四川达州市渠县贵福中学2026-2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题

**基本信息** 立足开学学情检测，融合文化传承与实际应用，梯度设计考查数学眼光、思维与语言，适配九年级知识衔接需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|中心对称图形、分式性质、正多边形内角|以中国古代建筑正八边形窗户为情境，考查几何直观| |填空题|10/40|分式值为0、角平分线、不等式、平行四边形面积|结合长方形展厅通道面积计算，体现应用意识| |解答题|8/78|分式方程、图形变换、旋转综合、利润最值|等边三角形旋转探究（17题）与打印机销售利润（18题），考查推理能力与模型意识|

四川省达州市渠县贵福中学2026-2027学年九年级上学期开学学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1．如图，下列分子结构模型示意图中，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 3.根据分式基本性质对分式变形，下列正确的是( ). A. B. C. D. 4.中国古代建筑具有悠久的历史和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象.如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个内角的度数为( ). A. 105° B. 110° C. 120° D. 135° 5．下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，对角线与相交于点O，．若、．则的长是（　　） A．18 B．20 C．22 D．24 7．已知关于x的方程 ＝ 有增根，则m的值是(　　) A．3 B．0或3 C．7 D．－7 8.如图，在△ABC中，∠ABC，∠FCA的平分线BP，CP交于点P，延长BA，BC，PM⊥BE于点M，PN⊥BF于点N，下列结论：①AP平分∠EAC；②∠ABC+2∠APC=180°；③S△PAC=S△MAP+S△NCP.其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．若分式的值为0，则x的值为_______． 10．如图，△ABC中，，是的角平分线，点在的垂直平分线上，若，则________． 11.已知关于x的方程4x+a=x-6的根为负数，则实数a的取值范围是 . 12．如图，一处长方形展览大厅内，修建了宽为1 m的通道，其余部分摆放展品，则可供摆放展品的面积为________m2. 13．如图，平行四边形的面积为7，对角线交于点O，线段经过点O，交于点E，交于点F，则阴影部分面积为________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14.（每小题4分，共8分） （1）解不等式组： （2）解分式方程：-1=. 15.(8分)先化简 再从3，-1，0中选一个合适的数作为x的值代入求值. 16.(10分)如图,平面直角坐标系内,小正方形的边长为1个单位长度,△ABC,△DEF的顶点均在格点上. (1)画出将△ABC向左平移3个单位长度后得到的△A1B1C1. (2)将△DEF绕点E逆时针旋转90°得到△D1EF1,画出△D1EF1. (3)若△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的,则这点的坐标为_______. 17．（10分）【问题背景】如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ，PB，PC. 【发现问题】(1)猜想线段CP与BQ之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】(2)若AP＝6，BP＝8，CP＝10，求四边形APBQ的面积． 18．（12分）某商店销售、两种型号的打印机，销售台型和台型打印机的利润和为元，销售台型和台型打印机的利润和为元． （1）求每台型和型打印机的销售利润； （2）商店计划购进、两种型号的打印机共台，其中型打印机数量不少于型打印机数量的一半，设购进型打印机台，这台打印机的销售总利润为元，求该商店购进、两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将型打印机的出厂价下调元（），但限定商店最多购进型打印机台，且、两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这台打印机总利润最大的进货方案． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19.在△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°．若用反证法来证明这个结论，第一步应假设 ． 20．如图，直线与直线相交于点，当时，的取值范围为___________． 21．如图，将线段绕点C旋转到的位置，再将绕点A旋转至，使，延长、交于点B，若，，则________． 22．如图，在边长为6的等边三角形中，是的中点，是边上一动点，将沿翻折得到，延长交线段于点．若，则的长为_____． 23. 如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=4，∠ABC=45°，连接BD，P，E分别是BD，BC上的点，连接AP，PE，若CE=1，则AP＋PE的最小值为　　　　． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. (8分)小鹿在学习了因式分解之后，尝试着对多项式x2－36y2＋2x－12y进行因式分解： 　x2－36y2＋2x－12y =(x2－36y2)＋(2x－12y)第一步 =(x＋6y)(x－6y)＋2(x－6y)第二步 =(x－6y)(x＋6y＋2)．第三步 (1)小鹿从第一步到第二步因式分解运用的方法是　　　　法；第二步到第三步因式分解运用的方法是　　　　法； (2)请你按照上述方法因式分解：16x2－8xy＋y2－16x＋4y； (3)已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a2－2ab＋b2＋ac－bc=0，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 25．（10分）如图①，在中，平分，且与的外角的平分线交于点． 【问题解决】 (1)若，，则_____． 【猜想证明】 (2)当和在变化，而始终保持不变，则是否变化？为什么？由此你能得出什么结论?（用含有的式子表示） 【拓展提高】 (3) 若把截去，得到四边形，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的数量关系，并说明理由． 26.(12分) 综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图14-①，在□ABCD中，∠ADC=90°，O是边AD的中点，连接AC．保持□ABCD不动，将△ADC从图14-①的位置开始，绕点O顺时针旋转得到△EFG，点A，D，C的对应点分别为点E，F，G．当线段AB与线段FG相交于点M（点M不与点A，B，F，G重合）时，连接OM．老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数学探究． （1）初步思考：如图14-②，连接FD，“勤学”小组在旋转的过程中发现FD∥OM，请你证明这一结论； （2）操作探究：如图14-③，连接BG，“善思”小组在旋转的过程中发现OM垂直平分BG，请你证明这一结论； （3）拓展延伸：已知AD=，CD=2，在旋转的过程中，当△FCD是以CD为腰的等腰三角形时，请直接写出此时线段AM的长度． 学科网（北京）股份有限公司 $