2， ∵F1•L1＝F2•L2，F1＝2N， ∴． 故答案为：6． 13．若α、β是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的两根，则的值是 　　 ． 【解答】解：∵α+β，αβ， ∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ， ∴， 故答案为：． 14．如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好的标本遮盖到了数学作业本上的一个正n边形一部分．若正n边形的两条边所在直线AM、BN所夹锐角为36°，则n的值是 　5　 ． 【解答】解：如图，∠C＝36°， 由条件可得， ∴正多边形的边数； 故答案为：5． 15．菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为 　　 ． 【解答】解：连接AQ，作AH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ， ∵BQ＝BQ， ∴△ABQ≌△CBQ（SAS）， ∴AQ＝CQ， ∴当点A、Q、P共线，AQ+PQ的最小值为AH的长， ∵AB＝2，∠ABC＝45°， ∴AH， ∴CQ+PQ的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，16题-21题各8分，22-24题各10分，25题12分，共90分） 16．解方程：（1）2x2﹣4x﹣5＝0． （2）5x（3x+2）＝6x+4． 【解答】解：（1）2x2﹣4x﹣5＝0， 0， ， ， ， ，； （2）5x（3x+2）＝6x+4， （5x﹣2）（3x+2）＝0， ，． 17．为了测量成都熊猫基地观光瞭望塔“竹笋”建筑物AB的高度，小明同学采取了如下方法：在地面上点C处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点D处恰好看到建筑物AB的顶端A在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中B，C，D三点在同一条直线上．已知小明眼睛距离地面的高度ED的长约为1.6m，BC和CD的长分别为40m和1.5m，求建筑物AB的高度．（结果保留整数，说明：由物理知识，可知∠ECF＝∠ACF） 【解答】解：∵FC⊥BD，∠ECF＝∠ACF， ∴∠ECD＝∠ACB， 又∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠ABC＝∠CDE＝90°， ∴△ABC∽△EDC， ∴， ∵BC和CD的长分别为 40m和1.5m，ED的长约为1.6m， ∴， ∴AB≈43m， 答：建筑物AB的高度约为43m． 18．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0 （1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值和方程的另一根； （2）证明：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根． 【解答】（1）解：设方程的另一根为t， 根据题意得﹣1+t＝m，﹣1×t＝﹣2， 解得t＝2，m＝1， 即m＝1，方程的另一根为x＝2； （2）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝m2+8， 因为对于任意实数m，m2≥0， 所以m2+8＞0， 所以对于任意的实数m，这个方程有两个不相等的实数根． 19．如图，已知DE∥BC，FE∥CD，AF＝3，AD＝5，AE＝4． （1）求CE的长； （2）求AB的长． 【解答】解：（1）∵FE∥CD， ∴，即， 解得，AC， 则CE＝AC﹣AE4； （2）∵DE∥BC， ∴，即， 解得，AB． 20．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点． （1）求证：△ABM≌△DCM； （2）四边形MENF是菱形吗？请说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝DC． ∵M是边AD的中点， ∴AM＝DM． 在△ABM和△DCM中， ， ∴△ABM≌△DCM（SAS）． （2）解：四边形MENF是菱形．理由如下： 由（1）知△ABM≌△DCM， ∴BM＝CM． ∵E、F分别是线段BM，CM的中点， ∴，， ∴ME＝MF． ∵N是BC的中点， ∴EN、FN分别是△BMC的中位线． ∴EN∥CM，FN∥BM． 即EN∥MF，FN∥ME， ∴四边形MENF是平行四边形． ∵ME＝MF， ∴▱MENF是菱形． 21．某商场销售一批品牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．设某天该衬衫每件降价x元，则： （1）该衬衫的销量为　（20+2x）　 件，每件可获利　（40﹣x）　 元； （2）如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利1200元，同时尽快减少库存，那么衬衫的单价应降多少元？ （3）商场销售这批衬衫能否通过降价每天盈利1500元？ 【解答】解：（1）因为单价每降1元，多售出2件，降价x元， 所以销量为（20+2x）件； 原来每件盈利40元，降价x元， 所以每件可获利（40﹣x）元， 故答案为：（20+2x），（40﹣x）； （2）根据题意列一元二次方程得，（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理得，2x2﹣60x+400＝0， 解得x1＝10，x2＝20． 因为要尽快减少库存， 所以x＝20． 答：衬衫的单价应降20元． （3）假设能盈利1500元，则（40﹣x）（20+2x）＝1500， 展开得800+80x﹣20x﹣2x2＝1500， 整理得，x2﹣30x+350＝0． 判别式Δ＝（﹣30）2﹣4×1×350＝900﹣1400＝﹣500＜0， 所以方程无实数根，不能每天盈利1500元． 所以商场销售这批衬衫不能通过降价每天盈利1500元． 答：商场销售这批衬衫不能通过降价每天盈利1500元． 22．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，交DC的延长线于点E． （1）求证：BD＝BE； （2）若∠DBC＝30°，BO＝2，求四边形ABED的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD． ∵BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴AC＝BE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∴BD＝BE； （2）解：∵四边形ABCD是矩形，BO＝2， ∴BD＝2BO＝4， ∵∠DBC＝30°，∠BCD＝90°， ∴， ∴， ∴S▱ABEC， ∴S△ADC， ∴S四边形ABED＝S▱ABEC+S△ADC． 23．【主题】如何裁剪木板使面积最大．素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值．素材2：求解代数式﹣x2+2x+3的最大值． 解：原式＝﹣（x2﹣2x+1）+4＝﹣（x﹣1）2+4． ∵（x﹣1）2≥0， ∴﹣（x﹣1）2≤0， ∴﹣（x﹣1）2+4≤4， ∴﹣x2+2x+3的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板ABC的面积为13.5m2，一条直角边AB长为4.5m，现王师傅要沿着边AC截一个矩形台面DEFG，D，G分别在边AB，BC上，BH⊥EF，分别与DG，EF交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 【解答】解：如图， ∵直角三角形木板ABC的面积为13.5m2，一条直角边AB长为4.5m， ∴，即：， 解得：BC＝6m， ∴， ∵BH⊥EF， ∴，即：4.5×6＝7.5BH， 解得：， 在矩形DEFG中有：DG＝EF，DE＝MH＝GF，DG∥EF， ∴BH⊥DG， ∵DG∥EF， ∴∠BDM＝∠BAC，∠BGM＝∠BCA， ∵∠BMD＝∠ABC＝∠GMB＝90°， ∴△BDM∽△ABC，△GBM∽△ABC． ∴，． 设DE＝MH＝GF＝x，则， ∴，． ∴，． ∴． 设矩形DEFG的面积为S，则： ， ∵， ∴， ∴当时，， ∴矩形台面面积的最大值为． 24．我们发现，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），若Δ＝b2﹣4ac的值是一个完全平方数（两个相同的数相乘的结果）时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是若一元二次方程的根都为整数，则Δ的值一定是一个完全平方数． 定义：两个根都为整数的关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用Q（a，b，c）表示，即；若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r＝0（p≠0）也为“全整根方程”，其“最值码”记为Q（p，q，r），当满足Q（a，b，c）﹣Q（p，q，r）＝c时，则称一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是px2+qx+r＝0（p≠0）的“全整根伴侣方程”． （1）“全整根方程”x2﹣3x+2＝0的“最值码”是　　 ； （2）若关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0（m为整数，且4＜m＜15）是“全整根方程”，求m的值； （3）若关于x的一元二次方程x2+（1﹣m）x+m﹣2＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求m﹣n的值． 【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣3，c＝2，4ac﹣b2＝4×1×2﹣（﹣3）2＝8﹣9＝﹣1，4a＝4， ∴“全整根方程”x2﹣3x+2＝0的“最值码”是； 故答案为：． （2）∵x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（m2﹣2m﹣3）＝4m+13， ∵4＜m＜15， ∴29＜4m+13＜73， ∵x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣2m﹣3＝0是“全整根方程”， ∴b2﹣4ac是完全平方数， 即4m+13是完全平方数， ∴4m+13＝36或49或64， 解得或9或， ∵m为整数， ∴m＝9， （3）方程x2+（n﹣1）x﹣n＝0的判别式， 方程x2+（1﹣m）x+m﹣2＝0的判别式， 方程x2+（n﹣1）x﹣n＝0的最值码， 方程x2+（1﹣m）x+m﹣2＝0的最值码， ∵x2+（1﹣m）x+m﹣2＝0是x2+（n﹣1）x﹣n＝0的“全整根伴侣方程”， ∴Q1﹣Q2＝c，即， 化简整理，得：n2+2n﹣m2+2m＝0， ∴（n+m）（n﹣m+2）＝0， ∵m、n 为正整数， ∴m+n＞0， ∴m﹣n﹣2＝0， ∴m﹣n＝2． 25．已知，四边形ABCD是正方形，△DEF绕点D旋转（DE＜AB），∠EDF＝90°，DE＝DF，连接AE，CF． （1）如图1，求证：△ADE≌△CDF； （2）直线AE与CF相交于点G． ①如图2，BM⊥AG于点M，BN⊥CF于点N，求证：四边形BMGN是正方形； ②如图3，连接BG，若AB＝5，DE＝3，直接写出在△DEF旋转的过程中，线段BG长度的最小值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°， ∵DE＝DF，∠EDF＝90°， ∴∠ADC＝∠EDF， ∴∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE≌△CDF（SAS）； （2）①证明：如图，设AG与CD相交于点P． ∠ADP＝90°， ∠DAP+∠DPA＝90°， ∵△ADE≌△CDF， ∴∠DAE＝∠DCF． ∵∠DPA＝∠GPC， ∴∠DAE+∠DPA＝∠GPC+∠GCP＝90°． ∠PGN＝90°， ∵BM⊥AG，BN⊥GN， ∴四边形BMGN是矩形， ∴∠MBN＝90° ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠MBN＝90°． ∴∠ABM＝∠CBN． 又∵∠AMB＝∠BNC＝90° ∴△AMB≌△CNB（ASA）． ∴MB＝NB． ∴矩形BMGN是正方形； ②解：作DH⊥AG交AG于点H，作BM⊥AG于点M， 此时△AMB≌△AHD． ∴BM＝AH， AH2＝AD2﹣DH2，AD＝5， ∴DH最大时，AH最小，DH＝DE＝3， ∴BM＝AH＝4， 由（2）①可知，△BGM是等腰直角三角形， ∴BG最小BM＝4． 学科网（北京）股份有限公司 $